Table Of Content

Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r jaargang 70 1 1994-1995 september Zeventig jaar jong Kunnen we door vragen leren? De afgeleide van x 1/x Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Voorzitter dr. J. van Lint, Spiekerbrink 25, 8034 RA Zwolle, tel. 038-539985. Secretaris drs. J.W. Maassen, Traviatastraat 132, 2555 VJ Den Haag. Ledenadministratie F.F.J. Gaillard, Jorisstraat 43, 4834 VC Breda, tel. 076-653218; fax 076-653218. Giro: 143917 t.n.v. Ned. Ver. v. Wiskundeleraren te Amsterdam. De contributie bedraagt f65,00 per verenigingsjaar; voor studentleden Redactie en Belgische leden die ook lid zijn van de VVWL f 47,50; contributie Drs. H. Bakker zonder Euclides f 40,00. Drs. R. Bosch Opgave van nieuwe leden aan de Drs. J.H. de Geus ledenadministratie. Drs. M.C. van Hoorn hoofdred. Opzeggingen vóór 1 juli. J. Koekkoek N.T. Lakeman D. Prins secretaris Abonnementen niet-leden W. Schaafsma Ir. V.E. Schmidt penningmeester Abonnementsprijs voor niet-leden Mw. Y. Schuringa-Schogt eindred. f 71,00. Een collectief abonnement Mw. drs. A. Verweij (6 exemplaren of meer) kost per A. van der Wal abonnement f 48,00. Opgave bij de Drs. G. Zwaneveld voorzitter ledenadministratie (adres: zie boven). Euclides is het orgaan van de Abonnees wordt dringend verzocht Nederlandse Vereniging van te wachten met betalen tot zij een Wiskundeleraren. Het blad acceptgiro hebben ontvangen. verschijnt 8 maal per cursusjaar. Abonnementen gelden telkens vanaf het eerstvolgend nummer. Reeds verschenen nummers zijn op Artikelen/mededelingen aanvraag leverbaar. Annuleringen dienen vóór 1 juli te Artikelen en mededelingen worden worden doorgegeven aan de in drievoud ingewacht bij ledenadministratie. drs. M.C. van Hoorn, Losse nummers f12,50. Noordersingel 12, 9901 BP Appingedam. Voor meer informatie: Advertenties zie ‘Richtlijnen voor auteurs’ achterin dit tijdschrift. Advertenties sturen naar: De auteur van een geplaatst artikel C. Hoogsteder, Prins Mauritshof 4, ontvangt kosteloos 2 exemplaren 7061 WR Terborg; tel. 08350-24337 van het nummer waarin het artikel of naar: is opgenomen. L. Bozuwa, Merwekade 90, 3311 TH Dordrecht; tel. 078-145522. Euclides 70-1 Inhoud Bij het begin van de 70e jaargang 02 F.M. Vriesendorp Rationale punten op de eenheidscirkel 03 Piet van Wingerden Kunnen we door vragen leren? I 05 Korrel 06 Leon van den Broek De afgeleide van x→1/xmeetkundig afgeleid 07 Boekbesprekingen 10 32 Martinus van Hoorn ‘Exact begaafde leerlingen moeten niet ondersneeuwen’ Interview 11 Werkbladen 12 Bewijs zonder woorden (1) 14 Actualiteiten 15 Victor Hermans Soaps of calculators? 23 Jan Koekkoek GeomeTrucs 25 Rob Bosch Een verrassende uitslag 27 Marian Kollenveld / Carla van Oorschot Verslag van de studiedag van Vrouwen en Exacte Vakken 29 40 jaar geleden 31 Recreatie 34 Kalender 36 Euclides 70-1 1 Bij het begin Het inzenden van bijdragen Zoals gezegd verandert de procedu- van de re voor het inzenden van bijdragen en artikelen niet. Vriendelijk vragen we uw aandacht voor de speci- ficaties die in de ‘Richtlijnen voor 70e jaargang auteurs’ (achterin het tijdschrift) zijn opgenomen. Heel graag ontvangen we uw inzen- dingen op diskette (liefst 3,5 inch), De redactie met gebruikmaking van het tekst- verwerkingsprogramma WP 5.1. Dit programma hebben we om pragmatische redenen gekozen: het Zeventig jaar jong zijn geschreven. We hopen en ver- is simpelweg het meest gebruikte wachten dat hierdoor de kwaliteit programma. Als u niet de beschik- In zijn zeventigste jaar verschijnt van Euclides gewaarborgd kan wor- king hebt over WP 5.1, wilt u dan Euclides in een nieuwe vormgeving. den. uw bijdragen inzenden in ASCII- Er is een nieuw logo, er is een nieuw files? formaat, de nummers zijn iets dik- Discussie Wij stellen het op prijs als u bij het ker en het aantal nummers per jaar inzenden van uw bijdrage zorg gaat naar 8 (de totale hoeveelheid Op verschenen artikelen kan uiter- besteedt aan de illustraties. Hoe kopij blijft gelijk). De inhoud is aard worden gereageerd. Dat is ook mooier, hoe beter! meer dan voorheen ondergebracht het afgelopen jaar enkele keren Wilt u dat uw bijdrage snel in vaste rubrieken. We kunnen rus- gebeurd. We hanteren zo veel geplaatst wordt (iets wat de redac- tig spreken van een modernisering. mogelijk het principe van hoor en tie uiteraard niet op voorhand gaat wederhoor, naar journalistiek garanderen), dan moet u juist géén gebruik. illustraties meezenden. In het mid- denkatern komen de meer actuele We hebben trouwens gemerkt, dat bijdragen; deze zijn niet geïllus- sommige briefschrijvers (nog) niet treerd. in de gaten hadden, dat Euclides typisch een blad is voor de wiskundeleraren, de doeners. Het is niet in Tenslotte de eerste plaats bestemd voor degenen die de kost verdienen met den- ... hopen wij op voortzetting van de ken over het wiskundeonderwijs. goede relatie met het bestuur van Wel hopen we het contact tussen de vereniging, en met de Wolters- Werkwijze redactie hen en de doeners te bevorderen, groepGroningen, die het blad ver- en we willen ook helemaal niet zeg- zorgt. De redactie gaat professioneler wer- gen dat wiskundeleraren geen denken (dit gebeurt inmiddels al enige kers zijn. Goed onderwijs vereist tijd), maar voor u, als lezer, blijft de altijd grondig denkwerk. gang van zaken gelijk. Euclides verschijnt op regelmatige tijden, en als We hopen dat degenen die de kost u een artikel inzendt wordt dit eerst verdienen met denken zich kunnen door een aantal redactieleden beke- blijven verplaatsen in het werk dat ken. Het kan zijn dat er dan nog met de leraren doen. We weten dat de u wordt gecorrespondeerd over de professionele denkers allemaal inhoud, de lengte of een ander aspect Euclides aandachtig lezen om op de van een door u ingezonden bijdrage. hoogte te blijven met wat er werke- Dit gebeurt trouwens ook met bij- lijk van belang is in het wereldje dragen die door redactieleden zelf van het wiskunde-onderwijs. 2 Euclides 70-1 Rationale punten op de eenheidscirkel F.M. Vriesendorp Inleiding Dus (abc-formule) x (cid:2) (cid:7)2(cid:1)(t22t(cid:3)2±12). En x(cid:2)(cid:1)1 (met y(cid:2)0) Na het lezen van de bijdrage ‘Drietallen van Pythagoras en de dubbele-hoekformules’ van Rob Bosch in Eucli- of x (cid:2)(cid:1)(cid:7)tt22(cid:3)(cid:3)11(met y(cid:2)t (cid:5)( (cid:7)(cid:1)t2t(cid:3)2+1 1 (cid:3)1)(cid:2)(cid:7)t22(cid:3)t 1). des van januari 1992 vroeg ik me het volgende af: ‘Dub- bele-hoekformules gebruiken bij Pythagoreïsche drietallen is natuurlijk verrassend, maar is het ook zinvol?’. Bij het bewijs hadden we ook gebruik kunnen maken Door een stukje van een introductie (op de Pell-verge- van de dubbele-hoekformules van sin en cos. lijking x2(cid:1)Dy2(cid:2)1) van Smorynski uit zijn boek ‘Logic Number Theory I’ wat nader uit te werken kan ik Bewijs (met behulp van gonio): nu antwoord geven op de vraag die ik mij stelde: ‘Het Als ϕde richtingshoek van lijn lis, dan zijn de basis- KAN zinvol zijn!’. hoeken van de gelijkbenige driehoek ASO gelijk aan |ϕ| en is de middelpuntshoek BOS (de buitenhoek van de tophoek van driehoek ASO) gelijk aan 2ϕ(zie figuur 1). y Conclusie: S (cid:2)(cos2ϕ, sin2ϕ)met tan ϕ(cid:2)t . Dus e e n h e i dx2sc +ir kye2 l= 1 S xS(cid:2)(cid:7)cos1 2ϕ(cid:2)(cid:7)ccooss22ϕϕ(cid:1)(cid:3)(cid:7)ssiinn22ϕϕ(cid:2)(cid:7)11(cid:1)(cid:3)tt(cid:7)aann22ϕϕ(cid:2)(cid:7)11(cid:3)(cid:1)tt22 ϕ en lijn l A ϕ 2ϕ B y (cid:2)(cid:7)sin 2ϕ(cid:2)(cid:7)2sinϕ(cid:7) cosϕ (cid:2)(cid:7)2 ta(cid:7)nϕ (cid:2)(cid:7)2t y = t(x +1) O x S 1 cos2ϕ(cid:3)sin2ϕ 1(cid:3)tan2ϕ 1(cid:3)t2 Punten waarvan de coördinaten rationaal zijn worden rationale puntengenoemd. We weten nu dat, als trationaal is, punt Seen rationaal Figuur 1 punt ((cid:6)A) is. De omgekeerde bewering is ook waar, omdat y Rationale punten t(cid:2) (cid:7)x (cid:3)S 1 (immers, punt S ligt op l: y(cid:2)t(x(cid:3)1) ). S In figuur 1 is Shet snijpunt van de lijn l(door A ((cid:1)1, 0) Met (1) hebben we dus allerationale punten op de een- met richtingscoëfficiënt t) en de eenheidscirkel. heidscirkel ((cid:6)A) geparametriseerd met een rationale Voor de coördinaten van dit snijpunt Sgeldt: parameter. Het extreme geval dat Smet Asamenvalt (dus lverticaal is) kunnen we er nog bij betrekken door xS(cid:2) (cid:7)11(cid:1)(cid:3)tt22 en yS(cid:2) (cid:7)1(cid:3)2tt2 (1) t(cid:2)∞ toe te staan. Bewijs (met behulp van substitutie): Als we in (1) t(cid:2) (cid:7)n substitueren krijgen we: m Als we y(cid:2)t(x(cid:3)1) substitueren in x2(cid:3)y2(cid:2)1 (dus x2(cid:3) t(x(cid:3)1) 2(cid:2)1) dan krijgen we de 2e graads x (cid:2) (cid:7)m2(cid:1)n2 en y (cid:2) (cid:7)2mn (2) vergelijking (t2 (cid:3)1)x2(cid:3)(2t2)x(cid:3)(t2(cid:1)1)(cid:2)0 met als S m2(cid:3)n2 S m2(cid:3)n2 discriminant 2t2 2(cid:1) 4 (t2(cid:3) 1) (t2(cid:1) 1) (cid:2) 4 . Euclides 70-1 3 Pythagoreïsche drietallen Voor pen qin de tweede formule geldt: (cid:1)p(cid:2)(m(cid:3)n)/w (cid:1)m(cid:2)(p(cid:3)q)/v Pythagoreïsche drietallen (a, b, c) zijn positieve gehele en omgekeerd met q (cid:2)(m(cid:1)n)/w n (cid:2)(p(cid:1)q)/v oplossingen van de vergelijking x2(cid:3)(cid:3)y2(cid:2)(cid:2)z2. Daarbij zijn we alleen geïnteresseerd in de primitieve drietal- v •w(cid:2)2 len, d.w.z. ggd(a, b, c)(cid:2)(cid:2)1. De resterende drietallen zijn daar veelvouden van. Conclusie Het punt (a/c, b/c) is, wegens (a/c)2(cid:3)(b/c)2= 1, een rationaal punt S op de eenheidscirkel en voor de bijbe- In de bijdrage van Rob Bosch worden met behulp van horende parameter tgeldt eenvoudig gonio rationale punten op de eenheidscirkelbere- kend. y t(cid:2) (cid:7)S (cid:2) (cid:7)b/c (cid:2) (cid:7)b x (cid:3)1 a/c(cid:3)1 a(cid:3)c S Dit gebeurt door bij een gegeven paar (m, n) de dubbe- Omdat dit punt S van de vorm (2) is, waarbij de gehele le-hoekformules toe te passen op hoek ϕmet tan ϕ(cid:2) getallen m en n (met n/m(cid:2)b/(a(cid:3)c)) moeten voldoen n/m. Het resultaat is het rationale punt Svan formule aan de voorwaarden m(cid:8)(cid:8)n(cid:8)(cid:8)0 en ggd(a, b, c)(cid:2)(cid:2)1, (2). hebben we hiermee bewezen dat voor alle primitieve Formule (3) (en dus ook formule (2)) wordt hierbij van Pythagoreïsche drietallen (a, b, c) geldt: meet af aan bekend verondersteld in de gebruikelijke vorm met ‘men nniet beide oneven’ en dus w(cid:2)1. (cid:1)a(cid:2) (m2(cid:1)n2) /w Die formule wordt ook uiteindelijk toegepast, maar dat b(cid:2) 2mn/w met w(cid:2)ggd(m2(cid:1)n2, 2mn, m2(cid:3)n2) (3) had ook direct kunnen gebeuren! c (cid:2) (m2(cid:3)n2) /w Dus, volgens mij, is de enige manier om de dubbele- Op het oog ziet deze formule er moeilijk uit, maar dat is hoekformules bij Pythagoreïsche drietallen zinvol te schijn. w voldoet namelijk aan de volgende eenvoudige gebruiken door formule (3) niet te poneren maar te voorwaarde: BEWIJZEN(en dat heb ik in dit artikel dan ook gedaan). w= het aantal oneven getallen van men n (4) In formule-vorm: w(cid:2)m(mod 2) + n(mod 2) Bewijs: w is deler van 2m2 ((cid:2)(m2(cid:3)n2)(cid:3)(m2(cid:1)n2)) en deler van 2n2 ((cid:2)(m2(cid:3)n2)(cid:1)(m2(cid:1)n2)). Dus w(cid:2)1 of w(cid:2)2, omdat m en n onderling ondeelbaar zijn. • Als m en n beide oneven zijn dan zijn m2(cid:3)n2, 2mn en m2(cid:1)n2 alle drie even en geldt w(cid:2)2. • Is van men n één even en één oneven dan zijn m2(cid:3)n2en m2(cid:1)n2oneven en kan w geen 2 zijn. Dus is w(cid:2)1. (3) en (4) zou ik als volgt willen samenvatten: m > n > 0 p > q > 0 (5) ggd (m, n) = 1 ggd (p, q) = 1 w = aantal on- v = aantal oneven in {m, n} even in {p, q} a = (m2 – n2)/w = 2pq/v b = 2mn/w = (p2 – q2)/v c = (m2 + n2)/w = (p2 + q2)/v 4 Euclides 70-1 Gedachten en overwegingen in de hoever kunnen jullie tellen?’ Een kind van zes is trots dat het tot didactiekcommissie 100 kan tellen, doet het graag. De ouders luisteren met een glimlach, het duurt waarschijnlijk een minuut. Voor twaalfjarigen ligt de Kunnen we getallenwereld nog altijd helemaal open en de bereidheid is groot. Of er iemand was die in deze les even tot miljoen zou kunnen tel- door vragen len? Of zou het wat meer tijd vragen? De vraagstelling bleek aanlei- ding te zijn om daar eens over te leren? I denken. Als je in een minuut maar tot 100 kunt komen, hoever kom je dan in een uur stug doortellen? Ga dan maar eens door tot miljoen. Piet van Wingerden Kan je dat eigenlijk wel in één week klaren? Nog iets voor brugklassers. Zullen we ze eens vragen wat vol- Veel geroutineerde lezers zijn wat me toen - beslist niet tegen gens hen wiskunde is? gewend eerst de titel en direct daar- mijn zin - ingestampt en inge- Je kunt ze met een gerust geweten na het slot van een artikel te bekij- pompt is, heb ik later weer prijs zeggen, dat je het zelf nog steeds ken. Pas dan nemen ze het besluit gegeven, er moest het een en ander niet zo goed onder woorden kan om het er tussenliggende al of niet afgeleerd worden. Dat was mis- brengen. te lezen. schien nog wel moeilijker dan aan- Dit soort vragen is ook in hogere Ik ben benieuwd of u met lezen tot leren. klassen zinvol, vaak geliefd. hier bent gekomen. De slotzin is Mijn vele leermeesters en weinige De leerlingen willen altijd weten namelijk tevens de titel. leermeesteressen hadden zich niet wat het nut van de schoolwiskunde toegelegd op een dialoog met hun is. Het liefst het nut van DE WIS- Om ook in vorm bij mijn onder- pupil. Later heb ik docenten ont- KUNDE. werp te blijven wil ik u, geliefde moet die dat wel deden. Hierdoor Zit daar nog verschil in? lezer - zo mag u nu wel genoemd werd een dimensie aan mijn den- worden - in dit artikeltje vragen ken toegevoegd. Ik werd serieus Van de docenten wordt verwacht stellen en het zou niet zo gek zijn genomen. dat ze daar zinnige dingen over als u tenslotte met nog wat vragen Wat docenten willen bijbrengen kunnen zeggen. bleef zitten. dient bij de leerlingen te worden Is het niet beter onze pupillen te vastgeknoopt aan bestaande kennis helpen daar zelf mee te gaan wor- Toen ik een jaar of vijftien was, was en ingebed in reeds verworven stelen? ik als een spons: alles in me opne- inzichten. Om te weten welke ken- In een derde klas gymnasium was men, ik wilde ontzettend veel leren. nis voorhanden is, zou het ant- ik een beetje oorzaak van huisvre- Er waren volwassenen die kennelijk woord op een vraag van een leer- debreuk door mijn opdracht: Vraag wisten hoe de samenhang in het ling uitgesteld kunnen worden met aan vader, moeder, ooms en tantes leven was en die bereid waren mij al de wedervraag: ‘Wat valt je nu hier- wat ze voor nut nú nog ervaren van docerend knapper en wijzer te bij te binnen?’ het vroeger genoten wiskunde- maken. Ik zocht naar mensen die De jonge mens weet immers wel iets, onderwijs. Ik drukte mijn leerlin- de antwoorden wisten. Ik was de misschien onvolledig of ongeor- gen op het hart concrete antwoor- vragensteller. De meeste mensen dend, soms anders dan wij. In ieder den te eisen. Neem geen genoegen wilden ook wel ongevraagd aan geval het navragen waard, lijkt me. met schijnantwoorden, zoals ‘goed mijn wensen voldoen. leren denken’. Het is maar de vraag Achteraf twijfel ik er aan of dat Bij de eerste wiskundeles in de of pappa van zichzelf kan beoorde- laatste zo goed is geweest. Veel van brugklas vroeg ik wel eens: ‘Tot len of hij ‘goed kan denken’, laat Euclides 70-1 5 staan dat hij er zeker van kan zijn, dat dit zonder wiskundelessen dui- Korrel delijk minder zou zijn geweest. Wiskunde, Ten slotte een bloemlezing vragen een hoofdvak ter overweging. Om deze aan ons zelf te stellen. Niet om er snel ant- Nu de basisvorming nog maar pas woorden op te gaan geven, maar van start gegaan is, verneemt men de om op onderzoek uit te gaan: eerste commentaren. Een opmerking die veel gehoord wordt, is dat • Wie zijn op school de vragenstel- het programma overladen is. De lers: de leraren, de leerlingen of leerlingen krijgen 32 uur per week beiden? les in 15 vakken, voor al die 15 vak- • Behoort u tot de mensen die wei- ken zijn kerndoelen geformuleerd, nig vragen hebben? en de docenten spannen zich in om • Bent u een doorgewinterde vra- de kerndoelen te halen. Bij vrijwel gensteller? alle vakken horen schriftelijke toet- • Hebt u het idee dat u goed naar sen, proefwerken zeg maar. Door de vragen kunt luisteren? veelheid raakt het overzicht zoek. Je • Kunt u gemakkelijk een weder- kunt je afvragen of de dames en vraag vinden, als aan u een vraag heren politici dit zo hebben gewild. wordt gesteld? Ik bedoel niet een Voor wiskunde is in de eerste klas 3 handige truc om eigen onkunde of 4 uur uitgetrokken. Wiskunde- te verbergen, maar een oprechte werklokalen treft men heel spora- poging de ander niet voor de voe- disch aan, maar wel wordt systema- ten te lopen bij diens zoeken naar tischer met materialen gewerkt. Uit antwoorden en oplossingen. veel verhalen van wiskundedocen- • Kunt u wachten als uw gespreks- ten lees je trouwens vreugde over de partner, bijvoorbeeld een leer- introductievan een nieuw pro- ling, nog aan het denken is over gramma. een door u aan hem gestelde Ondertussen dreigt wiskunde vraag? onder te sneeuwen in de veelheid • Kunnen we onderwerpen of van vakken in de basisvorming. aspecten in het wiskunde-onderwijs bedenken waarbij een vraag- Een evaluatie van het vernieuwde stelling minstens zo effectief basisonderwijsheeft inmiddels de werkt als een directe uitleg? kranten gehaald. Het programma is • Is het niet irritant om op je vraag overladen, door de veelheid aan vak- om uitleg van een probleem een ken dreigen taal en rekenen aan wedervraag te krijgen in plaats belang in te boeten. Het klinkt alsof van een fatsoenlijke beantwoor- het over de basisvorminggaat. Kern- ding? doelen zijn dingen die men getoetst wil hebben, daar komt de ellende Op deze laatste twee vragen wil ik vandaan. Kerndoelen moeten blijk- in een volgend artikel terugkomen. baar niet overheersen. Als er zoveel kerndoelen getoetst (en dus eerst Wat denkt u: KUNNEN WE gehaald) moeten worden, zou men DOOR VRAGEN LEREN? kunnen vergeten dat er hoofdvakken zijn, namelijk taal en wiskunde. M.van Hoorn 6 Euclides 70-1 De afgeleide van →→ x 1/x meetkundig afgeleid Leon van den Broek Als f(x)=xn, dan f’(x)=n × xn − 1. Je wilt laten zien dat 4 Als limiet van het differentiequotiënt deze regel ook geldt voor n=−1, dus dat de afgeleide 1 1 x x + h van x→1/xis x→−1/x2. Je kunt daarvoor kiezen uit – – x + h x x(x + h) x(x + h) allerlei benaderingen, afhankelijk van het niveau van de lim = lim h→0 h h→0 h leerlingen en hun precieze voorkennis. Voor de volledig- – h heid neem ik ook twee ‘constateer’-aanpakken mee en x(x + h) –1 –1 de twee bekende formeel-algebraïsche aanpakken. = hli→m0 h = hli→m0 x(x + h) = x2 Methode 1 en 2 sluiten direct aan op wat de afgeleide is: 1 Meten de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, te benaderen door de helling ∆y/∆xvan koorden. Weliswaar wordt Teken nauwkeurig de grafiek van y=1/x. Teken zo goed niet in strikte zin bewezen dat –1/x2de afgeleide waar- mogelijk de raaklijn in enkele mooie punten en consta- de is, maar de methoden zijn overtuigend. Deze manie- teer dat de gemeten helling aardig klopt met de uit- ren mogen niet achterwege blijven. komsten van −1/x2. Methode 4 is een direct vervolg op methode 2, maar dan algemeen opgezet. Stap voor stap is de afleiding voor de leerlingen goed te volgen. Het geheel komt als 2 Benaderen met ∆∆y/∆∆x steeds moeilijker over, omdat het formeel algebraïsch rekenen minder aandacht krijgt in het wiskunde- Kies een getal voor x. Neem bijvoorbeeld ∆x: 0,01. onderwijs. Methode 3 vind ik een ‘handigheid’. Zij Bereken de bijbehorende waarde van ∆yen constateer voert snel tot het gewenste resultaat. Ik heb begrepen dat ∆y/∆xnagenoeg gelijk is aan de uitkomst van −1/x2 dat collega’s deze aanpak ‘elegant’ vinden. Ik ben echter voor de gekozen waarde van x. (En natuurlijk ook nog bang dat het wiskundeniveau voor veel leerlingen in even hetzelfde voor ∆x=−0,01 doen.) feite te hoog is: we werken met een functievergelijking! Dit kun je voor andere waarden van xherhalen. Met Een andere bedenking bij methode 3 en 4 is dat ze geï- een eenvoudig computer-programma kun je snel een soleerd zijn in het onderwijs. Je doet ze één keer, waar- tabel maken voor een heleboel waarden van x, waarbij na je alleen nog de conclusies toepast, zonder dat de steeds ∆y/∆xen −1/x2wordt uitgerekend. gedachtengang van het bewijs opnieuw gebruikt wordt. Dat betekent dat deze methodes ver weg staan van de alledaagse schoolwiskunde-praktijk. 3 Uit de produktregel Het tegenwoordige onderwijs heeft de tendens zo veel mogelijk aanschouwelijk voor te stellen. En dat lukt Als de produktregel al bekend is — en de afgeleide van ook bij de afgeleide vanx →1/x. Ik geef drie verschil- x→x — krijg je de afgeleide door beide leden van de lende meetkundige aanpakken, elk met elementen die functievergelijking voor wiskunde-onderwijs interessant zijn. x •1/x=1 te differentiëren: 1•1/x+x • ?=0 en dus ? =−1/x2. Euclides 70-1 7 5 Driehoek met minimale oppervlakte onder de Als het punt (a, b) op de hyperbool y=1/xligt, is de hyperbool minimale oppervlakte 2. Neem nu een punt (a, b) op de hyperbool y=1/x. De schuine zijde van de minimale driehoek bij (a, b) moet y wel raaklijn zijn aan de hyperbool. Stel maar dat hij de hyperbool nog in een tweede punt zou snijden, dan zou de driehoek ook minimale driehoek zijn bij dat tweede punt (immers de oppervlakte van de driehoek is 2). En 2b dat is in tegenspraak met de opmerking hierboven dat elk punt zijn eigen minimale driehoek heeft. Welnu: de raaklijn PQheeft dus richtingscoëfficiënt: −2b −b −1/x −1  =  =  =  (a, b) 2a a x x2 6 ∆y/∆x≈≈ −y/x y 4 x 2a Figuur 1 Een lijn door (a, b) in het eerste kwadrant snijdt de x-as in punt Pen de y-as in Q. De oppervlakte van ∆POQis minimaal als OP = 2aen OQ = 2b. Immers, dan is (a, b) het midden van PQ. Als je de lijn bij deze Pen Qeen beetje draait, komt er meer oppervlakte bij dan eraf A C A gaat; zie figuur 1. De bijbehorende driehoek noemen 2 we de minimale driehoek bij (a, b). De minimale drie- B hoek heeft oppervlakte 2ab. Merk op dat elk punt zijn B2 eigen minimale driehoek heeft: twee verschillende punten hebben ook verschillende minimale driehoeken. y x 4 O A1 B1 4 Figuur 3 Neem bij het punt A(x, y) op de hyperbool een tweede 2b punt B(x + ∆x, y − ∆y). Omdat de oppervlaktes van OA AA en OB BB gelijk zijn (namelijk allebei 1), 1 2 1 2 zijn de oppervlaktes van A B CA en B BCA gelijk. 1 1 2 2 Hieruit volgt dat A B B C (a, b) 2 2 = 1 A B A C 1 1 2 Dus rc van AB=−rc van OC. 1 y = x Als ∆xtot 0 nadert, nadert ABtot de raaklijn in Aen x nadert OCtot de lijn OA. 2a 4 Figuur 2 8 Euclides 70-1