Table Of Content

Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r jaargang 72 4 1996-1997 januari Getaltheorie: natuurlijke getallen Max-Plus Algebra Inzicht in chaos Nederlandse Vereniging van Adresgegevens auteurs Wiskundeleraren I. Dalm Voorzitter Veersedijk 19 dr. J. van Lint 3341 LK H.I.Ambacht Spiekerbrink 25 Euclides is het orgaan van de Neder- 8034 RA Zwolle G.J. Olsder landse Vereniging van Wiskunde- tel. 038-4539985 TU Delft, Fac. TWI leraren. Het blad verschijnt 8 maal Secretaris Postbus 5031 per verenigingsjaar. W. Kuipers 2600 GA Delft Burg. Bijleveldsingel 38 8052 AP Hattem V.E. Schmidt Redactie tel. 038-4447017 Verlengde Grachtstraat 43 Ledenadministratie 9717 GE Groningen Dr. A.G. van Asch Mw. N. van Bemmel-Hendriks Drs. R. Bosch De Schalm 19 R. Tijdeman Drs. J.H. de Geus 8251 LB Dronten RU Leiden, Math. Inst. Drs. C.P. Hoogland hoofdredacteur tel. 0321-312543 Postbus 9512 Ir. W.J.M. Laaper secretaris 2300 RA Leiden N.T. Lakeman Contributie per ver. jaar: ƒ70,00 W. Schaafsma Studentleden: ƒ47,50 A. Verweij Ir. V.E. Schmidt penningmeester Leden van de VVWL: ƒ50,00 Noord Rundersteeg 10 Mw. Y. Schuringa-Schogt eindred. Lidmaatschap zonder Euclides: ƒ50,00 2312 VN Leiden Mw. drs. A. Verweij Betaling geschiedt per acceptgiro. A. van der Wal Nieuwe leden geven zich op bij de B. Zwaneveld Drs. G. Zwaneveld voorzitter ledenadministratie. Bieslanderweg 18 Opzeggingen vóór 1 juli. 6213 AJ Maasstricht Artikelen/mededelingen Abonnementen niet-leden Artikelen en mededelingen naar: Kees Hoogland Abonnementen gelden steeds vanaf Gen. Cronjéstraat 79 rood het eerstvolgende nummer. 2021 JC Haarlem. Abonnementsprijs voor personen: ƒ80,00 per jaar. Voor instituten en Richtlijnen voor aanlevering: scholen: ƒ240,00 per jaar. • goede afdruk met illustraties/foto’s/ Betaling geschiedt per acceptgiro. formules op juiste plaats of goed in Losse nummers op aanvraag lever- de tekst aangegeven. baar voor ƒ20,00. • platte tekst op diskette: WP of ASCII Opzeggingen vóór 1 juli. • illustraties/foto’s/formules op aparte vellen: genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Advertenties Nadere richtlijnen worden op ver- zoek toegezonden. Informatie, prijsopgave en inzending: C. Hoogsteder, Prins Mauritshof 4 7061 WR Terborg, tel. 0315-324337 of naar: L. Bozuwa, Merwekade 90 3311 TH Dordecht, tel. 078-6145522. Euclides 72 |4 Inhoud 150 Kees Hoogland 179 40 jaar geleden Van de redactietafel 180 Werkbladen 151 Rob Tijdeman Enkele lessen getaltheorie 182 Recreatie Les 2: De structuur van de natuurlijke getallen 184 Kalender 154 Waar zit de fout? 115566 Bert Zwaneveld ‘Ik heb goede wiskundedocenten gehad. Zij gaven mij het gevoel dat ik dat vak aankon.’ 156 interview 158 Geert Jan Olsder Dienstregelingen en de Max-Plus Algebra 1 164 Irene Dalm Stage-week 3-mavo –1 O 1 165 Aankondiging meetkunde- –1 cursus 171 167 Regionale NVvW-studie- bijeenkomsten nvvw 169 Verschenen 170 Boekbespreking 117711 Victor Schmidt Inzicht in chaos 175 174 Mededeling over schooltv voor wiskunde 117755 Agnes Verweij en Bert Zwaneveld Studiedag 1996 - Een verslag Euclides 72 |4 149 In dit stukje dit keer niet zoveel over top tien van 41 onderzochte landen. Ook de inhoud van dit nummer. U kunt vijftien jaar geleden deden ze dat al. De zelf wel vinden wat van uw gading is. nu onderzochte groep bestaat echter wel Dit keer volgt hier een aantal actuele uit leerlingen die opgeleid zijn volgens het zaken rond het wiskundeonderwijs in nieuwe leerplan wiskunde. Het onderzoek havo en vwo. gaat in die groep over de volle breedte! Twee voorzichtige (en persoonlijke) conclusies. Ten eerste: wiskundedocenten in APS-Hoorzitting 4 havo B / 4 vwo Nederland geven internationaal gezien r gewoon goed wiskundeonderwijs. Ten Op donderdag 12 december jongstleden tweede: de problematiek onder het vori- organiseerde het APS een hoorzitting ge kopje heeft misschien vooral ook te e over de situatie bij wiskunde in 4 vwo en maken met de inhoud en de stijl van de 4 havo B naar aanleiding van vragen en huidige wiskunde B-programma’s. Zorg- d opmerkingen die binnengekomen waren vuldiger conclusies en meer aandacht bij het informatiepunt. Circa 70 docen- voor dit onderzoek hopen we in deze e ten waren hiervoor naar Utrecht getogen. jaargang nog aan de orde te stellen. a Belangrijkste conclusie was dat het nieu- d we wiskundeprogramma in de onder- bouw nog niet goed uitgekristalliseerd is. Grafische Rekenmachine nc Dat betreft dan de weergave in de school- boeken, de verdeling van de leerstof over Inmiddels zijn er ook enige onderzoeks- a de jaren, de manier waarop docenten en resultaten over het effect van het gebruik t leerlingen door de boeken heengaan, de van de grafische rekenmachine. Hieron- v kennis bij de bovenbouwdocenten van der volgen enkele voorzichtige resultaten i het nieuwe programma, de cijfergeving uit het project Handwerk en Technologie in 3 havo en de voorbereiding van de (RU Groningen). Leerlingen die de e leerlingen op de bovenbouw. Een andere beschikking hebben over een GR blijken belangrijke conclusie was ook dat het beter te scoren op inzichtelijke vragen t havo wiskunde B-programma erg moei- over kenmerken van grafieken en de lijk is voor havo-leerlingen. Slechts ruim afgeleide in allerlei betekenissen. Leerlin- a 25% van de leerlingen kan het enigszins gen met een GR proberen vaker tot een aan. Leerlingen hierop goed voorberei- goede oplossing te komen en dat lukt ook den zou wel eens kunnen betekenen dat vaker. Maar ook, en dat was te verwach- f 75% van de leerlingen al ergens in de eer- ten, leerlingen hebben een minder vast- ste of tweede klas duidelijk gemaakt staand repertoire aan algebraïsche tech- e moet worden dat wiskunde niets voor nieken. hen is. Dat lijkt toch ook geen wenselijke situatie. Het is te hopen dat het juiste l evenwicht de komende jaren wordt Tenslotte gevonden in boeken, in secties én in programma’s en examens. Uit de drie vorige paragrafen blijkt duidelijk dat er de komende jaren, ook bij de invoering van de Tweede Fase, nog veel TIMSS denkwerk verzet zal moeten worden om bij wiskunde een goed evenwicht te vin- TIMSS staat voor Third International den tussen de technisch-algebraïsche Mathematics and Science Study, een kant van wiskunde en de exploratief- internationaal vergelijkend onderzoek analytische kant. En dan hebben we het naar de opbrengst en inhoud van het nog niet eens gehad over de uitvoering onderwijs in wiskunde en science (biolo- van dit alles in het nieuwe Studiehuis. gie, natuurkunde, scheikunde). Zoals in de nationale media al gemeld, scoren de Kees Hoogland Nederlandse wiskundeleerlingen in de 150 Euclides 72 |4 Enkele lessen getaltheorie Les 2: De structuur van de natuurlijke getallen Rob Tijdeman Inleiding a we bewijzen dat 1 de eigenschap heeft, bwe bewijzen voor elk natuurlijk getal n groter dan 1 De eerste les verscheen in Euclides 71-7, blz. 223-227, dat nde eigenschap heeft als elk natuurlijk getal klei- en ging over getallenstelsels. Ook de tweede les ver- ner dan n die eigenschap heeft. schaft materiaal dat in aangepaste vorm op school Een bewijs volgens dit principe heet een bewijs met vol- gebruikt kan worden. In de examenprogramma’s voor ledige inductie. Stap bnoemen we de inductiestap; de de Tweede Fase is hernieuwde aandacht voor redene- aanname dat elk natuurlijk getal kleiner dan n de eigen- ren en bewijzen. In het profiel Natuur en Techniek schap heeft heet deinductiehypothese. voor het vwo wordt bij het domein Voortgezette Ana- lyse voorgesteld aandacht te besteden aan onder ande- Als oefening gaan we enkele beweringen met behulp re volledige inductie. In deze les komt dat onderwerp van volledige inductie bewijzen. aan de orde. Ongetwijfeld zijn er op dit moment leerlingen in het vwo bij wiskunde B die dit onderwerp Stelling 2.1. aankunnen en interessant vinden. Met die leerlingen De som van de eerste n natuurlijke getallen is n(n (cid:1) 1)/2. aandacht besteden aan dit stukje mooie wiskunde kan gelijk een goede voorbereiding zijn op die nieuwe Bewijs: Tweede Fase. aDe som van het eerste natuurlijke getal is 1. (Onder de som van één getal verstaan we het getal zelf.) Als we n(cid:2)1 invullen in n(n (cid:1) 1)/2 krijgen we ook 1. Volledige inductie Het is dus waar voor n(cid:2)1. bStel de bewering is juist voor alle natuurlijke getallen Als kind hebben we leren tellen 1, 2, 3, 4,… . We noe- kleiner dan n. Dan is de som van de eerste n– 1 men deze getallen de natuurlijke getallen. (0 wordt dus natuurlijke getallen dus (n– 1)n/2. niet als een natuurlijk getal beschouwd.) De rij ontstaat Hieruit volgt: door met 1 te beginnen en telkens 1 bij het voorgaande getal op te tellen. Elk natuurlijk getal wordt dus met één 1(cid:1)2(cid:1)3(cid:1)…(cid:1)(n– 1)(cid:1)n(cid:2) soort bouwstenen gebouwd, het getal 1, waarbij bou- n(n– 1)/2(cid:1)n(cid:2)n(n (cid:1) 1)/2. (cid:1) wen neerkomt op optellen. Het teken (cid:1)geeft aan dat het bewijs geleverd is. Als we willen aantonen dat alle natuurlijke getallen een Volgens ageldt de bewering voor n(cid:2)1, volgens b zekere eigenschap hebben, dan kunnen we eerst laten dan ook voor n(cid:2)2, volgens bdan ook voor n(cid:2)3, zien dat 1 die eigenschap heeft, dan het bewijs leveren volgens bdan ook voor n(cid:2)4, enz. Zo komt elk voor 2, dan voor 3, enz., maar zo zouden we nooit klaar natuurlijk getal aan de beurt en wordt de bewering komen. Daarom wordt vaak het volgende principe toe- voor dat getal aangetoond. gepast dat in eindige tijd kan worden voltooid: 72 |4 Euclides 151 Stelling 2.2. Bewijs: Als n een natuurlijk getal is en r een reëel getal met r ≠1, a Als je een getal van 1 cijfer opschrijft, zijn alle cijfers dan is van dat getal hetzelfde. De bewering is dus waar voor 1(cid:1)r(cid:1)r2(cid:1)…(cid:1)rn(cid:2)(rn (cid:1) 1(cid:3)1)/(r(cid:3)1). n = 1. Bewijs: bStel de bewering is waar voor alle natuurlijke getallen Met volledige inductie naar n: kleiner dan nmet n > 1. Neem een willekeurig getal van ncijfers. Als je het laatste cijfer weglaat, houd je a Als n = 1, staat links 1 + r en rechts een getal van n- 1 cijfers over en volgens de inductie- (r2– 1)/(r– 1) = r+ 1. hypothese zijn alle cijfers van dat getal aan elkaar gelijk. Het getal ziet er dus uit als aaa … ax. Als we bVolgens de inductiehypothese geldt het eerste cijfer weglaten, krijgen we ook een getal 1(cid:1)r (cid:1)r2(cid:1)…(cid:1)rn(cid:3)1(cid:2)(rn– 1)/ (r– 1). van n(cid:3)1 cijfers, nl. aa … ax. Volgens de inductiehypothese zijn daarvan alle cijfers gelijk zodat a(cid:2)x. Hieruit volgt: Het getal is dus van de vorm aaa … aaen de inductiestap is voltooid. (cid:1) (rn– 1) 1(cid:1)r (cid:1)r2(cid:1)…(cid:1)rn (cid:2) (cid:4) (cid:1)rn (cid:2) (r– 1) rn– 1 (cid:1)rn (cid:1) 1 –rn rn (cid:1) 1 – 1 Priemgetallen (cid:4)(cid:4)(cid:2) (cid:4) (cid:1) r– 1 r – 1 Als je twee natuurlijke getallen vermenigvuldigt, is het product ook een natuurlijk getal. We kunnen de Vraag: natuurlijke getallen ook opbouwen met vermenigvul- Waaraan is 1(cid:1)r(cid:1)r2(cid:1)…(cid:1)rngelijk als r(cid:2)1? Waar- digings-bouwstenen. Het getal 1 is als bouwsteen niet om klopt de bovenstaande formule dan niet? erg bruikbaar, want een getal verandert niet als het met 1 vermenigvuldigd wordt. Door telkens met 2 te verme- Kijk eens naar de volgende opmerkelijke gelijkheden: nigvuldigen krijgen we de rij 13 = 12 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … . 13+ 23 = 32 13+ 23+ 33 = 62 De rij is oneindig lang, maar de verschillen tussen de 13+ 23+ 33+ 43 = 102 termen worden steeds groter. Het kleinste natuurlijke getal dat ontbreekt is 3. Voegen we 3 als vermenigvuldi- Zou het waar zijn dat de som van de derdemachten van gings-bouwsteen toe, dan kunnen we de volgende de eerste nnatuurlijke getallen voor elke neen kwa- getallen opbouwen: draat is? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48,… . Opgave 1: Probeer regelmaat in de rij 1, 3, 6, 10,... te vinden, een Er ontbreken nog steeds getallen. Als we weer het klein- inductiehypothese op te stellen en deze met volledige ste ontbrekende getal toevoegen, dat is 5, kunnen we de inductie te bewijzen. volgende getallen maken: Opgave 2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30,… . Bewijs met volledige inductie dat De rij is weer dichter geworden, maar nog steeds mis- 12(cid:1)22(cid:1)...(cid:1)n2(cid:2)n(n(cid:1)1) (2n(cid:1)1)/6 sen er getallen. voor n(cid:2)1, 2, 3, … . Natuurlijke getallen die niet het product zijn van twee Opgave 3: kleinere natuurlijke getallen noemen we priemgetallen, Vind de fout in het volgende inductiebewijs: waarbij we afspreken dat 1 geen priemgetal is. Een priemgetal wordt ook wel eens ondeelbaar genoemd. Stelling: Een geheel getal aheet een delervan n, en nheet een Als je een getal van n cijfers opschrijft, zijn alle cijfers veelvoudvan a, als er een geheel getal bis met n(cid:2)a •b. gelijk. Dus 30 is een deler van 120 en een veelvoud van 6. De 152 Euclides 72 |4 bouwstenen die we boven vonden, 2, 3, 5 en 7, zijn Men kan bewijzen dat elk getal maar één standaard- priemgetallen. Als we verder gaan, vinden we dat de ontbinding heeft. Daarom spreken we wel over destan- priemgetallen tot 100 gegeven worden door: daardontbinding van n. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, Je kan de standaardontbinding van een getal vinden 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. door de priemgetallen 2, 3, … zo vaak mogelijk op dat getal te delen tot je 1 overhoudt. Bijv. het getal Als we afspreken dat het product van nul priemgetallen 145773540. gelijk is aan 1 en dat het product van één getal het getal zelf is, dan kan elk natuurlijk getal opgebouwd worden 145773540 2 met priemgetallen: 72886770 2 36443385 2 niet, 3 wel Stelling 2.3. 12147795 3 Elk natuurlijk getal is het product van priemgetallen. 4049265 3 1349755 3 niet, 5 wel Bewijs: met volledige inductie: 269951 5 niet, 7 niet, 11 wel 24541 11 a) Het getal 1 is het product van nul priemgetallen. 2231 11,13,17 en 19 niet, 23 wel 97 b) Neem een natuurlijk getal nmet n(cid:5)2. Als neen priemgetal is, is n het product van één priemgetal, Dus 145773540 = 22•33•5•112•23•97. namelijk n. Als ngeen priemgetal is, is nhet product van twee natuurlijke getallen, zeg aen b, die beide klei- Je kan ophouden als het resterende getal kleiner is dan ner zijn dan n. Volgens de inductiehypothese zijn zowel het kwadraat van het aan de beurt zijnde priemgetal, aals bhet product van priemgetallen. Door deze pro- omdat het resterende getal dan zeker niet samengesteld ducten te vermenigvuldigen krijgen we een product is. Toch zal het ontbinden van grote getallen op deze van priemgetallen dat gelijk is aan ab(cid:2)n. (cid:1) manier meestal veel tijd kosten, omdat veel getallen meer dan één grote priemfactor hebben. Standaardontbinding Opgave 4: Bepaal de standaardontbinding van 47775168 en van Voorbeelden van ontbindingen in priemgetallen zijn: 75149316. 12 (cid:2) 2•3•2 100 (cid:2) 2•5•5•2 Hoeveel priemgetallen zijn er? 1001 (cid:2) 13•11•7 Houdt de rij van priemgetallen op of gaat deze einde- We hadden ook kunnen schrijven dat 100(cid:2)2•2•5•5, loos door? Euclides bewees omstreeks 300 v.C. dat er of kortweg oneindig veel verschillende bouwstenen voor de verme- 100(cid:2)22•52. nigvuldiging zijn: Om eenheid in de schrijfwijze te brengen introduceren we het begrip standaardontbinding. We noemen Stelling 2.4. Er zijn oneindig veel priemgetallen. p k1•p k2 • • •pkr 1 2 r Bewijs. Stel de bewering is onjuist en er zijn maar ein- een standaardontbinding van n als ngelijk is aan die uit- dig veel priemgetallen p , p ,…, p. Beschouw dan 1 2 r drukking en p , …, p priemgetallen zijn met p (cid:6)p … N(cid:2)p p … p (cid:1)1. Volgens Stelling 2.3 is Nhet pro- 1 r 1 2 1 2 r (cid:6)p en k , …, k positieve gehele getallen zijn. Als de duct van priemgetallen. Dus N(cid:2)p •m voor een r 1 r exponent 1 is, laten we deze weg. De bovengenoemde priemgetal pen een geheel getal m. Omdat peen priem- ontbindingen corresponderen dus met de volgende getal is, is het een van de getallen p , p , …, p Maar als 1 2 r. standaard-ontbindingen: Ndeelbaar is door een priemgetal p, kan N(cid:3)1 niet door pdeelbaar zijn. Deze tegenspraak bewijst de stel- 12(cid:2)22•3, 100(cid:2)22•52, 1001(cid:2)7•11•13. ling. (cid:1) 72 |4 Euclides 153 ? t Opgave 5. u Bewijs dat het r-de priemgetal kleiner is dan 2 tot de o macht 2r. f e Zwart of wit Enige achtergrondinformatie d Een zak bevat twee knikkers. Het aantal priemgetallen(cid:7)xwordt genoteerd met (cid:8)(x). t Deze kunnen zowel zwart als De rij priemgetallen lijkt vrij regelmatig te groeien: i wit zijn. Kunnen we zonder z verdere informatie iets zeggen (cid:8)(102) = 25 r over de kleur van de twee knik- (cid:8)(103) = 168 a kers? Ja, één is zwart en de (cid:8)(104) = 1.229 a andere is wit. Deze uitspraak (cid:8)(105) = 9.592 bewijzen we op de volgende (cid:8)(106) = 78.498 W wijze. (cid:8)(107) = 664.579 (cid:8)(108) = 5.761.455 (Meissel, 1870) Neem een zak met drie knik- (cid:8)(109) = 50.847.478 (Bertelsen, 1893) kers waarvan er twee zwart (cid:8)(1010) = 455.052.511 zijn. De kans om nu een zwarte (cid:8)(1012) = 37.607.912.018 knikker te pakken is We. Deze (cid:8)(1014) = 3.204.941.750.802 kans van We geldt alleen in dit (cid:8)(1016) = 279.238.341.033.925 (Lagarias, Miller & geval, dat wil zeggen: geen Odlyzko, 1985) andere kleurverdeling van de knikkers geeft een kans van We Uitdaging: op een zwarte knikker. De kan- Op welke eenvoudige functie van xlijkt x/(cid:8)(x)? sen dat de gegeven zak met twee knikkers bestaat uit ZZ, ZW, WWzijn respectievelijk Qr , Open problemen Qw en Qr . Doe een extra zwarte knikker in de zak. De kansen Terwijl (cid:8)(x)globaal een gladde functie lijkt, is de ver- op ZZZ, ZZW, WWZzijn weer deling van de priemgetallen toch heel grillig. Hier vol- Qr , Qw en Qr . De kans om nu een gen enkele eeuwenoude, nog open problemen: zwarte knikker te pakken is Qr (cid:9)1(cid:1) Qw (cid:9) We (cid:1) Qr (cid:9) Qe (cid:2) We. Vermoeden over priemgetaltweelingen: Dus bevat de zak ZZW(geen er bestaan oneindig veel priemgetallen p zó dat p(cid:1)2 ook andere kleurverdeling geeft een priemgetal is. immers deze kans). Voordat de zwarte knikker was toegevoegd Voorbeelden van priemgetaltweelingen: bevatte de zak ZW, dus één 11 en 13, 101 en 103, 10005427 en 10005429, zwarte en één witte. 4650828•1001•103429±1(Deubner, 1993). Opgave 6: Laat zien dat er maar één priemgetal pis zó dat p(cid:1)2 en p(cid:1)4 beide priemgetallen zijn. Vermoeden van Goldbach (1742): Elk even getal groter dan 3 kan geschreven worden als som van twee priemgetallen. Het is duidelijk dat niet elk natuurlijk getal de som is van twee priemgetallen. Neem bijv. 35. Het is wel bewezen dat elk oneven getal boven een zekere grens de som is van drie priemgetallen, en wel door Vinogradov in 1937. 154 Euclides 72 |4 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 lichtgrijs: kwadraat grijs: n(n(cid:1)1) 101 64 63 62 61 60 59 58 57 56 89 donkergrijs: priemgetal 102 65 36 35 34 33 32 31 30 55 88 Waar of niet waar?: als we vanuit 0 103 66 37 16 15 14 13 12 29 54 87 ahokken naar rechts en bhokken 104 67 38 17 4 3 2 11 28 53 86 omhoog gaan is het gevonden getal door ddeelbaar als aen bbeide door d 105 68 39 18 5 0 1 10 27 52 85 deelbaar zijn (a,b (cid:1) (cid:2)). Bewijs? 106 69 40 19 6 7 8 9 26 51 84 107 70 41 20 21 22 23 24 25 50 83 108 71 42 43 44 45 46 47 48 49 82 109 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 Vermoeden over Mersenne-priemgetallen (1644): Toelichting bij de opgaven Er zijn oneindig veel priemgetallen van de vorm 2p (cid:3) 1, waarbijp een priemgetal is. 1 13(cid:1)23(cid:1)…(cid:1)n3(cid:2)(1(cid:1)2(cid:1)…(cid:1)n)2(cid:2) n2(n(cid:1)1)2/4. Zij M (cid:2) 2p (cid:3) 1. Niet elke M is priem, bijvoorbeeld p p M (cid:2)23•89. Tot nog toe zijn de volgende Mersenne- 3 Het inductieargument is alleen correct voor n(cid:10)2. 11 priemgetallen bekend: Voor n(cid:2)2 is de conclusie ‘zodat a(cid:2)x’ ongegrond. M voor p= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 4 47775168 = 26•32•7•172•41 p 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 75149316 = 22•33•11•17•612. 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787. 5 Met volledige inductie naar r. Gebruik Stelling 2.2 met r(cid:2)2. Het getal M is het grootste priemgetal dat expli- 1257787 ciet bekend is. (Slowinski, 1996). Uitdaging. Voor x(cid:2)10nlijkt x/(cid:8)(x) op een lineaire functie van Opgave 7: n,om precies te zijn nln10(cid:3)1 voor grote waarden Laat zien dat M deelbaar is door 47. van n. Meer algemeen lijkt x/(cid:8)(x)op lnx(cid:3)1 als x 23 groot is. Opgave 8: Laat zien dat 22n– 1 voor n (cid:2) 1, 2, … geen priemge- 6 Eén van de drie getallen is door 3 deelbaar. tal is. 8 Verschil van twee kwadraten. (Een ingewikkelder bewijs geeft dat ppriem is als 2p(cid:3)1 priem is.) 72 |4 Euclides 155 I N T E R V I E W het eindexamen moet je toelatings- examen voor de universiteit doen. De eerste twee jaar van de middelba- ‘Ik heb goede re school zijn algemeen. In het derde jaar heb je vakken gericht op òf lette- ren òf science. Mijn eindexamenvak- ken waren: Spaans, Engels, wiskun- wiskundedocenten de, natuurkunde, scheikunde, biologie en filosofie. De school loopt van eind september gehad. Zij gaven tot en met 20 juni, 6 lessen per dag, die ‘s zomers in verband met de warmte wat korter duren dan ‘s win- ters. Op de lagere school vond ik het mij het gevoel dat niet zo leuk, maar dat kwam vooral doordat ik nog maar net uit Neder- land gekomen was. Tijdens mijn ik dat vak aankon.’ middelbare-schooltijd had ik veel contact met de docenten. We zaten met 30 tot 40 leerlingen in de klas. Of we huiswerk hadden hing van de leraar af. Toen Ingeborg van Leeuwen4 Hoe zit globaal het Spaanse onder- Welke wiskundeonderwerpen heb jaar oud was verhuisde zij met wijs in elkaar? Hoe heb je je school- je op school gehad? haar ouders naar Spanje. Inmid- tijd ervaren? Van de eerste twee jaar weet ik het dels is ze 23. Na haar middelbare Het lager onderwijs duurt 8 jaar, niet precies meer, veel trigonometrie, school is zij in Granada wiskunde voor kinderen van 6 tot 14 jaar. veel meetkunde, zowel in het vlak als gaan studeren. In september 1996 Daarna kies je voor een beroepsop- in de ruimte, en ik had, in mijn her- heeft zij haar laatste tentamen leiding of voor de 4 jaar durende innering, heel vaak de stelling van gehaald en nu mag zij zich Licen- middelbare school die onder andere Pythagoras nodig. Het derde jaar ciada in Matematicas(drs in de voorbereidt op de universiteit. Na werd in beslag genomen door limie- wiskunde) noemen. Tijdens ICME-8 was zij één van de onge- veer 250 ‘stewards’ en ‘stewardessen’ die als vraagbaak voor de con- gresgangers, werkgroepvoorzitters en inleiders optraden. Alle stewards en stewardessen waren stu- denten wiskunde uit heel Spanje die hun werk totaal 2 weken, inclusief de voor- en nafase van het congres, hebben gedaan, met als vergoeding kost en inwoning op een studentenkamer, vrij gebruik van de stadsbus en voor- zover mogelijk toegang tot het congres. Omdat er eigenlijk 400 nodig waren, schoot dat laatste er meestal bij in. Een ander gevolg van dat tekort was dat de werktij- den vaak lang waren: soms van 7 uur ‘s morgens tot 12 uur ‘s nachts. 156 Euclides 72 |4