ebook img

Euclides, jaargang 83 // 2007-2008, nummer 3 PDF

2007·2 MB·Dutch
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Euclides, jaargang 83 // 2007-2008, nummer 3

E u c l i dEs v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r d e c e m b e r 0 7 3 n r j a a r g a n g 8 3 Arbeidspositie wiskundedocenten staffelen Wiskunde in Wetenschap Priemgetallen Boekbesprekingen Het digitale schoolbord Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren colofon d e c e m b e r 0 7 3 n r j a a r g a n g 8 3 Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar. ISSN 0165-0394 Redactie Bram van Asch Klaske Blom Marja Bos, hoofdredacteur Rob Bosch Hans Daale Gert de Kleuver, voorzitter Dick Klingens, eindredacteur Wim Laaper, secretaris Joke Verbeek inzendingen bijdragen Nederlandse Vereniging lidmaatschap van Wiskundeleraren Artikelen/mededelingen naar de Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides. hoofdredacteur: Marja Bos, Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor Koematen 8, 7754 NV Wachtum - leden: € 52,50 E-mail: [email protected] Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00 Marian Kollenveld, - studentleden: € 26,50 Richtlijnen voor artikelen Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00 Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Tel. (070) 390 63 78 - leden van de VVWL: € 35,00 drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50 papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te Zie voor nadere aanwijzingen: secretaris geven bij de ledenadministratie. www.nvvw.nl/euclricht.html Wim Kuipers, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli. Waalstraat 8, 8052 AE Hattem Realisatie Tel. (038) 444 70 17 Abonnementen niet-leden Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende en mailingservices nummer. De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. ledenadministratie Niet-leden: € 55,00 Veenendaal, www.de-kleuver.nl Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00 De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50 Tel. (0321) 31 25 43 Betaling per acceptgiro. s E-mail: [email protected] E d Advertenties en bijsluiters De Kleuver bedrijfscommunicatie bv: i t.a.v. Ada Valkenburg l Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal c Tel. (0318) 555 075 u E-mail: [email protected] E EE uu cc ll ii ddEEss KK I oorrtt vvoooorraaff nhoud [[ MMaarrjjaa BBooss ]] Onderwijstijd 23 november 2007. Leerlingprotesten tegen de norm van 1040 klokuren onderwijstijd op jaarbasis: bezigheidstherapie? ‘Wij willen minder onderwijstijd!’ Diezelfde vrijdag: een lange en intensieve schooldag voor veel klassen havo-5 en vwo-5/6, ‘een héle dag wiskunde!’ Phew! En terwijl een grote kluwen actievoe- 97 Kort vooraf rende leerlingen van een naburige schoolgemeenschap aan de poort van mijn school rammelt, keren onze [Marja Bos] eigen bovenbouwleerlingen na het even aangezien te hebben al snel terug naar hun werkplekken, naar de 98 Het digitale schoolbord intrigerende problemen die het Freudenthal Instituut dit jaar presenteerde in het kader van de Wiskunde [Marjanne de Nijs] A-lympiade en de Wiskunde B-dag. Om vier uur leveren ze hun werk in, moe maar voldaan: ‘Dank u wel, 101 Staffelen mevrouw, voor de leuke dag!’ Natuurlijk, de gevulde koek en het pizzabroodje hebben mede bijgedragen [Sieb Kemme] aan de goede sfeer – maar ook (en zeker niet in de laatste plaats) de discussies binnen de groepjes over een 103 Enquête arbeidspositie handige wiskundige aanpak van de beide open problemen die op die dag centraal stonden. Onderwijstijd! wiskundedocenten [Gerard Koolstra, Ophokken of… Jos Andriessen] In de discussie over onderwijstijd duiken regelmatig de ‘nutteloze ophok-uren’ op. Natuurlijk, door veel 105 Steunpunt TU/e: Wiskunde scholen wordt deels aan de urennorm tegemoet gekomen door leerlingen in grote groepen ‘aan het huis- in Wetenschap werk’ bij elkaar te zetten zonder een nuttige invulling te geven aan die aldus gerealiseerde onderwijs(?)- [Hans Sterk] tijd, en zonder dat er sprake is van veel inhoudelijke begeleiding. Zo goed als zinloos. Maar dat betekent 107 Priemgetallen en de rij volgens mij niet, dat die tijd dan maar geschrapt moet worden. Minder is toch niet automatisch beter? van Fibonacci Op dit moment heeft of neemt de modale Nederlandse leerling buiten schooltijd toch al zo weinig tijd [Bart Zevenhek] voor z’n schoolwerk. Vooral de vaak omvangrijke baantjes eisen hun tol. Dat laatste is trouwens een 111 Beauty is the first test maatschappelijk probleem dat niet een-twee-drie op te lossen valt, maar ik vrees dat een reductie van [Jeanine Daems] de onderwijstijd op school niet gecompenseerd zal worden door een uitbreiding van de leertijd thuis. 113 Feiten en meningen / Demo- Het lijkt me juist van belang vast te houden aan ‘veel’ onderwijstijd, maar die dan wél te voorzien van grafie van wiskundedocenten een kwalitatief hoogstaande (vakinhoudelijke) invulling. Dat is ook waar veel leerlingen en studenten [Pauline Vos] juist om vragen! Tsja, dat kost ons als maatschappij een paar centen… maar als we de kwaliteit van het 116 Vakantiecursus 2007 Nederlandse onderwijs willen verbeteren, zullen we moeten investeren. [Gert de Kleuver] 7 117 Boekbespreking / Speeltuin 9 Effectief onderwijs en actieve leertijd van de wiskunde Overigens, allerlei onderzoek wijst uit dat ‘actieve leertijd’ een belangrijke component is van effectief [Chris van der Heijden] onderwijs. Het gaat dan enerzijds wel degelijk om de blote hoeveelheid tijd die aan leren en onder- 118 Mededeling wijzen besteed wordt (‘gelegenheid om te leren’), anderzijds om relevantie, moeilijkheidsgraad en ‘zin- 120 Verschenen volheid’ van de leeractiviteiten. Naarmate die actieve leertijd groter is, kan de leerling in het algemeen 122 Boekbespreking / Gecijferd- tot betere prestaties komen. Een open deur, zou je zeggen, maar toch! Aanvullende gunstige factoren heid in beeld voor betere prestaties zijn een systematische terugkoppeling naar de leerling van diens vorderingen in [Joke Verbeek] het leerproces (dus niet eindeloos wachten met toetsen) en structurering van leertaken. Voor de goede 124 Jaarrede 2007 orde: dat laatste is wat anders dan het kant-en-klaar opdienen van hapklare brokken! [Marian Kollenveld] 125 Advisering rechtspositie Rechtspositionele hulp [Pim van Bemmel] Vanwege haar toetreding tot de CMHF/MHP kan de Vereniging u sinds 1 november jl. hulp 125 Nieuws van het bieden bij rechtspositionele (arbeids-)problemen. Daartoe is een overeenkomst aangegaan met een WereldwiskundeFonds 3 rechtsbijstandsbureau inzake arbeidsconflicten. Voor meer informatie zie pagina 125. [Juliette Feitsma] | 127 Gesprek met Commissie 3 in dit nummer Dijsselbloem 8 Heeft u ‘m al, het interactive whiteboard? Voor mij is het gebruik ervan nog geen gesneden koek, maar [Marian Kollenveld] dat het veel mogelijkheden biedt, dat is me inmiddels zo klaar als een klontje! Marjanne de Nijs is een 128 Standpunt NVvW m.b.t. de ervaren gebruiker; lees haar enthousiaste en stimulerende bijdrage op pagina 98. examenprogramma’s van 2011 Gerard Koolstra en Jos Andriessen vroegen zich afgelopen najaar af, hoeveel wiskundelessen er op dit [Marianne Lambriex] moment onder- of onbevoegd gegeven worden, hoeveel er vervallen wegens een tekort aan wiskunde- 130 Recreatie s E docenten, etc. Ze hielden hierover via hun WiskundE-brief een enquête, en publiceerden aansluitend de [Frits Göbel] d resultaten. Het leek ons de moeite waard om die uitkomsten - met toestemming van de twee onder- 132 Servicepagina i zoekers - ook nog eens in Euclides te publiceren; zie pagina 103. Ook Pauline Vos gaat in haar column l ‘Feiten en meningen’ in op de steeds groter wordende tekorten aan goed-geëquipeerde wiskundeleraren. Daarnaast zijn in dit nummer uiteraard ook nog andere lezenswaardige artikelen, boekentips en wiskun- c dige uitdagingen te vinden voor de komende kerstvakantie. Onderwijstijd is mooi, maar vakantietijd is Aan dit nummer werkte verder mee: u ‘ook niet verkeerd’, zoals ze dat in Groningen met gevoel voor understatement weten te benoemen. Peter Boelens. E Fijne feestdagen gewenst! H e t d i g i t a l e s c h o o l b o rd LaS t of L uS t? [ Marjanne de Nijs ] de 21e eeuw succes snel worden opgeroepen; logaritmisch, In 2000 maakte ik een carrière-switch: van Waarom is het werken met een digitaal dubbel-logaritmisch of normaal- techneut en systeembeheerder naar wiskunde- schoolbord zo’n succes geworden bij ons waarschijnlijkheidspapier is evenmin een docent in het middelbaar onderwijs. Als net op school? Die vraag kan eigenlijk het best probleem. Meetkundige figuren tover je uit het bedrijfsleven gestapte zij-instromer had beantwoord worden door te beschrijven wat met een druk op een knop op het bord en ik het gevoel een aantal jaar teruggeplaatst er allemaal mogelijk is. een liniaal hoort tot de standaarduitrusting. te zijn in het digitale tijdperk: overhead- Het klaslokaal dient allereerst uitgerust Het is zelfs mogelijk elk geschreven woord sheets, knip- en plaktoetsen en roosterwij- te worden met een computer, beamer om te zetten naar getypte tekst. Dat vereist zigingen die op papier over het gebouw en digitaal schoolbord. Vervolgens kan wel wat handigheid. werden verdeeld. Het eerste jaar liet ik het eenvoudig gebruik gemaakt worden van Daarnaast kan elke toepassing worden allemaal over me heen komen, eerst maar alle software die de afgelopen jaren bij de opgestart die op de computer staat. kennis en ervaring opdoen. methodes wordt meegeleverd. Je hoeft niet Op deze manier is het mogelijk, even met met een hele klas naar een mediatheek of de klas een studiewijzer door te nemen Het tweede jaar kon ik het toch niet laten aparte computerruimte, je integreert het of een toets te bespreken, een opgave te om met een laptop en een beamer te gaan gewoon direct in je les. Als presentaties presenteren die niet in het boek staat, of sjouwen. Elke les opbouwen en aan het eenmaal gemaakt zijn, kunnen ze worden met behulp van een presentatie weer wat einde afbreken om toch maar materiaal uitgewisseld binnen de sectie, en dat levert voorkennis op te halen. Al het geschreven op het whiteboard te kunnen laten zien tijdwinst op. Het bespreken van toetsen is materiaal kan worden opgeslagen; dus is het waarvan ik vind dat het de wiskunde in de veel eenvoudiger geworden, omdat de toets eenvoudig om nog even een voorgaande les les beter tot zijn recht laat komen. Er kwam op het bord wordt geprojecteerd, eventueel terug te halen en te bespreken. ondersteuning van school, een eigen lokaal met een volledige uitwerking ernaast. Een 8 9 en een internetaansluiting. De beamer kreeg internetaansluiting in de klas levert talloze Grafische rekenmachine een vaste opstelling aan het plafond en werd mogelijkheden om lessen te verrijken: Leerlingen in klas 4 moeten leren omgaan zonder gezeur vervangen en extra beveiligd, je kunt kort ingaan op actuele zaken of met de grafische rekenmachine, liefst zo nadat het eerste exemplaar gestolen was. gebruik maken van de sites die voor je vak snel mogelijk. Uiteraard doen ze dat met Zelf werd ik daardoor erg gemotiveerd om bestaan. Wat betreft klassenmanagement: hun practica, maar tijdens de uitleg van materiaal te schrijven en verzamelen; steeds de leerlingenlijst kan worden geprojecteerd, opgaven verwijst een docent regelmatig naar meer nieuwe mogelijkheden dienden zich absenten worden snel genotuleerd, eventueel verschillende functies. Op de vraag: ‘Waar aan. Ook andere collega’s waren inmiddels in combinatie met voortgang van huiswerk. zit die toets dan?’, moesten we vroeger de enthousiast en zo konden we ideeën Als de school werkt met een elektronische rekenmachine in de lucht steken en wijzen. uitwisselen. leeromgeving, kan direct in de klas bekeken Tegenwoordig zet je de grafische reken- worden waar gegevens staan, en of leerlingen machine vergroot op het scherm van het Drie jaar geleden mochten we experimen- bijvoorbeeld werkelijk gevraagd materiaal bord en wijs je niet alleen de juiste toets teren met een digitaal schoolbord. De hebben ingeleverd. aan, maar druk je hem ook meteen in om 3 beamer projecteert het beeld nu niet op een Voor elk vak zijn er een groot aantal te laten zien wat het effect is. Met behulp gewoon whiteboard maar op een interactief toepassingen te noemen; ik beperk me hier van de software van de fabrikant verschijnt | bord. Je hoeft voor het besturen van je tot de zaken die ik zelf gebruik in mijn er een volledig werkende grafische reken- 3 laptop niet elke keer naar je toetsenbord toe wiskundelessen. machine. Leerlingen laat ik vaak naar voren 8 maar je kunt de computer besturen via het komen om hun invoer in te toetsen en schoolbord. Op dit moment hangt op onze standaard centraal te bespreken. school in ieder lokaal een digitaal school- Uiteraard kan op een digitaal schoolbord Van een functie kunnen bijvoorbeeld bord, docenten zijn bijgeschoold en met gewoon geschreven worden, maar dan wel tegelijkertijd het functievoorschrift, de tabel s name enthousiast gemaakt door vakcollega’s met behulp van bijvoorbeeld een speciale en de grafiek worden bekeken en zo wordt E d van de eigen sectie die een voortrekkersrol elektronische pen. Er zijn echter ook borden het verband duidelijk. gehad hebben. die met de vinger worden bestuurd. Het is zelfs mogelijk om, met een extra i (Leerling: ‘Mevrouw, er komt rood uit uw koppeling aan de computer, de inhoud l Als ik langs mijn oude bedrijf ga, vraag vinger!’) van de grafische rekenmachine van een c ik me af waarom ze hun presentaties nog De achtergrond kan gewoon wit blijven willekeurige leerling te projecteren en te geven met beamer en laptop en nog niet zo maar ook willekeurig elke andere kleur. bespreken. Uiteraard zijn het tenslotte vaak u interactief als wij inmiddels doen. Er kan gekozen worden voor lijntjes of een de haakjes en minnetjes die sommen niet E raster, en ook een coördinatenstelsel kan laten kloppen. Multiple choice Ons digitale schoolbord heeft een extra optie en dat zijn stemkastjes; deze zijn draadloos en kunnen aan het begin van de les worden uitgedeeld. Er zitten verschil- lende toetsen op: een rode en een groene voor ‘ja’ en ‘nee’ of ‘goed’ en ‘fout’. Maar ook 6 toetsen met daarop A tot en met F. Met software die bij het bord is mee- geleverd of gratis op internet te krijgen is, is het nu mogelijk een quiz te maken. Op dit moment zijn er al verschillende sites die hiervoor kant en klaar materiaal aanbieden. Dat zal de komende jaren toenemen. Theorie is op deze manier terug te vragen. Wij toetsen in de onderbouw vaardigheden met meerkeuzevragen en laten onze leer- lingen met de stemkastjes oefenen voordat de proefwerkweek start. schoolbreed De genoemde gebruiksmogelijkheden gebruiken ondersteun ik mijn uitleg graag Zoals eerder genoemd is het digitale school- gelden voor de machines van zowel Casio met materiaal ervan, bijvoorbeeld in een bord onze school in eerste instantie binnen als Texas Instruments. klassengesprek over theorie of over specifieke gekomen via een klein groepje collega’s dat opgaven. Leerlingen kunnen naar voren enthousiast was en er tijd in wilde steken. Begrip gehaald worden om centraal te oefenen, of Toch hangen de borden met ingang van Het opstarten van de les kan met een individueel als de rest van de klas aan het dit schooljaar in alle lokalen en kan iedere 29 opwarmertje. Leerlingen zitten met hun werk is en het kwartje nog niet gevallen is. collega er mee werken. Dat is uiteraard niet 39 3 hoofd nog bij andere dingen en je wilt de Het vervangt niet de gewone manier van vanzelf gegaan. hersencellen toch graag op wiskunde rich- uitleggen maar voegt wat toe, waardoor Drie jaar geleden is gestart met een klein ten. Op internet staan hele korte filmpjes leerlingen met verschillende leerstijlen aantal borden. Deze werden gehangen in over wiskunde, vaak maar 2 minuten. Ook worden bediend. de lokalen van docenten die er graag mee het snel laten zien van een hersenbreker of wilden werken. Deze docenten werd visueel grapje werkt goed op het moment Geocadabra en cabri verzocht tijdens sectievergaderingen hun dat leerlingen binnenkomen. Soms pluk ik Om wiskundige principes op dynamische collega’s te laten zien hoe ze gebruik maak- een misleidende advertentie over kansspellen wijze te demonstreren zijn er veel mogelijk- ten van de digitale borden en wat de moge- van het internet of scan een krantenartikel heden. Allereerst zijn er op internet veel lijkheden zijn. Met name de secties met veel aantallen en procenten. Er hoeft applets te vinden. Dit zijn interactieve wiskunde, natuurkunde, scheikunde, niet gekopieerd te worden; het is een kwestie illustraties, in vrijwel elke les in te passen biologie en aardrijkskunde hadden een van scannen of direct van internet halen omdat er bij elk onderwerp wel iets te voortrekkersrol. Vorig jaar werden er meer en bespreken. Op actuele zaken kan direct vinden is. Daarnaast is Geocadabra zeer borden opgehangen voor de secties die al 3 worden ingespeeld door de juiste site er bij te geschikt in combinatie met een digitaal materiaal hadden ontwikkeld en collega’s | halen. Voor leerlingen is het vaak motiverend schoolbord; ook hiervoor geldt dat voor die ook de voordelen zagen. Een aantal keer 3 om wiskunde in een breder en actueel kader elk niveau en onderwerp een toepassing is. in dat jaar zijn introducties en scholings- 8 te zien. Zelf heb ik gemerkt dat er hele leuke Illustraties kunnen gewenteld worden of activiteiten georganiseerd waarbij elke inhoudelijke gesprekken door ontstaan. Ook bewegende onderdelen bevatten. Dit leidt collega de kans kreeg te leren hoe het werkt en kun je gauw een bruggetje slaan naar de stof tot een beter begrip van onderdelen als meet- wat de mogelijkheden zijn. Op studiedagen waarmee ze op dat moment bezig zijn of die kunde, analyse en kansrekening. Voor het is er tijd ingeruimd om secties met elkaar te binnenkort aan de orde komt. maken en onderzoeken van meetkundige laten oefenen en ideeën uit te wisselen. Een ss EE constructies is ook Cabri erg geschikt. Een aantal docenten heeft, op verzoek van de dd De wiskundemethodes hebben inmiddels onderwerp kan ingeleid worden door eerst oudervereniging, ook voor geïnteresseerde ii allemaal ict-modules. Opgaven of soms intuïtief een vermoeden te ontwikkelen en ouders een ‘digitale’ les verzorgd. ll hele paragrafen zijn te vervangen door het daar vervolgens theoretisch op in te gaan. Voordat het schooljaar daadwerkelijk werken met een cd-rom. Uitleg daarbij Ook kan een opgave worden behandeld begon, is voor onze nieuwe collega’s die cc wordt vaak interactief gegeven met een door stapsgewijs de uitwerking te laten over het algemeen onbekend waren met een uu prettige achtergrondstem. Om leerlingen te zien. Lessenseries kunnen worden gemaakt digitaal bord, ook een cursus gegeven. Met EE motiveren de cd-rom ook werkelijk thuis te en met sectiegenoten gedeeld. een korte introductie en vervolgens wat tijd om te oefenen heeft eigenlijk vrijwel samenvattend iedereen het snel onder de knie. Er is de afgelopen jaren veel gebeurd op Basisvaardigheid is dat het schrijven onder digitaal gebied in onderwijsland. Er is goed controle is en het aanzetten van computer lesmateriaal voor de computer ontwikkeld en beamer geen probleem oplevert. Andere en er zijn talloze ondersteunende sites. toepassingen en mogelijkheden zijn niet Vrijwel elke school werkt met een eigen anders dan de gebruikelijke computer- website en een aantal al met een elektroni- vaardigheden zoals een tekstverwerkings- sche leeromgeving. Er ligt nu de mogelijk- programma openen of internet opstarten. heid om deze ontwikkelingen de klas en Het blijft lastig als het bord niet doet wat je de les binnen te halen. Uiteraard kost het wilt op het moment dat er 32 leerlingen tijd om een aantal zaken onder de knie te voor je zitten, maar voor noodgevallen krijgen; zo’n digitaal bord lijkt weer een hebben we altijd een klein whiteboard taakverzwaring en energievreter. Toch is hangen naast het digitale bord. met basale computerkennis al veel mogelijk; uiteindelijk levert het meer mogelijkheden Keuze binnen de les en kan er efficiënter gewerkt In het begin is gestart met een ander merk worden binnen de sectie. Reacties van leer- bord dan waarmee we nu schoolbreed lingen zijn positief en het motiveert als ze werken. Tijdens het experimenteren door beter begrijpen wat ze aan het doen zijn of een kleine groep docenten is er met ver- waar de theorie toe leidt. Hun wereld is al schillende borden gewerkt om de voor- en digitaal; dus krijgen ze onderwijs dat nadelen van elke keuze te kunnen bepa- aansluit bij hun eigen beleving. De len. Door verschillende fabrikanten zijn wiskunde is niet veranderd, de wijze introducties verzorgd om een goed beeld waarop we het kunnen onderwijzen wel. te krijgen van de verschillen en overeen- komsten. De software heeft diverse toe- De menu-optie ‘Lesmateriaal’ op de passingen en een andere vormgeving, maar Verenigingssite (www.nvvw.nl) geeft een 40 40 ook de wijze van het bedienen van een bord goed beeld van de mogelijkheden. 21 is verschillend. Met name over de keuze van Daarnaast heb ik www.wiskundemeisjes.nl het schrijven met een elektronische pen op als favoriete site; de dames houden mijn een hard bord of met je vinger op een zacht klassen vrijwel dagelijks op de hoogte van bord (touch screen) is goed nagedacht. In wetenswaardigheden, actuele zaken, leuke het eerste geval is de baas over het bord filmpjes en uitdagende puzzels. degene met de pen, in het andere geval kan iedereen die langs loopt het bord bedienen. Een technische voorwaarde is dat het schoolnetwerk voldoende capaciteit heeft; de computers en beamers moeten zonder mankeren werken. Verder hebben wij op onze school het voordeel dat onze systeem- 3 beheerders ruimte hebben om problemen direct op te lossen. Ook onze technische | ondersteuning heeft als prioriteit dat wij als 3 docenten zonder gedoe gewoon ons werk 8 kunnen doen. ss Over de auteur EE dd Marjanne de Nijs is eerstegraads docent wiskunde op het Alfrink College te ii Zoetermeer. Met ingang van 1 januari 2008 ll wordt zij hogeschooldocent aan de leraren- cc opleiding wiskunde (bachelor en master) van de Hogeschool Utrecht. uu E-mailadres: [email protected] EE s t a f f e l e n [ Sieb Kemme ] Mijn vaste hardloopmaatje is in zaken. Hij is bezig een nieuw product in de ICT-markt te zetten en is in gesprek met zijn eerste klant. Deze klant wil zijn marketing automatiseren en gegevens van klanten kunnen bewaren. Het kan om grote aantallen gegevens gaan. Hoeveel, is van te voren niet bekend. De klant verwacht in geval van grote aantallen een stevige korting. Na wat onderhandelen komen ze tot de volgende afspraken: - de eerste 5000 exemplaren kosten € 1,50 per stuk, - daarna wordt er per volgend 5000-tal een figuur 2 steeds lagere stuksprijs betaald, - voor afname van 200.000 exemplaren wordt Het gaat om 39 intervallen met een totaal Dat lijkt helemaal nergens op en dat had € 75.000,00 betaald en dat bepaalt ook de verschil van 75000 - 7500 = 67500. Dus ik van te voren ook wel kunnen weten. stuksprijs voor de volgende afname. per 5000-tal een toename van € 1730,77. Een progressieve staffel! De klant gaat per ‘Dat heet staffelen’, weet hij me te melden. De rest van het cijferwerk levert Excel op de stuk meer betalen naarmate er meer wordt Zo leer je nog eens wat. Of ik maar even een cent nauwkeurig. Erg blij wordt mijn afgenomen. De grafiek moet juist andersom prijsstelsel wil bedenken voor elk 5000-tal dat collega hardloper niet van deze oplossing. gaan lopen: eerst steil en geleidelijk aan aan deze voorwaarden voldoet. Er wordt veel Na de eerste 5000 gaat zijn stuksprijs van steeds vlakker. Dus een wortelverband, een gestaffeld in de financiële wereld. Het € 1,50 naar € 0,35 om vervolgens constant hyperbolisch verband of een logaritmisch schijventarief van de inkomstenbelasting is te blijven. Hij wil bij een aantal van 10.000 verband. Ik kies voor de laatste, maar had een staffel. Die is progressief: naarmate je zijn ontwikkelkosten wel zo’n beetje waarschijnlijk net zo goed voor de eerste meer verdient betaal je een hoger percentage. terughebben. twee kunnen kiezen. Ook literaire uitgeverijen werken vaak met Die 10.000 leveren hem 7500 + 1750 = 541 een progressieve staffel: voor de grotere aan- 9250 op en dat is te weinig. ‘Nou ja’, zeg Een logaritmische staffel 490 221 tallen verkochte boeken ontvangt de auteur ik, ‘de basisgetallen heb je nu, de rest pas je De grafiek van y = ln(x) heeft een verticale een hoger percentage per verkocht exemplaar. maar met de hand aan.’ Met dat antwoord asymptoot bij x = 0. Dat kan ik hier niet blijk ik zelf ook niet zo tevreden te zijn, gebruiken. Omdat de grafiek ook door (0,0) Een lineaire staffel want het probleem blijft aan me knagen. moet gaan ligt de formule y = a ln(bx + 1) Tot 5000 exemplaren is de stuksprijs € 1,50. voor de hand. Voor het gemak rekenen we Voor de eerste 5000 betaalt de klant dus Een exponentiële staffel in 39 genummerde stappen van 5000- € 7500,00. Daarna moet die stuksprijs naar Geen rechte lijn dus. In 39 stappen van tallen. Invullen van de punten (1, 7500) en beneden. Een oplossing met een rechte lijn 5000 gaat het bedrag van 7500 naar (39, 75000) levert twee vergelijkingen met ligt voor de hand. Je weet het beginpunt 75.000, het tienvoudige. Dat lijkt op een de onbekenden a en b: met coördinaten (5000, 7500) en het eind- exponentieel verband met groeifactor  7500=aln(b+1)  punt (20.0000, 75.000). De eindprijs van 3910=1,06. Excel er weer bijgehaald voor 75000=aln(39b+1) elk 5000-tal leg je netjes op de lijn tabel plus bijbehorende grafiek; zie figuur 2. Op elkaar delen geeft direct: door beide punten en klaar is je staffel; ln(39b+1) 3 =10 zie figuur 1. ln(b+1) | Of: ln(39b + 1) = 10 · ln(b + 1). 3 Links en rechts tot de e-macht verheffen: 8 39b + 1 = (b + 1)10. Een vergelijking met b als enige onbekende. Een rechte lijn die de grafiek van een machtsfunctie snijdt. Er is precies één snijpunt. De vergelijking is niet met algebra sss EEE op te lossen. Dan maar weer Excel erbij ddd gehaald en met tabellen het snijpunt iii voldoende nauwkeurig bepaald: b = 0,28. lll Invullen in de eerste vergelijking levert a = 30.381,58. ccc uuu figuur 1 EEE figuur 3 2 0 1 figuur 4 De grafiek van de eindbedragen ziet er Tot slot volgens Excel uit als figuur 3. Al dat gereken had natuurlijk ook met de Dat ziet er een stuk fatsoenlijker uit. grafische rekenmachine uitgevoerd kunnen Dat geldt ook voor de prijs per artikel. worden. Maar voor iemand die de grafische Voor de eerste 25 000 exemplaren gaat het rekenmachine niet dagelijks gebruikt, blijft in mooie stappen naar beneden en voor dat toch een tamelijk ontoegankelijk de hele grote aantallen tekent zich een vast apparaat. Bovendien is Excel buiten de 3 tarief af: schoolmuren een algemeen gebruikt programma. Het kan geen kwaad als leer- | 5.000 € 1,50 180.000 € 0,15 lingen ook met Excel hun wiskunde leren 3 10.000 € 1,20 185.00 € 0,15 toepassen. Bovendien levert Excel mooiere 8 15.000 € 1,00 190.000 € 0,15 grafieken. 20.000 € 0,86 195.000 € 0,14 Wie mocht denken dat dit allemaal verzon- 25.000 € 0,75 200.000 € 0.14 nen is om een mooie som over de verschil- lende soorten verbanden te maken, die s De grafiek van deze tabel laat dat nog beter heeft het mis. Alleen de personen zijn van E d zien en is meteen een mooie illustratie van gedaante veranderd, maar de situatie is waar Over de auteur toenamediagrammen; zie figuur 4. gebeurd. Overigens zitten er nog wel mooie Sieb Kemme houdt zich de laatste jaren i Mijn hardloopmaatje kan tevreden zijn. Ik opgaven in: vooral bezig met het ontwikkelen van l adviseer nog om bij grotere aantallen ook - Maak een geschikte wortel-staffel. lesmateriaal voor het wiskundeonderwijs en c grotere stappen nemen in plaats van de - Maak een geschikte hyperbolische staffel. is sinds augustus 2007 projectleider van het vaste stap van 5000 exemplaren. Dat mag - Vergelijk de drie staffels met elkaar en cTWO-team. u hij verder zelf uitzoeken. geef een advies. E-mailadres: [email protected] E E n q u ê t e a r b e i d s p o s i t i e w i s k u n d e d o ce n t e n [ Gerard Koolstra en Jos Andriessen ] Aanleiding evenveel scholen. Het betreft naar schatting Op basis van de individuele gegevens De redactie van de WiskundE-brief heeft ca. 25% van het aantal scholen met een havo- kunnen we concluderen dat bij meer dan de eind september, begin oktober 2007 via en/of vwo-afdeling in Nederland. We hebben helft van de scholen meer dan incidenteel een online enquête onder de abonnees een geprobeerd te voorkomen dat de enquête sprake is van niet-gegeven lessen en/of onderzoek gedaan naar de toestand van het vooral zou worden ingevuld met gegevens van overuren. In ca. 12% van de gevallen gaat Nederlandse wiskundeonderwijs in het licht scholen waar de problemen relatief groot zijn, het om meer dan 10% van de wiskunde- van het toenemend tekort aan gekwalifi- maar het is lastig om achteraf na te gaan in lessen die niet op een ‘normale’ manier ceerde wiskundeleraren. hoeverre dat gelukt is. De uitkomsten moeten worden gegeven. Aanleiding was het ongekend grote aantal in die zin dan ook met voorzichtigheid noodkreten van scholen die vlak voor de gehanteerd worden. Ze geven een indicatie Onbevoegde leraren in de zomervakantie nog op zoek waren naar van de problematiek rond het tekort aan onderbouw wiskundedocenten. Vooral de vraag naar wiskundeleraren op dit moment. In ca. 55% van alle scholen geven eerstegraads docenten leek hoog. Daarnaast onbevoegden les in de onderbouw. circuleren er allerlei verhalen over een Niet gegeven lessen Het is bij lange na geen uitzondering dat sterke afname van het aantal eerstegraads Bij minder dan 80% van alle scholen is de wiskundelessen in de onderbouw havo/vwo bevoegden in het voortgezet onderwijs, en situatie optimaal. worden gegeven door docenten die niet een sterke toename van het aantal wiskunde- Ervan uitgaand dat normaal is dat alle bevoegd zijn. Niet zelden gaat het zelfs om lessen dat onbevoegd wordt gegeven. Verder lessen worden gegeven, is het zorgelijk dat tientallen procenten. vroegen we ons af wat er gebeurt wanneer op zo’n 20% van de scholen lessen meer Op basis van de individuele gegevens kan vacatures onvervuld blijven. Worden er dan incidenteel uitvallen omdat er onvol- (rekening houdend met de leerlingen- 83 lessen niet gegeven? Wordt er overgewerkt? doende wiskundeleraren beschikbaar zijn. aantallen) een schatting gemaakt worden 00 31 Worden er groepen gecombineerd? In zo’n 7% van de scholen is er zelfs sprake van het aantal wiskundelessen dat in de Om wat meer zicht te krijgen op de situatie van een uitvalpercentage van meer dan 5. onderbouw onbevoegd wordt gegeven: hebben we een enquête via een webpagina bijna 10%. Er zijn grote verschillen. Bij gehouden, en aan onze lezers gevraagd deze Overuren en samenvoegen groepen 45% van de scholen speelt het niet of ‘gedisciplineerd’ in te vullen (één respons per Bij meer dan 40% van alle scholen komt dit nauwelijks, bij ca. 12% van de scho- school, ook reageren als er weinig aan de hand voor. len gaat het om meer dan 30% van de was). Een manier om te voorkomen dat leerlingen wiskundelessen. In het nummer van 14 oktober jl. (nummer geen of minder les hebben, is andere docenten 433) konden we de resultaten publiceren. extra uren te laten geven, of groepen samen Bovenbouwlessen door te voegen die anders apart les zouden niet-eerstegraders Vooraf hebben. In meer dan 40% van de scholen In 3 op de 4 scholen geven onderbevoegden De enquête is ingevuld door ca. 160 mensen. speelt dit. In 20% van de gevallen gaat het les in de bovenbouw. Als het goed is (maar dat kunnen we niet om meer dan 5% van de lessen, soms De uitkomsten bevestigen de indruk dat 3 controleren) correspondeert dit aantal met aanzienlijk meer. een groot aantal lessen in de bovenbouw | 3 8 ss EE dd ii ll cc uu EE en in het zuiden ‘slechts’ 7%. In het noorden wordt maar liefst 22% van de lessen in de bovenbouw gegeven door docenten zonder eerstegraads bevoegdheid, in het oosten is dat ongeveer 12%. In het noorden worden opvallend veel lessen gegeven in overuren of gecombineerde groepen (ca. 5%), tegen bijvoorbeeld 2% in het zuiden. Voorzichtige conclusies De enquête die we gehouden hebben, heeft niet de pretentie representatief te zijn. Het is goed mogelijk dat, ondanks onze oproep om ook te reageren als er weinig aan de hand lijkt te zijn, ‘probleemscholen’ over- vertegenwoordigd zijn. Anderzijds gaat het om de situatie in het schooljaar 2007-2008, terwijl de voorspellingen uitwijzen dat de echte problemen nog vóór ons liggen. Tegen deze achtergrond zijn de uitkomsten van de enquête op zijn minst verontrustend. Nu al worden veel lessen gegeven door mensen die daarvoor niet de juiste bevoegd- heid hebben. Daarnaast is de pijn, zoals vaker, ongelijk verdeeld. Bij sommige scholen (zo’n 20% in onze steekproef) is 04 20 weinig aan de hand, bij andere zie je op 1 meerdere fronten problemen. Bij ongeveer een kwart (ruwe schatting) van de scholen in onze steekproef wordt meer dan de helft van de lessen gegeven op een niet-optimale wijze: zonder de juiste bevoegdheid of als extra belasting voor de leerkracht. 3 | 3 wordt gegeven door docenten zonder door leraren zonder deze opleiding. Op 8 eerstegraads bevoegdheid. Het gaat om heel wat scholen is de rol van universitair- Noot gemiddeld ca. 16% van de lessen, met opgeleide wiskundedocenten marginaal. In De resultaten van deze enquête werden behoorlijke uitschieters naar boven. In ruim 25% van de gevallen nemen zij minder dan eerder gepubliceerd in de WiskundE-brief 10% van de gevallen gaat het om meer dan 20% van de wiskundelessen in de tweede (nummer 433) van 14 oktober 2007. ss 40% van de lessen. De scholen waar fase voor hun rekening. EE dd (praktisch) alle lessen in deze sector door Over de auteurs eerstegraads docenten worden verzorgd Regionale verschillen Jos Andriessen en Gerard Koolstra vormen ii zijn in de minderheid - nauwelijks meer Het lijkt erop dat de situatie in het noorden de redactie van de WiskundE-brief, waarvan ll dan 25%. Docenten met een afgeronde en westen van het land wat ernstiger is dan het archief te vinden is op de website cc universitaire opleiding spelen kwantitatief in het zuiden en oosten. Zo wordt in het www.wiskunde-brief.nl. geen dominante rol meer in de bovenbouw. westen naar schatting 11% van de wiskunde- E-mailadressen: [email protected] uu Circa 55% van de lessen wordt gegeven lessen in de onderbouw onbevoegd gegeven, en [email protected] EE

See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.