Euclides, jaargang 86 // 2010-2011, nummer 7

2010·11.2 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

E u c l i dEs
v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r
j u n i
1 1 7
n r
j a a r g a n g 8 6
Op weg naar iMO2011
Meervoudige
intelligentie
Tangram tekenen
lesmap voor het vmbo
Jaarvergadering/
studiedag 2011
Wiskunde met de
vingers
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
CASIO fx-CG20: CASIO: betrouwbaar
Kleurrijke wiskunde! als de uitkomst zelf!
colofon
De fx-CG20 van CASIO is de eerste van een nieuwe Op de Natural Textbook Display worden o.a. breu-
generatie grafi sche rekenmachines, die dankzij zijn ken en wortels weergegeven als in het leerboek. De
hogeresolutie LCD-kleurenscherm en uitgebreide fx-82ES Plus is ook geschikt voor het gebruik van
functionaliteit de ideale studiegenoot is voor iedere tabellen.
j u n i
scholier of wiskundestudent.
1 1 7
De fx-CG20 van CASIO biedt als eerste ter wereld
de functie ‘Picture Plot’ waarmee de gebruiker gra- CASIO
n r
fi eken en curven over andere beelden heen kan fx-9860GII
plotten, zoals een parabool over de waterstralen
j a a r g a n g 8 6
van een fontein. Studenten kunnen experimenteren Rekengemak:
met het creëren van hun eigen grafi eken over foto’s de grafi sche reken-
heen. Vervolgens leren ze van de functies van deze machine fx-9860GII
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
zelfgemaakte grafi eken. Grafi eken die in kleur bo- met groot contrastrijk
van Wiskundeleraren.
vendien een stuk gemakkelijker te overzien zijn. Het display met natuur-
Het blad verschijnt 7 maal per verenigingsjaar.
hogeresolutie LCD-kleurenscherm toont alle beeld- lijke invoer en uitvoer,
ISSN 0165-0394
materiaal in 65.000 kleuren en biedt daarmee de- achtergrondverlichting
zelfde weergave als in een studieboek. De fx-CG20 en 1,5 MB Flash-ROM-
Redactie iiinnntttrrroooddduuuccceeeeeerrrttt eeeeeennn gggeeehhheeeeeelll nnniiieeeuuuwwweee eeennn mmmeeeeeerrr iiinnntttuuuïïïtttiiieeevvveee geheugen.
Bram van Asch manier van wiskunde leren.
Michel van Ast
Bekijk het in kleur op
Klaske Blom, hoofdredacteur
Rob Bosch www.casio-educatie.nl
Hans Daale
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Marjanne de Nijs
Joke Verbeek
Heiner Wind, voorzitter
inzendingen bijdragen
Artikelen en mededelingen naar de Nederlandse Vereniging lidmaatschap CASIO
hoofdredacteur: Klaske Blom, van Wiskundeleraren Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides. fx-82ES PLUS
Westerdoksdijk 39, 1013 AD Amsterdam Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
E-mail: [email protected] - leden: € 70,00 Geniale oplossing:
Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 40,00 de technisch-weten-
Richtlijnen voor artikelen
Marian Kollenveld, - studentleden: € 35,00 schappelijke zakreken-
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 40,00
machine fx-82ES Plus
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op Tel. [phone] - leden van de VVWL of het KWG: € 40,00
met natuurlijke invoer-
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
en uitvoerfunctie, en
Zie voor nadere aanwijzingen: Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
met puntmatrixscherm
www.nvvw.nl/euclricht.html secretaris geven bij de ledenadministratie.
zorgt voor meer begrip
Kees Lagerwaard, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
Realisatie tijdens het onderwijs.
Eindhovensingel 15, 6844 CA Arnhem
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk Tel. [phone] Abonnementen niet-leden
en mailingservices E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende 3
De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. nummer.
Veenendaal, www.dekleuver.nl ledenadministratie Personen (niet-leden van de NVVW): € 65,00 j a a r
s EDlely S vcahna lBme m19m, e8l2-H51e nLdBri k Ds,ronten ILnosstsietu nteunm emne srcsh zoijlnen o: p€ a1a4n5v,r0a0ag leverbaar: € 18,00 g a r a n t i e
E
d Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.
E-mail: [email protected]
i
Advertenties en bijsluiters
l
Helpdesk rechtspositie De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v.
c NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau, t.a.v. E. van Dijk Bestel uw speciaal geprijsde docentenexemplaar van de nieuwe CASIO fx- CG20
u Postbus 405, 4100 AK Culemborg Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal via e-mail [email protected]
Tel. [phone] Tel. [phone]
E
E-mail: [email protected]
dé nummer 1 in rekenmachines voor het onderwijs.
Casio Benelux B.V. - Tel: [phone] - [email protected] - www.casio-educatie.nl
Euclides-advertentie-ZW.indd 1 19-05-11 14:13
EE uu cc ll ii ddEEss
K I
ort vooraf nhoud
[ Klaske Blom ]
Zomer
We hebben het weer gehaald, de eindstreep. De diploma’s zijn uitgedeeld, de PTA’s voor volgend jaar
liggen klaar en we kunnen beginnen aan onze vakantie. Vorig jaar schreef ik: ‘Als u maar geniet van
de lengte van uw vakantie, want heel lang zal het vast niet meer duren voordat die ingekort wordt.’
Op 23 mei j.l. is er wellicht gestaakt (ik schrijf dit Kort Vooraf op 22 mei) o.a. tegen de inkorting van 281 Kort vooraf
onze lange zomervakantie. Op het moment dat u dit leest, weten we hoe het afgelopen is. Mocht de [Klaske Blom]
CAO getekend zijn, dan gaat u nu uw laatste ‘lange’ vakantie in. Geniet er van! 282 Op weg naar IMO2011
En, vergeet niet Euclides in uw vakantiekoffer te doen; we hebben geprobeerd er weer een mooi [Maarten Roelofsma]
nummer van te maken. 284 Meervoudige intelligenties, deel 4
[Ingrid Berwald]
in uw luie tuin-, camping-, strand- of wat-dies-meer-zij-stoel 286 Lesmap ‘Verder met Rekenen’
Mocht u nog moeten afkikken van uw werk en de overgang naar vakantie maar moeizaam kunnen [Kees Buijs]
maken, dan raad ik u aan om achterin te beginnen en eerst de uitnodiging voor de studiedag van 287 Tangram tekenen
de vereniging in november, te lezen. Schrijf de datum vast in uw agenda, dan heeft u iets om naar [Joeri van Ast, Harrie Broekman]
uit te zien in die lege zomerweken. Verder leest u in een artikel van Johan Gademan, ook op de 291 Wiskunde met de vingers
Verenigingspagina’s, o.a. hoe u een twitter-account kunt aanmaken waarmee u de NVvW kunt [Harrie Jorna]
volgen, ook in vakantietijd! 294 Verhoudingstabellen
Dan wil ik daarna graag uw aandacht vragen voor een paar zeer concreet bruikbare artikelen: Joeri [Frans Ballering]
van Ast en Harrie Broekman hebben lesmateriaal ontwikkeld aan de hand van het Tangram-spel. Ze 296 50 jaar Pythagoras
beschrijven waarom het zo belangrijk is voor een leerling om de goede vragen te leren stellen. Ook [Heiner Wind]
onmiddellijk bruikbaar zijn de ideeën van Ingrid Berwald; ze behoeft volgens mij met haar vierde 298 Aankondigingen
deel in serie inmiddels geen aankondiging meer, kijk snel. Verrassend anders dan we gewend zijn, is 299 Het Geheugen
de insteek van Harrie Jorna: hij heeft lesmateriaal voor de wiskundeles ontwikkeld vanuit de visie van [Harm Jan Smid]
Nieuwe Scheikunde waarin vooral zelf experimenteren leidt tot inzicht in wiskunde. Hij durft zelfs 302 Differentialen en diepvriespizza’s
te beweren dat er daardoor ook veel minder dan gebruikelijk in wiskundelessen geoefend hoeft te [Dorien Lugt]
worden met dezelfde soort opgaven. 303 Vanuit de oude doos
Er waren een paar heuglijke feiten: Pythagoras werd 50 jaar en Heiner Wind was op zijn feestje. Het [Ton Lecluse]
1
Wereldwiskunde Fonds kon weer een onderwijsproject in India steunen. En het lespakket ‘Verder 305 Het WwF steunde een organisatie 8
2
met rekenen’ voor leerlingen in de basisberoepsgerichte leerweg met lwoo is klaar. Een welkome in India
ondersteuning voor leerlingen en docenten; kijk snel waar het te vinden is. 308 Een uitbreiding van de rij
In onze langlopende series vinden we weer een IMO-vervolg en een bijdrage van Frans Ballering. van Fibonacci
Uiteraard hebben onze vaste rubrieksauteurs Dorien Lugt, Ton Lecluse en Harm Jan Smid weer [Jan Kroesen]
moois voor u in petto. Onze vierde vaste rubrieksauteur, Frits Göbel, neemt met zijn puzzel 310 Toeval(lig)
‘Verdeling in vierkanten’ in dit nummer afscheid van u. Het is zijn laatste puzzel. Op de recreatie- [Dick Klingens]
pagina’s leest u hier meer over. Frits heeft negen jaar lang, in elk nummer van Euclides, een puzzel 314 Jaarvergadering/Studiedag 2011
gepubliceerd en werd door ‘zijn’ puzzelaars zeer gewaardeerd om zijn creatieve en interessante [Marianne Lambriex]
vondsten. Wij zijn hem zeer erkentelijk voor het puzzelwerk dat hij voor Euclides verricht heeft en 315 Van de bestuurstafel
voor menig uurtje dat hij ons liet tobben. Als laatste wil ik nog de ‘lekkere’ wiskundige artikelen van [Johan Gademan]
Dick Klingens en Jan Kroesen noemen, waarin u aan de slag kunt met dobbelstenen, Markov-ketens 318 Recreatie
en de rij van Fibonacci. Volgens mij kunt u een zomerlang vooruit! [Frits Göbel]

319 Van Recreatierubriek naar 7
Afscheid en vernieuwing Meet je rekenkracht
|
Na vele jaren lidmaatschap van de redactie hebben Bram van Asch en Hans Daale afscheid genomen [Klaske Blom]
6
als resp. boekredacteur en redacteur hbo/mbo. Bestuur en redactie hebben tijdens een afscheids- 320 Servicepagina
8
etentje beiden hun erkentelijkheid betoond vanwege de vele jaren dat zij zich vrijwillig voor Euclides
hebben ingezet. Bram wordt opgevolgd door Ernst Lambeck die ik veel succes wens en u – met hem
– veel interessante boekbesprekingen. Een opvolger voor Hans Daale is nog niet gevonden. Mocht u
interesse hebben, dan zien we uw reactie graag tegemoet.

En ook ik vertrek uit de redactie van Euclides. Drie jaar ben ik met bijzonder veel plezier hoofd- s
E
redacteur geweest. Alle auteurs die in de afgelopen jaren hun bijdragen hebben ingestuurd, wil ik d
hiervoor hartelijk danken; de contacten die – meestal elektronisch – ontstonden naar aanleiding
i
van ingezonden artikelen, heb ik als bijzonder leerzaam en inspirerend ervaren. Ook wil ik graag
l
mijn dank uitspreken aan alle redactieleden die op de achtergrond bijzonder veel werk verzetten om
Euclides mogelijk te maken. Het was een groot goed om met deskundige mensen, in vertrouwen en c
plezierige samenwerking, op te kunnen trekken. Mijn opvolgster, Marjanne de Nijs, die al enige jaren
u
deel uitmaakt van de redactie, wens ik veel succes! Euclides zal onder haar leiding een mooie toekomst
E
tegemoet gaan, en hopelijk de 90e, misschien zelfs de 100e jaargang halen.
O p we g n a a r i MO 2 0 1 1
EEn SChooLJaar LanG traInEn
[ Maarten Roelofsma ]
Van 13 t/m 24 juli 2011 vindt voor het eerst in de geschiedenis in Nederland de Voor n = 0 hebben we het polynoom
Internationale Wiskunde Olympiade (International Mathematical Olympiad, IMO) P(x) = 3x3 – 2. Hoe bepalen we nu of we
plaats. Zo’n 600 leerlingen uit meer dan 100 landen zullen dan twee dagen lang in kunnen factoriseren? Er geldt dat een
Amsterdam hun tanden zitten in een zestal zeer pittige wiskundeopgaven. factorisatie van de volgende vorm moet zijn:
Opgaven waaraan ook beroepswiskundigen vaak nog een flinke kluif hebben. Hoe P(x) = (ax + b)(cx2 + dx + e)
zien die opgaven er eigenlijk uit? En wat trekt de deelnemers hierin zo aan? Om waarbij a en c ongelijk aan 0 zijn. Door
dat te ontdekken trof u in Euclides elke keer een IMO-opgave uit het verleden aan, haakjes weg te werken en dit vervolgens
besproken door een leerling die indertijd in het Nederlandse team zat. gelijk te stellen aan 3x3 – 2 vinden we
Dit keer een artikel over wat er aan deelname vooraf gaat. onder meer de vergelijkingen ac = 3 en
be = -2. Met veel rekenwerk kunnen we dit
In 2008 en 2009 ben ik als deelnemer uitleg geef over een specifi ek onderwerp wellicht oplossen, maar we gaan het eerst
mee geweest naar de IMO in Madrid en de deelnemers help met het maken op een andere manier proberen (bovendien
en Bremen. Inmiddels ben ik tweede- van opgaven. Daarnaast is een belangrijk gaat het rekenwerk zeker niet lukken voor
jaars student wis- en natuurkunde aan onderdeel van de dagen elkaar beter te leren algemene n). Toch kunnen we een aantal
de Universiteit Utrecht. Sinds dit jaar kennen en is er ruimte voor gezelligheid en van deze vergelijkingen goed gebruiken
ben ik betrokken bij het selectieproces en ontspanning. voor algemene n (bijvoorbeeld ac = 3 geldt
trainingsprogramma van de wiskunde- In maart hebben de deelnemers een eerste voor algemene n).
olympiade. Hieronder licht ik de opbouw selectietoets gemaakt. De beste deelnemers Tot nu toe hebben we nog geen gebruik
van het trainingsjaar toe en sluit af met een blijven in de race voor de IMO in gemaakt van het feit dat we voor x waarden
van de opgaven uit de laatste selectietoets Amsterdam. Deze groep mag als extra ook kunnen invullen. Omdat nulpunten een
voor IMO2011. deelnemen aan de Benelux-Olympiade. De centrale rol bij polynomen spelen, is het
2
8 overige deelnemers blijven in training met logisch om hier als eerste naar te kijken.
2
Om uitgenodigd te worden voor de training het oog op de IMO in 2012 in Argentinië. De nulpunten van de factorisatie
moeten leerlingen zich door drie selectie- Vorige maand was de afsluitingsweek P(x) = (ax + b)(cx2 + dx + e) kennen we
b
ronden knokken. De eerste ronde wordt op van het trainingsjaar in voorbereiding op expliciet. De meest eenvoudige is x=-a .
de scholen zelf gehouden waarna de besten IMO2011. De deelnemers die nog in de Deze waarde vullen we in bij het geval
door mogen naar de tweede ronde die op race waren voor deelname aan de IMO n = 0; we hebben dan:
verschillende universiteiten plaatsvindt. in Amsterdam, kregen twee afsluitende 0=P(-ba)=3(-ba)3−2
Aan de fi naleronde in Eindhoven doen de selectietoetsen. Uit die groep werd het Dat betekent dat -ba =3 23 . Nu hebben
overgebleven 130 van circa 5000 leerlingen IMO-team bestaande uit zes deelnemers en we links een rationaal getal en rechts een
mee. Vanaf dit moment ben ik actief bij de een reserve-deelnemer samengesteld. Deze niet-rationaal getal. Hieruit blijkt dat we bij
olympiade betrokken met als eerste belang- laatste deelnemer heeft de aanmoedigings- n = 0 geen gehele getallen a en b kunnen
rijke taak het nakijken van de fi naleronde. prijs ontvangen als veelbelovend talent voor vinden voor een factorisatie.
Het is leuk om met de andere nakijkers, IMO2012. We hebben bij het proberen van het geval

7 voornamelijk oud-deelnemers, verrassend Om een indruk te geven van de selectie- n = 0 al conclusies getrokken die ook
goede resultaten te zien van jonge, getalen- toetsen werk ik de volgende opgave uit. gelden voor algemene n. We proberen nu
|
teerde leerlingen. Uiteindelijk blijven er voor algemene n iets soortgelijks te doen.
6
25 deelnemers over die aan het intensieve de opgave We beginnen direct met het invullen van
8 b
trainingsprogramma gaan deelnemen. Bepaal alle gehele getallen n waarvoor het nulpunt x=-a ; dat leidde bij n = 0
Als trainer heb ik drie taken in het het polynoom P(x) = 3x3 – nx – n – 2 immers tot de oplossing. We krijgen nu:

s trainingsprogramma. Deze taken bestaan te schrijven is als het product van twee 0=P(-ba)=3(-ba)3−n·(-ba)−n−2
uit het nakijken van selectietoetsen, het niet-constante polynomen met gehele Hieruit halen we vervolgens de factor n en
E wekelijks begeleiden van enkele deelnemers coëffi ciënten. we krijgen dan:
d en het voorbereiden van trainingsbijeen- 3(-ba)3−2=n(1−ba)
komsten. Het wekelijks begeleiden betekent uitwerking Als a = b is dit voor geen enkele waarde van
i
dat ik feedback geef op ingestuurde Bij opgaven waar je iets voor algemene n n waar. We kunnen dus zonder probleem
l b
uitwerkingen en aanwijzingen geef bij het moet nagaan, helpt het op weg naar een delen door de factor (1−a). Het resultaat
c schrijven van een uitwerking. Maandelijks oplossing om kleine gevallen te proberen. is een uitdrukking voor n in a en b:
u zijn er trainingsbijeenkomsten; dit kan een Zo krijgen we ideeën voor de oplossing met 3(-ba)3−2 3(ba)3+2 3b3+2a3
dag zijn of een heel weekend. Hiervoor algemene n. We kijken hiervoor eerst naar n= = =
E heb ik enkele sessies voorbereid waarin ik het geval n = 0. 1−ba ba−1 ba2−a3
HHHaaaaaakkk
Met dit resultaat hebben we het probleem aaaaaannn
van het vinden van alle n vertaald naar het
vinden van de mogelijke waarden voor
a en b. Voor a hadden we al de volgende
voorwaarde gevonden: ac = 3. Dat betekent
dus dat a = ±1, ±3.
Over b weten we nog weinig. Merk op dat IIddeeaaaall vvoooorr eelleekkttrroonniisscchh
we niet, zoals in het geval n = 0, kunnen sscchhoooollbboorrdd,, tthhuuiissggeebbrruuiikk
afleiden dat be = -2. We moeten hiervoor eenn vvoooorr mmaaaattwweerrkk
oopp ppaappiieerr..
dus iets anders bedenken.
GGrraattiiss pprraakkttiisscchhee
Het bekijken van de nulpunten van
oonnddeerrsstteeuunniinngg
cx2 + dx + 3 lijkt geen goed idee: de
vvoooorr eellkkee ddoocceenntt
nulpunten bevatten immers wortels of
eenn lleeeerrlliinngg::
hoeven zelfs helemaal niet te bestaan. We
proberen dus iets anders dan een nulpunt • Theorie
in te vullen. We willen echter wel dat dit • Uitleg
• Voorbeelden
onafhankelijk is van n. Invullen van
• Applets
x = -1voldoet hier precies aan: we vinden
• AlgebraKIT
dat P(-1) = -5 voor alle n. We vullen in de
• GeoEnZo
factorisatie x = -1 in; we krijgen dan:
• Rekenen
(-a + b)(c – d + e) = -5 Help óns óók
Daaruit volgt dat b – a een deler is van -5; een handje. nlnlnl
geef de site door a.a.a.
dus b – a = ±1, ±5. Voor elke mogelijke aan collega’s mingmingming
a houden we dus 4 mogelijkheden voor en leerlingen. mmm
aaa
hhh
b over. GGrraattiiss!! mmaaaarr nniieett ggooeeddkkoooopp ooo
kkk
uuu
In principe kunnen we al deze mogelijke w.dw.dw.d
www
combinaties afzonderlijk uitrekenen. Het www
3
is echter verstandig om eerst na te gaan of 8
2
je niet een aantal gevallen eenvoudig kan
wegstrepen. We zien bijvoorbeeld dat als we
een factorisatie van P(x) hebben, we beide
termen met -1 kunnen vermenigvuldigen.
We hebben dan nog steeds een factorisatie,
namelijk P(x)= (-ax – b)(-cx2 – dx – e). Het a = 1, b – a = 5 werken we expliciet uit. je geen buitenlandse reis maakt, maar juist
is dus voldoende alleen de mogelijkheden Er geldt dan dat b = 6 waaruit volgt dat bij een thuiswedstrijd is er extra aandacht
a = 1 en a = 3 te bekijken. We houden acht n = 130. We delen nu de factor x + 6 uit vanuit het eigen land. Ook de deelnemers
mogelijkheden over. het polynoom P(x) = 3x3 – 130x – 132; dit uit andere landen tonen extra aandacht voor
Het is mogelijk om deze acht mogelijk- doen we door een staartdeling. We krijgen het organiserende land. Dit in combinatie
heden afzonderlijk uit te werken; het aantal dan: met de training biedt alle mogelijkheden
mogelijkheden is immers te overzien. Er is P(x)=3x2(x+6)−18x2−130x−132 voor een fantastisch resultaat.
echter een mooie manier om dit aantal tot =3x2(x+6)−18x(x+6)−22x−132
7
vier terug te brengen. Merk hiervoor op dat =3x2(x+6)−18x(x+6)−22(x+6)
we bij een factorisatie van P(x) de getallen =(x+6)(3x2−18x−22) |
6
a en b relatief priem kunnen kiezen. De We zien dat er voor n = 130 een factorisatie
grootste gemene deler van a en b kunnen mogelijk is. Op dezelfde wijze vinden we Over de auteur 8
we immers in de factor cx2 + dx + e stoppen. dat de drie overige gevallen, n = -2, 26, 38, Maarten Roelofsma is tweedejaars student
We bekijken nu de uitdrukking voor n en ook een factorisatie opleveren. wis- en natuurkunde aan de Universiteit

zien dat ba2 – a3een deler is van 3b3 + 2a3. We concluderen dat het polynoom te Utrecht. In 2008 en 2009 heeft hij deel-

Dus in het bijzonder is a2 een deler van factoriseren is voor n = -2, 26, 38 en 130. genomen aan de internationale olympiade s
E
3b3 + 2a3. Dit betekent dat a2een deler is in respectievelijk Madrid en Bremen. d
van 3b3. Gebruiken we nu dat we a en b Tot slot Daarnaast nam hij in 2009 deel aan de
i
relatief priem kunnen kiezen, dan vinden Voor mij was het afgelopen trainingsjaar eerste Benelux-Olympiade met als resultaat
l
we dat a2een deler is van 3. Dit betekent een bijzondere ervaring. Het was leuk om een zilveren medaille. Momenteel is hij
dat a = 1. me met een groep oud-deelnemers in te betrokken bij de organisatie van IMO2011 c
We hebben de opgave beperkt tot vier zetten bij de voorbereiding van de deel- die in juli plaatsvindt, en traint hij de
u
mogelijkheden. Deze blijken ook allemaal nemers op de IMO in Amsterdam. Op het deelnemers aan deze olympiade.
E
een factorisatie op te leveren. Het geval eerste gezicht is het misschien jammer dat E-mailadres: [email protected]
M e e r vo u d i g e i n te l l i g e n t i e
i n d e w i s k u n d e l e s
BIJ rEKEnEn, oPPErvLaKtE, vErGrotEn,
GonIo MEtrIE, vErBandEn
[ Ingrid Berwald ]
deel 4 – Goniometrie Gegeven, gevraagd, berekening, mij toe, als het goed is krijgen ze een krul
antwoord en een nieuw kaartje. Bij een fout antwoord
Er zijn acht meervoudige intelligenties; Na een bezoek aan een basisschool waar krijgen ze uitleg en een nieuwe kans om
ieder mens beschikt over al deze acht intel- ook gewerkt wordt met meervoudige intel- het goed op te schrijven. Van mij vraagt het
ligenties, waarbij de ene intelligentie bij de ligenties, kwamen we op het volgende idee. wel wat vaardigheden. De kaartjes moet
één sterker is ontwikkeld dan bij de ander. We zetten de opgaven uit het boek steeds ik zo op een stapel leggen dat het niet te
Als een intelligentie een kind boeit en de op twee kaartjes, op het ene kaartje de lang duurt voor de tekening van een vraag
intelligentie wordt verwerkt in een instructie tekening of schets, op het andere kaartje in de klas komt; het zoeken moet beperkt
of een andere verwerking van de leerstof, de gegevens en het gevraagde, de kaartjes blijven. Aan de andere kant moet ik er voor
dan neemt het kind de leerstof beter op. hebben we laten drukken als memoryspel, zorgen dat de leerlingen niet steeds met
Dit is gebleken uit onderzoeken van de zodat ze nog jaren te gebruiken zijn (zie dezelfde partner samenwerken. Daarnaast
Amerikaanse hoogleraar Howard Gardner. figuur 1).[2] We zorgden er wel voor dat kan het soms ineens heel druk worden aan
Diens motto is: ‘Het gaat er niet om hoe de vraag niet zonder de tekening opgelost mijn tafel. De meeste sommen zijn opgaven
intelligent je bent, maar om hoe je intelli- kon worden. Voor de leerlingen maakten uit het boek, toch werken de leerlingen
gent bent’. Iedereen is op zijn eigen manier we een standaard antwoordenblad met tijdens deze les veel harder dan wanneer
knap. Vandaar de omschrijvingen bij de vier kolommen. Als eerste ‘gegeven’, dan de opgaven uit het boek gemaakt moeten
volgende intelligenties: ‘gevraagd’, gevolgd door ‘berekening’ en worden. Er ontstaat een beetje een compe-
44
48 1. Verbaal – Linguïstisch (taalknap) ‘antwoord’. In de klas kreeg elke leerling titie, de zwakke leerling krijgt veel hulp,
22
2. Logisch – Mathematisch (rekenknap) een antwoordblad en een kaartje. maar treft ook af en toe een andere zwakke
3. Visueel – ruimtelijk (kijkknap) De les begint met het zoeken van de leerling en moet het dan toch zelf op gaan
4. Muzikaal – ritmisch (muziekknap) juiste tekening bij een vraag. Zodra twee lossen. De sterkere leerling helpt wat vaker
5. Lichamelijk – kinesthetisch leerlingen elkaar gevonden hebben, moeten en leert daar dan weer van.
(bewegingsknap) ze samen de vraag beantwoorden. Ieder Elk jaar denk ik weer, je moet het niet te
6. Naturalistisch (natuurknap) noteert de oplossing op zijn of haar eigen vaak doen, maar wat is het een leuke les,
7. Interpersoonlijk (samenknap) blad. Met de oplossing komen ze dan naar waarbij de leerlingen echt hard werken.
8. Intrapersoonlijk (zelfknap) Collega’s die van deze les horen, zijn soms
bang van de drukte of het gedrag van de
In onderstaand artikel komt het gebruik leerling in zo’n vrije situatie. Dat de les
van verschillende intelligenties bij het drukker is dan een werkles uit het boek,
onderwerp goniometrie aan bod. Het is het klopt wel. Maar wat is drukker? Ik heb het

7 vierde deel in een serie van vijf artikelen.[1] drukker, doordat er steeds leerlingen een
antwoord komen laten zien. Het geregel
|
Bij het aanleren van goniometrie komt van de kaartjes geeft ook drukte, maar dat
6
nogal wat kijken. De leerlingen moeten is allemaal mijn druk. Als ik naar mijn
8
leren zien of een zijde de schuine zijde is, leerlingen kijk, zie ik alleen maar actieve
of juist de aanliggende of de overstaande leerlingen die aan het werk zijn. Het is geen

rechthoekszijde. Daarna moet de juiste herrie, er is geen gegil of iets anders wat
keuze gemaakt worden tussen sinus, docenten volgens mij onder drukte kunnen

ss cosinus en tangens, om vervolgens daarmee verstaan. De leerlingen lopen wel als ze op
EE
dd de juiste berekening uit te voeren. Met zoek zijn naar hun partner, maar alleen bij
de logisch wiskundige manier die het het eerste kaartje, als iedereen tegelijk op
ii
boek aanbiedt, bereikten wij lang niet zoek is, is het even druk. Daarna wachten
ll
de hele klas. We besloten als sectie iets te ze meestal in mijn buurt tot de tekening bij
cc bedenken waardoor meer leerlingen goed de vraag wordt uitgedeeld. Ik zorg ervoor
konden leren rekenen met goniometrie. dat het eerst volgende koppel die tekening
uu
Uiteraard wilden we een andere intelligentie krijgt en deel altijd aan een groepje dat
EE
gebruiken dan de logisch wiskundige. figuur 1 komt, twee vragen uit en het groepje erna
figuur 2 figuur 3
krijgt de twee tekeningen die erbij horen. krijg je een cardioïde, een wiskundig
Zo hoeven ze niet te lang te wachten. Op hartje (zie figuur 4). Hetzelfde hartje
een gegeven moment hoor je de leerlingen tekenen de leerlingen in klas 1 en 2 ook op
steeds zeggen dat ze het kaartje al gehad Valentijnsdag (zie figuur 5), maar steeds
hebben, dat is het moment waarop ik de met een heel andere opdracht erbij.
les ga beëindigen. Wij hebben lessen van
100 minuten, met de uitleg en de nabespre-
king kom ik precies uit. Honderd minuten
dezelfde sommen uit het boek maken
kost mij in elk geval veel meer moeite. We
gebruiken deze les op de mavo, de havo en
het vwo. Sinds we gonio zo uitleggen, zijn
de examenresultaten van dit onderdeel op
de mavo enorm gestegen. Soms hebben alle
leerlingen de gonio-vraag goed. Noten (red.)
545
[1] De delen 1, 2 en 3 van deze artike- 498
Archimedes lenserie staan opvolgend in Euclides 222
Een andere les is die van Archimedes. Ik 86(4), pp. 154-155, in Euclides 86(5),
laat de klas zien hoe Archimedes 220 jaar pp. 189-190 en in Euclides 86(6), pp.
voor Christus het getal pi op vier decimalen 240-241.
benaderde (zie figuur 2). Op de reken- [2] U kunt dit gonio-spel zelf ook laten
machine lukt het om op deze manier pi drukken. Daartoe gaat u naar www.
op 12 decimalen te benaderen. Ik laat figuur 4 memorymaken.nl, kies ‘Shop’, typ het
de leerlingen een tabel zien met diverse woord gonio achter ‘Titel’ in en klik
wiskundigen en het aantal decimalen van op ‘Zoeken’. U vindt dan twee spellen:
pi dat er door de jaren heen gevonden een spel met de vragen (gonio vragen)
werden. Ze kunnen zichzelf mooi in het en een spel met de antwoorden (gonio
lijstje plaatsen (zie figuur 3). De meesten driehoeken). Doordat bij memory alle

realiseren zich wel dat zij nu wel een reken- kaartjes er twee keer in zitten, moet 7
machine hebben die er vroeger niet was. u dus van beide een spel bestellen.
|
Ook kun je aan het aantal decimalen dat U ontvangt dan twee mooie blikjes
6
gevonden is, precies zien wanneer er een waarmee u twee complete spelen kunt
8
computer gebruikt werd. Natuurlijk leren maken.

we ook de spreuk: ‘I like a drink, pepsicola Het antwoordenblad dat precies in het

of course, after the heavy chapters involving doosje past, kunt u opvragen bij Ingrid
quantum mechanics.’ Het aantal letters van Berwald.

een woord is een getal. Zo kun je de eerste sss
EEE
veertien decimalen van het getal pi Over de auteur ddd
gemakkelijk onthouden. Ingrid Berwald is docente wiskunde aan het
iii
IJsselcollege in Capelle aan den IJssel. Ze
lll
Hartje geeft les aan vmbo-, havo- en vwo-klassen
Op Valentijnsdag krijgen de leerlingen en vindt het belangrijk dat alle leerlingen ccc
uit de derde klas de volgende formule van positieve ervaringen opdoen tijdens het vak
uuu
mij: r = 3(1 – sin α) waarbij r de straal is wiskunde.
en α de hoek. Als je deze functie tekent, figuur 5 E-mailadres: [email protected] EEE
l e s m a p
‘ Ve rd e r m e t Re ke n e n ’
voor hE t vMBo BESChIKBaar
[ Kees Buijs ]
van deze categorie leerlingen. Weliswaar eigen, informele kennis van leerlingen en er
bevatten de wiskundemethoden in klas 1 is veel aandacht voor het leren hanteren van
enkele hoofdstukken die op rekenen informele, modelondersteunde werkwijzen.
betrekking hebben, maar hierin wordt er Het ontwikkelde pakket bestaat uit 24
veelal vanuit gegaan dat de rekenvaardig- werkbladen (elk bestaand uit drie pagina’s)
heid bij aanvang reeds op een redelijk peil met bijbehorende lesbeschrijvingen en
is, zodat volstaan kan worden met een achtergrondinformatie met betrekking tot
beknopte samenvatting van wat op de leerlijnen. Als additioneel materiaal zijn een
basisschool geleerd is. Daarnaast zijn er hoeveelheid meetinstrumenten nodig, een
recentelijk een aantal oefenprogramma’s aantal attributen om meetactiviteiten in de
in omloop gekomen die zich vooral op klas te kunnen uitvoeren, en een klassikale
individueel oefenen van basiskennis en set namaakgeld.
standaardprocedures van het rekenen Over de resultaten van het op een aantal
richten. Het valt echter te betwijfelen of proefscholen gebruikte lespakket werd
dergelijke programma’s effectief zijn, gelet op eerder reeds in Euclides gerapporteerd; zie
het feit dat het onderwijs voor de het artikel Werken aan rekenvaardigheid in
betreffende leerlingen in de groepen 7 en 8 het vmbo van K. Buijs, in nummer 8 van
veelal ook gericht was op individueel oefenen. jaargang 84 (p. 281-285).
6
8 Om met name een bijdrage te leveren aan
2 het verbeteren van de rekenvaardigheid van lesmap
Nogal wat leerlingen die het vmbo binnen- de categorie leerlingen in de basisberoeps- De lesmap waarin deze materialen zijn
komen, beschikken over een gebrekkige gerichte leerweg met leerwegondersteuning, ondergebracht, is thans beschikbaar. Op
rekenvaardigheid. Dit geldt zeker ook voor is voor klas 1 het lespakket ‘Verder met aanvraag wordt deze map aan geïnteres-
de leerlingen in de basisberoepsgerichte rekenen’ ontwikkeld. Daarbij is een seerde scholen toegezonden. Ook is het
leerweg, de voornaamste doelgroep van het selectie gemaakt uit leerstof die voor deze materiaal als download op de SLO-website
project ‘Verder met rekenen’. Het gebeurt doelgroep van essentieel belang is, rekening beschikbaar:
nogal eens dat deze leerlingen in het basis- houdend met de referentieniveaus uit het www.slo.nl/downloads/2010/verder-met-
onderwijs vanaf groep 5 of 6 moeite hadden Referentiekader Doorlopende Leerlijnen. rekenen.pdf
om de rekenlessen te volgen en dat ze in Gekozen is voor drie domeinen die zowel
groep 7 of 8 het spoor min of meer bijster voor de doorgaande lijn naar de boven-
zijn geraakt. Deze gebrekkige rekenvaardig- bouw van het vmbo als met het oog op

7 heid komt bijvoorbeeld tot uitdrukking in maatschappelijke redzaamheid van belang
situaties als: zijn. Dit betreft:
|
- Niet in staat zijn elementaire 1. Geld en ons geldsysteem;
6
hoofdrekenopgaven zoals 80 + 47, 5 × 24 2. Procenten en verhoudingen;
8
en 120 : 4 vlot op te lossen. 3. Meten en ons maatstelsel.
- Geen inzicht hebben in de opbouw van In de wijze waarop deze leerstof aan de
ons maatstelsel en daardoor niet in orde komt, is aansluiting gezocht bij didac-
staat zijn om centimeters in meters of tiek en organisatie van het basisonderwijs,

s milliliters in liters om te zetten. echter zonder dat leerlingen in het vmbo
E
d - Elementaire getalsmatige informatie in de leerstof en didactische werkwijzen als
de krant, op de tv of op het etiket van ‘kinderachtig’ zullen ervaren. Gekozen is
i
voedingsmiddelen niet goed begrijpen. voor een op de ontwikkeling van inzicht
l
- In winkelsituaties niet in staat zijn om gerichte, interactieve onderwijsbenadering
c bijvoorbeeld zelf een korting van 15% op waarbij gebruikssituaties (voor de leerlingen Over de auteur
een bloesje van 32 euro uit te rekenen. relevante situaties uit het alledaags leven Kees Buijs is als leerplanontwikkelaar
u
Bestaande lesmaterialen in het vmbo of uit de beroepspraktijk) als uitgangspunt werkzaam voor de SLO te Enschede.
E
voorzien veelal niet in de leerbehoeften zijn gekozen. Er wordt aangesloten bij de E-mailadres: [email protected]
Ta n g ra m t e ke n e n
EEn LEErZ aME ondErBouWLES
[ Joeri van Ast en Harrie Broekman ]
In dit artikel beschrijven we een voorbeeld van een concrete les rondom het door maar voor het maken van de opdracht
de leerlingen zelf maken van tangram-puzzelstukjes. Allereerst zal een verduidelij- in tweetallen en/of viertallen. Pas als het
king gegeven worden van de gebruikte opdracht (tekenen en redeneren) evenals groepje een vraag/deelopdracht niet kon
de reden waarom een opdracht als deze past bij de OSB (Open Schoolgemeenschap beantwoorden/kon maken mocht om hulp
Bijlmer). Vervolgens wordt de opdracht gepresenteerd, samen met een aantal gevraagd worden. De leerlingen moesten
gegevens over het lesverloop. Tot slot volgen nog enkele o.i. vermeldenswaardige eerst samen een ‘proefversie’ maken en
ervaringen en een samenvattende conclusie. voerden pas daarna ieder voor zich de
opdracht uit.
richten dat meerdere ‘aspecten van leren’ Als laatste overweging vooraf willen we
aan bod komen. Op de OSB wordt in de noemen dat we de leerlingen leren om ‘tot
eerste twee jaren gewerkt met als een van de nadenken stimulerende vragen’ niet over
uitgangspunten dat we de leerlingen willen te slaan. We kiezen daarvoor vaak vragen
helpen door middel van het aanspreken van die er voor zorgen dat ze ‘nette tekeningen’
hoofd (denken, waaronder reflecteren), hart maken [2], schattingen vooraf maken en
(plezier, inzet, …) en handen (leren door daarmee de gevonden antwoorden ‘confron-
doen). Bij de tangram-activiteit die in dit teren’. In de onderstaand opdracht wordt
artikel beschreven wordt, komen alle drie gebruik gemaakt van vragen die er voor
aan bod, aangevuld met een ander speciaal zouden kunnen zorgen dat de leerlingen na
aandachtspunt op de OSB, het hanteren iedere tekenstap kort een pas op de plaats
van de Nederlandse taal (zowel gesproken maken. Dat zit hem niet altijd in grootse
als geschreven). Dit laatste dient uiteraard zaken, maar veelal juist in kleine vragen –
bij alle onderwijs het geval te zijn, maar het zoals de bij opdracht 4b gestelde vraag ‘wat
27
is op de OSB van extra belang gezien de is dit voor figuur?’ – die bedoeld is om de 18
Waarom deze opdracht? Waarom op diversiteit aan culturen en de soms grote leerlingen extra alert te maken op verschillen 32
deze school? verschillen in ‘geletterdheid’ in de en overeenkomsten tussen de diverse
Alle deelnemers aan de jaarlijkse dagconfe- thuissituatie van onze leerlingen. getekende figuren.
rentie, die door het instituut ELAN van de De beschreven tangram-opdracht levert Deze overwegingen en die ten aanzien van
Universiteit Twente op 20 januari 2010 werd een niet al te ingewikkelde mogelijkheid de mogelijke voorkennis van de leerlingen
georganiseerd, kregen van de organisatie een om zowel een stapsgewijs beschreven wat betreft de begrippen hoek, deellijn,
‘7 piece tangram’ cadeau. Leuk voor thuis, procedure te volgen, als deze te controleren oppervlakte en de te hanteren werkwijze zijn
maar zeker als wiskundeleraar vraag je jezelf en eventueel te beargumenteren. door ons vooraf besproken en benut bij het
ook af of je er iets mee kunt in bijvoorbeeld Uiteraard hoort aan dit ‘procedure volgen’, samenstellen van de opdracht Tangram in
de eerste of de tweede klas. En dat blijkt te ‘controleren’ en ‘beargumenteren’ zo veel 11 stappen (zie hierna).
kunnen als je iets wilt met hoeken, lengtes mogelijk aandacht besteed te worden in
en mogelijk oppervlakte. Maar dan heb je zoveel mogelijk lessen. Maar hiervoor dienen Tangram puzzelstukjes maken: de
aan één doosje niet genoeg en zul je ook dan wel stimulansen te zijn vanuit het opdracht 7
specifieker moeten zijn over wat je dan wilt. vakinhoudelijke en/of de docent [1]. Aanwijzingen voor de docent
|
Dus, spelen, denken, in oude aantekeningen Het is op onze school gebruikelijk dat de Ieder groepje leerlingen heeft een vel
6
zoeken en met een 12/14-jarige praten. Het leerlingen in de onderbouw een groot deel A4-papier (liefst wat dikker papier of
resultaat is een opzetje voor een les(je) met van de lestijd in heterogene tafelgroepjes dun karton) en een vel met de door ons 8
tekenen, verklaren, knippen, samenvoegen van vier leerlingen aan het werk zijn. De ontwikkelde opdrachten/vragen (Tangram

en nog meer verklaren; en niet te vergeten ervaring leert dat onze vmbo-leerlingen in 11 stappen).
voorspellen. verbaal sterk zijn en over het algemeen ook De docent vertelt de leerlingen dat als zij
Deze houding van het zoeken naar mogelijk- in het werken met hun handen de aanwijzingen opvolgen, ze niet alleen s s
EE
heden om materiaal van buiten de school (o.a. tekenen van figuren en grafieken). aantonen dat ze kunnen ‘tekenen’. Ze dd
(dus extra naast het boek) te benutten voor De havo/vwo-leerlingen zijn sterker in het kunnen dan ook laten zien dat ze al iets
ii
‘lessen op school’ sluit aan bij een oude leggen van verbanden (theorie). Door een zo weten over het berekenen en beredeneren
traditie op de OSB. Op de OSB wordt heterogeen mogelijke samenstelling van de van oppervlaktes, terwijl dit tot op het ll
namelijk al vanaf het begin van haar bestaan tafelgroepjes wordt geprobeerd ze elkaar te moment van gebruiken (klas 1) nog niet cc
gezocht naar mogelijkheden om het wiskun- laten helpen. behandeld is. Er wordt van uit gegaan
uu
deonderwijs voor de heterogene onderbouw Gezien deze gewoonte werd niet gekozen dat de leerlingen slechts summiere basis-
groepen (vmbo-basis t/m vwo) zo in te voor een klassikaal interactieve werkwijze, schoolkennis hebben ten aanzien van EE
figuren, oppervlakte en hoeken. De gebruikte noem dit midden F. Deel het lijnstuk om na te denken maar hen ook helpt om
begrippen zijn dus relatief nieuw voor de DA door midden en noem het middel- hetgeen ze ‘gedaan/getekend’ hebben beter te
leerlingen. Voor vrijwel alle brugklasleer- punt G. Verbind F met G [met rood]. onthouden. Hiervoor zijn leerspychologische
lingen geldt dat zij enige ervaring hebben a. Hoeveel graden is hoek FAG? en vakdidactische argumenten (Van Hiele, zie
met het ‘samen’ proberen ergens uit te b. Hoeveel graden is hoek AGF? [3], en Vygotskij, zie [4]).
komen, hun kennis te ‘delen’ en daardoor c. Hoe vaak past ∆AFG in ∆ABD? Verder is het in onze huidige maatschappij
duidelijkheid te verkrijgen over wat van ze d. Hoeveel is de oppervlakte van ∆AFG? zo dat goede verbale kwaliteiten sociaal en
verwacht wordt ten aanzien van het doen e. Kun je dat uitleggen? financieel gewaardeerd worden ondanks dat
zowel als ten aanzien van het beantwoorden 8. Teken het punt H op de helft van EB. dit tegelijk gezien kan worden als een negatief
van de vragen. Teken punt I op de helft van FG. gevolg van de opmars van vorm en presen-
En dat is/was ons voornaamste doel met 9. Verbind F met H [met groen] en verbind tatie boven inhoud(?). Hoe dan ook, het leren
deze opdracht: door samen – in groepjes van I met E [ook met groen]. verwoorden van het intuïtief/visuele vormt
twee of meer leerlingen – aan deze opdracht te a. Hoeveel van de driehoekjes FHB een basis voor beheersing/inzicht.
werken wordt aanwezige kennis gemobiliseerd passen in het grote vierkant? Zoals reeds aangegeven zijn in het eerste
en gedeeld, waardoor een gesprek op gang komt b. Leg uit waarom. leerjaar – op het moment van het maken van
over het berekenen en beredeneren van c. Wat is de oppervlakte van vierkant de opdracht – de begrippen hoek, deellijn
oppervlaktes en hoeken. FHEI? en oppervlakte nog niet aan bod geweest.
10. Teken het punt J op de helft van DE. Ervaring heeft geleerd dat slechts een klein
Tangram in 11 stappen 11. Verbind I met J [met zwart]. deel van de leerlingen er al wel een notie van
1. Teken evenwijdig aan de onderrand een a. Vergelijk de ∆JIE met ∆FBH. heeft vanuit dagelijks leven en/of basisonder-
lijnstuk van 10 cm lengte. Noem de b. Wat valt je op? wijs. Vooraf verwachten we desondanks dat
eindpunten A en B. c. Beredeneer hoeveel de oppervlakte er toch meerdere manieren gekozen worden
A _______________________ B van GIJD is. om een deellijn te ‘maken’ (vouwen, schatten/
2. Teken vanuit B een lijn loodrecht op De 7 figuren die je nu getekend hebt, vormen schetsen, geodriehoek). Vanwege de te
AB. Punt C ligt 10 cm boven punt B. de stukjes van wat genoemd wordt een zeven- verwachten problemen met ‘oppervlakte’ van
Teken dit. delige Tangram. Je kunt er veel verschillende andere figuren dan vierkant en half-vierkant
3. Teken vanuit A een lijn loodrecht op figuren mee vormen door de zeven ‘Tans’ is bijvoorbeeld de vraag naar de oppervlakte
448
408 AB. Punt D ligt 10 cm boven punt A. uit te knippen en vervolgens ‘passende’ van driehoek FHB (punt 6 van de opdracht)
212 Teken dit. stukjes aan elkaar te leggen. Je kunt je daarbij vervangen door ‘Hoeveel driehoekjes FHB
4. Teken nu de lijn DC [met rood]. bijvoorbeeld afvragen welke figuren je kunt passen in het grote vierkant?’ [als opstapje
a. Wat voor figuur krijg je dan? vormen door twee Tans ‘passend’ aan elkaar naar het later uitvoerig aan bod komende
b. Leg uit waarom. [zie voor gegeven te leggen, of drie, of vier, etc. onderwerp ‘oppervlakte van figuren’]
antwoorden ‘ervaring 3’]
c. Hoeveel cm2 is de oppervlakte van de Enkele vermeldenswaardige
figuur ABCD? [zie ‘ervaring 4’] ervaringen
5. Verdeel de hoek ABC in twee gelijke De keuze om de doe-opdrachten visueel te
hoeken. Teken de deellijn van hoek ABC onderscheiden van de wat-, hoeveel-, waar-,
rood. uitleg-vragen, maakte dat leerlingen niet
a. Waar komt deze lijn uit als je hem stopten als ze moeilijkheden hadden met het
door trekt? formuleren van hun antwoorden (zoals bij

37 b. Wat valt je op aan driehoek DAB? een eerdere versie van de opdracht).
6. Verdeel de hoek DCB in twee gelijke Het doe-deel van de opdracht leidde voor
||
hoeken. Trek de deellijn door [met rood] vrijwel alle leerlingen – volgens henzelf – tot
66
van het punt C naar de lijn BD. Noem een bevredigend resultaat. Hierbij dient wel
88
het punt waar die lijn bij de lijn DB opgemerkt te worden dat de kwaliteit (de
komt E. precisie) ons inziens nogal eens te wensen

a. Waar ligt E op BD? figuur 1 overliet. Opvallend was daarbij dat met
b. Hoeveel graden zijn de hoeken bij E? name vmbo leerlingen uiterst precies stap

sss [zie ‘ervaring 5’] Het in de praktijk gebruiken van de voor stap de doe-opdrachten uitvoerden en
EEE
ddd c. Weet je hoeveel graden hoek DCE is? beschreven opdracht daar duidelijk ‘blij’ mee waren (net als wij
d. Hoe weet je dat? Hier volgen enkele achtergrondgedachten overigens).
iii
e. Hoe vaak past ∆DBC in het vierkant? bij deze tangram-opdracht, en onze Anders dan verwacht ging het verdelen van
lll
[we gebruiken in het vervolg ∆ voor verwachtingen ten aanzien van de hoeken in vrijwel alle groepjes goed (veelal
ccc ‘driehoek’] mogelijke ‘opbrengst’. intuïtief schetsend en/of met een geodrie-
f. Hoeveel is de oppervlakte dus? We gaan ervan uit dat het benoemen, hoek). Wel was het zo dat lang niet alle
uuu
[zie ‘ervaring 4’] beredeneren en opschrijven van argumenten groepjes een ‘nette’ tekening of goede schets
EEE
7. Deel het lijnstuk AB door midden en de leerlingen niet alleen ‘uitdaagt/dwingt’ leverden.