Table Of Content

ICT en wiskunde Simulatie op Schiphol Algebra Jaarvergadering juni 2004/nr.8 jaargang 79 Euclides is het orgaan van de Nederlandse Nederlandse Vereniging van Contributie per verenigingsjaar 8 Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad Wiskundeleraren verschijnt 8 maal per verenigingsjaar. Het lidmaatschap is inclusief Euclides. ISSN 0165-0394 www.nvvw.nl Leden: €42,50 Studentleden: €22,50 Gepensioneerden: €27,50 Leden van de VVWL: €27,50 Redactie Lidmaatschap zonder Euclides: €27,50 Bram van Asch Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden geven j zich op bij de ledenadministratie. Opzeggingen u Klaske Blom vóór 1 juli. n Marja Bos, hoofdredacteur Voorzitter: Rob Bosch Marian Kollenveld, i Hans Daale Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk Abonnementen niet-leden 2 Gert de Kleuver, voorzitter tel. 070-3906378 0 DWicimk KLlainagpeenr,s s, eecinredtraerdiascteur e-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het 0 eerstvolgende nummer. Elzeline de Lange Secretaris: Niet-leden: €47,50 4 Jos Tolboom Wim Kuipers, Instituten en scholen: €127,50 Waalstraat 8, 8052 AE Hattem Losse nummers, op aanvraag leverbaar: €17,50 tel. 038-4447017 Betaling per acceptgiro. J Inzending bijdragen e-mail: [email protected] A Artikelen/mededelingen naar de hoofdredacteur: Ledenadministratie: Advertenties A Marja Bos Elly van Bemmel-Hendriks, R Mussenveld 137, 7827 AK Emmen De Schalm 19, 8251 LB Dronten Informatie, prijsopgave en inzending: G e-mail: [email protected] tel. 0321-312543 Gert de Kleuver A e-mail: [email protected] De Splitting 24, 3901 KR Veenendaal N e-mail: [email protected] Richtlijnen voor artikelen G tel. 0318-542243 Colofon Tekst liefst digitaal in Word aanleveren, op 7 Indien afwezig: papier in drievoud. ontwerp Groninger Ontwerpers Freek Mahieu 9 Illustraties, foto´s en formules separaat op foto omslag Rinus Roelofs, Hengelo Dommeldal 12, 5282 WC Boxtel papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. productie TiekstraMedia, Groningen e-mail: [email protected] Zie voor nadere aanwijzingen: druk GiethoornTen Brink, Meppel tel. 0411-673468 www.nvvw.nl/euclricht.html Va n d e r e d a c t i e t a f e l 333 Van de redactietafel [ Marja Bos ] [Marja Bos] 334 Nieuwe onderbouw De invloed van ict op het Eerder deze maand presenteerde de Taakgroep Vernieuwing Basisvorming haar wiskundeonderwijs voorstellen voor de eerste leerjaren van het voortgezet onderwijs. [Carel van de Giessen] Belangrijkste kenmerken: meer ruimte voor keuzes van scholen, meer 340 samenhang in het programma, de leerlingen centraal. De bijbehorende nieuwe Optimaal inchecken op Schiphol kerndoelen zijn dan ook in aantal sterk beperkt, en tevens tamelijk globaal [Nico van Dijk, Erik van der Sluis] geformuleerd, zodat elke school ze binnen de aangegeven kaders zelf nog 347 nader kan uitwerken. Die bewust nagestreefde variëteit zal ertoe leiden dat er 40 jaar geleden veel verschil ontstaat tussen scholen onderling: scholen krijgen steeds meer [Martinus van Hoorn] een ‘eigen gezicht’. Het is de bedoeling dat de wijzigingen per 1 augustus 348 2006 doorgevoerd worden. Voor meer informatie zie Fouten in de Elo-ranglijst www.vernieuwingbasisvorming.nl. [Hans van Maanen] 352 Terugtredend toezicht Tekstverklaren bij wiskunde De voorstellen van de Taakgroep passen in het beleid van de terugtredende [Wim van Dijk] overheid. Ook het fenomeen ‘terugtredende docent’ is op dit moment 353 populair. Daarnaast ziet het er nu naar uit dat we te maken krijgen met een Bert Zwaneveld, hoogleraar terugtredende Inspectie. In een brief van 11 maart geeft minister Van der Hoeven als volgt antwoord 353 Vouwbare verhouding op Kamervragen: ‘De rol van de Inspectie is in beweging. (…) Het toezicht [Willem Maas] door de Inspectie zal meer en meer een proportioneel en stimulerend karakter krijgen in samenhang met het versterken van de zelfevaluatie door 354 Boekbespreking scholen. (…) Het is de eigen verantwoordelijkheid van de scholen om keuzes te maken in de wijze waarop de kerndoelen concreet vorm krijgen (…) De 355 Inspectie zal vervolgens beoordelen of de gemaakte keuzes juist zijn tegen de In memoriam Wim Bos, 1916-2004 achtergrond van kerndoelen en examenprogramma’s en de aansluiting op en [Anne van Streun] samenhang binnen de leergebieden.’ Kennelijk beperkt de taak van de 356 Inspectie zich straks tot een marginale procedurele (niet-inhoudelijke) Re:cursief / Zigzagpermutaties toetsing, vanuit de opvatting dat scholen hun kwaliteit in principe zelf [Rob Bosch] adequaat kunnen handhaven, wellicht ondersteund door instrumenten als 358 collegiale wederzijdse toetsing. Algebra: verloren zaak of uitdaging? - Wat vindt u er eigenlijk van, van al die terugtredende instanties? Vrijheid deel 1 [Metha Kamminga] voor de eigen school (of voor de directie?), zelf keuzes maken - het biedt beslist fantastische mogelijkheden. Een vraag is wél of we voldoende 362 vertrouwen (mogen) hebben in de eigen kwaliteitsbewaking. Leerling, student, docent [David van de Beld] Voorplaatontwerp Rinus Roelofs 364 De omslagen van de nummers van deze jaargang van Euclides waren voorzien Uitslag Wiskunde Scholen Prijs 2004 van prachtige ontwerpen van Rinus Roelofs (zie www.rinusroelofs.nl). De [Heleen Verhage] laatste uit de serie is een zogeheten Temari-bal. Deze gevlochten ballen zijn 366 onder meer bekend vanuit de Japanse cultuur. Ze komen in allerlei vormen Christelijk Gymnasium Utrecht wint voor en zijn vaak gebaseerd op regelmatige of halfregelmatige veelvlakken, in scholenprijs [Wim Laaper] dit geval op een rombische (dus ruitvormige) kuboctaëder. 368 Redactie ICT: middel tot onderwijsverbetering of bron van implementatieproblemen? Twee jaar geleden begon collega Elzeline de Lange vol enthousiasme aan haar [Jos Tolboom] vmbo-redacteurschap voor Euclides. Helaas, vervelende omstandigheden maken het haar de komende tijd onmogelijk, de redactiewerkzaamheden goed 372 Feitenvel Zambia te kunnen uitvoeren. Om die reden heeft zij haar redactietaken neergelegd. [Ger Limpens / Wereldwiskunde Fonds] Elzeline, heel veel dank voor je inzet en bijdragen! 373 Bijdragen rekenspecial Jaarvergadering/Studiedag 2004 [Marianne Lambriex] Het themanummer van de komende jaargang zal in het teken staan van rekenen en rekenonderwijs. Bijdragen van lezers zien we, uiterlijk 374 1september a.s., met veel belangstelling tegemoet. Op de webpagina Recreatie [Frits Göbel] www.nvvw.nl/euclricht.htmlis algemene informatie te vinden over het indienen van concept-artikelen. 376 Namens de redactie wens ik u graag een fantastische en tegelijkertijd zeer Servicepagina inspirerende zomervakantie. DE INVLOED VAN ICT OP HET WISKUNDEONDERWIJS [ Carel van de Giessen ] Inleiding en zo ja, wat eventuele veranderingen inhouden. De De grafische rekenmachine is gemeengoed in de enige aanzet tot ict in het wiskundeprogramma die ik wiskundeboeken. Logisch, het programma schrijft dit ken, dateert uit de tijd van de HEWET (herverkaveling apparaat voor. Daarnaast is ook educatieve software wiskunde een en twee). Dat is erg lang geleden. De steeds nadrukkelijker aanwezig. Vroeger trof je achter toentertijd veelbelovende ontwikkelingen zijn niet in een boek een practicum over grafieken of statistiek doorgezet. aan. Tegenwoordig kom je in de nieuwe edities ict- Hierna wil ik aandacht schenken aan de invloed die ict paragrafen tegen die reguliere paragrafen kunnen in deze tijd zou kunnen hebben. Ik beperk me tot vervangen of strepen naast de tekst die aangeven dat enkele domeinen van de schoolwiskunde. Allereerst de het betreffende gedeelte een ict-component heeft die analyse: hoe in het reguliere curriculum de inzet van gebruikt kan worden. De hierboven gebruikte software bij het plotten van grafieken tot leren kan formuleringen vervangenen gebruikt kan worden leiden. geven aan dat het gebruik van ict weliswaar steeds Ten tweede bij de beschrijvende statistiek: hoe een prominenter wordt, maar overigens een vrijblijvende inhoud van het curriculum met aandacht voor ict, het zaak is. De docent kan, dankbaar of niet, gebruik vak statistiek voor leerlingen een stuk interessanter maken van ict bij zijn of haar les, maar kan ook kan maken. volstaan met de grafische rekenmachine. Die Tenslotte vraag ik aandacht voor (dynamisch) vrijblijvendheid is het gevolg van het feit dat er in het modelleren, een onderwerp dat mijns inziens het curriculum/programma niets concreets over ict- wiskundig denken bevordert, de vakoverstijgende rol gebruik, laat staan een verplichting staat. Gezien de van wiskunde doet ervaren. Een domein dat dankzij ict tijdsdruk, de faciliteiten voor de scholen en de haast haalbaar is. waarin het programma eertijds tot stand is gekomen misschien begrijpelijk, maar wel jammer. Analyse: leren door plotten Er is momenteel geschikte technologie beschikbaar Vroeger bestond een belangrijk deel van de (school)- voor het onderwijs. Deze kan in principe op twee analyse uit het onderzoeken van een functie. Daar manieren invloed hebben op het onderwijs: invloed op hoorde dan een aantal regeltjes bij waar het onderzoek het reguliere onderwijs en invloed op de vakinhoud. aan moest voldoen. Doel was het vinden van extremen, Invloed op het gangbare onderwijs is duidelijk nulpunten, asymptoten en andere kenmerken en aanwezig gezien de genoemde trend in de boeken uiteindelijk de grafiek van de functie. De grafiek was waarin ruimschoots van educatieve software en applets het resultaat van wiskundige arbeid waar meestal ook gebruik wordt gemaakt. De invloed op het programma nogal wat algebra bij kwam kijken. Leerlingen vonden is niet duidelijk, althans niet waarneembaar. Bij een het ook wel aardig, de grafiek was een duidelijk curriculum moet je maar afwachten of er iets verandert eindpunt dat er fraai kon uitzien. 3 3 4 euclides nr.8 / 2004 x2(cid:2)2x(cid:2)15 x2(cid:2)2x(cid:2)15 FIGUUR 1 f(x)(cid:1)(cid:3)(cid:3) FIGUUR 2 f(x)(cid:1)(cid:3)(cid:3) 2x(cid:3)8 2x(cid:3)5,98 FIGUUR 3 f(x)(cid:1)(2(cid:2)ax)3 De klassieke manier om een grafiek te vinden zou je punt draait en een buigpunt heeft dat over de x-as als volgt kunnen schematiseren: beweegt. Na dit grafisch onderzoek kan gevraagd functie → wiskundig werk → grafiek worden met behulp van het functievoorschrift aan te Het wiskundig werk dat vroeger aardig wat tijd kostte tonen dat deze waarnemingen inderdaad juist zijn. kan nu gedaan worden door machines. De leerling Interessant is ook de constatering dat het buigpunt hoeft alleen een formule in te voeren, een venster in te langzamer beweegt naarmate dit punt dichter bij de stellen en eventueel nog wat te tracen, maxen of oorsprong komt - een lastiger probleem, maar intersecten. Dat is het dan, klaar; en verder? uitdagend om met het functievoorschrift uit te zoeken. Door ict zijn de mogelijkheden tot wiskundige Een probleem waarbij nagedacht en geredeneerd moet activiteit op een ander gebied verruimd. worden, geen problemen met standaard x2(cid:2)2x(cid:2)15 oplossingsmethoden. Neem bijvoorbeeld de functie f(x)(cid:1)(cid:3)2x(cid:4)(cid:3)8 . Dankzij ict zijn er tal van didactische instappen die tot De grafiek verschijnt in een handomdraai (zie figuur 1). interessante klassengesprekken kunnen leiden, vooral Als je het getal 8 in het functievoorschrift verandert in met een computer plus beamer in de klas. Met moderne 9 gebeurt er niet zoveel, maar wel als je bijvoorbeeld software is het niet alleen makkelijk om snel een de waarde 6 kiest. Van het veranderen van de waarden duidelijke grafiek te plotten, er kan ook dynamiek in is het een kleine stap naar parameters. De bijzondere het plotten gebracht worden. Een plaatje immers zegt waarde 6 komt dan aan het licht door te spelen met de meer dan duizend woorden, een dynamisch plaatje parameter; zie figuur 2. voegt daar nog een factor aan toe. Parameters zijn een bron voor wiskundige activiteiten, Neem bijvoorbeeld het begrip asymptoot. Uitleggen in vooral bij dynamisch gebruik van de parameter. De woorden is lastig en ‘oneindig’ wordt vaak als een heel schuifparameter is prachtig gereedschap om functies te groot getal gezien. Met dynamisch plotten betrek je de onderzoeken. In de bewegende beelden (in figuur 3 leerlingen bij het asymptotisch gedrag. Met de staat weliswaar een bundel, maar die moet als één volgende statische figuren is dat enigermate voor te bewegende grafiek voorgesteld worden) vallen stellen. Figuur 4geeft aan dat een grafiek en een lijn bijzonderheden direct op. Vervolgens kunnen die aan langzaam getekend worden. In figuur 5is het de hand van het functievoorschrift geverifieerd tekenproces zover gevorderd dat lijn en grafiek worden. De ict als onderzoeksmedium en bron voor samenvallen, althans dat lijkt zo. In figuur 6blijkt functieonderzoek. door in te zoomen dat de grafieken toch niet Bekijk bij wijze van voorbeeld de vrij simpele functie samenkomen. En dan wordt het proces, zoals dat in f(x)(cid:1)(2(cid:2)ax)3. Met de schuifparameter zien de figuur 5 en 6 te zien was, herhaald en herhaald leerlingen onder andere dat de grafiek om een vast enzovoort. 3 3 5 euclides nr.8 / 2004 FIGUUR 4 Hyperbool op weg naar asymptoot FIGUUR 5 Grafieken lijken samen te vallen FIGUUR 6 Grafieken vallen niet samen Het eerder gegeven schema data, die eigenlijk in één oogopslag zijn te overzien, functie → wiskundig werk → grafiek worden gemiddelde, modus en mediaan en standaard- zou er nu zo uit kunnen gaan zien: afwijking uitgerekend en plaatjes getekend. Niet zo grafiek → wiskundige activiteit → functie. realistisch. Wat zeggen die cijfers van zo’n stuk of tien Ik maak hier bewust onderscheid tussen wiskundig data eigenlijk? Met de komst van de grafische reken- werk en wiskundige activiteit. Met ‘werk’ wil ik machine is dat niet echt verbeterd. aangeven dat er een min of meer vast patroon gevolgd Statistiek wordt pas interessant als het gaat over grote moeten worden. Met ‘activiteit’ wil ik aangeven dat aantallen data die je moet kunnen verwerken, een eigen inbreng van de leerling gevraagd wordt: zelf bewerken, manipuleren en presenteren om door de onderzoeken, vragen stellen en een oplosstrategie bomen het bos te gaan zien. Met verwerken bedoel ik bedenken. De wiskundige activiteiten komen tot stand het invoeren en eenvoudig presenteren van de data in door vragen als: waarom ziet de grafiek er zo uit, hoe bijvoorbeeld een frequentietabel of diagram. Met zit het met veranderingen van het uiterlijk, hoe kun je bewerken wil ik aangeven dat met de data onderling die uit de functie afleiden? Het belang van het gerekend wordt om zo nieuwe data te genereren. functieonderzoek wordt het begrijpen van functies en Manipuleren is het bewerken van data met een minder van structuur in functievoorschriften. Bij de verheven oogmerk. beantwoording van dergelijke vragen komt Met de computer zijn de mogelijkheden om met data onherroepelijk algebra aan de orde. Vaak blijken om te gaan wezenlijk veranderd. Het tekenen en leerlingen de problematiek te doorzien en een juist idee berekenen kan uitbesteed worden en de aandacht kan van een oplossings-procedure te hebben, maar lopen gaan naar het nadenken over wat je met de data wilt ze vervolgens vast in de algebra. Met ict wordt het bereiken. De leerlingen kunnen data onderzoeken, belang van algebra niet verminderd. Integendeel, opvallende zaken en structuur in data ontdekken. Dit algebra is en blijft hard nodig. domein Data Analyse of EDA (exploratieve data analyse) wordt wel aangegeven met de metafoor van Statistiek: werken met data een detective die uit de analyse van data tot Statistiek is een domein met een grote maatschap- veronderstellingen komt en hypothesen formuleert. pelijke relevantie. Iedereen hoort eigenlijk wel een Ik geef een paar voorbeelden om toe te lichten hoe beetje statistiek te kunnen ‘lezen’, liefst met een zaken ontdekt kunnen worden die zonder de computer kritische houding. Bovendien speelt statistiek bij veel verborgen zouden blijven. andere schoolvakken en vrijwel alle voortgezette opleidingen een rol. Het eerste voorbeeld gaat over het transport in De beschrijvende statistiek op school beweegt zich op Groningen in een tijd toen transport over water een tamelijk basaal niveau. Van een beperkt aantal belangrijk was. In de staafgrafieken van figuur 7 en 8 3 3 6 euclides nr.8 / 2004 FIGUUR 7 FIGUUR 9 Omrekenen van data FIGUUR 8 staan gegevens over de scheepvaart, het aantal schepen correlatiecoëfficiënt aan, compleet met recept hoe dat uit en de getransporteerde tonnages. De cijfers zijn uit te voeren. Mijn aardrijkskunde-collega heeft het 1910, maar het gaat me om het hanteren van data. Het geprobeerd, één keer was genoeg. Vakoverstijgende Winschoterdiep staat bij beide variabelen op de eerste opdrachten met wiskunde kunnen heel aardig en plaats, dat laten de plaatjes duidelijk zien. Als je echter bijzonder nuttig zijn. Zonder de nodige aandacht voor de gemiddelde tonnage per schip uit laat rekenen, afstemming tussen wiskunde en andere vakken zullen de ontstaat er een ander beeld (zie figuur 9 en 10). De initiatieven meestal tot mislukken gedoemd zijn. vraag is nu hoe dat komt; wat voor bijzonders is er met dat Eemskanaal aan de hand? Aandachtsgebied: modelleren als wiskundige activiteit Het tweede voorbeeld gaat over De Nationale Doorsnee Computers voorspellen de uitslag van een verkiezing tot (DND), een grote enquête onder de eerste twee klassen het weer van de komende week, wiskundige modellen van het voortgezet onderwijs in een feestelijke spelen een belangrijke rol in het dagelijks leven. samenwerking van het CBS en de NVvW (publicatie: Allemaal zijn we indirect consumenten van modellen, of najaar 2001). De DND bevat een schat aan gegevens, we dat nu leuk vinden of niet. Enige notie van de opgenomen in ruim 50000 records, die op allerlei relevantie en betekenis van modellen is niet ongewenst. manieren bekeken kunnen worden. Licht je uit dat Bij realistisch wiskundeonderwijs neemt het toepassen bestand de lengten van de leerlingen, dan lijkt bij een van wiskunde een belangrijke plaats in. Bij beperkt aantal intervalklassen de verdeling er aardig toepassingen heb je met modelleren te maken, het normaal uit te zien (figuur 11). Bij een kleinere beschrijven van de realiteit met behulp van wiskundig klassenbreedte echter treden merkwaardige pieken op; gereedschap. In de schoolboeken wordt nogal eens het zie figuur 12. De oorzaak daarvan is waarschijnlijk dat woord ‘model’ gebruikt als simpelweg een formule bij veel leerlingen hun lengte hebben afgerond (naar een context wordt bedoeld. Een lichtelijk aangedikt boven?) op 0 of 5. (Met dank aan Heleen Verhage.) taalgebruik met als gevaar dat over modelleren wordt gesproken als bedoeld wordt het omgaan met een Statistiek is ook binnen school een vakoverstijgend formule. Een vrij gangbare omschrijving van het begrip domein. Enquêtes zijn een geliefd onderwerp bij ‘wiskundig modelleren’ is het vertalen van een praktische opdrachten voor veel vakken. Doen die andere realistisch probleem in wiskundige termen. Met het vakken ook iets aan statistiek? Voor sommige vakken is opgestelde model volgt dan een verdere analyse van het regressie een belangrijk statistisch item, er zijn zelfs probleem met als doel informatie over het probleem te vakken die iets aan mathematisch toetsen doen. Bij het verkrijgen. Met name het vertalen van realiteit naar vak aardrijkskunde voor de Tweede fase trof ik in een wiskunde is een moeilijk maar uitdagend en creatief leerboek de chi-kwadraattoets en Spearmans rangorde- proces. Deze vertaalkant van het modelleren wordt bij 3 3 7 euclides nr.8 / 2004 FIGUUR 10 FIGUUR 11 de schoolwiskunde niet structureel behandeld, maar en daarnaast een gevoel voor structuur en algebraïsch komt bij gebruik van ict nadrukkelijker naar voren. proces bezitten. Dat moet geleerd en geoefend worden Anderzijds is modelleren door ict in een grafische en dat kost tijd. omgeving goed toegankelijk. Van beide een voorbeeld. Door ict komt het verschil tussen het kunnen uitvoeren van basisvaardigheden en wiskundig denken duidelijk Het eerste voorbeeld leen ik van Paul Drijvers. Een aan het licht. computeralgebrapakket kan erg veel op wiskundig gebied, het nadenken moet de gebruiker doen. Het andere voorbeeld ontleen ik aan mijn school- ‘Twee kubussen staan naast elkaar en hebben een praktijk. gezamenlijke breedte van s cm. De inhoud van de twee Omdat op mijn school de sectie wiskunde het van kubussen samen is d cm3. Druk de lengte van de ribben belang vindt dat leerlingen kennismaken met uit in s en d en ga na welke waarden d kan aannemen.’ modelleren en de rol van wiskunde daarin, gaat in In de klas zou de oplossing als volgt kunnen verlopen: 6-vwo onze zebra daarover. De leerlingen bestuderen A. eerst maar eens een plaatje maken en een in tweetallen zelfstandig een lespakket Dynamische getallenvoorbeeld doorrekenen; Modellen en maken als afronding een model over een B. een variabele kiezen, zeg x, voor de ribbe van de zelf gekozen onderwerp. Om de gedachten te bepalen ene kubus; staat in figuur 13een schema van een prooi- C. een formule opstellen voor de inhoud roofdiersysteem uitgebreid met zelfbegrenzing van de d(x)(cid:1)x3(cid:4)(s(cid:2)x)3; prooidieren (volgens Volterra). Met recursieformules D. de vergelijking d(x)(cid:1)x3(cid:4)(s(cid:2)x)3oplossen naar x; ziet het er zo uit: E. de functie ddifferentiëren, nulpunt uitrekenen, x(cid:1)(cid:3)12(cid:3)s; (cid:1)ui(cid:4)1(cid:2)ui(cid:1)aui(cid:2)buivi(cid:2)eui2 F. het minimum berekenen, d(cid:1)(cid:3)1(cid:3)s3. v (cid:2)v(cid:1)(cid:2)cv(cid:4)duv 4 i(cid:4)1 i i i i Het grote werk zal voor leerlingen in de punten D, E en F plaatsvinden. De leerlingen ervaren dat er een wereld van verschil Met gebruik van computeralgebra zit het werk voor de bestaat tussen een kwantitatief en een kwalitatief leerling in A, B en C. Punt B is essentieel voor een model - dat het lastig is de goede data te vinden, dat je goede opzet. Verder is het dan een kwestie van het bij een model maken moet nadenken. Ze begrijpen hoe juiste commando, bijvoorbeeld ‘Los op’ om de relaties liggen en dat je door te modelleren inzicht in vergelijking op te lossen en ‘Zoek extreem’ voor het processen verwerft. Maar ook ervaren ze hoe belangrijk berekenen van het minimum. Wat blijft is dus het en hoe functioneel wiskunde is. Ze komen met vragen modelleren en het interpreteren van de uitkomst. hoe je met wiskunde een proces stochastisch, De leerlingen moeten het probleem uiteraard doorzien voorwaardelijk, vertraagd, enzovoort kunt maken. Ze 3 3 8 euclides nr.8 / 2004 FIGUUR 12 FIGUUR 13 Schema prooi-roofdiermodel met zelfbegrenzing komen in aanraking met begrippen uit andere vakken Bronnen zoals feedback (dat ze kennen als homeostase bij biologie) en vertragingseffecten (die ze kennen van de - Advies Examenprogramma havo/vwo. varkenscyclus bij economie). - Jan Blankespoor: Het nieuwe imago van de wiskunde in het hbo. De leerlingen zijn veelal aangetrokken door de In: Euclides 76 (2), oktober 2000. creatieve kanten van het modelleren die al met - D.N. Burghess e.a.: Applying Mathematics. Ellis Horwood Limited, eenvoudige wiskundige vaardigheden toegankelijk zijn. isbn 0-85312-417-5. De uitdaging zit in het bouwen, de lol zit in de - G.G. Chakerian, Kurt Kreith: Iterative Algebra and Dynamic experimenteermogelijkheden die tot begrip en inzicht Modeling. Springer Verlag (1999), isbn 0387987584. in complexe situaties kunnen leiden. Een model is een - Examenprogramma’s havo, vwo. speeltuin, een onderzoeksomgeving, een microwereld. - F. Goffree e.a.: Honderd jaar wiskundeonderwijs. NVvW, Modelleren bevordert het denken en komt dankzij ict isbn 90-01-65958-6. p. 375. beter dan voorheen binnen het bereik van de - Walter J. Meyer: Concepts of Mathematical Modeling. McGraw-Hill, schoolwiskunde. isbn 0-07-041747-4. - Hans Stam, Peter van Wijk: Computergebruik bij wiskunde. APS, Conclusies isbn 90-6607-337-3. In dit artikel heb ik willen aangeven dat ict in het - Terra (methode voor aardrijkskunde), handboek vaardigheden en wiskundeonderwijs twee aspecten heeft: werkwijzen. Wolters-Noordhoff, isbn 90-01-73402-2. - Inzet van ict bij het bestaande programma waarmee beter begrip en aantrekkelijke leeractiviteiten De computervoorbeelden zijn ontleend aan de volgende nagestreefd kunnen worden. Dit proces is sterk gaande. softwarepakketten: VUGrafiek 2004, VUStatistiek 2004, Dynasys. In de schoolboeken is dat goed te zien. - Inzet van ict om bestaande domeinen andere accenten te geven en nieuwe domeinen te introduceren. Voorbeelden zijn leren door plotten, Data Analyse en Dynamisch Modelleren. Daarbij passen leeractiviteiten Over de auteur die bij gebruik van goede software dynamische impulsen aan de schoolwiskunde kan geven. Carel van de Giessen (e-mailadres: [email protected]), werkzaam aan Ict kan leerlingen werk uit handen nemen. De ruimte het Almende College te Silvolde, is bijzonder geïnteresseerd in het die daardoor ontstaat zou ingevuld kunnen worden gebruik van de computer bij het wiskundeonderwijs. Hij hoopt op door wiskundeonderwijs dat gericht is op datgene serieuze aandacht voor ict en vakoverstijgende afstemming in het waarin de mens beter is dan de pc: creatief denken en curriculum. Gezien zijn ervaringen in de voorbereiding van de tweede slim interpreteren. fase is hij echter niet optimistisch gestemd. 3 3 9 euclides nr.8 / 2004