Table Of Content

j - ±LJ jaargang 69 1993 994 apri • Euclides • •. • • Redactie Artikelen/mededelingen Drs. H. Bakker Drs. R. Bosch Artikelen en mededelingen worden in drievoud ingewacht bij Drs. J.H. de Geus drs. M.C. van Hoorn, Noordersingel 12 Drs. M.C. van Hoorn (hoofdredacteur) 9901 BP Appingedam. Zij dienen machinaal geschreven te J. Koekkoek zijn en bij voorkeur te voldoen aan: N.T. Lakeman (beeldredacteur) • ruime marge D. Prins (secretaris) • regelafstand van 1,5 W. Schaafsma • maximaal 47 aanslagen per regel Ir. V.E. Schmidt (penningmeester) • eenzijdig beschreven papier Mw. Y. Schuringa-Schogt (eindredacteur) • met de tekst bijgeleverd op diskette (3,5 of 5,25 inch) in Mw. drs. A. Verweij WP 5.1, of eventueel in ASCII-files A. van der Wal en liefst voorzien te zijn van (genummerde) illustraties Drs. G. Zwaneveld (voorzitter) • die gescheiden zijn van de tekst • aangeleverd in zo origineel mogelijke vorm Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van • waar nodig voorzien van bijschriften Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 9 maal per cursusjaar De ruimte die een artikel of mededeling bij plaatsing in beslag neemt kan worden bepaald door Uit te gaan van 48 tekstregels perkolom bij een kolomhoogte van 20 cm; aan de hand hiervan kan ook het ruimteheslag van illustraties worden Nederlandse Vereniging van bepaald. De auteur van een geplaatst artikel ontvangt kosteloos 2 Wiskundeleraren exemplaren van het nummer waarin het artikel is opgenomen. Voorzitter Dr. J. van Lint, Spiekerbrink 25, 8034 RA Zwolle, tel. 038-539985. Abonnementen niet-leden Secretaris Drs. J.W. Maassen, Traviatastraat 132, 2555 VJ Den Haag. Abonnementsprijs voor niet-leden f 66,00. Een collectief Ledenadministratie F.F.J. Gaillard, Jorisstraat 43, abonnement (6 ex. of meer) kost per abonnement f 43,00. 4834 VC Breda, tel. 076-65 32 18; fax. 076-65 32 18. Niet-leden kunnen zich abonneren bij: Giro: 143917 t.n.v. Ned. Ver. v. Wiskundeleraren te WoltersgroepGroningen b.v., afd. Verkoopadministratie, Amsterdam. Postbus 567, 9700 AN Groningen, tel. 050-22 68 86. ABN-AMRO 44 60 67 105. De contributie bedraagt f 60,00 per verenigingsjaar; Abonnees wordt dringend verzocht te wachten met betalen studentleden en Belgische leden die ook lid zijn van de tot zij een acceptgiro hebben ontvangen. - V.V.W.L. f42,50; contributie zonder Euclides f35,00. Abonnementen gelden telkens vanaf het eerstvolgend Adreswijziging en opgave van nieuwe leden (met nummer. Reeds verschenen nummers zijn op aanvraag vermelding van evt. gironummer) aan de ledenadministratie. leverbaar na vooruitbetaling van het verschuldigde bedrag. Opzeggingen vôör 1juli. Annuleringen dienen minstens één maand voor het einde van de jaargang te worden doorgegeven. Losse nummers! 11,50 (alleen verkrijgbaar na vooruit- Advertenties betaling). Advertenties zenden aan: ACQUI MEDIA, Postbus 2776, 6030 AB Nederweert. Tel. 04951-26595. Fax. 04951-2 6095. ISSN 01.65-0394 •Inhoud••••• Recreatie 213 Bijdragen 213 Agnes Verweij Droog en eenzijdig 214 Bij de prijsuitreiking van de wiskunde-olympiade bleek dat maar weinig winnaars wiskunde gingen studeren. J. van de Craats Kijk en zie! 216 De schoonheid van het meetkundevraagstuk van P.A. Hoogendoom in het januarinumrner kan nog vergroot worden. R. Dijxhoom Te veel jongens! 216 Kiezen te veel jongens wiskunde B? Bijdragen 194 40 jaar geleden 217 Victor Schmidt Studiedag en jaarvergadering 194 Een verslag van de studiedag op 13 november 1993. Bijdrage 218 Bert Zwaneveld Joop van Dormolen emigreert 197 Verantwoording F. van der Blij Een boeiende vraag (II) 198 Over het afbreken van de serie 'Ontwikkelingen in De kettmgbreuk uit het voorafgaande artikel heeft de didactiek'. iets te maken met de differentievergelijking die nu nader bekeken wordt. Verenigingsnieuws 219. Harm Bakker Kanttekeningen bij de Fermat- Marian Kollenveld Van de bestuurstafel 219 dag 202 Jaarrede 1993 220 Verslag van het symposium over FLT. Examenbesprekingen mei 1994 222 Serie 'Rekenen in W12-16' 205 Adressen van auteurs 224 Mieke Abels Procenten-test Kalender 224 Bijdrage 206 Jan Koekkoek Rekentrainer - Wiskunde voor de Basisvorming Boekbesprekingen 207,218 Werkbladen 208 Bijdrage 210 Heleen Verhage Kwartielbepaling Problemen bij het bepalen van boxplot-getallen kunnen opgelost worden met een paar afspraken. Verschenen 211 Mededelingen 201, 207, 211, 224 Interview 212 Martinus van Hoorn 'Met geduld kun je veel berei- ken' Fermat Euclides Inhoud 193 • Bijdrage • • • • Studiedag en jaarvergadering Victor Schmidt 'De basis gevormd ... en dan?' dat bleek een vraag die ongeveer tweehonderd leraren wiskunde vol- doende relevant achtten om op zaterdag 13 novem- Voorzitter van Lint spreekt de jaarrede uit ber jongstleden de jaarlijkse studiedag van de NVvW te bezoeken. De studiedag had vooral betrekking op de invoeringsproblematiek van het nieuwe leerplan wiskunde in de onderbouw. Tevens zou er aandacht zijn voor de uitstraling van dat leerplan naar andere onderwijssectoren zoals bovenbouw en vervolgopleidingen. De organisatie van de dag was in handen gegeven van het APS. De deelnemers werden verwelkomd met informatie over de faciliteiten die het APS biedt ten aanzien van nascholing. Ook werd hen een publikatie van de vereniging en het APS met als titel 'Bladeren in de nieuwe schoolboeken wiskunde' ter hand gesteld. Huishoudelijk gedeelte De vorm van de dag was als vanouds. Ook dit jaar had het bestuur het Nieuwe Lyceum in Bilthoven gekozen als plaats van handeling. Er waren twee sprekers ingehuurd en er was een elftal werkgroepen gevormd. De dag zou beginnen en eindigen met de statutaire jaarvergadering van de vereniging. De jaarrede* van voorzitter Van Lint vormt een mo- Hans Wisbrun verdedigt zijn amendement 194 Euclides Bijdrage ment van terug- en vooruitzien in het verenigingsjaar. De voorzitter memoreert een aantal gebeurte- nissen van het afgelopen jaar en spreekt voornemens van het nieuwe bestuur uit. Zo zal de NVvW zich het komend jaar nadrukkelijk bezig houden met problemen rond de invoering van de basisvorming. Discussie ontstond naar aanleiding van de oproep 'Wij eisen contributieverhoging' (zie Euclides nummer 3). De opstellers bleken de oproep als amendement te beschouwen bij het bestuursvoorstel de contributie volgend jaar te verhogen. Na enig heen en weer gepraat werd besloten aan het einde van de dag de leden een compromis voor te leggen tussen bestuursvoorstel en amendement. Bert Zwaneveld over het nieuwe Euclides Kees Hoogland had de leiding over een werkgroep die de algebralijn tot onderwerp had. Hij betoogde hoe de algebralijn door het hele voortgezet onderwijs loopt en zou moeten lopen. Kern van zijn betoog was dat algebraïsche vaardigheden niet los van de analyse (bijvoorbeeld het functiebegrip) geleerd moesten worden. In de discussie achteraf Stemming over amendement Wisbrun uitte een deelnemer haar zorg over de aansluiting van het nieuwe leerplan op dit gebied met het overi- Werkgroepen ge wiskunde-onderwijs. Andere deelnemers bleken het met haar eens te zijn. In de middageditie bleef Het organisatiecomité had voor een ruime keuze aan de discussie wat uit, mede omdat de werkgroep toen werkgroepen gezorgd. In de meeste werkgroepen bezocht werd door een aantal professionals op het kwam een aspect van de invoering van het nieuwe gebied van leerplanontwikkeling. Jammer. leerplan aan de orde. Actueel was de werkgroep onder leiding van Boertien van het Cito over de Veel positieve reacties waren te horen na afloop van afsluiting van de basisvorming. Er werden voorbeel- de werkgroep van prof. Does. Deze inleider hield den getoond van mogelijke toetsen. Tevens deed een verhaal over de beheersing van produktieproces- Boertien kond van het systeem waarin alle leerlin- sen met behulp van statistische technieken. Zulke gen drie toetsen van elk een uur en opklinimend qua technieken worden overal ter wereld gebruikt, zoals moeilijkheidsgraad worden aangeboden. Ook maak- in de auto-industrie en in de procesindustrie. te hij melding van het feit dat er een getuigschrift Simpelweg door goed te kijken blijkt het mogelijk komt, mogelijk voorzien van een cijferscorelijst. flink te besparen. Euclides Bijdrage 195 S aan de hand van toepassingen behandeld moeten worden. Als mogelijke nieuwe onderwerpen werden numerieke wiskunde, geschiedenis van de wiskunde en discrete wiskunde genoemd. Voordrachten De sessies in de werkgroepen werden afgewisseld met spreekbeurten van Aad Goddijn van het Freudenthal instituut en Hans Pouw van het APS. De eerste spreker hield een betoog over meetkunde in de basisvorming. Aan de hand van leerboeken, proefexamens en het historisch archief gaf Goddijri zijn gehoor een beeld van de meetkunde in het nieuwe curriculum. De voordracht was bijzonder onder- houdend, hoewel de actualiteitswaarde van de inhoud te wensen overliet. Hans Pouw vond 'de basisvorming af' en vroeg zich af 'wat nu?'. Voor leerplanontwikkelaars is het pauze; de kloof tussen het realistisch rekenen in de basisschool en HEWET en HAWEX in de bovenbouw is door het nieuwe programma overbrugd. In welke lokalen moet ik zijn? Voor docenten begint het werk nu pas. Het project- team invoering basisvorming zal evenmin stil zitten. Wiskunde B in het vwo De problematiek van de afsluitende toetsen dient bevredigend opgelost te worden, leerboekauteurs De zitting van de werkgroep Wiskunde B in het vwo verdienen begeleiding en ondersteuning, de aanslui- had veel weg van een hearing. De herzieningscom- ting met de bovenbouw moet aandacht krijgen en er missie onder leiding van De Lange bood de gelegen- moet over de invulling van het individueel beroeps- heid mee te denken over aanpassingen van het exa- onderwijs worden nagedacht. menprogramma wiskunde B. Daar bleek ruime Veel werk moet er in de scholen worden verricht. belangstelling voör te zijn. De Lange gaf resultaten De scholen, en daarbinnen de vaksecties, zijn ver- van een onder vwo-docenten wiskunde gehouden antwoordelijk voor de invoering van de basisvor- enquête. Tevens wist hij een aantal nieuwigheden ming. Daartoe krijgt elke school een nascholings- over de doorstroomprofielen in het vwo en de plaats budget van f 700 per voltijds personeelslid. Met een van de wiskundevakken in elk van de profielen te gedeelte van dit budget kan een vaksectie nascho- noemen. ling op maat kopen. De aanwezigen werd gevraagd welke problemen ze ervaren met het huidige B-programma. Genoemd werden het overladen karakter van het curriculum, Rondkijken het feit dat (te) veel leerlingen het vak kiezen, de onduidelijke afbakening van de ruimtemeetkunde en De lunchpauze was aan de korte kant. Er was gele- het onderwerp differentiaalvergelijkingen als zoda- genheid tot het bezichtigen van de winnende bijdra- nig. Wensen werden geuit op het terrein van hulp- ge van de didactiekprijsvraag, die door de NVvW en middelen als de grafische rekenmachine en een de NVORWO jaarlijks wordt uitgeschreven. De simpel formuleblad op het examen. Differentiaalver- helaas enige inzenders hadden een spel bedacht gelijkingen zouden ôf niet, ôf beter, bijvoorbeeld waarin in een soort ganzebord elementen verzameld 196 Euclides Bijdrage moeten worden, waarmee een ruimtelijke figuur van dend en geanimeerd. De organisatie stak, zoals elk tekening af gebouwd kan worden. De bouwelemen- jaar, goed in elkaar. Anderzijds beginnen de studie- ten worden uitgekeerd na beantwoording van een dagen steeds meer op elkaar te lijken. Dat betreft vraag. De vakjury vond het spel fraai van uitvoe- niet zozeer de vorm, maar met name ook de inhoud. ring. Ook bood het ruimte aan de spelleider de De vereniging biedt professionals op het gebied van regels aan te passen en uit te breiden. leerplanontwikkeling of -begeleiding op zo'n dag alle en misschien zelfs te veel ruimte. Zelf beperkt ze zich tot het beschikbaar stellen van tijd, geld en een podium. Het ware te overwegen om in de toe- komst de studiedag te gebruiken om over één of meer thema's een verenigingsstandpunt in te nemen. Dat daarbij een beroep wordt gedaan op de genoem- de professionals ligt voor de hand. Hun bijdragen zullen dan echter, meer dan het vertonen van eigen kunnen, uitgangspunt van discussie zijn. * Zie bladzijde 220 Prijsuitreiking metselspel De informatiemarkt werd bevolkt door educatieve uitgevers, producenten van elektronica en organisa- ties die nascholing aanbieden. In een hoekje stond een aantal fraaie meetkundige modellen, die door Joop van Dormolen een werkproject uit Amsterdam op de markt ge- emigreert bracht worden. Uw correspondent was erg enthousiast over het op Bert Zwaneveld de studiedag uitgebrachte softwarepakket PC-Gra- fiek. Dit pakket wordt onder auspiciën van de vereniging de leden aangeboden tegen een geringe ver- In de loop van 1994 zal Joop van Dormolen, de hui- goeding van f 15,00 + f 2,50 aanmaakkosten. Een dige nestor van de didactiek van de wiskunde, met aanrader. zijn vrouw zich metterwoon in Israel vestigen. Op 28 januari namen zijn Nederlandse collega's, vakdi- dactici, bestuur NVvW, leden van de Samenwer- Conclusie kingsgroep, medewerkers van het Freudenthal instituut en mede-auteurs afscheidvan hem. Op de-terugreis naar huis is er ruimte voor een eva- De redactie van Euclides sluit zich graag aan bij de luatie van de dag. Twee gedachten dringen zich bij die avond veel gehoorde wens: Joop, het ga je goed mij op. Enerzijds was de studiedag erg onderhou- en in ieder geval tot ziens. Euclides Bijdrage 197 • Bijdrage • • • • Dit dringt vooral als we ons realiseren wat het verband van deze differentievergelijking met de kettingbreuk uit het vorige artikel is. Daarom daar eerst iets over. We bewezen in het vorige artikel dat de kettingbreuk + 1 + 1 de waarde e - 2 heeft. Een boeiende vraag (II)* Stellen we nu F van der Blij 1 t(k-1)= k k+1 In de brief van de heer Maas werd opgemerkt dat de 1+ 1 + . . . kettingbreuk, die we in het eerste artikel bestudeer- den, iets te maken had met de differentieverge- dan geldt lijking: t(k) = -1 + k t(k- 1) k t(k-1)= 1 + t(k) We vroegen u al om bij verschillende beginwaarden voor t(0) met rekenmachine of computer een aantal en dit is juist de bovengenoemde differentievergelij- termen t(k) uit te rekenen. Ik vermoed dat u wel ont- king. dekt heeft dat voor enkele ongelukkig gekozen Het aardige is dat we direct zien dat alle t(k) in dit beginwaarden het proces stopt omdat we op een geval positief zijn en dat de limiet van de rij t(k) ge- deling door nul stuiten. Maar voor andere begin- lijk aan 0 is. waarden nadert de rij t(k) snel tot -1. Daarbij is de beginwaarde t(0) bij de differentiever- Dit verbaast ons niet want als de rij t(k) een limiet T gelijking dus juist de waarde van de kettingbreuk. heeft moet, omdat Er is dus wel degelijk een beginwaarde t(0) te vinden zodat de rij t(k) tot nul nadert! Aardig is het t(k) . t(k - 1) + t(k - 1) = 1- om nu direct met de rekenapparatuur het verloop k van de rij na beginwaarde gelden: t(0) = e - 2 = 0.718281818459 te onderzoeken. = 0 We vinden: T2 + T en dus t(1) = 0.3922111912 TOOfT = -1. We merken op dat als zekere t(k) negatief is de vol- = 0.0745774903 gende t(k + 1) kleiner dan -1 is zodat na een nega- = 0.03 14516699 tieve term alle volgende termen kleiner dan -1 zijn, = 1.271058153 en als er een limiet bestaat deze dus -1 moet zijn. = - 0.9475502623 We vragen ons af of het voor kan komen dat alle = - 1.065959562 termen positief zijn, en of er een beginwaarde te = - 1.055183641 vinden is zodat de limiet 0 wordt. 198 Euclides Bijdrage en nu nadert t(k) snel naar -1. Wellicht heeft u, dit We proberen nu een oplossing van de gedaante controlerend, heel andere waarden voor de getallen k+ 2 t(k) = - + s(k) te vmden. t(k) gevonden. Het zijn namelijk de afrondfouten die dit alles veroorzaken, die willen nog al eens ver- Invullen geeft ons de relatie schillen per machine. Maar ook in uw geval zal de + E(k) + i].[_ t_i: + e(k - 1)] = rij t(k) tot -1 naderen. Dan maar even anders te werk gaan, we starten met t(0) = p en onderzoeken en dus voor welke waarde van p de termen positief blijven. 1 j--e(k)+ -jE(k 1)=E(k) . (k 1). t(i)_i_L t(i)>0 voor0<p<1 Opnieuw een niet-lineaire differentievergelijking. p Maar met een kleine kunstgreep kunnen we over- 2 t(2)>0 voor gaan op een lineaire vergelijking. Schrijven we namelijk 8-lip 8 t(3)>0voor 2- <P<-j-j- e(k) = t(4) - 38 t(4) >0 voor 38 <p < 8 32 - dan zien we dat 6(k) voldoet aan: 222 - 309p t(5)>0 voor 38 <p< 222 1) + —1--6(k)= 1. 265p- 190 2119p- 1522 222 We herinneren ons iets van lineaire differentiaalver- «6>0 voor 1522 < i332-1854p gelijkingen en gaan eerst de homogene vergelijking 11986 - 16687p 1522 11986 oplossen. t(7) t(7) >0 voor 14833p - 10654 -j-j- <° < 16687 Van = - ---6(k - 1) We merken terloops even op dat is 1522 = 0.718263. .en = 0.718283 (_1)k. (k+ 1) (k+ 1)' C de oplossing. We passen nu het principe van variatie Dit verbaast ons niet, e - 2 is immers de kritieke van constanten toe en zoeken van waarde. 6(k) 6(k - 1) + 1 We willen de differentievergelijking nu exact oplos- = - j-- sen voor iedere beginwaarde p. een oplossing van de vorm Uit ( 1)L'. (k+ 1) (k+ 1)! p(k). t(k) = -1 - 1) komen we tot het ver- Substitutie voert tot + k «k moeden dat p(k)-p(k- 1) = (k+ 1)! k + 1 1 en dus k k k±1 p(k)-> J)+(0). een oplossing zou kunnen zijn; deze is bijna goed. t=2 t! Even bijstellen geeft dat We vinden dus als oplossing van de differentievergelijking t(k) = - k+ 1 t(k) = - k + 2 -- + een exacte oplossing is. Deze hoort bij beginwaarde (_flk r k±1 1-1 t(0) = -2 en heeft de eigenschap L +p(Ø) (k+ 1)(k+ 1)! [ r=2 t! lirnt(k) = -1 met een constante die we kunnen bepalen door een beginwaarde voor de rij te kiezen. Euctides Bijdrage 199 aanleiding geeft tot twee lineaire differentievergelij- kingen van de tweede orde Tk=akTkl + bkTk2; T 1 = 1, T0 =O Bij beginwaarde t(0) = p hoort Nk=akNk.l +bkNk2;N l = O,NO = 1 en als p(Ø) = _ L_ Tk p + 2 li m- k-.= Nk We zien dat voor alle k de beginwaarde k+1 t bestaat, deze de waarde van de kettingbreuk geeft. +F p= -2 De vergelijking t. Lt=2 Xk = akXk -1 + bkXk -2 tot een rij voert die onderweg afbreekt omdat we op kunnen we omschrijven als een deling door nul stuiten. Voor andere b eginwaarden ongelijk aan XXkkl = a + bk —XXkk2l 1-, 2+ en schrijven we [ (-t!11 t(k) = - -Xk- geldt dat de rij t(k) de limiet -1 heeft. Voor beginwaarde dan vinden we t(0)=-2+1 > —(Tl)-]-1 =- 2+e t(k) = - bk + t(k - 1)' is het moeilijker te zien wat er gebeurt. We vullen voor p(0) nu in en voor a,,, = 1 en bk = is dit juist de bestudeerde differentievergelijking. 1 -' (_1)t = L en vmde n dan p+2 t=2 t! Gaan we anderzijds uit van t(k)=-ak+ t(k-1) t(k) = - k+2 + en voeren we 1)-1 ( 1) [(k+ 1) (k+ 1)! ( - r=tk±2 ] t(k) = B(k) en na enkele herleidingen + F r 00 in, dan vinden we t(k)= —k 2.I -1+I1+(k+2)!' k+1 [ L t! j 4Ç= bkB(k-1) + en omdat 00 B(k) A(k- 1) lim(k+2)! •t 110 k - o t=±3 t! en dus volgt dat de rij tot nul nadert. A(k)=akA(k- 1)+bkB(k- 1), Met de rekenmachine hadden we dit nooit kunnen B(k)=A(k- 1), ontdekken door de instabiliteit van het rekenproces. A(k)=akA(k- 1)+bkA(k-2). Iedere kleine afronding is fataal. We hebben uit de differentievergelijking de bij de kettingbreuk behorende lineaire vergelijkingen weer Tenslotte nog iets over het verband tussen de ket- terug gekregen. tingbreuk uit het eerste artikel en de differentievergelijking uit het tweede artikel. Natuurlijk hadden we eerst de bibliotheek in kunnen We zagen dat de kettingbreuk gaan en in de literatuur naar de oplossing van onze 12 problemen kunnen zoeken. al + b2 De eerste greep is al raak. In het klassieke boek van a2+ 0. Perron: Die Lehre von den Kettenbruechen, Band b a3 + II, pag. 19 (Stuttgart, 1957, derde druk) vind ik de a4 formule 200 Euclides Bijdrage