Euclides, jaargang 83 // 2007-2008, nummer 2

2007·3.3 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

E u c l i d E s
v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r
n o v e m b e r
0 7 2
n r
j a a r g a n g 8 3
scenario 5
Algebra is leuk
Wiskunde in het
Profielrapport
Kennisbank
wiskunde
Wiskunde
Olympiade
schoolTV
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
colofon
n o v e m b e r
0 7 2
n r
j a a r g a n g 8 3
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
Redactie
Bram van Asch
Klaske Blom
Marja Bos, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Joke Verbeek
inzendingen bijdragen Nederlandse Vereniging lidmaatschap
van Wiskundeleraren
Artikelen/mededelingen naar de Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
hoofdredacteur: Marja Bos, Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
Koematen 8, 7754 NV Wachtum - leden: € 52,50
E-mail: [email protected] Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00
Marian Kollenveld, - studentleden: € 26,50
Richtlijnen voor artikelen
Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Tel. [phone] - leden van de VVWL: € 35,00
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
Zie voor nadere aanwijzingen: secretaris geven bij de ledenadministratie.
www.nvvw.nl/euclricht.html Wim Kuipers, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
Waalstraat 8, 8052 AE Hattem
Realisatie Tel. [phone] Abonnementen niet-leden
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
en mailingservices nummer.
De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. ledenadministratie Niet-leden: € 55,00
Veenendaal, www.de-kleuver.nl Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00

De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
s
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.
E
E-mail: [email protected]
d Advertenties en bijsluiters
De Kleuver bedrijfscommunicatie bv:
i
t.a.v. Ada Valkenburg
l
Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal
c Tel. [phone]
u E-mail: [email protected]
E
EE uu cc ll ii dd EE ss
KK I
oorrtt vvoooorraaff nhoud
[[ MMaarrjjaa BBooss ]]

Vereniging
Op de Verenigingspagina’s van dit nummer (zie pagina 81 en verder) vindt u niet alleen de
stukken voor de jaarvergadering van 10 november a.s., maar ook informatie over kwesties waarmee
het NVvW-bestuur en enkele werkgroepen van de Vereniging zich de laatste tijd hebben bezig- 53 Kort vooraf
gehouden: een nieuw nomenclatuurrapport en zogeheten uitstaptoetsen ter verbetering van de [Marja Bos]
aansluiting tussen voortgezet en hoger onderwijs. 54 Wiskunde in scenario 5, deel 1
[Corine van den Boer e.a.]
Formulekaart niet toegestaan 57 Het mooiste vak van de wereld
Tijdens de centrale wiskunde-examens havo 2009 en vwo 2010 mag geen formulekaart meer [Mieke Thijsseling]
worden gebruikt. Voor de vwo-examens (niet voor de havo-examens!) worden in het examen zelf 58 Algebra is leuk…
een aantal formules afgedrukt die de kandidaten kunnen gebruiken, bij wiskunde B aangevuld met [Pieter van der Zwaart e.a.]
een steekwoordverwijzing naar definities en stellingen. Voor meer informatie zie www.examenblad.nl. 61 Wiskunde in het Profielrapport
[Wim Kleijne]
Eindadvies Profielcommissies afgewezen 64 SchoolTV: Wiskunde voor de
Eind september werd door de twee Profielcommissies het gezamenlijke eindadvies uitgebracht tweede fase
over de ontwikkeling van bovenbouw havo en vwo op de langere termijn. Staatssecretaris Van [Johan Gademan e.a.]
Bijsterveldt liet echter direct weten de voorstellen niet te zullen overnemen. Desondanks kan het 66 Wiskundeoffensief start met
de moeite waard zijn mee te denken over de richting waarin de gedachten van de commissies wiskundefilm
gingen. [Platform Bèta Techniek]
Zo worden in het rapport drie in plaats van twee fasen in de profielstructuur bepleit: een 66 Aankondiging
oriënterende tussenfase zou de brug moeten slaan tussen fundering en specialisatie. Verder is er in 67 Verschenen
de adviezen veel aandacht voor de verwerving van een brede kennisbasis, met wiskunde verplicht 67 Aankondiging
voor alle leerlingen. Tot slot noem ik het voorstel tot indikking tot twee profielen: enerzijds een 68 Ik las en dacht…
maatschappijprofiel met drie richtingen, anderzijds één bèta-breed natuurprofiel – onder meer om [Klaske Blom]
te bewerkstelligen dat meer leerlingen (met name meer meisjes) kiezen voor bèta. 71 De Kennisbank Wiskunde van het
Voormalig wiskundeleraar en VO-inspecteur Wim Kleijne gaat op pagina 61 in op aspecten van Ruud de Moor Centrum
3
het eindadvies die betrekking hebben op rekenen en wiskunde. [Henk Staal] 5
76 De Wiskunde Olympiade is er voor
Veldraadpleging over ‘2011’ oud én jong
Nog meer havo/vwo-nieuws. Afgelopen september vonden veldraadplegingen plaats over de [Quintijn Puite]
voorstellen voor de havo/vwo-examenprogramma’s zoals die in 2011 ingevoerd worden. Op beide 78 Canon van de Wiskunde
bijeenkomsten waren helaas maar weinig ‘echte leraren’ aanwezig. Je kunt je afvragen in hoeverre [Johannes Lok, Wiggert Loonstra]
de geluiden dan nog representatief zijn; desondanks een paar impressies. 79 Boekbespreking / In de ban van de
Bij de meeste van de zeven programma’s was er nog steeds lichte twijfel over de haalbaarheid. Soms wiskunde
betrof dit de mogelijke overladenheid, andere keren het geambieerde niveau. De meerderheid van [Peter Lanser]
de aanwezige leraren wilde de grafische rekenmachine een plaats blijven geven in het onderwijs en 80 Jaarverslag Euclides, jaargang 82
in de eindexamens; niet iedereen was even enthousiast over de grote nadruk op algebra. [Marja Bos]
Er was lof voor het profielspecifieke programma voor wiskunde C, al gaven de ambitieuze maar 81 Wiskunde: weten én kunnen
globaal geformuleerde (sub)domeinen aanleiding tot onzekerheid over de juiste interpretatie. Hoe [Anne van Streun]
krijgt de beschreven leerstof handen en voeten? Bij alle conceptprogramma’s was er om die reden 84 Inhoud van de 82e jaargang 2
trouwens een duidelijke roep om concrete voorbeelden. (2006/2007)
|
Over de invulling van het havo-D-programma was zorg. De D-leerstof dreigt vooral een ‘kop’ 86 Nakijkmodel NWO
3
op wiskunde B te zijn; met welke D-onderwerpen kun je dan in havo-4 beginnen? Niet iedereen 87 Nieuw nomenclatuurrapport
8
vindt het voor het beeld van wiskunde D wenselijk om te beginnen met een groot stuk statistiek en [Metha Kamminga, Marianne

kansrekening. Lambriex]

Verder is het op dit moment natuurlijk lastig in te schatten hoe ‘veranderingen op veranderingen’ 88 Verslag van het verenigingsjaar
s
(die van 2011 na die van 2007) zullen gaan uitwerken. Het tussenprogramma 2007-2011 is 2006/2007
immers nog maar net van start gegaan. Geplande examenexperimenten op scholen zullen dat [Wim Kuipers] E
moeten gaan uitwijzen, maar het is nog de vraag of er straks voldoende tijd is om die experimenten 91 Notulen van de jaarvergadering van d
fatsoenlijk te evalueren vóórdat de programma’s definitief worden… 4-11-2006
i
[Wim Kuipers]
l
92 Instaptoetsen! Uitstaptoetsen?
[Henk Rozenhart] c
94 Recreatie
u
[Frits Göbel]
E
96 Servicepagina
W i s k u n d e i n s ce n a r i o 5
dEEL 1, IntroduCtIE
[ Corine van den Boer, Vincent Jonker, Martin van Reeuwijk, Monica Wijers ]
1. inleiding
Sinds 1 augustus 2006 is de invoering van
de nieuwe onderbouw een feit. Er is geen
voorgeschreven lessentabel meer, de enige
eis is dat de (nieuwe) kerndoelen aan bod
komen. Deze kerndoelen zijn globaal gefor-
muleerd om scholen de mogelijkheid te
bieden een eigen uitwerking naar niveau en
ordening te kiezen. Ook is er ruimte voor figuur 1 De omschrij-
variëteit in de ordening en samenhang van ving van de vier sce-
de kerndoelen. nario’s die door de
De kerndoelen onderbouw vo hebben Taakgroep Vernieuwing
betrekking op het kerndeel. De beperking Basisvorming in 2004
van het aantal kerndoelen maakt het moge- zijn voorgesteld.
lijk het tijdsbeslag van het verplichte kern-
deel te beperken tot 2/3 van twee jaar… overlegd, samengewerkt, materiaal ontwik- ‘Het nieuwe leren is een leeg containerbegrip
De andere 1100 klokuren blijven uiteraard keld en er wordt ondersteuning geboden bij geworden dat alleen maar negatieve associaties
beschikbaar voor het geven van onderwijs, het vormgeven van het wiskundeonderwijs oproept. Wat het nieuwe leren is, weet ik niet.
maar er worden geen nieuwe extra regels voor binnen de school. Tijdens bezoeken aan de Wij doen wel nieuwe dingen. Wij proberen
gesteld. Die onderwijstijd valt in feite toe scholen observeren we lessen om de ontwik- het onderwijs zodanig in te richten dat
aan de differentiële ruimte en komt vanaf het kelde ideeën en materialen in de praktijk leerlingen meer gestimuleerd en gemotiveerd
4
5 derde leerjaar en met name in het vmbo ook te zien. worden. We zijn realistisch, geen believers.
beschikbaar voor de bovenbouwprogramma’s. In een aantal opeenvolgende artikelen We halen uit onderwijsland datgene wat goed
(Taakgroep Vernieuwing Basisvorming, 2004) wordt verslag gedaan van de gezamenlijke is’, aldus Jeanine Vlastuin, rector van het
zoektocht van docenten, scholen, Amadeus Lyceum in Utrecht (Wisman,
De scholen kunnen dus grotendeels zelf Freudenthal Instituut en APS naar een 2007).
bepalen hoe ze de onderbouw inrichten. De goede plek voor wiskunde binnen de sterk
Taakgroep Vernieuwing Basisvorming heeft vernieuwde onderbouw. In dit eerste artikel In onze artikelen zullen we de term ‘het
hiervoor vier mogelijke scenario’s beschre- schetsen we de algemene situatie rondom nieuwe leren’ niet gebruiken. Waar het om
ven[1]. Scenario 1 laat veel bij het oude en de nieuwe onderbouw, waarbij we extra gaat en wat deze scholen gemeen hebben,
kiest bewust voor de indeling in vakken, aandacht besteden aan de uitwerking van is, dat ze inspelen op een veranderende
bij scenario 4 gaat ‘alles op de schop’ (zie scenario 4: een verregaande vernieuwing houding bij veel leerlingen.
figuur 1). van de onderbouw.
Er zijn scholen die kiezen voor onder- In de vervolgartikelen zullen enkele scholen 3. Onderwijsvisie en uitwerking
2 wijs in ‘leergebieden’, andere kiezen voor geportretteerd worden, waaronder het Uit onderzoek (Van den Akker, 2003) is
de traditionele vakken. Er zijn scholen Vathorst College en de Nieuwste School. bekend dat als je ‘forse’ curriculum-
|
die projectweken hebben ingevoerd en er ontwikkeling en -verandering doorvoert,
3
zijn ook scholen die fysieke aanpassingen 2. Het nieuwe leren het ‘systeem’ makkelijk instabiel raakt.
8
hebben doorgevoerd en werken met grotere Scholen die sterk vernieuwen worden vaak Vernieuwingsscholen zijn op veel dimensies

onderwijsruimtes, in plaats van (of naast) geassocieerd met ‘het nieuwe leren’. Maar bezig te vernieuwen (Wat wordt er geleerd?

de gebruikelijke klaslokalen. wat er precies onder ‘het nieuwe leren’ moet Hoe wordt er geleerd? Hoe ondersteunt
s
worden verstaan is niet eenvoudig vast te de docent het leerproces? Waar wordt er
E Het Freudenthal Instituut is in samen- leggen[3]. geleerd? Wanneer wordt er geleerd? Etc.) en
d werking met het APS op een aantal Daarbij is de term ‘het nieuwe leren’ onder proberen daarmee een substantiële onderwijs-
(ver)nieuwe(nde) scholen betrokken bij de invloed van de media-aandacht erg beladen vernieuwing te realiseren. Het is indruk-
i
vernieuwing van de onderbouw en het posi- geworden. De scholen waarover we schrijven wekkend te zien hoe scholen dit proces van
l
tioneren van het vak wiskunde daarbinnen. gebruiken zelf deze term niet om hun vernieuwing organiseren.
c Er is een netwerk opgericht van deze scho- onderwijsvisie te omschrijven en hebben Misschien wel het belangrijkste element dat
len, die voornamelijk in de regio Utrecht dat ook nooit gedaan. Scholen kiezen zelf deze scholen in hun visie gemeen hebben,
u
liggen, het zogenoemde scenario5-netwerk[2]. niet voor de term ‘nieuwe leren’, dat doet de is het feit dat de leerling centraal staat, en
E
Met docenten van deze scholen wordt buitenwereld. dat deze ook verantwoordelijkheid voor het
eigen leerproces draagt en eigen initiatieven ‘voor’ loopt op het programma, er is een eerder gezegd kan een docent daarnaast een
moet tonen. De scholen stimuleren zelf- groep die ‘achter’ loopt en er is een groep contactmoment met een groep leerlingen
regulatie waarbij leerlingen zelf meer de die op schema loopt. Deze leerlingen zitten (workshop, instructie, vragenuur) organi-
ruimte krijgen om hun eigen onderwijs- groepsgewijs in dezelfde ruimte, en werken seren, maar het gebeurt ook vaak dat een
proces in te richten. Men spreekt ook wel in twee- of drietallen aan de stof. Op een docent met hele kleine groepjes of individu-
van onderwijs op maat. andere school verzorgen de docenten ‘work- ele leerlingen werkt.
shops’, wanneer ze dat zelf nodig achten of
Inrichting van het onderwijs wanneer leerlingen er om vragen. Op een Er zijn scholen die verschillende rollen van
De groepering van de leerlingen vindt vaak derde school krijgt elke groep leerlingen de docent benoemen en uit elkaar halen.
niet meer plaats volgens het gebruikelijke één uur wiskunde per week, zogenoemde Zo kan een docent op een bepaalde dag de
jaarklassensysteem. Dit heeft gevolgen voor gereedschapslessen. rol van vakexpert hebben. Hij helpt dan de
de inrichting van het schoolgebouw. Er ligt op deze scholen, zoals gezegd, veel leerlingen met de vakinhoudelijke vragen van
Veel scholen richten grote multifunctionele initiatief bij de leerlingen. Vaak moeten ze dat moment en is dan niet verantwoordelijk
ruimtes in, waarvan een gehele jaargroep zelf hun activiteiten plannen, zelf keuzes voor de begeleiding van het hele leerproces
van leerlingen (soms verdeeld in kleinere maken waar ze aan werken en soms ook van de leerling, dat valt onder de verantwoor-
groepen) gebruik maakt. In deze ruimtes zijn hun eigen leervragen leidend voor hun delijkheid van de mentor of coach. Dezelfde
staan meestal computers en zijn er aparte activiteiten. Leerlingen worden in dit proces docent kan dus de ene keer als vakexpert actief
‘rustige hoekjes’. Iedere school heeft een begeleid door een coach of mentor. Deze zijn, maar een ander moment als mentor of
eigen benaming voor deze ruimtes; wij voert regelmatig voortgangsgesprekken als begeleider. De vakexpert is meestal niet
zullen in dit artikel het woord ‘domein’ met zijn of haar leerlingen en neemt ook eindverantwoordelijk voor het handhaven
gebruiken. een deel van de beoordeling voor zijn/haar van de rust en orde in het domein; dat wordt
De meeste scholen maken gebruik van een rekening. bewaakt door een onderwijsassistent.
elektronische leeromgeving (ELO). Via een
laptop of computer loggen de leerlingen De docent Lesmaterialen
hierop in, en kunnen dan bijvoorbeeld bij Eén van de keuzes die de scholen maken Scholen in scenario 4 kiezen veelal voor
een overzicht van taken, in het rooster of betreft de samenstelling van de docenten- vakoverstijgend onderwijs. Dat kan door
bij de opdrachten. Verschillende scholen teams. Een vaksectie, zoals in andere vakken samen te nemen in een leergebied
25
hebben gekozen voor onderwijsassistenten scholen gebruikelijk, past niet goed bij de of door projecten of thema’s te ontwikkelen 35
3
die zorgen dat er een goed werkklimaat onderwijsvisie van deze scholen. Omdat waarin meerdere vakken aan bod komen.
heerst in het domein. Wil een leerling men streeft naar een meer thematische, Omdat er weinig kant en klare projecten
helemaal in stilte werken, dan is het veelal vakoverstijgende onderwijsinvulling, kiezen zijn die naadloos passen bij de uitgangs-
mogelijk om naar een afgebakende stilte- de scholen er voor om de teams op een punten van de school, ontwikkelen docen-
ruimte te gaan waar niet gepraat mag andere manier samen te stellen, bijvoor- ten de onderwijsmaterialen vaak zelf. Dit
worden. De mate waarin een leerling vrij beeld verbonden aan een bepaald leergebied gebeurt meestal in teams waarin verschil-
is om zich door het domein te verplaat- (een maatschappijteam en een natuur-en- lende docenten samenwerken. Soms wordt
sen, verschilt per school. Mag in de ene techniekteam), of juist gerelateerd aan de daarbij ook gebruik gemaakt van bestaande
school een leerling zelf bepalen waar hij jaarlagen (één team per jaarlaag). materialen die samen met zelfontwikkelde
of zij gaat werken of wanneer het toilet stukken in een nieuw geheel gearrangeerd
bezocht wordt, in een andere school moet De rol van de docent bij scenario 4-scholen worden. Ook staan op een aantal scholen de
de leerling daarvoor toestemming vragen is breder en complexer geworden. In het reguliere lesmethoden in de kast en worden
aan één van de aanwezige docenten of klassikale systeem is het veelal de docent deze door zowel docenten als leerlingen als 2
onderwijs-assistenten. De leerlingen zitten die bepaalt wat er gebeurt: wanneer moeten naslagwerk gebruikt.
|
overigens niet de hele dag in het domein; welke opdrachten af zijn, welke onderwerpen Ondanks het feit dat de scholen hierbij vaak
3
handvaardigheid, gymnastiek, muziek en en opgaven worden centraal besproken, bij externe expertise inhuren, ligt er toch een
8
drama worden vaak in vaklokalen gege- welke opdrachten werk je samen, wanneer zeer zware taak op dit gebied bij de docen-

ven, aan een groep leerlingen (soms een is het stil in de klas, enzovoort. Bij het ten zelf. Zij moeten ervoor zorgen dat er

jaargroep, meestal een kleinere groep ter werken in scenario 4-scholen krijgen de steeds weer op tijd nieuw materiaal is. De
ss
grootte van een ‘klas’). Daarnaast worden leerlingen meer vrijheid en meer verant- docenten krijgen over het algemeen wel tijd
voor de theoretische vakken soms ‘instructie- woordelijkheid. De docenten zorgen dat in voor het ontwikkelen en digitaliseren van EE
lessen’ of ‘workshops’ aangeboden, of wordt de elektronische leeromgeving (de ELO) de materialen, maar die tijd is vaak niet toe- dd
er voor bepaalde vakken aparte werktijd een planning staat met wat wanneer af reikend om echt goed en mooi onderwijs-
ii
ingeroosterd. Zo heeft één van de scholen moet zijn. Met deze manier van werken is materiaal te kunnen ontwikkelen. Veel
ll
ervoor gekozen om alle leerlingen van een het voor de docent niet altijd eenvoudig het docenten beginnen dan ook vol enthousi-
leerjaar gedurende een vast dagdeel in de leerproces van de individuele leerlingen in asme aan het ontwikkelen, maar na verloop cc
week aan wiskunde te laten werken. De de gaten te houden. De docent is regelmatig van tijd raken energie en inspiratie op. Het
uu
leerlingen zijn daarbij ingedeeld in verschil- in het domein aanwezig als (vak)expert, ontwikkelen en tegelijkertijd verzorgen van
EE
lende niveaugroepen. Er is een groep die en is soms op afroep beschikbaar. Zoals vernieuwend onderwijs is een zware klus.
4. Wiskunde in scenario 4-scholen
Op veel vernieuwende scholen heeft het
vak (of leergebied) wiskunde een bijzondere
positie. Oostdam (2006) schrijft bijvoor-
beeld over het A. Ronald Holst College:
‘De positie van wiskunde is enigszins pro-
blematisch gebleken omdat de geïntegreerde
wijze van aanbieding niet helemaal goed heeft figuur 2 figuur 3
gewerkt. Wiskunde is een sterk concentrisch
opgebouwd vak en daarvoor lijkt een strak
opgezette leerlijn een conditio sine qua non.
Leerlingen moeten zich eerst bepaalde kennis In de schoolportretten in de volgende van bovenstaande vragen zal beschreven
en begrippen goed eigen maken alvorens naar artikelen uit deze reeks wordt ingaan op worden hoe de scholen het wiskundeonder-
een volgend niveau te kunnen. Om die reden het zoekproces dat de verschillende scholen wijs hebben vormgegeven en georganiseerd
wordt er voor wiskunde wat meer reguliere en docenten doormaken, en wordt in kaart en hoe tevreden de docenten en de leerlingen
instructie gegeven dan voor de andere leerstof- gebracht welke oplossingen iedere school hierover zijn.
onderdelen.’ (blz. 77.) heeft gevonden of nog zoekt. Aan de hand
Dit stapelkarakter van het schoolvak wis-
kunde wordt vaak genoemd als één van de Noten
oorzaken voor de aparte status van het vak [1] www.onderbouw-vo.nl Voorstellen voor de eerste leerjaren van
wiskunde. Een andere veelgehoorde reden is [2] Deze naam verwijst enerzijds naar het voortgezet onderwijs. Hoofdrapport.
dat het lastig is om de abstracte onderdelen het sterk vernieuwende karakter van URL: www.onderbouw-vo.nl/
van de wiskunde (bijvoorbeeld het letterreke- de scholen - nog verder gaand dan - R. Wisman (2007): Samen leren in
nen in de algebra) op een natuurlijke manier scenario 4, anderzijds heeft de 5 een één grote ruimte. ‘Aan het rumoer wen
te verbinden aan thema’s of te integreren in meer pragmatische achtergrond. je wel’. In: Onderwijsblad 3 (30 juni
46
45 projecten. Het netwerk bestond bij de oprich- 2007), pp. 26-28.
2
ting uit vijf scholen (zie: www.fi.uu.
Vernieuwende scholen worden geconfron- nl/nl/vo/scenario5). Over de auteurs
teerd met een hoeveelheid aan vragen waarop [3] Zie o.a. Oostdam e.a. 2006. Corine van den Boer is werkzaam op het
zij een antwoord moeten vinden. Het zijn Freudenthal Instituut en voert daar een
vragen van algemeen onderwijsinhoudelijke literatuur kleinschalig onderzoek uit naar de plaats
aard, maar ook vakinhoudelijke vragen. Een - J. v.d. Akker (Ed.) (2003): van wiskunde in de nieuwe onderbouw.
aantal van deze vragen met betrekking tot het Curriculum perspectives: An introduc- Daarnaast werkt zij als wiskundedocente op
vak wiskunde zijn de volgende: tion. Dordrecht: Kluwer Academic het St. Gregorius College in Utrecht.
- Lukt het om het vak een plaats en Publishers. E-mailadres: [email protected]
vorm te geven passend bij de school- - C. Linders (2005): Wiskunde in sce- Vincent Jonker is werkzaam op het
eigen visie op onderwijzen en leren? nario 4. De invulling van wiskunde op Freudenthal Instituut en is daar onder
- Krijgt wiskunde een aparte plaats of nieuwe scholen, die thematisch onder- andere betrokken bij het scholennetwerk
2 wordt het geïntegreerd in de andere wijs toepassen. Utrecht: Freudenthal scenario 5.
theorievakken? Institute. E-mailadres: [email protected]
|
- Welk deel van de wiskundestof kan in URL: www.fi.uu.nl/publicaties/ Martin van Reeuwijk werkt op het APS. Hij
3
thema’s aangeboden worden, en welk literatuur/6596.pdf is betrokken bij enkele nieuwe scholen die
8
deel niet? - R. Oostdam, T. Peetsma, M. Derriks, nieuwe vormen van het wiskunde-onderwijs
- Hoe voorkom je dat je twee ‘wiskundes’ A. van Geldere (2006): Leren van het aan het onderzoeken en vormgeven zijn.

krijgt, wanneer de school ervoor kiest nieuwe leren. Casestudies in het voort- Een van de deze scholen is De Nieuwste
ss
om wiskunde zowel in thema’s als gezet onderwijs. Amsterdam: School in Tilburg.
EE apart vak aan te bieden? SCO-Kohnstamm Instituut. E-mailadres: [email protected]
dd - Welk materiaal ontwikkel je zelf? URL: www.sco-kohnstamminstituut. Monica Wijers is werkzaam op het
- Moet de nadruk op de ‘pure’/‘zuivere’ uva.nl/pdf/sco757.pdf Freudenthal Instituut en begeleidt daar
ii
wiskunde liggen, of op het ontwikke- - M. van Reeuwijk, M. Dolk (2005): onder andere met Vincent Jonker het
ll
len van gecijferdheid bij de leerlingen? Nieuw leren of nieuw onderwijzen. scholennetwerk scenario 5 en ontwikkelt
cc - Hoe garandeer je voldoende interactie In: Tijdschrift voor het Economisch samen met de docenten het wiskunde-
en reflectie? Onderwijs, 105(3), pp. 172-175. onderwijs voor het Vathorst College in
uu
- Hoe houd je zicht op het leerproces - Taakgroep Vernieuwing Basisvorming Amersfoort.
EE
van de leerlingen? (2004): Beweging in de onderbouw. E-mailadres: [email protected]
H e t m o o i s t e va k va n
d e w e re l d
[ Mieke Thijsseling ]
duurt? Of zijn het de afspraken die je
ouders met je gemaakt hebben over het
computergebruik?
- De steenbokskeerkring ligt 3,6 cm onder
de evenaar en wij 7,2 cm erboven.
Ik begrijp dat er een tekening op schaal
gemaakt is…
- Hoe lang duurt de zomertijd op mid-
winterdag in Groningen?
Dit kan alleen een Groninger verzinnen.
- Ik ga nu de exacte hoek van de aarde
met de zon berekenen.
Als je ergens in je verslag ‘exact’ werkt
levert dat altijd meer punten op.
- De schaduw van het zonlicht. … ?
- Hoe gaat de zon op?
Dit was niet de vraag, er is ook geen ant-
woord op gekomen…
- Zondetijd.
Wordt er bedoeld: dit werkstuk is zonde
van mijn tijd? Of: het is nu tijd om een
zonde te begaan?
547
- (Jongen:) Zo kan ik mijn eigen peri- 495
22
ode uitrekenen.
Mijn wiskunde-B-leerlingen in klas 4 - Ik kan met mijn geodriehoek kijken. Ik realiseer me dat ik tijdens het hoofd-
TTO (TweeTalig Onderwijs) krijgen in Knap werk! stuk ‘mannen’ bij de biologieles niet heb
de loop van het jaar drie verschillende - De aarde maakt een epileptische baan opgelet.
onderzoeksopdrachten. De laatste van om de zon. - In dit schema zie je de aarde als mid-
het afgelopen schooljaar had als titel: Er is waarschijnlijk nog geen medicijn delpunt van de hemelbol.
‘Hoe laat gaat de zon op?’ Met een bedacht om dit te verhelpen. Sinds Copernicus (1473-1543) en
paar gegeven uitgangspunten moesten de - Dit kan ik ook algebrarisch uitreke- Galileï (1564-1642) hanteren weten-
leerlingen uitzoeken hoe de relatie is nen. schappers een ander model. Misschien
tussen MET (Midden Europese Tijd, Algebra blijft hoe dan ook een probleem. heb je het zekere voor het onzekere
zeg maar de tijd die de klok bij ons - De dag is 6,7 cm en de nacht 2,8 cm. genomen; je weet maar nooit hoe ver de
aanwijst) en de plaatselijke zonnetijd Ik heb geen definitie gezien van cm. invloed van het Vaticaan reikt…
(de tijd volgens de stand van de zon). - Nederland loopt voor op de zonnetijd. - Als je je verjaardag in een exotisch land 2
Verdere vragen richtten zich op zons- Het maakt eigenlijk niet uit waar het viert, moet je weten hoe laat de zon |
opgang en zonsondergang in Groningen over gaat, we lopen voor! opkomt, zodat je naar de bakker kunt 3
op midzomer en op midwinter, en de - De resultaten wijken een beetje af om taart te kopen.
8
lengte van de schemering. En als klap omdat er kleine schommelingen zijn Als dochter van een banketbakker ben ik

op de vuurpijl: bereken dit alles voor op de evenaar door het jaar heen. het hier helemaal mee eens, maar ik weet

je eigen verjaardag op een willekeurige Ja, dat krijg je met al die oceanen. uit ervaring dat de bakker de hele dag
sss
plaats op aarde. - Aan de oostzijde zien wij de zon als door taarten maakt.
eerst. EEE
Over de uitwerkingen zal ik het hier Waarschijnlijk bedoel je dat de zon in Mijn vooroordeel dat ik het mooiste ddd
niet hebben. Ik heb een bloemlezing het oosten opgaat, maar het klinkt alsof vak van de hele wereld heb, is opnieuw
iii
gemaakt van de onbedoeld humoristi- wij de zon als eersten ontdekt hebben. bevestigd.
lll
sche ‘vertypingen’ en onhandige (want - Het is nu gemakkelijk uit te rekenen
laatste-moment-werk) formuleringen. hoe lang de schemering op de zon Over de auteur ccc
Het commentaar (cursief) is van mijn duurt. … ! Mieke Thijsseling is lerares wiskunde aan uuu
hand. - …maximale en minimale schermtijd… het Maartenscollege te Groningen.
EEE
Is dit de tijd die een schermwedstrijd E-mailadres: [email protected]
A l g e b ra i s l e u k . . .
aLS JE BEGrIJPt Wat JE aan hEt doEn BEnt
[ Pieter van der Zwaart, Truus Dekker, Wim Spek, Monica Wijers ]
Dinsdagochtend 10.00 uur, SG Oscar
Romero, Hoorn, 2-atheneum, wiskundeles.
De leerlingen oefenen het oplossen van
vergelijkingen. Dat doen ze niet zomaar, de
docente heeft een spelvorm bedacht waarin
de leerlingen in tweetallen vergelijkingen
die op kaartjes staan, op moeten lossen, en
dan op een soort lottobord de oplossing
afdekken. figuur 1 Bron: Wisweb, DWO,
De leerlingen zijn enthousiast bezig en Formules met haakjes
duidelijk niet alleen om de prijs van cho-
colade te winnen. Eigenlijk is vooraf al wel
bekend wie de prijs in de wacht zal slepen.
Gelukkig is voor de overige leerlingen ook
een prijs beschikbaar in de vorm van een Waar liggen kansen in het reken- en
pepermuntbal. Het ReAl-project algebraonderwijs voor havo/vwo?
De winnaars zitten allang van hun choco- Het bezoek aan SG Oscar Romero was een Het projectteam heeft het hoofd gebogen
lade te genieten als Laura mij (PvdZ) vraagt activiteit binnen het ReAL-project. ReAL over de hv-delen van de twee meest
of ze het volgende goed doet: staat voor Rekenen en Algebra Leerlijnen. In gebruikte methoden in het Nederlandse
dit project werken SLO en FIsme samen, wiskundeonderwijs, Getal en Ruimte en
8
5 6h−7+3h=4(h+12) op zoek naar mogelijkheden om het onder- Moderne wiskunde, en gezocht naar mogelijk-
6h−7+3h=4h+48 wijs in reken- en algebraïsche vaardigheden heden om het met inzicht verwerven van
−3h −3h
te versterken. vaardigheden binnen rekenen en algebra te
6h−7=h+48
Het is een klein project, dat onder de versterken. De hierboven genoemde analyse
−h −h
donkere wolken van alle discussies over leverde het volgende beeld:
Natuurlijk doet ze dit goed; onder mijn toe- het gebrek aan rekenvaardigheden en het - Kort na de overgang PO-VO houdt
ziend oog maakt ze de opdracht verder af en tekort aan algebraïsche kennis en vaardig- het rekenen, in het bijzonder met
tot haar duidelijke opluchting vindt ze de heden een bescheiden bijdrage levert aan breuken, (bijna) op. Enkele hoofd-
oplossing ‘11’ terug op het lottobord. de inhoudelijke ontwikkelingen rond het stukken later wordt gestart met alge-
Na mijn bevestiging dat dit helemaal in leren van rekenen en algebra en het kunnen bra. In de algebrahoofdstukken wordt
orde is, vraag ik haar nog waarom zij in de gebruiken van de daarbij behorende weinig tot niet voortgebouwd op het
eerste regel niet meteen 6h en 3h samen- vaardigheden. rekenen en daarmee ook geen gebruik
nam. Ze kijkt verschrikt op. Dat hoort toch In het voorjaar van 2007 lag de aandacht gemaakt van de bij de leerlingen reeds
2 niet bij het oplossen van vergelijkingen? van het project op de onderbouw van het aanwezige kennis, vaardigheden en
Wat doorvragen helpt niet en ik voel iets havo/vwo. In het najaar van 2007 ligt de strategieën.
|
van: ‘Ik weet nu hoe dit moet, gun mij dat aandacht op de onderbouw vmbo-kgt. - In de methoden wordt weinig en zeker
3
en vraag even niet verder.’ En natuurlijk niet structureel gebruik gemaakt van
8
gun ik haar dat. Informatie over het project en de project- ondersteunende (denk)modellen, zoals
Toch blijft er iets bij mij knagen. Je leert producten zijn te vinden op de site van getalpatronen, meetkundige situaties,

leerlingen toch geen algebraïsche vaardig- de SLO, www.slo.nl/real. Daar vindt u rechthoekmodel (zie het voorbeeld
s
heden om ze een aantal hoofdstukken later onder andere: analyses, over reken- en verderop in dit artikel), bij het aan-
E dan niet te durven gebruiken. algebraïsche vaardigheden in de onder- bieden en oefenen van algebraïsche
d Laura had een 7 voor het proefwerk, het bouw van het havo/vwo en van het vaardigheden.
hoogste cijfer dat ze ooit voor een algebra- vmbo-kgt, een leerlijnbeschrijving voor - De aangeboden oefening is steeds
i
proefwerk had gehaald. De vraag is echter het havo/vwo met een aantal toetsen, en sterk gericht op het herhalen van
l
of verderop de diverse ‘algebrabordjes’ ooit enig experimenteel lesmateriaal. één vaardigheid. Op nadenken over
c bij Laura op hun plaats zullen vallen. Haar In het najaar wordt de site verder en doordenken van de structuur en
u docente is alert, maar hoe kan zij Laura gevuld met materiaal voor de onder- de betekenis van de gepresenteerde
daarbij ondersteunen? bouw vmbo-kgt. algebraïsche expressies wordt slechts
E
mondjesmaat een beroep gedaan.
- De algebraïsche vaardigheden betreffende hoofdstukken uit de wiskunde- open leeromgeving en hebben ze twee keer
worden niet in een zichtbare opbouw boeken is aanvullend materiaal ontworpen. in de week een instructie-uur wiskunde. De
geplaatst. Ook worden de kernen die leerlingen plannen zelf hun activiteiten als
moeten blijven hangen en waarop later Een voorbeeld waarin tegelijkertijd de zij in de leeromgeving werken. De school
zal worden voortgebouwd vaak niet vermenigvuldiglijn en de formulelijn aan de werkt met de methode Getal en Ruimte.
duidelijk benoemd. orde komen, is het volgende[4]: Anja en Marijke, de betrokken docenten,
- In de formulelijn wordt wel gerekend hechten aan goede vaardigheden, maar
met formules, maar het redeneren over Uit onderstaande rechthoek is het grijze vinden dat de leerlingen wel moeten begrij-
en het zelf aanpassen, herleiden en stuk weggeknipt. pen wat zij aan het doen zijn. En dat laatste
construeren van formules komt weinig lijkt vaak te ontbreken. Zij horen regelma-
voor. Daarmee blijft de relatie tussen tig het geluid: ‘Waarom moet het in het ene
algebraïsche vaardigheden en vaardig- rijtje opgaven nou op deze manier en in een
heden rond het gebruik van formules ander rijtje opgaven weer anders?’
onderbelicht. Marijke heeft de leerlingen gevraagd om
In beide bestudeerde methoden zijn deze tijdens het werken in de leeromgeving met
punten te herkennen. De mate waarin zij wiskunde bezig te zijn, vanwege het bezoek
voorkomen loopt echter uiteen. van het ReAL-projectteam, en de hele klas
geeft daar gehoor aan.
Dat dit enigszins te denken gaf, is één De leerlingen zijn goed ‘on task’, maar zijn
kant van de medaille. Bij onderzoekers en a. Geef een formule voor de oppervlakte wel op heel verschillende plaatsen in het
ontwikkelaars is beslist een en ander bekend van het overgebleven deel. Mogelijke hoofdstuk bezig. Overigens past dat prima
over de condities waaronder leerlingen antwoorden zijn: bij de wijze waarop de school het onderwijs
beter rekenen en wiskunde kunnen leren.[1] 50 – 2a; heeft ingericht.
Waarom komen de uitkomsten daarvan dan 2(10 – a) + 30; De leerlingen werken met veel plezier aan
niet in de boeken terecht?[2] De andere kant 3a + 5(10 – a). de applets die in de plaats van een aantal
van de medaille is, dat er blijkbaar werk aan b. Hoe is iedere formule tot stand opgaven zijn gekomen. Wel zijn er enkele
de winkel is voor een projectteam als ReAL gekomen? onverwachte momenten.
dat een constructieve bijdrage wil leveren c. Laat algebraïsch zien dat de formules Zo is een leerling bezig met de in figuur 1
aan de vaardighedendiscussie binnen het equivalent zijn. afgebeelde applet en heeft linksboven ‘3x’
reken- en wiskundeonderwijs. en rechtsonder ‘4x’ ingetypt.
de leerlijnen in de klas Dat antwoord kan van de computer geen
Op basis van de genoemde kansen is in het Binnen het project was ruimte voor het goedkeuring krijgen.
project een aantal leerlijnen[3] benoemd: maken van voorbeeldmateriaal. Met dat Ik (PvdZ) heb ook niet direct door wat er
89
De vermenigvuldiglijn - Deze lijn laat zien materiaal willen wij nagaan of de beschre- aan de hand is, maar zie even later dat de 05
3
hoe het vermenigvuldigen van getallen ven leerlijnen een vertaling kunnen krijgen programmeur blijkbaar is uitgegaan van de
inzichtelijk gekoppeld kan worden aan die bruikbaar is voor docenten en die leidt relatieve grootte van de stukjes. De compu-
het vermenigvuldigen van algebraïsche tot een versterking van het algebraonder- ter gaat wel akkoord als 3x en 4x van plaats
expressies, bijvoorbeeld met behulp van wijs. Daartoe zijn enkele hoofdstukken uit worden verwisseld.
het rechthoek- of oppervlaktemodel. Het de methoden aangepast en aangevuld.[5] Naar de leerling toe is mijn feedback
rechthoekmodel kan na verloop van tijd Bij Getal en Ruimte is gekozen voor heror- simpel: ‘Blijkbaar ben jij slimmer dan de
geabstraheerd worden tot een tabel. dening van de betreffende hoofdstukken computer, want jij ziet goede antwoorden
De breukenlijn - Veel bewerkingen met en is een aantal opgaven vervangen door die de computer niet ziet.’
breuken zijn inzichtelijk te maken voor hv- werken met applets[6]. Daarmee wilden wij En even doorvragend komt de leerling ook
leerlingen. Deze bewerkingen kunnen op vooral meer kans geven aan de modelonder- nog met de mogelijkheid 2x en 6x. Hij kan
een inzichtelijke wijze worden verwoord en steuning. In het boek komen rechthoeken de mogelijkheid x en 12x niet zelf bedenken,
daarna worden toegepast op breuken waarin als steun bij het vermenigvuldigen wel voor, maar als ik die aanreik, is de reactie: ‘Ja,
variabelen zijn opgenomen. maar meer incidenteel en als context dan als natuurlijk kan die ook.’ 2
De formulelijn - In de wereld om ons heen ondersteunend denkmodel.
|
en ook binnen het gebied rekenen/wiskunde Bij Moderne wiskunde is gekozen voor de
3
zijn veel patronen en verbanden te herken- toevoeging van een aantal opgaven, waar- Of die relatieve grootte van de stukjes
8
nen waarin een (numerieke) relatie tussen mee vooral een verbinding met breuken en wel of geen rol zou moeten spelen,
grootheden of variabelen kan worden aan- algebraïsche technieken is gelegd. Verder hangt af van hoe de leerling de recht-

gegeven. Het ontdekken van deze verban- is een aantal opgaven toegevoegd aan het hoek gebruikt. Als een leerling in zijn
ss
den, het opstellen van formules die deze hoofdstuk ‘Oplossen van vergelijkingen’ denken heel dicht bij de tekening zit,
beschrijven en vervolgens het redeneren waarin wordt gevraagd een vergelijking eerst zal het nog uitmaken. De leerling hier- EE
over die formules met behulp van de taal te bekijken en te bedenken welke methode boven gebruikte de rechthoek meer dd
van de algebra is de kern van deze lijn. van oplossen handig is alvorens met oplos- als een tabel. Voor de laatste leerling
ii
sen te beginnen. is het zeker wenselijk dat de software
ll
Meer leerlijnen zijn denkbaar, echter de ook de variaties die niet overeenkomen
omvang van het project stond het uitwerken Een van de scholen die heeft meewerkt in met de verhoudingen in de tekening, cc
daarvan niet toe. Bovengenoemde leerlijnen het ReAL-project, is het Stedelijk Lyceum goedkeurt. Voor leerlingen die nog niet uu
zijn beschreven en van enkele voorbeeld- Enschede. Op deze school werken de zo ver zijn, zal het waarschijnlijk niet
EE
opgaven voorzien, en bij een aantal leerlingen een groot deel van de tijd in een hinderlijk zijn.
Andere leerlingen zijn met het boek aan gemakkelijk in verband te brengen met het ‘waarom’ willen weten. En omdat ook de
de slag. Bij het ontbinden in factoren en samenvoegen van twee rechthoeken. Ook lesboeken daar meestal geen antwoord op
het haakjes verdrijven zie ik regelmatig een hier lijkt de weg naar formalisering wat geven ligt daar een belangrijke taak voor
rechthoek getekend. overhaast te zijn genomen. de docent. ‘Is dat altijd zo?’, ‘Hoe kun je
Bij navraag gebruiken ze die liever dan de dat zeker weten?’, ‘Waarom kies je hier
methode van het boek, waarin alle moge- Bij Anja woon ik een instructie-uur van voor deze methode en niet voor de alge-
lijke ontbindingen van de laatste term in een brugklas bij. Een aantal leerlingen mene regel?’ Gesprekken met de klas zijn
gehele getallen onder elkaar worden gezet. snapt niet waarom 2a × 3b = 6ab. Ook zij belangrijk voor het ontwikkelen van het
is blijkbaar nog niet zo vertrouwd met het verband zien tussen de regels van de algebra
x2 + 8x + 15 rechthoekmodel dat zij vlot een tekening als en het rekenen en voor de achterliggende
hieronder op het bord zet. betekenis.
Tabel van 15
15 som
1 15 16 Noten
-1 -15 -16 [1] Zie ook de artikelenreeks ‘Parate
3 5 8 kennis en algebra’ van Anne van Streun
-3 -5 -8 Leerzaam was ook de waarde die de betrok- in de vorige jaargang van Euclides.
ken docenten aan de resultaten van het [2] Hiermee willen wij niet meteen de
Dat ervaren zij meer als een ‘maniertje’ en proefwerk volgend op het experiment zwarte piet bij de auteurs en uitgevers
minder als iets dat helpt bij het begrijpen. verbonden. De docenten hadden het gevoel van de wiskundemethoden leggen. Zij
Opvallend is dat leerlingen vaak even hape- dat, omdat er geen toegenomen vaardigheid reageren namelijk in hoge mate op
ren als de ‘1’ een rol speelt bij het ontbin- in de zin van hogere toetscijfers gemeten vragen uit de markt.
den, zoals bij het voorbeeld van de applet, werd, het experiment weinig tot geen resul- [3] Zie voor een uitgewerkte beschrijving
waarbij de leerling niet zelf (1)x en 12x kon taat had gehad. Een onderzoeker is eigenlijk van deze leerlijnen de publicatie
bedenken. al blij als de resultaten hetzelfde blijven ‘Leerlijnen van rekenen naar algebra’,
wanneer je een hoofdstuk didactisch op zijn te downloaden van de site van de SLO
Een ander voorbeeld is de opgave: kop zet en toch de standaardtoets gebruikt. (www.slo.nl/real).
Ontbind in factoren: 8x2 - 4x Leerlingen die bij het werken aan de applet [4] Ontleend aan: H. Burkhardt (2001):
het modelgebruik oppikten, plukten daar Algebra for all: what does it mean?
Bij navraag blijkt dit niet zozeer een duidelijk hun vruchten van bij het verder How are we doing? In: H. Chick, K.
begripsmatige hobbel te zijn, maar meer een doorwerken van het hoofdstuk. Het gaf Stacey, Jill Vincent, John Vincent
mogelijkheid die je nu eenmaal gemakkelijk duidelijk toegenomen inzicht en daarmee (eds.): The future of teaching and
00
26 over het hoofd ziet. Als ik de leerling het meer plezier in de algebra. Eén enkel hoofd- learning of algebra (Proceedings of
antwoord geef ziet zij wel direct de bedoe- stuk op deze wijze aanpakken resulteert the 12th ICMI study Conference).
ling en maakt een soortgelijke opdracht echter niet in een te meten ‘betere vaardig- Melbourne, Australia: The University
meteen correct. heid’ bij formele algebraïsche bewerkingen. of Melbourne; pp. 140-146.
De leerlingen geven in een gesprekje achter- Dit had overigens iets beter gecommuni- [5] Deze bewerkingen zijn te vinden op
af aan dat zij veel steun hebben aan de ceerd moeten worden naar de betrokken de site van het ReAL-project (www.slo.
applets. De rechthoeken en de tabellen docenten. nl/real).
geven hen het gevoel dat ze begrijpen wat ze Docenten hebben niet zomaar ondersteu- [6] Zie www.fi.uu.nl/wisweb/ en klik
aan doen zijn en dat zij daardoor meer grip nende modellen in hun repertoire. Deze op DWO (Digitale Wiskunde
op de algebra hebben. En grip hebben op, een keer aan hen voorleggen brengt hier Oefenomgeving), en u vindt een rijke
begrip hebben van, geeft veel meer plezier nog niet meteen verandering in. Zeker niet bron aan applets.
aan wat je aan het doen bent, tenminste bij als het vertrouwde boek die modellen niet
algebra. gebruikt en de nadruk vooral legt op de
2 Maar niet alles is koek en ei. vormkenmerken van de formules en niet op
Het boek brengt heel snel negatieve getallen de achterliggende betekenis.
|
en aftrekkingen in, wat het gebruik van een Voor het kunnen meten van verbeteringen
3
ondersteunend model bemoeilijkt. Het lijkt op vaardigheidsniveau is een veel langer
8
vanuit begripsmatig oogpunt gunstiger om traject nodig dan aanpassing van één
eerst de leerlingen het beeld van de recht- hoofdstuk. Daarvoor zijn doorlopende

hoek als model te laten hanteren en deze leerlijnen nodig. Wij zijn wel blij met de Over de auteurs
ss
geleidelijk om te laten zetten in een verme- observatie dat betekenis geven aan formules Pieter van der Zwaart ([email protected])
EE nigvuldigtabel. Op het moment dat de tabel en algebraïsche expressies de leerlingen echt en Wim Spek ([email protected]) werken bij
dd voor de leerling betekenis heeft gekregen, houvast geeft bij het aanleren en effectief de SLO, Stichting Leerplanontwikkeling,
kan die ook het werken met negatieve getal- inzetten van algebraïsche vaardigheden. respectievelijk als medewerker wiskunde en
ii
len en aftrekkingen ondersteunen. medewerker ICT en nask.
ll
Verder is het voor de leerlingen lastig om conclusie Monica Wijers ([email protected]) en
cc de taal van het boek in verband te bren- Algebra is leuk als je het snapt. Algebra Truus Dekker ([email protected]) werken
gen met het werken met de rechthoeken. beheersen is meer dan alleen het trucje bij FIsme, Freudenthal Instituut for science
uu
Geen wonder eigenlijk: ‘Je mag twee termen kennen. Dat blijkt elke keer opnieuw, en and mathematics education, als medewerker
EE
optellen, als het lettergedeelte gelijk is’ is niet ook de leerlingen geven aan dat ze het voor wiskunde.