Table Of Content

Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r jaargang 72 7 1996-1997 april Romeinse cijfers in de rekenles Laatste stand van zaken Tweede Fase Examenbesprekingen Nederlandse Vereniging van Adresgegevens auteurs Wiskundeleraren D.J. Beckers Voorzitter Merelstraat 16 dr. J. van Lint 6542 WJ Nijmegen Spiekerbrink 25 Euclides is het orgaan van de Neder- 8034 RA Zwolle R. Bosch landse Vereniging van Wiskunde- tel. 038-4539985 Heiakker 16 leraren. Het blad verschijnt 8 maal Secretaris 4841 CR Prinsenbeek per verenigingsjaar. W. Kuipers Burg. Bijleveldsingel 38 L. van den Broek 8052 AP Hattem Graafseweg 387 Redactie tel. 038-4447017 6532 ZN Nijmegen Ledenadministratie Dr. A.G. van Asch Mw. N. van Bemmel-Hendriks C.B. Hofstra Drs. R. Bosch De Schalm 19 R. Pollemaplein 1 Drs. W.L.J. Doeve 8251 LB Dronten 8802 RT Franeker Drs. J.H. de Geus tel. 0321-312543 Drs. C.P. Hoogland hoofdredacteur M.C. van Hoorn Ir. W.J.M. Laaper secretaris Contributie per ver. jaar: ƒ70,00 Noordersingel 12 W. Schaafsma Studentleden: ƒ47,50 9901 BP Appingedam Ir. V.E. Schmidt penningmeester Leden van de VVWL: ƒ50,00 Mw. Y. Schuringa-Schogt eindred. Lidmaatschap zonder Euclides: ƒ50,00 J. Smit J. van ’t Spijker Betaling geschiedt per acceptgiro. Houtsniplaan 31 Mw. drs. A. Verweij Nieuwe leden geven zich op bij de 1873 JT Groet A. van der Wal ledenadministratie. Drs. G. Zwaneveld voorzitter Opzeggingen vóór 1 juli. Artikelen/mededelingen Abonnementen niet-leden Artikelen en mededelingen naar: Abonnementen gelden steeds vanaf Kees Hoogland het eerstvolgende nummer. Gen. Cronjéstraat 79 rood Abonnementsprijs voor personen: 2021 JC Haarlem. ƒ80,00 per jaar. Voor instituten en scholen: ƒ240,00 per jaar. Richtlijnen voor aanlevering: Betaling geschiedt per acceptgiro. • goede afdruk met illustraties/foto’s/ Losse nummers op aanvraag lever- formules op juiste plaats of goed in baar voor ƒ20,00. de tekst aangegeven. Opzeggingen vóór 1 juli. • platte tekst op diskette: WP of ASCII • illustraties/foto’s/formules op aparte vellen: genummerd, zwart/wit, Advertenties scherp contrast. Nadere richtlijnen worden op ver- Informatie, prijsopgave en inzending: zoek toegezonden. C. Hoogsteder, Prins Mauritshof 4 7061 WR Terborg, tel. 0315-324337 of naar: L. Bozuwa, Merwekade 90 3311 TH Dordecht, tel. 078-6390890 fax 078-6390891. Inhoud 222 Kees Hoogland 286 Boekbespreking Van de redactietafel 287 40 jaar geleden 259 D.J. Beckers Historia Magistra Vitae 288 Werkbladen 262 Waar zit de fout? 290 Recreatie 263 Jan Smit, Leon van den Broek 292 Kalender Envelop met inhoud (3) 266 M.C. van Hoorn Dag, leraar 269 226699 Kees Hoogland Redactie Euclides 270 Boekbespreking 271 Kees Hoogland Stand van zaken Tweede Fase 274 Boekbespreking 275 Examenbesprekingen 278 wiskunde nvvw 227788 Cor Hofstra Vernieuwde Wiskunde-B in de profielen‘ 282 Oproep voorzitter redactie 283 Harrie Broekman In Memoriam 284 Piet van Wingerden 228844 Rob Bosch ‘Leerlingen moeten zelf actief aan het werk’ interview 72 |7 Euclides 257 D e examens naderen. Na de mei- vakantie breekt het circus weer los. Hoe zal het gaan bij vbo/mavo C/D? Hoeveel scholen voor havo/vwo vbo zullen overgestapt zijn op het vbo-B examen nieuwe stijl? Hoe zal wiskunde B Verderop in dit nummer een artikel met voor het vwo dit jaar uitpakken? een overzicht van de laatste stand van Het eerste nummer van de nieuwe jaar- zaken rond de vernieuwde Tweede Fase. gang zal grotendeels gewijd zijn aan de Het gaat natuurlijk met name over de r examens van dit schooljaar. plaats van wiskunde in die plannen. Dat artikel is geschreven op 2 april. Op dat moment was duidelijk dat het Inrich- e vbo/mavo tingsbesluit (concept-wet) vooral voor de plaats van wiskunde in de profielen toch d Het eerste landelijke eindexamen weer andere informatie gaf dan de recent vbo/mavo C/D volgens het nieuwe exa- verschenen SLO-brochure. e menprogramma zal worden afgenomen. Als u dit leest zal het inmiddels begin mei a Voor de meeste docenten waarschijnlijk zijn. De plannen zullen dan al in de d een spannende aangelegenheid. Hoe zal Tweede Kamer besproken zijn. Als zulke het examen er uitzien en hoe zullen de plannen in de fase van politieke besluit- nc leerlingen er op presteren? vorming komen, circuleren er bijna Het nakijken van dit examen zal in ieder wekelijks nieuwe geruchten over mogelij- a geval een veel forsere klus worden dan ke veranderingen. t voorheen. Ook het beoordelen van de De laatste twee geruchten over wiskunde v antwoorden van de leerlingen aan de zal ik u niet onthouden. Mogelijkerwijs i hand van het correctievoorschrift zal las- gaat de wiskunde uit het gemeenschap- tiger en minder eenduidig uit te voeren pelijk deel van het vwo terug van 280 e zijn dan in voorgaande jaren. De ruimte naar 200 uur. En mogelijkerwijs zal wis- voor interpretaties van de normering zal kunde A toch een verplicht vak worden t door het soort vraagstellingen groter voor Cultuur en Maatschappij vwo. Zo- zijn. dra er zaken definitief bekend zijn zult u a Te verwachten is dan ook dat de discus- het kunnen lezen in Euclides. sies met tweede correctoren regelmatig Intussen zijn er al scholen aan het experi- misschien wel behoorlijk lastig kunnen menteren met nieuwe inhouden én met f worden. Aan de andere kant is natuurlijk de grafische rekenmachine. Een impres- ook te verwachten dat vakgenoten die sie daarvan in het artikel van Cor Hof- e allemaal voor het eerst met zo’n nieuwe stra, één van de docenten die meedoen situatie worden geconfronteerd elkaar aan het APS-Profi-project. niet het vel over de oren zullen halen. l Speciaal aanbevolen daarom ook zijn de door de Vereniging georganiseerde exa- Ten slotte menbesprekingen. Voor vbo/mavo zijn sessies van drie uur gepland, waarin De redactie wenst alle leden en alle lezers gemeenschappelijk een nadere afbake- van Euclides de komende weken veel ning van de normen bediscussieerd kan sterkte en succes met de examens. worden. Verder is de redactie zeer geïnteresseerd Op bladzijde 275 staan de lokaties. Een in praktijkverhalen en meningen over de bezoek daaraan kan u wellicht sterken in examens. Pak uw pen en stel uw collega’s uw discussies met tweede correctoren. via Euclides daarvan op de hoogte. Kees Hoogland 258 Euclides 72 |7 Historia Magistra Vitae De geschiedenis als inspiratiebron voor een rekenles D.J. Beckers Inleiding tegenwoordig kennis maken met het rekenen. In een brugklas kan een les over het rekenen met Romeinse In het wiskundeonderwijs aan het voortgezet onderwijs getallen dus twee doelen hebben. Enerzijds verdiepen wordt tegenwoordig meer aandacht besteed aan de de leerlingen zich in een interessant stukje geschiedenis geschiedenis van de wiskunde. De uitgevers van lesme- van de wiskunde, waaruit zij hopelijk oppikken dat het thoden springen handig op deze ontwikkeling in door vak een lange ontwikkeling heeft doorgemaakt die voor historische anekdotes in hun boeken op te nemen. Dit hen (althans gedeeltelijk) begrijpelijk is, en die het stukje zal er hopelijk toe bijdragen u ervan te overtui- vooroordeel dat wiskunde alleen voor briljante geesten gen dat de geschiedenis van de wiskunde in het onder- is kan helpen wegnemen. Anderzijds brengen de wijs ook een meer serieuze didactische functie kan ver- Romeinse cijfers hen opnieuw in contact met elemen- vullen. taire rekenkundige technieken en denkwijzen: aanslui- Het is nadrukkelijk niet mijn bedoeling te pleiten voor tend op het rekenonderwijs aan de basisschool kunnen een implementatie van historische ontwikkelingen bin- ze via de Romeinse cijfers een stukje verder leren. Wan- nen het onderwijs. Ook wil ik benadrukken dat ik niet neer de leerlingen hier een werkstukje over maken kan van plan ben enige analogie te herkennen tussen het het onderwerp tevens een aardige invulling zijn van didactische leerproces van jonge mensen en de histori- GWA. sche ontwikkeling van het getalstelsel (of willekeurig welk historisch proces dan ook): het lijkt mij niet nuttig om een min of meer geselecteerde historische ontwik- De geschiedkundige inspiratiebron keling — waaruit bijvoorbeeld alle ‘doodlopende spo- ren’ zijn weggewerkt — in het klaslokaal na te spelen. Mensen leerden al vroeg tellen. Gedurende het vroege De keuze van mijn titel moge iets dergelijks suggereren; Neolithicum werden bijvoorbeeld kudden op transport het woordje ‘inspiratiebron’ in de ondertitel verdient voorzien van een verzegelde zak met daarin evenveel wat mij betreft echter de nadruk: de geschiedenis dus klei-figuurtjes als de kudde dieren telde: op deze wijze om inspiratie uit te putten; niet om vante leren, maar was de ontvanger in staat te controleren of alles was om uitte leren. aangekomen dat hem was toegestuurd. In Mesapota- mië bestond al in het derde millennium vóór Christus een 60-tallig positiestelsel om getallen te kunnen weer- De Romeinen geven. Dit systeem was reeds nauw verwant aan het- geen wij heden ten dage gebruiken, ware het niet dat De manier waarop de Romeinen rekenden lijkt heel erg men geen symbool had voor nul — men liet gewoon op de manier waarop leerlingen op de basisschool een positie open — en dat men de getallen die de 72 |7 Euclides 259 machten van zestig moesten aangeven opbouwde uit rekenen op de abacus. Omdat de antiek-Romeinse aba- een op het tientallig stelsel gebaseerd tekensysteem cus bestond uit een bord met kraaltjes, die daar naar zoals later ook de Romeinen dat kenden. believen bijgelegd of afgenomen konden worden, vond Het Romeinse getalstelsel en de Romeinse manier van men het blijkbaar praktisch om het aantal kraaltjes rekenen zijn makkelijker om te leren rekenen dan de enigszins te beperken. Vandaar dat men wel een lijn Mesapotamische wijze. Niet alleen omdat de Mesapo- trok met daaronder vier holletjes waar een kraal inpas- tamiërs zestig tafeltjes uit hun hoofd moesten leren te, en daarboven één. Wanneer het vijftal vol raakte dan alvorens ze konden gaan vermenigvuldigen, maar ook nam men de vier kraaltjes onder de lijn weg, en legde en vooral omdat het Romeinse stelsel qua opzet veel men daarvoor in de plaats de ene kraal boven de lijn primitiever is dan het Mesapotamische stelsel. De neer. Plaats voor een tweede kraaltje was er niet, want manier van rekenen en tellen in het oude Egypte leek twee kraaltjes boven de lijn representeerde toch één erg op het Romeinse, en was op punten zelfs verder kraal in de volgende rij. ontwikkeld. Kinderen spreekt het Romeinse getalstelsel Het Romeinse cijferstelsel was puur additief: III stelt 3 echter meer aan: de romeinse cijfers herkennen ze, en voor; XII is 12. Om de getallen herkenbaar te houden vaak weten ze hoe hun stad of dorp in de Romeinse tijd werden de tekens op een overzichtelijke wijze gegroe- IIII heette. Kortom: de Romeinse wereld staat in cultureel peerd. CCCX is 319. Het gebruik van IV voor vier IIIII opzicht dichter bij de kinderen van vandaag dan de of IX voor negen is een middeleeuwse truc om niet zo Egyptische. veel te hoeven beitelen. Het Romeinse getalstelsel is in wezen een veredelde vorm van turven. Onze bewerking ‘optellen’ is in dit De getallen stelsel eenvoudigweg het bijeenvoegen van I-en, X-en etc.: IIII III XIII XXXIIII IIII III XXI Als we tijdens de optelling tien I-en krijgen dan kunnen we die natuurlijk inwisselen tegen één X; tien X-en worden één C enzovoort. Dit volgt uit de betekenis van de symbolen. Dus 72(cid:1)44: XXX II XXXX XXXXX III III X CX XXXXX III III Romeinse abacus XXXXIIII Om getallen te kunnen weergeven gebruikten de 116 dus. Of, nog een paar stapjes ingewikkelder 887 + Romeinen de tekens I voor 1, X voor 10, C voor 100, (I) 389: voor 1000 etc. en een samenstelling van deze tekens om ieder willekeurig getal te kunnen weergeven. De M voor CCCCXXXXIII CCCCXXXXIIII 1000 getuigt van een Griekse invloed in de vroege Mid- CCCCC XXXXXXXXIIIIIIII C deleeuwen. Tekens als V voor vijf, L voor vijftig enz. CCCCC XXXXXXXXIIIIIIII XXXX IIII CCC zijn eveneens latere vindingen. Zij komen voort uit het XXXXIIIII CCCCC XXXXX XXX III CCCCC XXX III C CC CCCCC XXXXXXXXXIII CCCCC XXXXIII XXX III MCC XXXXIII Ofwel 1276. Merk op dat het concept ‘optellen’ in deze manier van rekenen in feite is teruggebracht tot het begrip ‘erbij doen’ dat op de basisschool gehanteerd wordt. Bovendien zijn de I-en en X-en gemakkelijk aan Het getal 5328 op de Romeinse abacus het tellen op de vingers te koppelen. 260 Euclides 72 |7 III Al deze opgaven zijn terug te voeren op de koopmans- I X (A) IIII rekenkunde. In de handel komt men ook vaak tegen dat men hetzelfde getal een aantal malen moet optellen, II XXXIIII (B) bijvoorbeeld wanneer men de prijs wil uitrekenen van XXXIIII IIII XXXIIII zeven stuks van een bepaald product. Dit probleem, dat we tegenwoordig vermenigvuldigen noemen, werd XX CCCXXXX 1) door de Romeinen opgelost door middel van de opera- C M C C C 2) CCCC ties duplatioen optelling. 1) Verkregen door regel (B) met X te vermenigvuldigen 2) Verkregen door regel (A) met C te vermenigvuldigen Duplatio III X IIII Duplatio betekent letterlijk verdubbeling. Verdubbe- XXXIIII ling van getallen in Romeinse cijfers is heel eenvoudig: XXXIIII CCCCCXXXXX IIIII II M X CCCCCXXXXX IIIIIIII elke I, elke X, elke C et cetera schrijf je gewoon twee CCCXXXX keer op. Nadat eventueel tien keer voorkomende tekens II MMCXX zijn weggewerkt staat er het verdubbelde getal. Door de M CCC III CCCC duplatioherhaald toe te passen op het getal dat opgeteld moest worden verkreeg men een rij van 1,2,4,8,16, … ‘maal’ dat getal. Uit deze rij stelde men vervolgens het De operatie duplatiois tot diep in de zestiende eeuw in ‘vermenigvuldigtal’ samen, telde de bijbehorende ‘pro- Nederlandse rekenboekjes aan te treffen. Hierbij dient ducten’ bij elkaar op, en volgens de distributieve wet te worden aangetekend dat het woord ‘vermenigvuldi- kreeg men op deze wijze de verlangde uitkomst. Bij- gen’ voor zover het betrekking heeft op de Romeinse voorbeeld 18 ×23. Links staat het nummer van de ver- tijd een anachronisme is. Tot in de moderne tijd werd dubbelingsstap, rechts het steeds verdubbelde getal. er verdubbeld en opgeteld, waarbij verdubbelen in termen van optellen, en niet in termen van vermenigvuldiging met twee werd opgevat. Deze methode van ver- I XXIII dubbelen zie je ook weer terug in de realistische II XXXXIII reken-wiskunde boeken voor de basisschool. III XXXX IIII II XXXXX Gebruik in de les IIII XXXX C IIII IIII XXXX Het Romeinse Rijk is voor kinderen een enorm intrige- III XXXIIII X CCC rend stukje geschiedenis. Tijdens lessen in een eerste III XXXIIII klas voortgezet onderwijs heb ik gemerkt dat bijna elk kind wel iets wist bij te dragen tot de geschiedenis van Aangezien II en X III III samen de gevraagde X IIII IIII het antieke Rome: de meesten in elk geval kenden de maken, kunnen we de verlangde optelling maken door Romeinse naam van een (geboorte-) dorp of stad. Op de twee getallen bij de merktekens op te tellen. Dat deze manier betekende een herintroductie van het levert: getalstelsel in een historische context voor deze kinderen sowieso al een aandachtsstimulans. Deze aandacht- trekker is waar het betreffende de geschiedenis in het III XXXXIII onderwijs meestal bij blijft. XXXXXIIIII CCC IIII CCCCXIIII Het feit dat ieder getal te schrijven is als een rij van XXXXXIIIII XXXIIII CCC streepjes vormt de grondslag van het rekenen. Ons XXXIIII getalstelsel is een ingewikkelde abstractie wanneer men het met ’t basale turven vergelijkt. De Romeinse manier Worden de getallen veel groter dan is een eenvoudig van rekenen is een tussenstap. Het idee om tien streep- alternatief de vermenigvuldiging met X (of met C): alle jes te vervangen door een X, tien X-en door een C enzo- eentjes worden dan immers X-en (C-en), alle X-en voorts, is geen grote stap wanneer men kinderen een worden C-en (M-en) et cetera. Nog een voorbeeld om paar maal grote aantallen heeft laten tellen en opschrij- dit te illustreren; het getal 17, 125 keer opgeteld (tegen- ven. Bovendien vormt het de grondslag voor het ‘1 ont- woordig 17 maal 125): houden’wanneer men optelt met onze getallen. 72 |7 Euclides 261 ? t Juist het bedenken welke verdubbelingen precies het u vermenigvuldigtal maken is een aardige oefening die o een link heeft naar de binaire schrijfwijze. Aan de hand f van het werkblad*) kunnen leerlingen oefenen, en vervolgens een werkstukje maken in het kader van GWA. e d Als opdracht voor zo een werkstukje valt bijvoorbeeld Partieel integreren te denken aan het schrijven van een handleiding (de t rekenregels) voor een zelf ontworpen getalstelsel. i Een bezinning op het tientallig stelsel en de manier z waarop wij daarin rekenen kan op de geschetste wijze (cid:1) (cid:1) tot nieuw inzicht leiden. Zo een reflectie is met name r (cid:4)1 d x = (cid:4)1 d ln x nuttig voor leerlingen in de eerste klas van het voortge- a xln x ln x zet onderwijs, van wie verlangd wordt dat zij in de wis- a (cid:1) kundelessen buiten de paden van het rekenen naar 1 W (cid:2)1(cid:3) ln xd(cid:4) algemene wetmatigheden gaan kijken. Door deze leer- ln x lingen op een aangename wijze te laten reflecteren op (cid:1) het rekenen kunnen zij veel van die wetmatigheden 1 (cid:2)1(cid:1) (cid:4)d x eenvoudig zelf onder woorden brengen en ‘bewijzen’; xln x daarmee zou didactisch winst zijn geboekt. Literatuur En dus is 0(cid:2)1. 1 Peter Damerow und Wolfgang Lefèvre (hrsgbr), Rechenstein, Experiment, Sprache: Historische Fallstudien zur Entstehung der exakten Wissenschaften, Stuttgart (1981) 2 Fred Goffree, Wiskunde en didactiek, 3 delen, Groningen (1982-1985) 3 Morris Kline, Mathematics in Western Culture, Oxford (1953, 19826) 4 John McLeish, Het getal: van kleitablet tot computer, Amsterdam (1993). Oorspronkelijke titel: Number; stamt van 1991 5 J.M. Pullan, The history of the abacus, Londen (1968) 6 Dirk Jan Struik, Tellen met en zonder cijfers, Groningen (1971). Dit is nummer 6 in de Torusreeks. 7 Dirk Jan Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Amsterdam (1965, 19772, 19803, 19904) 8 B.L. van der Waerden, Science awakening, Amsterdam (1954) 9 H. Wußing, Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik, Berlin (1989). Dit is Band 13 in de serie Mathematik für Lehrer. Noot * Het werkblad vindt u op de pagina’s 288 en 289 in dit nummer. 262 Euclides 72 |7 Envelop met inhoud (3) Jan Smit, Leon van den Broek Van enveloppen kun je viervlakken maken. In de vorige Een A4-rechthoek kun je verdelen in twee A5-recht-hoe- aflevering hebben we dat in het bijzonder gedaan met een ken; die zijn gelijkvormig met de oorspronkelijke A4- envelop van het A-formaat en wel door aan de voor- en ach- rechthoek. Een willekeurig parallellogram kun je verde- terkant de middens van de bovenrand als nieuwe hoekpun- len in vier kleinere parallellogrammen die gelijkvormig ten te kiezen (figuur 1). Dit speciale viervlak hebben we ‘A- zijn met het originele. Een figuur, die zich laat verdelen in viervlak’ gedoopt. een aantal kleinere, gelijkvormige kopieën van zichzelf, noemen we zelfvullend. Bij fractale figuren heb je ook zo iets. Die zijn opgebouwd uit verkleinde kopieën van zich- 1 zelf. Figuur 2 laat zien dat elke driehoek zelfvullend is. Als je er even over nadenkt, voel je wel aan dat een zelfvul- 3 2 2 2 3 2 3 2 figuur 1 We hebben gezien dat het A-viervlak ruimtevullend is. Maar het blijkt nog een sterkere eigenschap te hebben: het is ‘zelfvullend’. Tenslotte zullen we zien dat het A-viervlak een Voronoi-cel is (evenals de afgeknotte octaëder, waarmee het een speciale relatie heeft). Zelfvullend D 3 a b c A B figuur 3 a a b lende figuur altijd vlakvullend moet zijn. Een formeel b bewijs vind je in [1], bladzijde 151 en verder. Het omge- keerde is niet waar. Een regelmatige zeshoek is vlakvullend, maar niet zelfvullend. D c C c D 2 1 In de ruimte gaat het analoog. Een parallellepipedum is figuur 2 zelfvullend; acht kopieën zijn nodig voor een vulling. 72 |7 Euclides 263 Een recht driezijdig prisma, of algemener een recht altijd bij de dichtstbijzijnde bakker. Zo hoort ieder punt prisma waarvan het grondvlak een zelfvullende (vlak- van de ruimte tot het afzetgebied van een bepaalde bak- ke) figuur is, is een zelfvullend lichaam. ker. Sommige punten liggen even ver van twee bakkers In figuur 3 zie je dat het A-viervlak zelfvullend is. Snijd (en verder van de andere bakkers). Die liggen dus op de de vier hoeken eraf: snijden door de middens van de grens van twee afzetgebieden; ze liggen op het middel- ribben. De afgesneden stukken zijn weer A-viervlakken. loodvlak van de verbindingslijn tussen de twee Er blijft een achtvlak over, dat weer is opgebouwd uit betreffende bakkers. Deze afzetgebieden heten Voro- vier A-viervlakken. noi-cellen (ook wel Dirichlet gebieden). Kunnen we de vestigingsplaatsen van de bakkers zo kiezen dat alle afzetgebieden congruent zijn ? In dat geval Andere ruimtevullende viervlakken is dat afzetgebied een ruimtevullend lichaam. Een flau- we manier om dat voor elkaar te krijgen is de volgende. Voor zover ons bekend is, zijn er behalve het A-viervlak Neem een kubussenrooster en plaats een bakker in het slechts drie andere ruimtevullende viervlakken. We midden van elke kubus. De kubussen zijn de Voronoi- noemen ze alle drie. cellen. • Bekijk figuur 4; de kubus heeft ribbe 2. ABCT (één- We kunnen het ook zo regelen dat de afzetgebieden twaalfde-deel van de kubus ) is een ruimtevullend ruitentwaalfvlakken worden. Kleur daarvoor de kubus- viervlak met ribben 2, 2, 2(cid:2)(cid:3)2en opstaande ribben sen in een rooster afwisselend zwart en wit, zoals we al (cid:2)(cid:3)3. eerder deden (in de vorige aflevering). We vestigen de bakkers in de middelpunten van de zwarte kubussen. Kunnen we ook zo te werk gaan dat de Voronoi-cellen juist onze A-viervlakken zijn ? De bakkers moeten dan gevestigd worden in de middelpunten van de A-viervlakken. Kijk nog eens naar figuur 4. ABCDTUis ver- T deeld in vier A-viervlakken, waarvan de middelpunten binnen vierkant ABCDliggen, zoals in figuur 5 is aangegeven. Op ieder grensvlak van de kubus komen dus D C vier bakkers. De 24 bakkers vormen de hoekpunten van een interessant lichaam: de zogenaamde afgeknotte M A B octaëder. Het wordt begrensd door zes vierkanten en acht regelmatige zeshoeken. U D C figuur 4 • Door ABCT te halveren krijgen we het ruimtevullende viervlak ABMT met ribben 2, (cid:2)(cid:3)2, (cid:2)(cid:3)2en opstaande ribben 1, (cid:2)(cid:3)3, (cid:2)(cid:3)3(de helft van het A-viervlak ABUT). M • Neem een A-viervlak met ribben 2, (cid:2)(cid:3)3, (cid:2)(cid:3)3. Verdeel het in vieren vanuit het middelpunt van de ingeschreven bol. De stukken hebben een grensvlak van het A-viervlak als grondvlak en het middelpunt van de ingeschreven bol als top. Zo’n stuk is een ruimtevullend viervlak met ribben 2, (cid:2)(cid:3)3, (cid:2)(cid:3)3en opstaande A B ribben Qw (cid:2)(cid:3)5. De eerste twee viervlakken blijken zelfs zelfvullend te figuur 5 zijn. De afgeknotte octaëder is zelf ook weer een Voronoi- cel. Dat zie je als volgt. Begin weer met een kubussen- Voronoi-cellen in de ruimte rooster van 2 bij 2 bij 2. Vestig in elk roosterpunt een ‘hoek-bakker’ en in het middelpunt van elke kubus een Op bepaalde punten in de ruimte zijn bakkers geves- ‘centrum-bakker’. Hoe ziet het afzetgebied van een cen- tigd. De bewoners van de ruimte kopen hun brood trum-bakker eruit ? Als alleen de zes naburige cen- 264 Euclides 72 |7