Evaluación del da˜no s´ısmico en puentes de hormigón armado

21 Pages·2002·0.35 MB·Spanish

Rev. Int. M´et. Num. C´alc. Dis. Ing. Revista Internacional de
Vol.18,2,309–329 (2002)
M´etodos Num´ericos para
Ca´lculoyDisen˜oenIngenier´ıa
Evaluaci´on del dan˜o s´ısmico en puentes de
hormig´on armado
Consuelo G´omez, Sergio Oller y Alex H. Barbat
UniversidadPolit´ecnica deCatalun˜a
EscuelaT´ecnica SuperiordeCaminos,CanalesyPuertos
DepartamentodeResistenciadeMaterialesenlaIngenier´ıa
JordiGirona1-3,EdificioC1,CampusNorte
08034,Barcelona,Espan˜a
Tel.: [phone],Fax: [phone]
e-mail: [email protected]
Resumen
Laestimaci´ondeldan˜oproducidoporlaaccio´ns´ısmicaenpuentesexistenteshacobradointer´esenlosu´ltimos
an˜os, no s´olo para tratar de disminuir el nu´mero de v´ıctimas sino tambi´en para reducir los dr´asticos costos
generados en diversos sectores econ´omicos. En la caracterizacio´n y evaluaci´on del dan˜o se han priorizado
los m´etodos de aplicacio´n simple y confiable, ya que son una herramienta u´til en casos de ana´lisis mu´ltiples
relacionados con la simulaci´on por MonteCarlo. Optando por este camino, en este art´ıculo se presenta una
propuesta deana´lisis simplificado deldan˜o ocasionado por terremotos en puentesdeautopista dehormigo´n
armado. Semuestra la formulaci´on ba´sica del modelo din´amico propuesto y el procedimiento deevaluaci´on
del dan˜o estructural, basado en el c´alculo de la inercia dan˜ada de los pilares del puente para la estimaci´on
desu degradacio´n. Sedan ejemplos dec´alculo que muestran la fiabilidad y eficacia delmodelo propuesto.
PPaallaabbrraass ccllaavvee::
Vulnerabilidad s´ısmica, ana´lisis dina´mico de puentes, estimacio´n del dan˜o, meca´nica del
dan˜o continuo.
ESTIMATION OF THE SEISMIC DAMAGE OF REINFORCED CONCRETE BRIDGES
Summary
The estimation of the damage produced by seismic action in existing bridges has received much attention
in the last years, not only with the aim of reducing the deaths number but also to decrease the enormous
economiclosses. Indamagedetectionandevaluation, theapplication ofreliableandsimplemodelshasbeen
priorised, because they can be used in the case of multi-analyses necessary in a Monte Carlo simulation.
Opting for this way, a proposal of the simplified analysis of damage in RC highway bridges is presented.
In this paper the proposed model is described, based on a dynamical model and on the modification of the
inertial moment to estimate of the damage in the bridge piers. Examples are included which demonstrate
the reliability and efficiency of the proposed model.
KKeeyywwoorrddss::
Seismic vulnerability, dynamic analysis of bridges, damage estimation, continuous damage
mechanics.
(cid:1)cUniversitatPolit`ecnicadeCatalunya(Espan˜a). ISSN:0213–1315 Recibido: Diciembre2001
310 C.Go´mez,S.OlleryA.H.Barbat
INTRODUCCIO´N
Durante los terremotos de Loma Prieta (1989), Northridge (1994), Kobe (1995) y Wa-
shington (2000) se produjeron dan˜os de diversa consideracio´n en puentes de las principales
redes de transporte. Estos dan˜os ocasionaron, adema´s de la irreparable p´erdida de vidas
humanas, importantes gastos por la interrupcio´n de diversas actividades econ´omicas.1,2,3,4,5
Debido a estos problemas, la estimaci´on del dan˜o producido por terremotos en puentes
existentes cobr´o gran inter´es.
Desde hace ma´s de una d´ecada se han realizado numerosos trabajos de estimaci´on del
dan˜o, en su mayor´ıa para la caracterizacio´n del comportamiento s´ısmico de edificios.6,7 Los
m´etodosdeevaluaci´onactualesparaeldan˜os´ısmico depuentes puedenclasificarseencuatro
grupos principales:8,9 1) mediante inspeccio´n de la vulnerabilidad estructural, 2) evaluacio´n
del dan˜o mediante ana´lisis estructural, 3) estimaciones basadas en el juicio de expertos y 4)
obtencio´n del dan˜o a partir del ana´lisis estad´ıstico de datos reales. El primer m´etodo est´a
basado en estimaciones simples que buscan una primera clasificaci´on de las estructuras con
mayor vulnerabilidad s´ısmica. Por su parte, los modelos basados en el an´alisis estructural
suelen proporcionar gran cantidad de resultados, pero la confiabilidad de ´estos depende
de su calidad. Finalmente, las estimaciones basadas en el juicio de expertos requieren un
gran nu´mero de profesionales con conocimientos y experiencia comprobada, mientras que
las estimaciones estad´ısticas que parten de datos reales de dan˜o s´olo se aplican en zonas de
sismicidad moderada o grande donde puede haber informacio´n suficiente.
En este trabajo, los autores proponen una metodolog´ıa de ana´lisis con base en un
modelo estructural para evaluar el dan˜o ocasionado por sismos en puentes de viga. Dicha
metodolog´ıa estima el comportamiento no lineal de la estructura de manera simple, por lo
que puede ser de gran utilidad en la evaluacio´n probabilista del dan˜o. El modelo de ca´lculo
propuesto es aplicable al estudio de los puentes de autopista de hormigo´n armado con eje
simple de pilas, principalmente por ser ´estos de uso comu´n y por presentar en el pasado el
mayor nu´mero de elementos dan˜ados.1
Se describe primeramente el modelo propuesto para la estimacio´n del dan˜o en pilas
de puentes de autopista. Se calibra el modelo utilizando las propiedades dina´micas de la
estructura, mediante losresultados obtenidosa trav´es de mediciones en unpuente existente.
Luego, se describe la caracterizacio´n del dan˜o ma´ximo en las pilas, mediante el ca´lculo no
linealdelaestructura. Endichacaracterizaci´onseutilizanvarios´ındicesdedan˜oglobaldela
estructura, que tratande describir el estado de las pilas y de la estructura entera despu´es de
unterremoto. Elart´ıculofinalizamostrandounejemplodeaplicacio´ndelmodelopropuesto.
Aunque existe una variada gama de m´etodos de evaluaci´on de la respuesta no lineal de
puentes, la metodolog´ıa propuesta es simple, confiable y de bajo costo computacional. Por
lo tanto, esta metodolog´ıa es id´onea para considerar las incertidumbres en los para´metros
del modelo dentro del marco de la simulacio´n por Monte Carlo, como en la evaluacio´n de la
vulnerabilidad s´ısmica de estructuras o en los estudios previos para decidir sobre el refuerzo
de sistemas estructurales con capacidad reducida.
FORMULACIO´N ELA´STICA DEL MODELO PROPUESTO
Descripcio´n del modelo
Un primer paso en el desarrollo del modelo dina´mico simplificado propuesto es la
definicio´n de sus propiedades ela´sticas.10,11,12 Para ello se consideran elementos continuos,
con masa distribuida en pilas y concentrada en vigas. Cuando las pilas del puente est´an
sometidas a una excitacio´n s´ısmica en su base en direcci´on transversal, el movimiento de las
Evaluaci´ondeldan˜os´ısmicoenpuentesdehormig´onarmado 311
vigasadyacentes restringe parcialmente suoscilacio´n. Esdecir, sometida acargasdina´micas
transversales la pila se desplaza y causa la distorsi´on de los apoyos de unio´n con la viga
y la subsiguiente rotacio´n de ´estas, que se consideran r´ıgidas. El modelo simplificado
esquematizado en la Figura 1 se basa en las siguientes hipo´tesis:
1. Las pilassemodelizan mediante elementos continuos conmasa distribuida y rigidezaxial
infinita.
2. Las vigas se modelizan como elementos perfectamente r´ıgidos conmasa concentrada, por
lo que se desprecian sus deformaciones longitudinal y transversal.
3. Todas las pilas del puente tienen el mismo desplazamiento longitudinal.
4. Debido ala redundancia yrigidez endireccio´n longitudinaleldan˜oma´sgrave enlaspilas
se producir´a por una accio´n s´ısmica en la direcci´on transversal.
L
i+1
Li Fi i + 1
i
i Lp
i - 1 KS
i
x3
x2
x1
Figura 1. Esquema b´asico dean´alisis
5. Los apoyos de las vigas sobre las pilas son modelizados como piezas cortas de secci´on
transversal circular y con dimensiones reales. Se supone que dichas piezas trabajan
principalmente a cortante, por lo que la equivalencia en rigidez con los elementos reales
se alcanzar´a ajustando su mo´dulo de cortante.
6. La rotacio´n de las vigas, producida por el desplazamiento registrado en la cabeza de las
pilas se simula mediante muelles de rotacio´n con comportamiento lineal.
7. El efecto de interacci´on suelo-estructura en pilas y estribos se estima a trav´es de muelles
lineales que representan la rigidez rotacional del suelo.
8. El movimiento en la direcci´on longitudinal de las vigas en los estribos se incluyen como
muelles lineales de gran rigidez.
9. Se supone que los estribos son muy r´ıgidos en la direccio´n transversal, por lo que sus
desplazamientos en esta direcci´on son despreciados.
De acuerdo con el modelo de la Figura 1, los desplazamientos transversales en la cabeza
de las pilas y de los estribos son los u´nicos grados de libertad del sistema estructural, con
lo que el modelo estructural tendra´ un nu´mero de grados de libertad, n, igual al nu´mero
de pilas ma´s el de los estribos. Adem´as, el modelo permite considerar excitaciones s´ısmicas
diferentes en la base de cada pila del puente, es decir la variabilidad espacial de la carga
externa.13
A partir de las nueve hipo´tesis generales de modelaci´on, a continuacio´n se establece la
rigidez total del modelo dina´mico, considerando la contribucio´n de la rigidez transversal de
las vigas y de las pilas en cada modo de vibracio´n.
312 C.Go´mez,S.OlleryA.H.Barbat
Rigidez transversal del modelo en el modo iiiiiiiiiiiiii
El desplazamiento de la pila i del puente genera en planta una distribucio´n de fuerzas
como la que se indica en la Figura 2. En esta figura, F es la fuerza inercial, Fi−1 y Fi+1
i i i
son las fuerzas el´asticas producidas por la rotacio´n de las vigas adyacentes a la pila i, y Fi
i−1
y Fi son las fuerzas el´asticas producidas en las pilas i−1 e i+1 por la rotacio´n de las
i+1
vigas continuas, respectivamente. Esto es, para una pila el sub´ındice de las fuerzas indica el
nu´mero delapila yel super´ındice se asociaa lapila conla cualcomparteeltablero que gira,
a la izquierda i−1 y a la derecha i+1. En las fuerzas que se ejercen en las pilas contiguas,
se sigue esta misma l´ogica. Como se puede observar en las Figuras 2 y 3, la peor condicio´n
ocurre cuando dos pilas adyacentes se mueven en sentido contrario a la pila estudiada.
Para determinar las fuerzas ela´sticas en las pilas por rotacio´n del tablero se analiza su
movimiento. Si se observan las Figuras 2 y 3 se desprende que las rotaciones producidas a
la izquierda ϕi−1 y derecha ϕi+1 de la pila i, que dependen del desplazamiento relativo entre
i i
las tres pilas contiguas, son
(cid:1) (cid:2)
v −v
ϕi−1 = i i−1 (1)
i L
i
(cid:1) (cid:2)
v −v
ϕi+1 = i i+1 (2)
i L
i+1
donde L y L son la longitudes de las vigas contiguas a la izquierda y derecha de la pila i
i i+1
yv , v yv sonlosdesplazamientos m´aximosdelaspilasi, i−1 ei+1, respectivamente.
i i−1 i+1
F
i
i-1 i+1
ν
νi−1 i i+1
ν
Fi−i1 i Fi+i1
Fi−1 Fi+1
i i
L L
i i+1
Figura 2. Esquema de la rotaci´on devigas adyacentes
i-1 i+1
ϕi−1 ϕi+1
i i
i
Figura 3. Rotacio´n de vigas
Evaluaci´ondeldan˜os´ısmicoenpuentesdehormig´onarmado 313
x
2
2M
h F = T
a
L
F F = 2Fha
apoyo u L
p
F 2τA h
ϕ F = p a
L
L
Eje rotado de la viga
2(Gu )A h
F = p p a
aL
viga
2Gϕh2 A
F = a p
2aL
x
1
Figura 4. Vista en planta deuna viga
h
u =ϕ a
p 2
F
γ
a
A
p
F
Figura 5. Deformaci´on de una columna corta equivalente
Los apoyos existentes sobre cada una de las pilas (ver las Figuras 4 y 5) son simulados
como piezas cortas con secci´on transversal circular, principalmente regidas por las defor-
maciones cortantes. La influencia de la rigidez de los apoyos en el comportamiento global
del puente es asociada a su m´odulo cortante G, a la distancia en planta entre los centros
geom´etricos de los apoyos de cada viga, h , a su altura a y al a´rea de su secci´on transversal,
a
A . En las Figuras 4 y 5 se puede observar la deformacio´n producida por las cargas trans-
p
mitidas de las pilas a los apoyos. A partir de estas figuras se deduce que el desplazamiento
superior de los apoyos, u , produce un par de fuerzas F
p
(cid:1) (cid:2)
(cid:3) (cid:4)
u G h
F = τAp = (Gγ)Ap ∼= G ap Ap = aϕ 2a Ap (3)
cuyo momento es
(cid:1) (cid:2)
GA h
M = F h = p ϕ a h (4)
T a a 2 a
314 C.Go´mez,S.OlleryA.H.Barbat
donde F es la fuerza cortante en el apoyo, τ es la tensi´on tangencial y u = ϕ(h /2) es el
p a
desplazamiento relativo entre la cara superior e inferior del apoyo. Las restantes variables
ya fueron definidas anteriormente y tambi´en est´an definidas en el ap´endice de este trabajo.
A partir de la ecuacio´n (4) y como se constata en la Figura 4, la fuerza total producida
en una pila por la rotacio´n de vigas se define mediante la ecuacio´n siguiente
2M GA h2
F = T = p aϕ (5)
L aL
Aplicando la ecuacio´n (5) a la pila i y sustituyendo la ecuacio´n (1) en ´esta, la fuerza
el´astica producida en la viga i−1 es
(cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6)
GA h2 GA h2
Fi−1 = p a v − p a v (6)
i aL2 i aL2 i−1
i i
Siguiendo un proceso similar, la fuerza ela´stica por la rotacio´n de la viga i+1 es
(cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6)
GA h2 GA h2
Fi+1 = p a v − p a v (7)
i aL2 i aL2 i+1
i+1 i+1
Sumando lasecuaciones (6)y(7)yordenando t´erminos, lafuerza totalela´stica R debida
i
a la rotacio´n de las vigas adyacentes a la pila i es
(cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6)
GA h2 GA h2 GA h2 GA h2
R = Fi−1+Fi+1 = p a + p a v − p a v − p a v (8)
i i i aL2 aL2 i aL2 i−1 aL2 i+1
i i+1 i i+1
Rigidez transversal de una pila en el modo iiiiiiiiiiiiii
Con base en las hipo´tesis generales de definicio´n del modelo propuesto, las pilas del
puente son consideradas como elementos continuos con masa distribuida. En estos, el efecto
de interaccio´n suelo-estructura es incluido por medio de resortes rotacionales de rigidez Ks
i
(Figura 6). Por lo tanto, el ma´ximo desplazamiento en el cabezal de una pila es
v = vi +vi (9)
i θ p
siendo
Mi
vi = θiLi = p (10)
θ p Ks
i
el desplazamiento producido por la rotacio´n en la base de la pila y
q (Li)4 F (Li)3
vi = i p + i p (11)
p 8E I 3E I
c i c i
i i
el desplazamiento ocasionado por la accio´n externa. En las ecuaciones (10) y (11), θi es la
rotacio´nproducida porel efecto dela interacci´on suelo-estructura, M esel momento flector
p
m´aximo en la base de la pila, Ks es la rigidez equivalente del suelo, q es la masa por unidad
i
de longitud, Li, E e I son la longitud, mo´dulo de Young e inercia transversal de la pila,
p c i
respectivamente; y F es la fuerza inercial total.
i
Evaluaci´ondeldan˜os´ısmicoenpuentesdehormig´onarmado 315
F
i
q
i
ν
i
Li
p
θi
KS
i
Figura 6. Deformaci´on dela pila i
A partir del esquema de la Figura 6, la ecuacio´n de momento flector para el desplaza-
miento m´aximo, cuando x = L , es
3 p
(Li)2
M (x = L ) = q p +F Li (12)
i 3 p i i p
2
Sustituyendolasecuaciones(10),(11)y(12)enlaecuacio´n(9),elma´ximodesplazamiento
de la pila es descrito por
(cid:5) (cid:6)
q (Li)3 (Li)2 (Li)3 q (Li)4
v = i p +F p + p + i p (13)
i 2Ks i Ks 3E I 8E I
i i ci i ci i
de donde resulta la fuerza inercial en la cabeza de la pila
(cid:5) (cid:6)
F = (cid:5) 1 (cid:6) v − qi(Lip)3 − qi(Lip)4 (14)
i (Li)2 (Li)3 i 2Ks 8E I
p + p i ci i
Ks 3E I
i ci i
En la ecuacio´n (14) se observa que la fuerza inercial en la cabeza de la pila en estudio
est´a compuesta por la parte que resulta de su contribucio´n como elemento en voladizo m´as
el t´ermino que aporta la rotacio´n restringida por los apoyos, en la que interviene la rigidez
equivalente del suelo, Ks.
i
Ecuaci´on de equilibrio pila–tablero
Aplicando la segunda ley de Newton, la fuerza efectiva total en el extremo superior de
la pila i es
FT = R +F = m a (15)
i i i i i
316 C.Go´mez,S.OlleryA.H.Barbat
donde m es la masa asociada al grado de libertad i y a es la aceleraci´on correspondiente.
i i
Sustituyendo los valores de R = Fi−1+Fi+1 [ec. (8) y ec. (14)]en la ec. (15), FT se expresa
i i i i
como
 
 
 
(cid:5) (cid:6) 
GA h2 GA h2 1
FT = m a = p a + p a + (cid:5) (cid:6) v −
i i  aL2 aL2 (Li)2 (Li)3  i
 i i+1 p + p 
Ks 3E I
i ci i
  (16)
(cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6)  (cid:5) (cid:6)
− GAph2a v − GAph2a v −(cid:5) 1 (cid:6) qi(Lip)3 + qi(Lip)4
aL2 i−1 aL2 i+1  (Li)2 (Li)3  2Ks 8E I
i i+1 p + p i ci i
Ks 3E I
i ci i
Si se introducen las notaciones
GA h2 GA h2 1
K = p a + p a + (cid:5) (cid:6) (17)
i,i aL2 aL2 (Li)2 (Li)3
i i+1 p p
+
Ks 3E I
i ci i
(cid:5) (cid:6)
GA h2
K = p a (18)
i,i−1 aL2
i
(cid:5) (cid:6)
GA h2
K = p a (19)
i,i+1 aL2
i+1
y el t´ermino
 
 (cid:5) (cid:6)
Fq = (cid:5) 1 (cid:6) qi(Lip)3 + qi(Lip)4 (20)
i  (Li)2 (Li)3  2KT 8E I
p + p i ci i
KT 3E I
i ci i
la ecuacio´n de equilibrio de cada pila puede escribirse como
Fq +m a = K v −K v −K v (21)
i i i i,i i i,i+1 i+1 i,i−1 i−1
Aplicando la ecuacio´n anterior a cada grado de libertad, se obtiene un sistema de
ecuaciones del tipo F = Kv. En este, K es la matriz de rigidez tri-diagonal del sistema
(K es la fuerza correspondiente a la coordenada i, debida a un desplazamiento unitario
i,j
producido en la coordenada j), F es el vector de fuerzas y v es el vector desplazamiento en
el cabezalde pilas y estribos. Seconsidera tambi´en que la masa del puente esta concentrada
en los puntos en que son obtenidos los desplazamientos transversales, siendo una matriz de
masa diagonal.
FORMULACIO´N NO LINEAL DEL MODELO
En condiciones el´asticas, la soluci´on de la ecuacio´n (21) cumple el equilibrio esta´tico en
cada instante de tiempo. Sin embargo, cuando se considera el comportamiento no lineal de
los materiales de la estructura y el amortiguamiento presente en ´esta, la ecuacio´n del
movimiento en cada pila es
Evaluaci´ondeldan˜os´ısmicoenpuentesdehormig´onarmado 317
Fq +m a −K v −K v −K v −F = FR (22)
i i i i,i i i,i+1 i+1 i,i−1 i−1 a i
donde F es la fuerza de amortiguamiento de la pila i y FR es la fuerza residual o fuerza de
a i
desequilibrio que debe sereliminada mediante una linealizacio´n de Newton–Raphson. Dicha
falta de equilibrio se produce porque las rigideces K , K y K no son constantes
ii i,i+1 i,i−1
durante el proceso de ana´lisis y, en consecuencia, la soluci´on de la ecuacio´n (23) se debe
obtener de manera iterativa.
Para obtener el dan˜o ma´ximo de las pilas de puentes mediante el modelo descrito en la
Figura 1 se resuelve la ecuacio´n 23 no lineal, mediante el algoritmo de Newmark.14 En este
ana´lisis se busca el equilibrio mediante la eliminaci´on de FR por Newton–Raphson, lo que
i
conduce indirectamente a la eliminacio´n del momento flector residual ∆M, que surge como
desequilibrio interno en la seccio´n transversal. Consecuentemente ∆M = M −M es la
e int
diferencia entre el momento solicitante y el resistente. De esta forma, para cada paso del
ana´lisis no lineal se actualiza la rigidez del sistema, la cual se modifica por la degradaci´on
del material causada por carga externa.
A continuacio´n se describen los pasos seguidos para definir el dan˜o en cualquiera de las
pilasdelpuente, sinutilizarsub´ındices paracadaelemento. Mediante elmodelosimplificado
propuesto seevalu´aeldan˜oestructuralglobalma´ximo delpuente considerando enelan´alisis
s´olo el dan˜o en la base de las pilas debido a la accio´n s´ısmica transversal.
Desplazamiento m´aximo producido por la accio´n s´ısmica
A partir de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento del sistema din´amico, se
obtienen los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracio´n, empleando el algoritmo de
ana´lisis no lineal de Newmark. Dicho algoritmo define, mediante un proceso iterativo, la
respuesta estructural en cada instante de tiempo, considerando un criterio de convergencia
que se asegure un vector de carga incremental menor que una tolerancia predefinida.14
F
e
x2
Me (x3) = Fe (Lp-x3)
L
p
x x1
x 3
2
x1
x
1
Figura 7. Modelo simplificado de ana´lisis no lineal
Momento externo m´aximo
Se considera que las pilas est´an sometidas, predominantemente, a flexio´n en la direccio´n
perpendicular al eje del puente, tal como se observa en la Figura 7. Conociendo el despla–
318 C.Go´mez,S.OlleryA.H.Barbat
zamiento m´aximo de una pila, la fuerza resultante en el extremo superior de ´esta y el
momento externo en la base (predictor) se obtienen mediante las siguientes expresiones
F = vk (23)
e
Mmax = F L (24)
e e p
donde
3E I
k = c (25)
L3
p
es la rigidez a flexio´n de la pila, F es la fuerza el´astica producida por la accio´n s´ısmica
e
en el extremo superior de la pila, M es el momento externo m´aximo predictor, v es el
e
desplazamiento m´aximo de la pila (obtenido por medio del algoritmo de Newmark) y E , I
c
yL sonel m´odulo deYoung, la inercia transversal yla longituddela pila, respectivamente.
p
Estado de dan˜o de la estructura
En el caso de una carga s´ısmica actuando en la direcci´on transversal del puente (eje x ),
1
el estado de tensiones y deformaciones ela´sticas en esta direcci´on es

 ε(x ,x ) = χ (x )x = Me(x3)x
1 3 1 3 1 E I 1
c
(26)
σ(x ,x ) = E ε(x ,x ) = Me(x3)x
1 3 c 1 3 I 1
donde χ (x ) = M (x )/E I es la curvatura de la pila, σ(·) y ε(·) son las tensiones y
1 3 e 3 c
deformaciones, x es la distancia (en direcci´on de este eje) desde el punto de ana´lisis hasta
1
el eje neutro actual de la pila, E es el m´odulo de Young inicial de la pila y M es la ley de
c e
momentos.
A partir de estas ecuaciones, el momento interno resistente en la secci´on transversal del
elemento, M (x ), se obtiene mediante integracio´n de los momentos producidos por las
int 3
fuerzas elementales, σdA , en la secci´on transversal de a´rea A
c c
(cid:20)
M (x ) = σx dA (27)
int 3 1 c
A
c
M
Valor del momento
M
e predictor
∆
M
1
M
int
χ

∆χ

1
Figura 8. Diagrama momento curvatura deuna pila