Euclides, jaargang 84 // 2008-2009, nummer 5

2008·7.1 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

(cid:59) (cid:75) (cid:57) (cid:66) (cid:63) (cid:58) (cid:59) (cid:73)
(cid:108) (cid:87) (cid:97) (cid:88) (cid:98) (cid:87) (cid:90) (cid:22) (cid:108) (cid:101) (cid:101) (cid:104) (cid:22) (cid:90) (cid:91) (cid:22) (cid:109) (cid:95) (cid:105) (cid:97) (cid:107) (cid:100) (cid:90) (cid:91) (cid:98) (cid:91) (cid:104) (cid:87) (cid:87) (cid:104)
(cid:99) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:106)
(cid:38) (cid:47)(cid:22)(cid:43)
(cid:100) (cid:104)
(cid:96) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:93) (cid:87) (cid:100) (cid:93) (cid:22) (cid:46) (cid:42)
(cid:58)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:98)(cid:101)(cid:102)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)
(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:91)(cid:100)
(cid:57)(cid:101)(cid:99)(cid:102)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:22)
(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)
(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:66)(cid:77)(cid:74)(cid:22)
(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:59)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:104)
(cid:22)
(cid:77)(cid:95)(cid:76)(cid:87)
(cid:89)(cid:101)(cid:105)(cid:30)(cid:80)(cid:37)(cid:39)(cid:45)(cid:31)
(cid:69)(cid:104)(cid:93)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
028_EuclidesOms_84-5.indd 1 04-03-2009 09:39:03
getal & ruimte
(cid:57)(cid:69)(cid:66)(cid:69)(cid:60)(cid:69)(cid:68)
wi onderbouw editie 2008
(cid:99) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:106)
(cid:38) (cid:47)(cid:22)(cid:43)
(cid:100) (cid:104)
NIEUW!
(cid:96) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:93) (cid:87) (cid:100) (cid:93) (cid:22) (cid:46) (cid:42)
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
(cid:72)(cid:91)(cid:90)(cid:87)(cid:89)(cid:106)(cid:95)(cid:91)
Bram van Asch
Klaske Blom, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Marjanne de Nijs
Joke Verbeek
(cid:63)(cid:100)(cid:112)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:104)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:100)
Artikelen en mededelingen naar de (cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22) (cid:66)(cid:95)(cid:90)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:106)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:87)(cid:102)
(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
hoofdredacteur: Klaske Blom, Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
Westerdoksdijk 39, 1013 AD Amsterdam Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
E-mail: [email protected] - leden: € 57,50
(cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:112)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:104) - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00
(cid:72)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)
Marian Kollenveld, - studentleden: € 28,00
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op Tel. [phone] - leden van de VVWL: € 35,00
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
Zie voor nadere aanwijzingen: Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
www.nvvw.nl/euclricht.html (cid:73)(cid:91)(cid:89)(cid:104)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:105) geven bij de ledenadministratie.
Kees Lagerwaard, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
(cid:72)(cid:91)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:105)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)
Eindhovensingel 15, 6844 CA Arnhem
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk Tel. [phone] (cid:55)(cid:88)(cid:101)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:35)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)
en mailingservices E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
(cid:22) De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. nummer.
Veenendaal, www.dekleuver.nl (cid:66)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:87)(cid:90)(cid:99)(cid:95)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91) Niet-leden: € 55,00
(cid:22)
Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
(cid:73)
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50 De nieuwe onderbouweditie
(cid:59)
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.
(cid:58) E-mail: [email protected] getal & ruimte is uit.
(cid:55)(cid:90)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:105)(cid:98)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:105)
(cid:63)
(cid:62)(cid:91)(cid:98)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:105)(cid:97)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:102)(cid:101)(cid:105)(cid:95)(cid:106)(cid:95)(cid:91) De Kleuver bedrijfscommunicatie bv: Met 20-30 extra rekenlessen. Nieuwsgierig?
(cid:66)
NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau, t.a.v. Annemieke Boere
(cid:57) Postbus 405, 4100 AK Culemborg Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal
Vraag een rekenles aan of kom naar de regionale getal & ruimte
(cid:75) Tel. [phone] Tel. [phone]
gebruikersbijeenkomsten. Neem contact op met klantenservice
E-mail: [email protected]
(cid:59) via [phone] of e-mail [email protected].
Meer weten? Kijk op www.getalenruimte.epn.nl
028_EuclidesOms_84-5.indd 2 04-03-2009 09:39:06
(cid:59)(cid:59) (cid:75)(cid:75) (cid:57)(cid:57) (cid:66)(cid:66) (cid:63)(cid:63) (cid:58)(cid:58)(cid:59)(cid:59) (cid:73)(cid:73)
(cid:65) (cid:22) (cid:22) (cid:63)
(cid:69)(cid:72)(cid:74) (cid:76)(cid:69)(cid:69)(cid:72)(cid:55)(cid:60) (cid:68)(cid:62)(cid:69)(cid:75)(cid:58)
(cid:81)(cid:22)(cid:65)(cid:98)(cid:87)(cid:105)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:56)(cid:98)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:83)
(cid:22)
(cid:66)(cid:91)(cid:112)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:59)(cid:107)(cid:89)(cid:98)(cid:95)(cid:90)(cid:91)(cid:105)
Weet u dat u als lezersgroep in redactievergaderingen vaak onderwerp van gesprek bent? We vragen
ons regelmatig af hoe we Euclides interessant houden voor een lezersgroep die nogal uiteenlopend
is qua interesse, werkveld en opleiding. Het is onhaalbaar om te proberen elk artikel lezenswaardig 165 Kort vooraf
te maken voor iedereen. Wat we belangrijk vinden is dat u voldoende van uw gading vindt. [Klaske Blom]
Regelmatig horen we dat we te weinig schrijven voor collega’s in het vmbo en ons te veel richten 166 Doorlopende Leerlijnen Rekenen
op zaken uit de Tweede Fase. Er zijn ook lezers die de wiskunde missen in ons blad. Deze en Wiskunde, deel 3
verschillende geluiden hebben we goed gehoord en ons voorgenomen om ze als leidraad voor ons [Anne van Streun]
beleid mee te nemen. U mag ons er aan houden en ook zelf uw bijdrage leveren aan een vakblad 171 Zinvol computergebruik bij
waaraan u wat heeft als docent. wiskunde
Dit werd bijvoorbeeld gedaan door Mike Weijmans. Hij onderzocht hoe je jongens die de bouw David Dijkman
ingaan en niet geïnteresseerd zijn in wiskunde, toch elementair ruimtelijk inzicht laat opdoen en 175 De exacte waarde van cos(π/17)
hoe je ze bijvoorbeeld leert om specie samen te stellen in de juiste verhoudingen water en cement. [Kees Jonkers]
Deze jongens hebben niets aan de constructie van een 17-hoek waarover Kees Jonker en Dick 178 Mededeling
Klingens schrijven. Maar misschien vindt u het wel een heerlijke uitdaging om dit artikel eens 179 De constructie van de regelmatige
helemaal na te pluizen, met potlood, en een kladblaadje ernaast. We streven naar diversiteit; 17-hoek
diversiteit die ons als beroepsgroep kenmerkt en inspireert. [Dick Klingens]
180 Twee bewogen jaren
(cid:62)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:105)(cid:89)(cid:107)(cid:105)(cid:105)(cid:95)(cid:91)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:87)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100) [Jan van de Craats]
Om nog even door te gaan op dit thema: we zijn ook verschillend in onze opvattingen en idealen 184 Aankondiging / HKRWO-
over goed onderwijs. Dat er behoorlijk wat in beweging is wat betreft onderwijsvernieuwingen symposium XV
in de Tweede Fase, heeft u kunnen lezen in de bijdrage van Marian Kollenveld, ‘Kunt u het nog 185 Minder volume en meer inhoud
volgen?’, in het decembernummer. En dat er een ‘rekenoorlog’ schijnt te woeden, vermelden onze [Henk Pfaltzgraff]
dagelijkse kranten met enige regelmaat. Ach en wee, en vroeger was alles beter… Echt waar? 187 Mededeling
Wie zal het zeggen? Velen blijken hierover iets te zeggen en te schrijven; de vraag is of er goed 188 Wiskunde in een leerwerktraject
geluisterd en gelezen wordt. In dit nummer komt de diversiteit van de ‘wiskundewereld’ tot uiting [Mike Weijmans]
(cid:43)
en wordt veel geschreven over vernieuwingen. Ik vind dit een groot goed: laten we kennis nemen 192 Wiskunde en Escher in het paleis (cid:44)
(cid:39)
van elkaars opvattingen en op grond van argumenten met elkaar in gesprek gaan. [Bart Zevenhek]
Anne van Streun legt in het derde deel van zijn serie over doorlopende leerlijnen uit wat we 194 Vanuit de oude doos
beoogden met ons onderwijs in de jaren zestig en zeventig en gaat in op de breuk in de [Ton Lecluse]
doorlopende leerlijnen die veroorzaakt wordt door de overgang naar een ander onderwijstype. 196 De afgeleide in breder perspectief
Hij benadrukt dat de ‘stevige discussie over de examenprogramma’s havo/vwo tussen het onder- [Heiner Wind]
wijsveld en het ministerie over doorstroomrelevantie maar een beperkt deel is van de algemene 197 Aankondiging / Vroeger was alles
aansluitingsproblematiek’ en zet dat – in mijn ogen prachtig – uiteen. In het al genoemde stuk beter…
van Marian Kollenveld besprak ze o.a. de discussie over doorstroomrelevantie en de (onmogelijke) 198 Van de bestuurstafel
consequenties van de door staatssecretaris Van Bijsterveldt genomen maatregelen voor de praktijk [Kees Lagerwaard]
van het wiskundeonderwijs. 200 De eerste geregistreerde
Henk Pfaltzgraff en Jan van de Craats zijn beiden naar aanleiding hiervan in de pen geklommen wiskundeleraar (cid:22)
en leveren in dit nummer een bijdrage aan de ‘stevige discussie’. [Marianne Lambriex] (cid:22)
En wat is uw standpunt? Waar moet het volgens u naar toe met ons reken- en wiskundeonderwijs? 202 Recreatie (cid:43)
Mocht u zich geroepen voelen om ook te reageren en vanuit uw perspectief een bijdrage te leveren [Frits Göbel]
(cid:114)
aan de discussie, dan bent u van harte uitgenodigd om iets naar de redactie te sturen. Wij hopen 204 Servicepagina
(cid:42)
dat de discussie ook en vooral door docenten in de scholen gevoerd zal worden, daar waar de straks
(cid:46)
de in Den Haag genomen besluiten vertaald moeten worden naar de praktijk.
(cid:22)
(cid:22)
(cid:69)(cid:99)(cid:22)(cid:87)(cid:92)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:101)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)
(cid:73)
Mocht u ernstig verhit geraakt zijn na lezing van al deze heftige materie, dan vindt u gelukkig
nog bijdragen om bij te ontspannen: bijvoorbeeld de puzzelrubriek van Frits Göbel en een (cid:59)
enthousiasmerend stuk van Bart Zevenhek over de nieuwe website ‘Escher en de wiskunde’ die (cid:58)
is ondergebracht bij het Escher-museum. U kunt uw leerlingen nog tot 1 juni 2009 mee laten
(cid:63)
doen aan een Escher-prijsvraag. Kijk snel! En weet u wie de eerste officieel geregistreerde docent
(cid:66)
wiskunde is? Lees het artikel van Marianne Lambriex over de laatste WiVa-ontwikkelingen.
En als u dan toch op de Verenigingspagina’s beland bent, treft u daar ook een verslag aan van (cid:57)
Kees Lagerwaard over de onderwerpen die in het bestuur van de NVvW aan de orde zijn. (cid:22)
(cid:75)
We stellen het op prijs om hierover vanuit het bestuur geïnformeerd te worden; met dank aan
(cid:59)
Kees dus. Ik wens u weer veel genoegen met dit nieuwe nummer van Euclides.
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 1 04-03-2009 09:54:28
(cid:58) (cid:101) (cid:101) (cid:104) (cid:98) (cid:101) (cid:102) (cid:91) (cid:100) (cid:90) (cid:91)(cid:22) (cid:66) (cid:91) (cid:91) (cid:104) (cid:98) (cid:95) (cid:96) (cid:100) (cid:91) (cid:100)(cid:22)
(cid:72)(cid:91) (cid:97)(cid:91) (cid:100) (cid:91) (cid:100)(cid:22) (cid:91) (cid:100)(cid:22) (cid:77) (cid:95) (cid:105) (cid:97) (cid:107) (cid:100) (cid:90) (cid:91)
(cid:58)(cid:59)(cid:59)(cid:66)(cid:22)(cid:41)(cid:48)(cid:22)(cid:55)(cid:55)(cid:68)(cid:73)(cid:66)(cid:75)(cid:63)(cid:74)(cid:63)(cid:68)(cid:61)(cid:22)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:76)(cid:59)(cid:72)(cid:76)(cid:69)(cid:66)(cid:61)(cid:69)(cid:70)(cid:66)(cid:59)(cid:63)(cid:58)(cid:63)(cid:68)(cid:61)(cid:22)(cid:59)(cid:68)(cid:22)(cid:56)(cid:59)(cid:72)(cid:69)(cid:59)(cid:70)
(cid:81)(cid:22)(cid:55)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:73)(cid:106)(cid:104)(cid:91)(cid:107)(cid:100)(cid:22)(cid:83)
(cid:39)(cid:36)(cid:22)(cid:69)(cid:104)(cid:95)(cid:134)(cid:100)(cid:106)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91) visueel of mentaal, statisch of dynamisch, uitgangspunt zijn, maar het is wel een extra
In deel 1 van deze reeks (in: Euclides 83-8) kwalitatief of kwantitatief, praktijkgericht ingrediënt. Zo vinden we symmetrieën
ging het over het rekenen en de aansluiting of theoretisch. Aldus Kevlin. en symmetriebrekingen terug in de vaste
tussen basisschool en voortgezet onderwijs, Aan het slot van zijn boek waarin hij zes stof fysica, de astrofysica en de fysica van
zoals beschreven in het rapport van de centrale thema’s in de wiskunde heeft de elementaire deeltjes. Symmetrieën zijn
commissie Doorlopende Leerlijnen Taal en besproken, karakteriseert Kevlin wiskundige zulke goede principes omdat het algemene
Rekenen[1]. Het vervolg (in: Euclides 84-3) activiteit als volgt: structuren zijn. Het is juist de wiskunde die
gaf in het kort weer wat de inhoud van ‘Want ook al kent de wiskunde nóg zo dat soort structuren beschrijft. Het meest
het rapport van de programmacommissie veel verschillende facetten, en ook al zijn fascinerende feit van de wereld waarin we
onderbouw havo/vwo van de Commissie er nóg zo veel aanknopingspunten met de leven vind ik dat we zo’n sterke hint hebben
Toekomst Wiskundeonderwijs is. (In het meest uiteenlopende disciplines, toch blijft dat mathematische structuren de grondslag
voorjaar van 2009 komt het trajectenboek de wiskunde uiteindelijk één geheel. Welk van de natuur vormen.’
voor de onderbouw havo/vwo uit met de verschijnsel men ook wiskundig onderzoekt, Marc Peletier (toegepast wiskundige)
nadere uitwerking van dat rapport.) In dit de wiskundige aanpak blijft in grote trekken beschrijft hoe een probleem uit de industrie
artikel gaat het meer in het algemeen over toch steeds hetzelfde. Altijd begint men met door de wiskundige in de eerste plaats
de vraag hoe algemeen vormend wiskunde- vereenvoudigen, waardoor de kernbegrippen wordt vereenvoudigd tot een verwant en
onderwijs kan of moet aansluiten op de geïdentificeerd en geïsoleerd worden. Daarna relevant probleem.
meer toegespitste vervolgopleidingen, op worden de kernbegrippen steeds dieper Henk Barendregt (grondslagen wiskunde en
(cid:44)
(cid:44) de beroepssituatie en het maatschappelijk geanalyseerd; de relevante patronen worden informatica) legt uit wat de aantrekkings-
(cid:39)
gebruik van wiskunde. De stevige discussie ontdekt en onderzocht. Men probeert de kracht is van de wiskunde om de wiskunde,
over de examenprogramma’s havo/vwo zaak te axiomatiseren. Het abstractieniveau de zuivere wiskunde: ‘Het zit in de ervaring
tussen het onderwijsveld en het minis- neemt toe. Stellingen worden geformuleerd en dat je met iets bezig bent dat ons mensen
terie ver doorstroomrelevantie is maar een bewezen. Verbanden met andere delen van de overstijgt. Het is absoluut geldig. Getallen
beperkt deel van de algemene aansluitings- wiskunde worden blootgelegd, of misschien en meetkundige vormen zijn weliswaar
problematiek. Die heeft niet alleen te eerst alleen maar vermoed. De theorie wordt door mensen bedacht, maar ze hebben toch
maken met leerstof, maar ook met de gegeneraliseerd, waardoor er opnieuw over- een universele geldigheid die boven ons
manier waarop mensen informatie eenkomsten en verbanden ontdekt worden uitstijgt.’
verwerken, informatie in hun lange termijn met andere gebieden in de wiskunde.’
geheugen vastleggen en vervolgens op het Ook Nederlandse wiskundigen laten zich (cid:41)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:102)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:89)(cid:106)(cid:95)(cid:108)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:95)(cid:106)(cid:22)
goede moment weer kunnen oproepen. nu en dan uit over wat ‘hun’ wiskunde (cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:101)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:105)
(cid:22) Over dat laatste meer in deel 4 van deze inhoudt en voor hen betekent. In het Voor nagenoeg alle schoolvakken in het avo
(cid:43) serie. interessante boekje ‘Opgelost’ [3] komen is het helder dat de inhoud en de denkwijzen
enkelen aan het woord. voor een groot deel worden ontleend aan
(cid:114)
(cid:40)(cid:36)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91) Lex Schrijver (combinatoriek en algo- de bijbehorende wetenschappelijke discipline
(cid:42)
Voordat we ingaan op de doelen van ritmiek), die onder andere voor de NS en moet bijdragen aan de algemene vorming
(cid:46)
algemeen vormend wiskundeonderwijs een optimaliseringsmethode voor het van de leerlingen. De wet op de onderbouw
(cid:22)
is het verhelderend om te bekijken wat ontwerpen van een dienstregeling heeft van het voortgezet onderwijs noemt drie
(cid:22)
wiskundigen zelf vinden van hun vak, het ontwikkeld, zegt: ‘Ik houd van wiskundige zaken die het algemeen vormend onderwijs
(cid:73)
bedrijven van wiskunde, het doen van problemen die je gemakkelijk kunt dient te ontwikkelen, namelijk:
(cid:59) wiskundig onderzoek. Keith Devlin[2] heeft formuleren, maar die je juist heel moeilijk - Cultureel kapitaal, essentieel voor
(cid:58) voor een breed publiek geprobeerd de kunt oplossen. En bovendien moeten ze levenslange en levensbrede persoonlijke
essentie van de wiskunde uiteen te zetten; voor mij dicht tegen de praktijk aanliggen.’ ontplooiing en ontwikkeling;
(cid:63)
de meeste wiskundigen kunnen zich tegen- Robbert Dijkgraaf (mathematisch fysicus) - Sociaal kapitaal, essentieel voor actief
(cid:66)
woordig goed vinden in een definitie van stelt dat de wiskunde een intuïtie levert burgerschap, integratie en sociale
(cid:57) wiskunde als de wetenschap van patronen. voor hoe de natuur in elkaar zit: ‘Voor cohesie;
Wat een wiskundige doet, is het onder- mij is de wiskunde historisch gezien een - Menselijk kapitaal met het oog op de
(cid:75)
zoeken van abstracte ‘patronen’, numeriek, goede leidraad gebleken bij de formulering inzetbaarheid op de arbeidsmarkt.
(cid:59)
van vorm, van beweging, van gedrag, van fysische theorieën. Het mag nooit het
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 2 04-03-2009 09:54:28
In schoolvakken als Nederlands, geschiedenis,
aardrijkskunde, economie, de moderne
vreemde talen gaat het altijd over de balans
tussen deze algemeen vormende doelen
en de wens om de essentiële aspecten van
de discipline te onderwijzen. Denk aan
het literatuuronderwijs, historisch inzicht,
maatschappelijke verbanden etc. Bij de
natuurwetenschappen draait het in de
vernieuwing van die vakken steeds om de
centrale wetenschappelijke concepten uit de
discipline en om (experimenteel) het laten
ervaren hoe natuurwetenschappers hun
kennis ontwikkelen.
Alleen in de discussie over de inhoud van
algemeen vormend wiskundeonderwijs gaat
het bijna uitsluitend over de aansluiting op
vervolgopleidingen in termen van leerstof,
toetsbare vaardigheden en rijtjes opgaven
die leerlingen zouden moeten kunnen (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39)(cid:22)(cid:75)(cid:95)(cid:106)(cid:48)(cid:22)(cid:73)(cid:95)(cid:93)(cid:99)(cid:87)(cid:22)(cid:42)(cid:35)(cid:43)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:108)(cid:101)(cid:22)(cid:30)(cid:57)(cid:101)(cid:94)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:36)(cid:34)(cid:22)(cid:39)(cid:47)(cid:45)(cid:46)(cid:31)
maken. Tot verbazing van onze collega’s
van de andere vakken en disciplines. Een reproduceren, technieken beheersen. verzamelingenleer en veel theorie over relaties
benadering die ons is opgedrongen door Weten hoe: probleemaanpak, toepassen, en functies met bijbehorende notaties.
politieke hypes en ambtenaren die willen onderzoeksvaardigheden. Wereldwijd was het hoofdargument dat dit
scoren en zich uitlaten over de vraag wat Weten waarom: principes, abstracties, rijke de topics waren die in de wiskunde, dus
wiskunde is of in hun ogen (!) behoort te schema’s, argumenteren, overzicht. in de wetenschappelijke discipline, de basis
zijn. Dat zou net zo onvoorstelbaar moeten Weten over weten: reflecteren, monitoren, vormen van het universitair onderwijs en
zijn als een politicus die de vernieuwings- kennis over je eigen weten en aanpak. onderzoek in de wiskunde. De hoop was
commissie natuurkunde vertelt waarmee Houding: wiskunde leren is leuk, interessant, dat door de aandacht voor dit aspect van
de fysica zich bezig moet houden. Door groei in kennis geeft voldoening, ik kan het. het wiskundeonderwijs, dus voor het Weten
die eenzijdige probleemstelling raken de waarom, de aankomende studenten in het
(cid:40)(cid:45)
wiskundige activiteiten, zoals beschreven (cid:42)(cid:36)(cid:22)(cid:59)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22) hoger onderwijs beter op hun (wiskundige) (cid:41)(cid:44)
door de wiskundige onderzoekers, helemaal (cid:90)(cid:101)(cid:91)(cid:98)(cid:93)(cid:104)(cid:101)(cid:91)(cid:102)(cid:91)(cid:100) studie zouden worden voorbereid. (cid:41)(cid:39)
op de achtergrond. Evenals de algemeen Zoals het woord doelgroepen al impliceert Het hoeft geen betoog dat ook toen maar
vormende doelen van wiskundeonderwijs. moeten de doelen met de bijbehorende een heel klein deel van de leerlingen-
In het visiedocument van cTWO, ‘Rijk leerstof passen bij groepen leerlingen voor populatie in een vervolgstudie deze wiskunde
aan betekenis’ [4], is geprobeerd de spanning wie dat onderwijs is bestemd. Dat klinkt zou tegenkomen. Leerlingen konden de zin
tussen wiskundige inhouden en wiskundige triviaal, maar tegen die triviale conditie is van de onderwezen formele taal en inhouden
activiteiten als volgt in balans te brengen: in ons Nederlandse wiskundeonderwijs niet inzien en hun houding ten aanzien van
– Kernconcepten in het wiskunde- heel vaak gezondigd. Hier volgen enkele wiskunde werd sterk negatief beïnvloed. De
onderwijs van havo en vwo zijn getal, sprekende voorbeelden. grote groep werd inhoudelijk tekort gedaan
formule, functie, verandering, ruimte omdat de voor hen nog wel relevante
en toeval. Moderne wiskunde 1968 wiskunde niet gericht was op het gebruik in
– Centrale denkactiviteiten zijn In 1968 werd het klassieke algebra- en de technische vakken en andere gebieden, (cid:22)
modelleren en algebraïseren, ordenen en meetkundeonderwijs van de hbs en de waar wiskunde op gebruikersniveau een rol
(cid:43)
structureren, analytisch denken en probleem- ulo voor een groot deel vervangen door speelde. De doelen in de categorie Weten
(cid:114)
oplossen, formules manipuleren, abstra- de zogenaamde ‘moderne wiskunde’. Dat hoe, met name het functioneel gebruiken,
(cid:42)
heren, en logisch redeneren en bewijzen. ging gepaard met een ongekend groot- werden zelfs niet nagestreefd, tot frustratie
Deze kernconcepten, denkactiviteiten en schalige herscholing van wiskundeleraren van de docenten in vakken waar dat wel (cid:46)(cid:22)
de bijbehorende vaardigheden moeten als van die schooltypen. Wiskundeleraren nuttig en nodig voor was geweest.
(cid:22)(cid:22)
lange leerlijnen door het gehele programma werden meerdere keren een week lang De wiskundevakken uit de bovenbouw van
(cid:73)(cid:73)
van havo/vwo lopen. uitgeroosterd in hun scholen om van hbs en gymnasium werden vervangen door
In recente Nederlandse publicaties wordt wiskundigen ‘moderne wiskunde’ te leren het nieuwe vak wiskunde 1 van het vwo, (cid:59)(cid:59)
een vergelijkbaar onderscheid gemaakt in met onderwerpen als verzamelingenleer, waar een mooi analyseprogramma voor (cid:58)(cid:58)
componenten van wiskundige bekwaamheid logica, groepentheorie, topologie, stochas- werd ontworpen. Een goed programma
(cid:63)(cid:63)
en doelen van wiskundeonderwijs. Zie tiek, maattheorie, projectieve meetkunde, voor de echte B-leerlingen met een
(cid:66)(cid:66)
bijvoorbeeld het Manifest van de NVvW.[5] lineaire algebra, enzovoort. De nieuwe wiskundig correcte en precieze opbouw.
Met enkele steekwoorden gekarakteriseerd programma’s voor de mavo en de Waarschijnlijk wel haalbaar voor dat type (cid:57)(cid:57)
bestaat de na te streven wiskundige onderbouw havo/vwo bevatten een leerlingen en ook zinvol voor een vervolg-
(cid:75)(cid:75)
competentie uit: overdaad aan formele notaties, logische studie in de B-richting (zie figuur 1).
(cid:59)(cid:59)
Weten dat: kennis van feiten en begrippen, symbolen en aanvankelijk ook een fors brok
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 3 04-03-2009 09:54:29
Helaas was de doelgroep na de invoering in de structuur van de tweede fase, waarbij het vmbo (ongeveer 60% van de totale
van havo/vwo ineens een heel andere wiskunde A ook een vak is geworden voor populatie) zowel de wiskundige inhoud als
geworden; nagenoeg alle studierichtingen het NG-profiel, heeft de doelgroep voor de oriëntatie op deze twee categorieën
in de economische, sociale en medische dat vak helaas veel te heterogeen gemaakt, doelen veel beter haalbaar is en veel
studierichtingen eisten voor toelating waardoor de koppeling tussen doelen en relevanter dan welk ouder wiskunde-
het vak wiskunde 1. Met die gewijzigde doelgroep problematisch is geworden. De programma ook (zie figuur 2a, figuur 2b
doelgroep (landelijk een 70% van de bemoeienis van OCW met de inhoud van en figuur 2c).
gehele vwo-populatie) werd het voor wiskunde A is een rechtstreeks gevolg van Een grote winst wat betreft de afstemming
de wiskundeleraren in die heterogene die verkeerde keuze. En in de natuur- tussen doelen en doelgroep, omdat voor
klassen onmogelijk om in de analyse van wetenschappelijke studierichtingen begint deze leerlingen het functioneel gebruiken van
wiskunde-1 het bedoelde exacte niveau, men zich al te beklagen over het ontbreken wiskunde centraal moet staan. En de scores
Weten waarom, te halen. Voor het nieuwe van statistiek en kansrekening in wiskunde van die leeftijdsgroep in internationaal
onderdeel van wiskunde-1, de statistiek B, omdat ook daar de concepten van vergelijkend onderzoek als TIMSS en PISA
en kansrekening, gold dat niet en hier lag de kansrekening en de data-analyse een zijn nog steeds goed.
het accent wel degelijk bij de doelen in de steeds belangrijker plaats innemen. Wordt Na de invoering van de basisvorming was
categorie Weten hoe, terwijl de wiskundige vervolgd. de diepgang van het programma en de
inhoud ook relevant was voor de gehele schoolboeken voor de onderbouw havo/vwo
doelgroep. Statistiek was en is buiten de De doelgroep 12-tot-16-jarigen onvoldoende, mede veroorzaakt door de
exacte en technische studies het meest Tegelijk met de invoering van de basis- politieke druk om een uniform onderwijs-
gebruikte gebied uit de wiskunde. vorming (1994) is voor de gehele brede aanbod in vmbo en havo/vwo tot stand
Naast wiskunde-1 werd in het vwo het populatie van 12-tot-16-jarigen een volledig te brengen. De laatste jaren verschuift de
vak wiskunde-2 (o.a. wat analytische nieuwe oriëntatie van de inhouden en aandacht in de schoolboeken naar meer
meetkunde en lineaire algebra) aangeboden doelen van wiskundeonderwijs tot stand verdiepende inhouden (bijvoorbeeld in de
en dat werd facultatief gekozen door de gekomen. Het zwaartepunt is komen te algebra) en naar doelen van andere
echte B-leerlingen. Voor een vervolgstudie liggen bij de doelen in de categorieën Weten categorieën dan die uit Weten hoe.
in de B-richtingen was de inhoud zeker hoe en Houding. Het is onweerlegbaar dat De Commissie Toekomst Wiskunde
relevant, terwijl het van de leraar afhing of voor de grote subgroep van leerlingen in Onderwijs heeft in het rapport Verkennen,
het aspect van het Weten waarom serieus
aan de orde kwam.
Ontwikkelingen in de bovenbouw havo/
vwo
(cid:42)(cid:46)
(cid:42)(cid:44) In de zeventiger jaren werd het steeds
(cid:40)(cid:39)
duidelijker dat voor het vak wiskunde-1
de doelen en inhouden niet pasten bij de
doelgroep, terwijl nog steeds 30% van de
vwo-leerlingen (terecht) de keuze voor dat
vak niet aandurfde. Met de invoering van
het vak wiskunde A werd een poging
ondernomen om voor havo en vwo een
nieuw vak te ontwikkelen voor de grote
doelgroep van het vwo die niet een
B-studie ambieerde. Veel nadruk kwam (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)(cid:87)(cid:22)(cid:75)(cid:95)(cid:106)(cid:48)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:110)(cid:87)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:88)(cid:101)(cid:35)(cid:74)(cid:22)(cid:39)(cid:47)(cid:45)(cid:41)
te liggen op het Weten hoe met nieuwe
(cid:22) en relevante inhouden. Een geslaagde
(cid:43) poging om de doelen op de doelgroep af te
stemmen, terwijl nu voor de gehele havo/
(cid:114)
vwo populatie terecht de opname van een
(cid:42)
wiskundevak in het vakkenpakket verplicht
(cid:46)
(cid:22) werd. Voor het eerst een redelijk goede
(cid:22) afstemming tussen de doelgroepen en de
(cid:22)(cid:22)
inhouden van het wiskundeprogramma.
(cid:73)(cid:73)
Maar de politiek bedacht dat de aansluiting (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)(cid:88)(cid:22)(cid:75)(cid:95)(cid:106)(cid:48)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:110)(cid:87)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:88)(cid:101)(cid:35)(cid:74)(cid:22)(cid:39)(cid:47)(cid:45)(cid:42)
(cid:59)(cid:59) van havo/vwo naar het hoger onderwijs
(cid:58)(cid:58) beter kon en moest. Weg met de pret-
pakketten, leve de profielen. In de profielen
(cid:63)(cid:63)
van de nieuwe Tweede fase havo/vwo was
(cid:66)(cid:66)
aanvankelijk wiskunde A het aangewezen
(cid:57)(cid:57) wiskundevak voor CM-EM en wiskunde
B voor NG-NT, een heldere samenhang
(cid:75)(cid:75)
tussen doelen en doelgroepen. Te mooi om
(cid:59)(cid:59)
lang te laten voortduren! De recente ingreep
(cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)(cid:89)(cid:22)(cid:75)(cid:95)(cid:106)(cid:48)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:110)(cid:87)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:108)(cid:101)(cid:37)(cid:98)(cid:88)(cid:101)(cid:35)(cid:57)(cid:22)(cid:39)(cid:47)(cid:46)(cid:46)
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 4 04-03-2009 09:54:30
gebruiken, verdiepen [6] van de programma- Op dit moment zien we een totaal door Van basisonderwijs naar voortgezet
commissie onderbouw voorstellen uitgewerkt elkaar lopen van allerlei soorten opgaven, onderwijs
om voor de onderbouw havo/vwo de doelen situaties, formele rekenregels, intuïtieve Het ministerie gaat overeenkomstig het
en leerinhouden beter af te stemmen op methoden enzovoort. We zitten in de rapport Over de drempels met taal en rekenen
de doelgroep (zie www.ctwo.nl). Dat wordt onderwijspraktijk in het rekenonderwijs voor de overgang bo-vo binnenkort een
nu ten behoeve van de invoering omgezet en het wiskundeonderwijs met school- tweetal referentieniveaus van kennis en
in een gedetailleerd trajectenboek. Een boeken en ander lesmateriaal waarin het vaardigheden voor rekenen vaststellen,
complicatie is dat voor de wiskundevakken zelfs voor leraren lastig is om de kernen en namelijk het fundamentele niveau 1F en
in de bovenbouw in principe eenzelfde doorlopende leerlijnen op te sporen. Laat het streefniveau 1S (zie Euclides 83-8). In
fundament aan kennis en vaardigheden in staan voor de leerlingen. Dat vraagt om een de beschrijving van de referentieniveaus is
de onderbouw wordt gelegd. Met name bezinning op de vraag hoe we de transfer onderscheid gemaakt tussen begrippen en
in 3-havo is het lastig om voor iedereen kunnen bevorderen vanuit de wiskunde technieken die leerlingen paraat moeten
eenzelfde programma vast te stellen, naar alle gebieden waar we het gebruik hebben en het functioneel gebruiken van die
omdat wenselijke kennis en vaardigheden van die wiskunde willen optimaliseren. kennis in eenvoudige toepassingssituaties.
voor wiskunde B niet haalbaar zijn voor Met het oog op die vraag is het relevant Op dit moment bereikt 75% van de
een groot deel van de 3-havo-populatie. om te kijken naar de zogenoemde context/ basisschoolpopulatie niveau 1F en de ambitie
Het bekende probleem in 3-havo van de concept-benadering in de discussie over is om dat percentage te laten toenemen tot
afstemming van doelen en inhouden op de vernieuwing van het onderwijs in de 85%. Een fors deel van de leerlingen die
een heterogene doelgroep, waar alleen via wiskunde en natuurwetenschappen. Een instromen in het vmbo BB-KB, haalt dus nu
een zekere differentiatie, splitsing van een moeilijkheid in de brede discussie over de het niveau 1F nog niet, terwijl dat (op den
heterogene populatie, iets aan kan worden relatie tussen concepten en contexten is dat duur) wel het ingangsniveau moet worden.
gedaan. de termen concept en context in biologie, Het grootste deel van de basisschool-
natuurkunde, scheikunde en wiskunde leerlingen (ruim 70%) stroomt binnen in
(cid:43)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:98)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:107)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22) verschillend worden gebruikt, zodat het vmbo-TL/GL, havo of vwo. Voor hen is
(cid:88)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:98)(cid:90) lastig is om een gemeenschappelijke lijn te het gewenste ingangsniveau 2S, dat zo is
Waarom moet wiskunde een basisvak in elk vinden. Daarover meer in deel 4. Er is veel geformuleerd dat op dit moment 50% van
algemeen vormend curriculum zijn? Over winst te behalen in een betere afstemming de leerlingen dat haalt. De ambitie is dat dit
welke inhouden hebben we het eigenlijk? tussen de aanpak in de wiskundeles en percentage stijgt naar 65%. Het is duidelijk
In de geschiedenis van het onderwijs in bijvoorbeeld in de natuurkundeles (zie dat voor het bereiken van deze doelen een
rekenen en wiskunde zijn daar verschillende figuur 3). stevige inspanning in het basisonderwijs
antwoorden op gegeven. In Nederland moet worden geleverd. Landelijk worden de
hebben we al lang geleden ervoor gekozen (cid:44)(cid:36)(cid:22)(cid:77)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:93)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:106)(cid:101)(cid:91)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22) ontwikkelingen in het basisonderwijs door
(cid:43)(cid:42)(cid:47)
om een zwaar accent te leggen bij het (cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:105)(cid:98)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:53) peilingsonderzoek gevolgd. Regionaal en (cid:42)(cid:47)(cid:44)
(cid:40)(cid:40)(cid:39)
functioneren van de wiskundige kennis en Aan de hand van de vele drempels die plaatselijk zijn er tal van initiatieven om in
vaardigheden buiten het vakgebied. ons Nederlands onderwijssysteem kent, samenwerking tussen primair en voortgezet
De schoonheid van het getalsysteem, de bekijken we nu hoe het met de aansluiting onderwijs aan deze streefdoelen te werken.
historische waarde van de meetkunde, de is gesteld en waar we naar toe gaan.
culturele waarde, het leren redeneren of
denken, het bleek voor rekenen en wiskunde
niet genoeg voor de bepaling van de
inhouden. Het rekenen stond heel lang in
functie van het cijferen, lange rijen
berekeningen heel overzichtelijk en foutloos
uitvoeren, want maatschappelijk was dat
heel belangrijk. (cid:22)
Tegenwoordig ligt de nadruk veel meer bij (cid:43)
het functioneel gebruiken van die kennis
(cid:114)
en routines in allerlei situaties. Die terechte
(cid:42)
keuze voor het leggen van een stevige
(cid:46)
verbinding met de buitenwereld lijkt evenwel (cid:22)(cid:22)
(cid:22)
te leiden tot een voor leerlingen redelijk
(cid:22)(cid:22)(cid:22)
chaotisch beeld van wat er in wiskunde
(cid:73)(cid:73)(cid:73)
aan de orde is. De strakke structuur van de
meeste wiskundige deelgebieden heeft de (cid:59)(cid:59)(cid:59)
charme van de eenvoud en het overzicht, (cid:58)(cid:58)(cid:58)
maar bleek in het verleden in de hoofden
(cid:63)(cid:63)(cid:63)
van de meeste leerlingen tot een afgesloten
(cid:66)(cid:66)(cid:66)
systeem te leiden, waardoor de transfer
naar toegepaste situaties slecht verliep. Te (cid:57)(cid:57)(cid:57)
verwachten, want in het leerproces waren
(cid:75)(cid:75)(cid:75)
die situaties niet inbegrepen. (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:41)(cid:22)(cid:61)(cid:104)(cid:87)(cid:92)(cid:95)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:88)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:106)(cid:107)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:22)
(cid:59)(cid:59)(cid:59)
(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:49)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:48)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:101)(cid:101)(cid:102)(cid:34)(cid:22)(cid:39)(cid:47)(cid:47)(cid:46)
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 5 04-03-2009 09:54:32
(cid:80) (cid:95) (cid:100) (cid:108) (cid:101) (cid:98)(cid:22) (cid:89)(cid:101) (cid:99) (cid:102) (cid:107) (cid:106) (cid:91) (cid:104)(cid:35)
(cid:93) (cid:91) (cid:88) (cid:104) (cid:107) (cid:95) (cid:97)(cid:22) (cid:88) (cid:95) (cid:96)(cid:22) (cid:109) (cid:95) (cid:105) (cid:97) (cid:107) (cid:100) (cid:90) (cid:91)
Van vmbo naar mbo sinds de ‘moderne wiskunde’ in 1968. De overtuiging dat hun ellende te wijten is aan
Voor leerlingen die 4-vmbo met een kans dat het lukt is niet nul. de lage kwaliteit van wiskunde A... Enige
diploma verlaten is voor rekenen het bewijsvoering over een causaal verband tussen (cid:22)
referentieniveau 2F geformuleerd, een Van 5-havo naar hbo zwakke studieresultaten van eerstejaars en (cid:81)(cid:22)(cid:58)(cid:87)(cid:108)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:58)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:83)
basis aan functioneel gebruiken van kennis Binnen de structuur van de tweede fase lijkt de inhoud van wiskunde A ontbreekt. En
en vaardigheden waar iedere burger in de wiskunde B in de natuurprofielen goed aan voor toegang tot een masteropleiding is
Nederland over zou moeten beschikken. te sluiten bij het relevante vervolgonderwijs, vwo-wiskunde A kennelijk niet meer nodig.
(cid:58)(cid:87)(cid:108)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:58)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:104)(cid:108)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:88)(cid:104)(cid:107)(cid:95)(cid:97)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:63)(cid:57)(cid:74)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:101)(cid:109)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:22)
In grote lijnen komt dat overeen met het terwijl wiskunde A ook een voldoende
(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:34)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:73)(cid:106)(cid:36)(cid:22)(cid:67)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:87)(cid:134)(cid:98)(cid:22)(cid:57)(cid:101)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:80)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:87)(cid:99)(cid:34)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:57)(cid:111)(cid:93)(cid:100)(cid:107)(cid:105)(cid:22)(cid:61)(cid:111)(cid:99)(cid:100)(cid:87)(cid:105)(cid:95)(cid:107)(cid:99)(cid:22)
rekendomein van het examenprogramma basis voor het hbo in de verschillende (cid:45)(cid:36)(cid:22)(cid:74)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:98)(cid:101)(cid:106)
(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:55)(cid:99)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:99)(cid:36)(cid:22)(cid:62)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:93)(cid:91)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:96)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:77)(cid:59)(cid:66)(cid:70)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:73)(cid:55)(cid:61)(cid:59)(cid:36)(cid:22)(cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)
wiskunde BB-KB. Het overgrote deel maatschappelijke opleidingen biedt. De Het is hoopvol dat in alle sectoren van het
(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:88)(cid:98)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:57)(cid:111)(cid:93)(cid:100)(cid:107)(cid:105)(cid:22)(cid:61)(cid:111)(cid:99)(cid:100)(cid:87)(cid:105)(cid:95)(cid:107)(cid:99)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:104)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:112)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)
van de leerlingen sluit het vmbo af met treurige uitzondering is dat als gevolg onderwijs wordt gesproken over een
(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:106)(cid:109)(cid:95)(cid:97)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:96)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:101)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:77)(cid:91)(cid:88)(cid:34)(cid:22)(cid:58)(cid:63)(cid:74)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:58)(cid:77)(cid:69)(cid:34)(cid:22)(cid:73)(cid:55)(cid:61)(cid:59)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)
wiskunde als examenvak, zodat zij voldoen van het schrappen van het vak wiskunde versterking van de doorlopende leerlijnen.
(cid:77)(cid:59)(cid:66)(cid:70)(cid:34)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:112)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:102)(cid:87)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:97)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:101)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)
aan de kwaliteitseisen van 2F. Onderzocht A1 leerlingen vanaf de havo kunnen Het kan en moet beter! Hoe dan? Wat
(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:87)(cid:108)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:102)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:101)(cid:101)(cid:100)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:22)
wordt hoe de andere leerlingen hun doorstromen naar de pabo zonder wiskunde werkt wel en wat niet? Daarover meer in
(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:104)(cid:101)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:101)(cid:91)(cid:108)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:94)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:92)(cid:101)(cid:104)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)
rekenniveau door middel van een module in hun pakket. En dat terwijl nu op het de laatste aflevering in deze reeks.
(cid:88)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:104)(cid:95)(cid:96)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:35)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:104)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:36)
bestaande uit dat rekendomein op het mbo het ‘rekengat’ wordt gedempt. Het
gewenste niveau kunnen brengen of verdient voor deze leerlingen zonder
(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:102)(cid:98)(cid:87)(cid:100) persoonlijke homepage) heb ik een soorten applets: applets waarmee je vaardig-
onderhouden. wiskunde op examenniveau aanbeveling (cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:112)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)
Op het Cygnus Gymnasium te Amsterdam overzicht gemaakt van extra digitaal heden kunt inslijpen, zoals vergelijkingen
om een rekenmodule te bestuderen, [1] Zie: www.minocw.nl/documenten/
is elk lokaal uitgerust met een smartboard materiaal dat ik gebruik bij de methode oplossen, herleiden, differentiëren, en
Van mbo naar hbo bijvoorbeeld het rekendomein van het 4322.pdf of www.slo.nl:
en heeft iedere leerling de beschikking over Getal en Ruimte. Hieronder volgt een applets die meer gericht zijn op het onder-
Het mbo en het hbo zijn het er over eens nieuwe programma wiskunde A. - Eindrapport Expertgroep: Over de
een laptop met internetverbinding. Als toelichting. steunen van de begripsvorming. Een mooi
dat leerlingen die een mbo-4 diploma drempels met taal en rekenen.
wiskundedocent voelde ik me verplicht voorbeeld hiervan is Geometrische Algebra
behalen en daarmee toegang krijgen tot Van 6-vwo naar wo SLO 2008.
om ICT intensief te gebruiken tijdens de (cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:102)(cid:102)(cid:98)(cid:91)(cid:106)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:77)(cid:91)(cid:88) 1D, waarmee we in klas 1 aan de slag gaan.
het hbo moeten beschikken over een stevig Bijna alle discussies in de pers en de politiek - Deelrapport rekenen&wiskunde:
les. Voor de onderbouw wordt de methode Tal van applets (internettoepassingen) Met deze applet kun je bij uitdrukkingen
niveau aan kennis en vaardigheden op het gaan over deze overgang. Een overgang die Over de drempels met rekenen.
Getal en Ruimte (ed. 2003) gebruikt. Bij die staan op www.wisweb.nl kun je direct als x + 3 en 3x een grafische voorstelling
gebied van het rekenen. Daarbij moeten door politieke besluitvorming problematisch SLO 2008.
elk leerjaar wordt een cd-rom meegeleverd gebruiken in de les. Er bestaan verschillende maken met behulp van pijlen (zie figuur 1).
zij over de competentie beschikken om is gemaakt. Terwijl de betrokken wo-opleidingen [2] K. Devlin (1998): Wiskunde / Wetenschap
(cid:38) met daarop gedigitaliseerd lesmateriaal
(cid:45) die kennis en vaardigheden functioneel te steen en been klaagden over de geringe van patronen en structuren. In: Natuur (cid:40)(cid:39)
dat een substantieel deel van het boek kan (cid:39)(cid:45)
(cid:39)
kunnen gebruiken in relevante toepassings- (wiskundige) kwaliteit van de instroom en Techniek. In het Nederlands (cid:41)(cid:39)
vervangen. De vormgeving ziet er fraai uit,
situaties. Dat bedoelde referentieniveau is 3F uit de tweede fase, schrapt de politiek vertaald door Jan van de Craats.
leerlingen vinden het absoluut prettig om
en bouwt voort op 2F. Voor speciale groepen honderden studielasturen in wiskunde B. [3] B. Mols (2007): Opgelost / Toepassingen
voor de afwisseling af en toe opgaven op de
zoals afstuderenden in de technische sector Het is eenvoudig te voorspellen dat deze van wiskunde en informatica.Diemen:
computer te doen, maar inhoudelijk vind
of mbo-studenten die naar de pabo operatie de (wiskundige) kwaliteit van de Veen Magazines.
ik de meerwaarde van het, van boek naar
doorstromen, kunnen additionele vak- instroom niet zal versterken. Daarnaast [4] cTWO (2008): Rijk aan betekenis.
scherm, verplaatste materiaal achterblijven
modules worden ontwikkeld. Leerlingen komt een deel van de leerlingen met een Website: www.ctwo.nl.
bij de mogelijkheden die op dit moment
van het mbo die na mbo-2 de beroeps- NG-profiel binnen met wiskunde A, waar [5] M. Bos, M. Kollenveld, W. Kuipers,
beschikbaar zijn. Het wat statische materiaal
praktijk ingaan, zullen op het mbo het de natuurwetenschappelijke en verwante A. van Streun (2004): Manifest NVvW
van Getal en Ruimte komt in editie 2003
referentieniveau 2F moeten onderhouden. studierichtingen niet blij mee zullen zijn. ‘Wiskundedidactiek anno 2005’.
vaak niet verder dan een meerkeuze vraag
Voor het mbo betekent dit een stevige Een blik op de instroom van de In: Euclides 80(3).
met een goed of fout reactie. In editie 2007 (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39)
(cid:22) ingreep in de curricula, omdat rekenen/ economische en sociaalwetenschappelijke [6] cTWO (2008): Verkennen, gebruiken,
van Getal en Ruimte voor de bovenbouw (cid:22)
(cid:43) wiskunde niet meer tot het gemeen- studierichtingen stemt tot nadenken. Een verdiepen. Rapport programmacommissie
is goed ingegaan op de behoefte om op (cid:43)
schappelijke curriculum hoorde. belangrijk deel van hun instroom is afkomstig onderbouw havo/vwo. Website:
(cid:114) internet digitaal materiaal beschikbaar te
(cid:114)
uit het verwante hbo en heeft op het gebied www.ctwo.nl.
(cid:42) stellen dat geschikt is voor het elektronische
Van 3-havo/vwo naar 4-havo/vwo van de analyse en de statistiek een niveau dat (cid:42)
schoolbord. Voor leerlingen is er de
(cid:46)
Voor de overgang van de onderbouw naar de ver beneden het niveau van wiskunde A vwo (cid:46)
leerling-ICT en met een abonnement op (cid:22)
(cid:22) bovenbouw havo/vwo is het referentieniveau ligt. Uit navraag bij het wo blijkt dat de
(cid:22) de docentenkit kun je complete studio’s (cid:22)
2S geformuleerd, maar de andere wiskunde- meeste universiteiten geen verschil maken (cid:22)(cid:22)
(cid:73) downloaden met, indien geïnstalleerd, veel
domeinen zijn natuurlijk ook van belang tussen de instroom uit het hbo en het vwo. (cid:73)(cid:73)
beeldmateriaal, uitwerkingen en (aanpasbare)
(cid:59) voor de aansluiting. In Euclides 84-3 is al Sterker nog, voor de toelating van hbo-ers (cid:22) Powerpointpresentaties, waarmee je je lessen (cid:59)(cid:59)
(cid:58) geschetst wat de gewenste ontwikkeling in tot een wo-masters, al dan niet via een
absoluut levendiger kunt maken. Maar het (cid:58)(cid:58)
de onderbouw is om een betere aansluiting schakelprogramma, worden alleen bij heel (cid:22)
(cid:63) blijft eenrichtingsverkeer, van docent naar
op de bovenbouw havo/vwo te verkrijgen. specifieke masters eisen gesteld aan het (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104) (cid:63)(cid:63)
leerling, terwijl de afgelopen tien jaar veel
(cid:66)
Het komende trajectenboek heeft tot doel algemeen wiskundig niveau. En statistiek Anne van Streun was voorzitter van de (cid:66)(cid:66)
interactief (bedoeld als tweerichtingsverkeer)
(cid:57) een gelijktijdige afstemming te laten plaats blijft het centrale wiskundevak in al die werkgroep rekenen & wiskunde van de
materiaal ontwikkeld, getest en goed (cid:57)(cid:57)
vinden tussen veranderingen in de master- en bacheloropleidingen. (Over Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal
(cid:75) bevonden is. Van dit interactieve materiaal
(cid:75)(cid:75)
onderbouw en de nieuwe programma’s voor buitenring gesproken!) Toch klagen en Rekenen.
wil ik in dit artikel enkele voorbeelden (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)
(cid:59) de bovenbouw. Dat zou voor het eerst zijn sommige eerstejaars docenten wiskunde vol E-mailadres: [email protected] (cid:59)(cid:59)
geven. Op www.wisplan.nl (mijn
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 6 04-03-2009 09:54:33
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 7 04-03-2009 09:54:33
(cid:80) (cid:95) (cid:100) (cid:108) (cid:101) (cid:98)(cid:22) (cid:89)(cid:101) (cid:99) (cid:102) (cid:107) (cid:106) (cid:91) (cid:104)(cid:35)
(cid:93) (cid:91) (cid:88) (cid:104) (cid:107) (cid:95) (cid:97)(cid:22) (cid:88) (cid:95) (cid:96)(cid:22) (cid:109) (cid:95) (cid:105) (cid:97) (cid:107) (cid:100) (cid:90) (cid:91)
Van vmbo naar mbo sinds de ‘moderne wiskunde’ in 1968. De overtuiging dat hun ellende te wijten is aan
Voor leerlingen die 4-vmbo met een kans dat het lukt is niet nul. de lage kwaliteit van wiskunde A... Enige
diploma verlaten is voor rekenen het bewijsvoering over een causaal verband tussen (cid:22)
referentieniveau 2F geformuleerd, een Van 5-havo naar hbo zwakke studieresultaten van eerstejaars en (cid:81)(cid:22)(cid:58)(cid:87)(cid:108)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:58)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:83)
basis aan functioneel gebruiken van kennis Binnen de structuur van de tweede fase lijkt de inhoud van wiskunde A ontbreekt. En
en vaardigheden waar iedere burger in de wiskunde B in de natuurprofielen goed aan voor toegang tot een masteropleiding is
Nederland over zou moeten beschikken. te sluiten bij het relevante vervolgonderwijs, vwo-wiskunde A kennelijk niet meer nodig.
(cid:58)(cid:87)(cid:108)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:58)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:104)(cid:108)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:88)(cid:104)(cid:107)(cid:95)(cid:97)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:63)(cid:57)(cid:74)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:101)(cid:109)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:22)
In grote lijnen komt dat overeen met het terwijl wiskunde A ook een voldoende
(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:34)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:73)(cid:106)(cid:36)(cid:22)(cid:67)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:87)(cid:134)(cid:98)(cid:22)(cid:57)(cid:101)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:80)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:87)(cid:99)(cid:34)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:57)(cid:111)(cid:93)(cid:100)(cid:107)(cid:105)(cid:22)(cid:61)(cid:111)(cid:99)(cid:100)(cid:87)(cid:105)(cid:95)(cid:107)(cid:99)(cid:22)
rekendomein van het examenprogramma basis voor het hbo in de verschillende (cid:45)(cid:36)(cid:22)(cid:74)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:98)(cid:101)(cid:106)
(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:55)(cid:99)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:99)(cid:36)(cid:22)(cid:62)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:93)(cid:91)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:96)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:77)(cid:59)(cid:66)(cid:70)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:73)(cid:55)(cid:61)(cid:59)(cid:36)(cid:22)(cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)
wiskunde BB-KB. Het overgrote deel maatschappelijke opleidingen biedt. De Het is hoopvol dat in alle sectoren van het
(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:88)(cid:98)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:57)(cid:111)(cid:93)(cid:100)(cid:107)(cid:105)(cid:22)(cid:61)(cid:111)(cid:99)(cid:100)(cid:87)(cid:105)(cid:95)(cid:107)(cid:99)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:104)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:112)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)
van de leerlingen sluit het vmbo af met treurige uitzondering is dat als gevolg onderwijs wordt gesproken over een
(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:106)(cid:109)(cid:95)(cid:97)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:96)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:101)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:77)(cid:91)(cid:88)(cid:34)(cid:22)(cid:58)(cid:63)(cid:74)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:58)(cid:77)(cid:69)(cid:34)(cid:22)(cid:73)(cid:55)(cid:61)(cid:59)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)
wiskunde als examenvak, zodat zij voldoen van het schrappen van het vak wiskunde versterking van de doorlopende leerlijnen.
(cid:77)(cid:59)(cid:66)(cid:70)(cid:34)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:112)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:102)(cid:87)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:97)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:101)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)
aan de kwaliteitseisen van 2F. Onderzocht A1 leerlingen vanaf de havo kunnen Het kan en moet beter! Hoe dan? Wat
(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:87)(cid:108)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:102)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:101)(cid:101)(cid:100)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:22)
wordt hoe de andere leerlingen hun doorstromen naar de pabo zonder wiskunde werkt wel en wat niet? Daarover meer in
(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:104)(cid:101)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:101)(cid:91)(cid:108)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:94)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:92)(cid:101)(cid:104)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)
rekenniveau door middel van een module in hun pakket. En dat terwijl nu op het de laatste aflevering in deze reeks.
(cid:88)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:104)(cid:95)(cid:96)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:35)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:104)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:36)
bestaande uit dat rekendomein op het mbo het ‘rekengat’ wordt gedempt. Het
gewenste niveau kunnen brengen of verdient voor deze leerlingen zonder
(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:102)(cid:98)(cid:87)(cid:100) persoonlijke homepage) heb ik een soorten applets: applets waarmee je vaardig-
onderhouden. wiskunde op examenniveau aanbeveling (cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:112)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)
Op het Cygnus Gymnasium te Amsterdam overzicht gemaakt van extra digitaal heden kunt inslijpen, zoals vergelijkingen
om een rekenmodule te bestuderen, [1] Zie: www.minocw.nl/documenten/
is elk lokaal uitgerust met een smartboard materiaal dat ik gebruik bij de methode oplossen, herleiden, differentiëren, en
Van mbo naar hbo bijvoorbeeld het rekendomein van het 4322.pdf of www.slo.nl:
en heeft iedere leerling de beschikking over Getal en Ruimte. Hieronder volgt een applets die meer gericht zijn op het onder-
Het mbo en het hbo zijn het er over eens nieuwe programma wiskunde A. - Eindrapport Expertgroep: Over de
een laptop met internetverbinding. Als toelichting. steunen van de begripsvorming. Een mooi
dat leerlingen die een mbo-4 diploma drempels met taal en rekenen.
wiskundedocent voelde ik me verplicht voorbeeld hiervan is Geometrische Algebra
behalen en daarmee toegang krijgen tot Van 6-vwo naar wo SLO 2008.
om ICT intensief te gebruiken tijdens de (cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:102)(cid:102)(cid:98)(cid:91)(cid:106)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:77)(cid:91)(cid:88) 1D, waarmee we in klas 1 aan de slag gaan.
het hbo moeten beschikken over een stevig Bijna alle discussies in de pers en de politiek - Deelrapport rekenen&wiskunde:
les. Voor de onderbouw wordt de methode Tal van applets (internettoepassingen) Met deze applet kun je bij uitdrukkingen
niveau aan kennis en vaardigheden op het gaan over deze overgang. Een overgang die Over de drempels met rekenen.
Getal en Ruimte (ed. 2003) gebruikt. Bij die staan op www.wisweb.nl kun je direct als x + 3 en 3x een grafische voorstelling
gebied van het rekenen. Daarbij moeten door politieke besluitvorming problematisch SLO 2008.
elk leerjaar wordt een cd-rom meegeleverd gebruiken in de les. Er bestaan verschillende maken met behulp van pijlen (zie figuur 1).
zij over de competentie beschikken om is gemaakt. Terwijl de betrokken wo-opleidingen [2] K. Devlin (1998): Wiskunde / Wetenschap
(cid:38) met daarop gedigitaliseerd lesmateriaal
(cid:45) die kennis en vaardigheden functioneel te steen en been klaagden over de geringe van patronen en structuren. In: Natuur (cid:40)(cid:39)
dat een substantieel deel van het boek kan (cid:39)(cid:45)
(cid:39)
kunnen gebruiken in relevante toepassings- (wiskundige) kwaliteit van de instroom en Techniek. In het Nederlands (cid:41)(cid:39)
vervangen. De vormgeving ziet er fraai uit,
situaties. Dat bedoelde referentieniveau is 3F uit de tweede fase, schrapt de politiek vertaald door Jan van de Craats.
leerlingen vinden het absoluut prettig om
en bouwt voort op 2F. Voor speciale groepen honderden studielasturen in wiskunde B. [3] B. Mols (2007): Opgelost / Toepassingen
voor de afwisseling af en toe opgaven op de
zoals afstuderenden in de technische sector Het is eenvoudig te voorspellen dat deze van wiskunde en informatica.Diemen:
computer te doen, maar inhoudelijk vind
of mbo-studenten die naar de pabo operatie de (wiskundige) kwaliteit van de Veen Magazines.
ik de meerwaarde van het, van boek naar
doorstromen, kunnen additionele vak- instroom niet zal versterken. Daarnaast [4] cTWO (2008): Rijk aan betekenis.
scherm, verplaatste materiaal achterblijven
modules worden ontwikkeld. Leerlingen komt een deel van de leerlingen met een Website: www.ctwo.nl.
bij de mogelijkheden die op dit moment
van het mbo die na mbo-2 de beroeps- NG-profiel binnen met wiskunde A, waar [5] M. Bos, M. Kollenveld, W. Kuipers,
beschikbaar zijn. Het wat statische materiaal
praktijk ingaan, zullen op het mbo het de natuurwetenschappelijke en verwante A. van Streun (2004): Manifest NVvW
van Getal en Ruimte komt in editie 2003
referentieniveau 2F moeten onderhouden. studierichtingen niet blij mee zullen zijn. ‘Wiskundedidactiek anno 2005’.
vaak niet verder dan een meerkeuze vraag
Voor het mbo betekent dit een stevige Een blik op de instroom van de In: Euclides 80(3).
met een goed of fout reactie. In editie 2007 (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39)
(cid:22) ingreep in de curricula, omdat rekenen/ economische en sociaalwetenschappelijke [6] cTWO (2008): Verkennen, gebruiken,
van Getal en Ruimte voor de bovenbouw (cid:22)
(cid:43) wiskunde niet meer tot het gemeen- studierichtingen stemt tot nadenken. Een verdiepen. Rapport programmacommissie
is goed ingegaan op de behoefte om op (cid:43)
schappelijke curriculum hoorde. belangrijk deel van hun instroom is afkomstig onderbouw havo/vwo. Website:
(cid:114) internet digitaal materiaal beschikbaar te
(cid:114)
uit het verwante hbo en heeft op het gebied www.ctwo.nl.
(cid:42) stellen dat geschikt is voor het elektronische
Van 3-havo/vwo naar 4-havo/vwo van de analyse en de statistiek een niveau dat (cid:42)
schoolbord. Voor leerlingen is er de
(cid:46)
Voor de overgang van de onderbouw naar de ver beneden het niveau van wiskunde A vwo (cid:46)
leerling-ICT en met een abonnement op (cid:22)
(cid:22) bovenbouw havo/vwo is het referentieniveau ligt. Uit navraag bij het wo blijkt dat de
(cid:22) de docentenkit kun je complete studio’s (cid:22)
2S geformuleerd, maar de andere wiskunde- meeste universiteiten geen verschil maken (cid:22)(cid:22)
(cid:73) downloaden met, indien geïnstalleerd, veel
domeinen zijn natuurlijk ook van belang tussen de instroom uit het hbo en het vwo. (cid:73)(cid:73)
beeldmateriaal, uitwerkingen en (aanpasbare)
(cid:59) voor de aansluiting. In Euclides 84-3 is al Sterker nog, voor de toelating van hbo-ers (cid:22) Powerpointpresentaties, waarmee je je lessen (cid:59)(cid:59)
(cid:58) geschetst wat de gewenste ontwikkeling in tot een wo-masters, al dan niet via een
absoluut levendiger kunt maken. Maar het (cid:58)(cid:58)
de onderbouw is om een betere aansluiting schakelprogramma, worden alleen bij heel (cid:22)
(cid:63) blijft eenrichtingsverkeer, van docent naar
op de bovenbouw havo/vwo te verkrijgen. specifieke masters eisen gesteld aan het (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104) (cid:63)(cid:63)
leerling, terwijl de afgelopen tien jaar veel
(cid:66)
Het komende trajectenboek heeft tot doel algemeen wiskundig niveau. En statistiek Anne van Streun was voorzitter van de (cid:66)(cid:66)
interactief (bedoeld als tweerichtingsverkeer)
(cid:57) een gelijktijdige afstemming te laten plaats blijft het centrale wiskundevak in al die werkgroep rekenen & wiskunde van de
materiaal ontwikkeld, getest en goed (cid:57)(cid:57)
vinden tussen veranderingen in de master- en bacheloropleidingen. (Over Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal
(cid:75) bevonden is. Van dit interactieve materiaal
(cid:75)(cid:75)
onderbouw en de nieuwe programma’s voor buitenring gesproken!) Toch klagen en Rekenen.
wil ik in dit artikel enkele voorbeelden (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)
(cid:59) de bovenbouw. Dat zou voor het eerst zijn sommige eerstejaars docenten wiskunde vol E-mailadres: [email protected] (cid:59)(cid:59)
geven. Op www.wisplan.nl (mijn
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 6 04-03-2009 09:54:33
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 7 04-03-2009 09:54:33
DWO nog de mogelijkheid om de zelf
gemaakte applets als SCORM te exporteren,
om er vervolgens met één druk op de knop
digitale leerpakketjes van te maken die
opgenomen kunnen worden in de eigen ELO
(elektronische leeromgeving). Dat kon binnen
het SAGE-project wel. Het voordeel van
registratie van leerlingenwerk binnen de
eigen ELO is natuurlijk dat er niet nog een
keer ergens anders hoeft ingelogd te worden
en dat je niet afhankelijk bent van een derde
partij. De DWO kan op een streng beveiligd
netwerk soms erg traag zijn. Zeker bij
klassikale uitleg verlies je makkelijk de
aandacht en het geduld van leerlingen
(cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:41) als je bij gebruik van het elektronische
schoolbord weer enkele seconde moet
Een pijl x verlengd met 3 ziet er heel anders gemaakt hadden, maar tegenwoordig is het wachten op het volgende scherm. Je
uit dan een stapeling van drie pijlen ieder mogelijk dat werk van leerlingen opgeslagen beperken tot één digitale omgeving biedt
met lengte x. Omdat je de pijl x met behulp wordt in de DWO van het Freudenthal dus het voordeel dat je slechts één keer
van het programma korter en langer kunt Instituut (FI). Het FI biedt (bij een hoeft in te loggen, slechts één keer hoeft
‘trekken’, is voor leerlingen meteen duide- WisWeb+ abonnement) een groot deel van op te starten. De studio’s uit de docenten-
lijk dat x + 3 en 3x geen gelijkwaardige de applets aan met op hun server opslag- kit bij Getal en Ruimte geven hetzelfde
expressies zijn (ze zijn slechts even lang bij ruimte voor leerlingenwerk. Docenten die probleem. Allemaal leuk die plaatjes bij de
x = 1½). Bij veel van de algebraopgaven uit inloggen, krijgen toegang tot scores van methode, maar voordat je ze met de beamer
het boek wordt louter een beroep gedaan op (alleen) hun eigen leerlingen en kunnen op je elektronische bord hebt geprojecteerd,
vormherkenning, terwijl leerlingen juist 3x ook op detailniveau zien wat de leerlingen ben je enkele seconden verder. Ik pleit dan
en x + 3 veel op elkaar vinden lijken. Het gedaan hebben (welke tussenstappen ze ook voor één omgeving, het liefst met een
inzicht verruimende Geometrische Algebra gemaakt hebben, waar ze vastgelopen zijn). studieplanner als basis, van waaruit al het
1D lijkt dus een welkome aanvulling. Zodoende heb je bij wijze van spreken digitale materiaal aanklikbaar is. Op het
Met één dimensie meer kun je in met één druk op de knop een huiswerk- Cygnus staan die planners op de ELO (zie
(cid:40)
(cid:45) Geometrische Algebra 2D haakjes controle voor de hele klas. Vorig jaar heb figuren 4 en 5). Op www.sageproject.nl staat
(cid:39)
wegwerken inzichtelijk ondersteunen met ik geëxperimenteerd welk effect het geven een twintigtal applets die gratis beschikbaar
het oppervlaktemodel (zie figuur 2), en van een cijfer voor werk op de DWO heeft. zijn gesteld met als doel het project te
via de tabelaanpak (zie figuur 3) eventueel Conclusie is dat leerlingen absoluut hun promoten en de SAGE bredere bekendheid
overstappen op de ouderwetse maar werk beter, vollediger en eerder doen met te geven. Na het bekijken van deze applets
vertrouwde ‘papegaaienmethode’ (mag u cijferdruk, maar dat daardoor de opgaven wordt ook duidelijk wat er op dit moment
zelf tekenen). uit het boek wel eens in de verdrukking technisch mogelijk is met de SAGE. Achter
Bij veel applets moet wel extra lesmateriaal komen. Een oplossing zou kunnen zijn het de schermen wordt nu hard gewerkt aan
gemaakt worden. Leerlingen krijgen dat in beter doseren en plannen van de leerstof, een versie waarbij de docent zelf feedback
de vorm van computerpractica aangeboden maar dat ondervind je pas na uitproberen. kan ontwerpen.
in Word-documenten, zowel op papier En pas na het opdoen van ervaringen, kun
maar ook aanklikbaar via de planner (figuur je adequaat je aanpak bijstellen. (cid:58)(cid:63)(cid:74)(cid:109)(cid:95)(cid:105)
(cid:22) 2 komt bijvoorbeeld uit een computer- Parallel aan het SAGE-project ben ik
(cid:43) practicum voor klas 2hv). Overigens zie je (cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:73)(cid:55)(cid:61)(cid:59) voor wiskunde druk bezig geweest met
dat in de nieuwste edities van verschillende Vorig jaar heb ik meegedaan met het het ontwikkelen van Digitale Interactieve
(cid:114)
wiskundemethoden steeds meer gebruikt SAGE-project (www.sageproject.nl). Met de Testjes (DITwis: een aanpasbaar java-
(cid:42)
wordt gemaakt van de applets van WisWeb SAGE (Scorm Applet GEnerator) kon ik als script programma waarvan het geraamte
(cid:46)
en dat bovendien het digitale materiaal deelnemer zonder kennis van programmeren geprogrammeerd is door Gerard Koolstra.
(cid:22) steeds meer via internet wordt aange- zelf applets maken die voldoen aan de In een DITwis blijven de vragen steeds
(cid:22)
boden. Alleen ontbreekt het vaak nog aan SCORM-standaard (SCORM is een soort hetzelfde, maar veranderen de getallen
(cid:73)
registratie van leerlingenwerk. wereldwijde afspraak/standaard waaraan telkens wanneer je een vraag opnieuw doet.
(cid:59) digitale leerpakketjes moeten voldoen Leerlingen kunnen dus de opgaven trainen
(cid:58) (cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:58)(cid:77)(cid:69)(cid:22)(cid:30)(cid:58)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:91)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22) met het oog op uitwisselbaarheid). Een zo vaak als nodig is. Net zoals bij SAGE,
(cid:69)(cid:99)(cid:93)(cid:91)(cid:108)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:31) superapplet dus waarmee je zelf applets is het mogelijk om van een DITwis een
(cid:63)
Juist bij de applets die bedoeld zijn om kunt maken! Op dit moment kan trouwens SCORM-pakketje te maken, waarbij het
(cid:66)
vaardigheden in te slijpen, wil je als iedere docent met toegang tot de DWO mogelijk wordt het werk van leerlingen
(cid:57) docent graag zien wat en vooral hoe ze het eigen applets ontwerpen met de SAGE. op te slaan in de eigen ELO. Leerlingen
gedaan hebben. Niet lang geleden vroeg ik De SAGE is namelijk binnen de DWO kunnen dan verder waar ze gebleven waren
(cid:75)
leerlingen een printje of een schermfoto in bereikbaar via de activiteit ‘wiskunde en als docent kan ik per klas en per leerling
(cid:59)
te leveren als bewijs dat ze hun huiswerk opdracht’. Alleen ontbreekt binnen de zien hoe iedereen het gedaan heeft. Een
028_Euclides_Biw_84-5_.indd 8 04-03-2009 09:54:34