Euclides, jaargang 67 // 1991-1992, nummer 1

35 Pages·1991·2.6 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

(Ç
'4— L.
'4—
cc
CD
_5 CD
=
cn
Al
CL) - CI) -
-
. -
CD
1
CD
0)
a (_)
cc i-7
CL) - 1
:> 1
CL)
en co
[Ei
co
cm
cv
jaarang 67 1991 1992 september
• Euclides 1 • • •
Redactie Artikelen/mededelingen
Drs H. Bakker Artikelen en mededelingen worden in drievoud ingewacht bij
Drs R. Bosch drs M. C. van Hoorn, Noordersingel 12,
Drs J. H. de Geus 9901 BP Appingedam. Zij dienen machinaal geschreven te
Drs M. C. van Hoorn (hoofdredacteur) zijn en bij voorkeur te voldoen aan:
N. T. Lakeman (beeldredacteur) • ruime marge
Ir. V. E. Schmidt (penningmeester) • regelafstand van 2
Mw. Y. Schuringa-Schogt (eindredacteur) • 48 regels per kolom
Mw. Drs A. Verweij • .maximaal 47 aanslagen per regel
A. van der Wal • liefst voorzien van (genummerde) illustraties
Drs G. Zwaneveld (voorzitter) • die gescheiden zijn van de tekst
• aangeleverd in zo origineel mogelijke vorm
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van • waar nodig voorzien van bijschriften
Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 9 maal per cursusjaar De auteur van een geplaatst artikel ontvangt kosteloos
5 exemplaren van het nummer waarin het artikel is
opgenomen.
Nederlandse Vereniging van
Wiskundeleraren
Abonnementen niet-leden
Voorzitter Dr. J. van Lint, Spiekerbrink 25,
8034 RA Zwolle, tel. [phone]. Abonnementsprjs voor niet-leden f60,00. Een collectief
Secretaris Drs J.W. Maassen, Traviatastraat 132, abonnement (6 ex. of meer) kost per abonnementf39,00.
2555 VJ Den Haag. Niet-leden kunnen zich abonneren bij:
Penningmeester en ledenadministratie F. F. J. Gaillard, Wolters-Noordhoff bv, afd. Verkoopadministratie,
Jorisstraat 43, 4834 VC Breda, tel. [phone]. Giro: Postbus 567, 9700 AN Groningen, tel. [phone].
143917 t.n.v. Ned. Ver. v. Wiskundeleraren te Amsterdam Giro: 1308949.
Abonnees wordt dringend verzocht te wachten met betalen
De contributie bedraagtf55,— per verenigingsjaar; tot zij een acceptgirokaart hebben ontvangen.
studentleden en Belgische leden die ook lid zijn van de Abonnementen gelden telkens vanaf het eerstvolgend
V.V.W.L. f37,50; contributie zonder EuclidesJ30,—. nummer. Reeds verschenen nummers zijn op aanvraag
Adreswijziging en opgave van nieuwe leden (met leverbaar na vooruitbetaling van het verschuldigde bedrag.
vermelding van evt. gironummer) aan de penningmeester Annuleringen dienen minstens één maand voor het einde
Opzeggingen vôôr 1juli. van de jaargang te worden doorgegeven.
Losse nummersf 10,00 (alleen verkrijgbaar na vooruit-
Inlichtingen over en opgave voor deelname aan de betaling).
leesportefeuille (buitenlandse tijdschriften) aan
F.M.W. Doove,Severij 5,3155 BR Maasland.
Giro: 1609994 t.n.v. NVvW leesportefeuille te Maasland.
Advertenties
Advertenties zenden aan:
ACQUT' MEDIA, Postbus 2776, 6030AB Nederweert.
Tel. [phone]. Fax. [phone].
ISSN 01.65-0394
•Inhoud••• Bijdrage 19
Arend Pilon Galperin in de praktijk
Observaties van een stagebegeleider: leersitua-
ties in Ibo- en mavo-klassen illustreren Galperins
theorie.
Boekbesprekingen 22
Recreatie 23
Verenigingsnieuws 24
Jaarvergadering/Studiedag 1991 24
Mieke Abels, Henk van der Kooij Ander on-
derwijs, andere toets(vorm)en! 25
Actualiteit 2 Het programma van de Studiedag 1991 toege-
Bij het begin van de 67ejaargang. licht. Waarmee het kiezen van 2 uit 15 werkgroe-
pen niet eenvoudiger geworden is.
40 jaar geleden 3 Nieuwe programma 's wiskunde voor de onder-
bouw 29
Bijdrage 4 Uitwisselingbijeenkomsten Hawex 30
Jan van Maanen Computer-algebra in het vwo. Voordracht wiskunde A 30
ondersteunend of ondermijnend?
Een verslag van een symposium. Over mogelijk- Mededeling 30
heden en gevaren van het inschakelen van
DERIVE-achtige programma's in het wiskun- Verenigingsnieuws 31
deonderwijs. Eén van de conclusies: het vwo-B- Agneta Aukema-Schepel Van de bestuurstafel
programma is aan herziening toe.
Verschenen 32
Boekbespreking 7
Kalender 32
Bijdrage 8
Agnes Verweij 'Perspectiven'
De tentoonstelling over Saenredam en de archi-
tectuurschilders van de 17e eeuw in Museum
Boymans-van Beuningen kan nieuwe inspiratie
geven voor de lessen over perspectief op school.
De distantiepuntmethode: een eenvoudige tech-
niek om dieptematen in perspectieftekeningen te
construeren.
l
Bijdrage 15
Truus Dekker Het examen ibo/mavo C/D
1991, experimenteel (10)
J;4
Werkbladen 16
Brief 18
R. Leentfaar Gaat vermenigvuldigen nog wel
voor delen?
Perspectiven
Euclides Inhoud 1
• Actualiteit • • • en aan zuivere wiskunde, aan didactiek en aan vak-
inhoud.
Als altijd geldt: uw bijdragen, beste lezer, worden
door ons gaarne ingewacht! Deze bijdragen mogen
echt overal over gaan, als er maar een raakvlak is
met het wiskundeonderwijs. Ook uw reacties op
verschenen bijdragen, bijvoorbeeld in de vorm van
een brief, zijn zeer welkom. Het afgelopen jaar
mochten we enige malen een brief publiceren.
Dingen die blijven
Op de Werkbladen publiceerden we vorig jaar op-
Bij het begin van de 67e gaven uit experimentele examens. Truus Dekker
heeft ze negen keer verzorgd, en op deze plaats
jaargang
willen we haar graag bedanken voor haar bijdra-
gen. Dit jaar gaan we door met het publiceren van
opgaven vanuit het team W 12-16 op de Werkbla-
67 jaar jong
den. Ook nu zal Truus Dekker daaraan haar bij-
drage leveren, maar andere leden van het team
Euclides is ongetwijfeld één van de oudste Neder-
W 12-16 zullen eveneens meewerken.
landse onderwijsbladen. (Wie ons een ouder Ne-
De recreatie-rubriek, die nu al weer twee jaar ver-
derlands onderwijstijdschrift weet te noemen, zijn
zorgd wordt door Jan de Geus, mag zich verheugen
we daarvoor bij voorbaat erkenteljk!) Dit mag zo
in een groeiende belangstelling. Er zijn al collega's
zijn, Euclides wil graag jong van geest blijven.
die de recreatie-opgaven kopiëren voor hun kennis-
Grote veranderingen staan voor de deur. Het nieu-
sen. Die kennissen zouden natuurlijk zelf ook best
we onderbouw-programma nadert zijn voltooiing;
abonnee mogen worden...
ook dit najaar zijn er dienaangaande weer regiona-
Gelukkig mochten we positieve reacties beluisteren
le bijeenkomsten, die hopelijk even druk worden
op de rubriek '40 jaar geleden', die er één jaar op
bezocht als vorig jaar. In Euclides willen we er weer
heeft zitten. Deze rubriek zetten we dus zeker
verslag van doen.
voort. In de oneven afleveringen verschijnt een
Daarnaast wordt, overal in het wiskundeonder-
passage uit Euclides van 40 jaar geleden, in de even
wijs, meer en meer de computer gebruikt. Oude
afleveringen verschijnen enkele vraagstukken uit
waarden verdwijnen, nieuwe verschijnen. Wie weet
het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde van toen.
nog hoe een tabel met goniometrische verhoudin-
gen was opgezet? Hetzelfde geldt straks voor het
kwadraat-afsplitsen en voor het functie-onder-
Redactie
zoek. In het artikel van Jan van Maanen, dat in dit
eerste nummer van jaargang 67 staat, blijkt wel dat
Met gemengde gevoelens moeten we berichten over
er nu méér tijd komt voor echte wiskunde!
de wijzigingen in de samenstelling van de redactie.
Enerzijds is er het vertrek van Auke Oosten en
Pieter de Roest; zij verlieten de redactie omdat zij
Wiskunde is overal menen dat het bestuur van de NVvW onvoldoende
steun gaf aan de realisering van het redactiebeleid.
en daarom willen we graag aandacht blijven ge- Euclides zou, naar de mening van de redactie, met
ven aan de ontwikkelingen binnen het wiskundeon- name een platform moeten zijn voor discussies over
derwijs aan diverse schoolsoorten, aan toegepaste ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs, en dan
2 Euclides Actualiteit
wel vooral in de eerste fase. De redactie vond en • 40 jaar geleden • •
vindt niet, dat zij in dat streven volop gesteund
wordt door het bestuur.
Auke Oosten trad in 1985 toe tot de redactie als
eindredacteur. In 1987 werd hij bovendien voorzit-
ter. Vanaf 1988 was hij alleen voorzitter. Hij was de
eerste die het voorzitterschap als afzonderlijke
functie bekleedde; voordien deed de hoofdredac-
teur dat er zo'n beetje bij. Hij heeft zich in zijn func-
tie ten volle waar gemaakt: de redactie vertegen-
woordigend waar nodig, en intussen zijn
mederedacteuren in hun waarde latend. Wij zeggen
hem veel dank!
Pieter de Roest trad in 1981 toe tot de redactie als
redactiesecretaris. Zijn werk was het voeren van de Cascade
correspondentie over artikelen die de beoorde-
lingsronde(n) achter de rug hadden, maar die nog
Een typische vertegenwoordiger van bovenbedoel-
niet in de vorm van gezette kopij bestonden. Ook
de groep van min of meer zwakke leerlingen, die wij
notuleerde hij de redactievergaderingen. Het te-
gemakshalve met 'Jansen' zullen aanduiden, moet
kent hem, dat hij, toen hij beslist had op te stappen,
dus trachten in een vol jaar deze stof onder de knie
tegelijk aanbood voorlopig zijn werkzaamheden
te krijgen. Hij wordt verondersteld het jaar te be-
voort te zetten totdat een opvolger zou zijn gevon-
ginnen met een voldoende kennis van de stof, die in
den. Ook hem zijn wij veel dank verschuldigd!
het vorige jaar behandeld is.
Een nieuwe redactiesecretaris kennen wij op het
Daar hij een zwakke leerling is, zal hij § 1 niet geheel
moment dat dit voorwoord geschreven wordt nog
en al voldoende meester worden. Aan zijn inzicht in
niet. Er wordt naarstig verder gespeurd, opdat de
deze stof ontbreekt hier en daar nog wel iets.
continuïteit in het gehele redactiewerk zo goed
Na enige tijd wordt overgegaan tot § 2, waarvan de
mogelijk gewaarborgd wordt. Overigens: ieder lid
stof steunt op die van § 1. Daar hij § 1-minder goed
van de NVvW kan zijn/haar belangstelling om deel
onder de knie heeft dan de stof van het vorige jaar
te nemen aan de redactiewerkzaamheden altijd aan
en hij nu eenmaal 'zwak' is, zal door deze twee
ons kenbaar maken. Graag zelfs, wat ons betreft.
oorzaken § 2 minder goed beheerst worden dan § 1.
Dat geldt zeker ook voor wie niet opteert voor de
Eerstgenoemde oorzaak werkt dus steeds sterker.
vervulling van het redactiesecretariaat. Vooral een
Elke volgende § zal er minder goed ingaan. Zijn
extra inbreng uit de eerste fase zou zeer welkom
kennis van de achtereenvolgende paragrafen wordt
zijn.
gaandeweg kleiner en zal dus de tendens hebben
Inmiddels verwelkomen wij met vreugde Bert Zwa-
een cascade te vertonen. Wij leraren weten maar al
neveld en Ynske Schuringa. Zij gaan het voorzitter-
te goed, dat dit verschijnsel zich bij sommige (mis-
schap, respectievelijk het eindredacteurschap ver-
schien bij vele, in ieder geval bij te veel) leerlingen
vullen. Tegelijk stopt Agnes Verweij als eind-
inderdaad voordoet.
redacteur; zij blijft wel deel uitmaken van de
redactie.
De koers die de redactie volgt blijft dezelfde. S.J. Geursen in Euclides 27-2 (1951-1952).
Daarbij hopen wij op blijvend herstel van de goede
relatie met het bestuur, en op voortzetting van de De redactie plaatste bij dit artikel destijds als naschrift:
goede relatie met de uitgever. Hoewel verschillende redactieleden het met de strekking en vele
passages van bovenstaand artikel van den heer Geursen niet
eens zijn, heeft de redactie toch besloten het te plaatsen, daar het
artikel een belangrijk onderwerp aan de orde stelt en tot een
De redactie vruchtbare discussie aanleiding zou kunnen geven.
Euclides Actualiteit 3
• Bijdrage • • • • eigenwaarden en eigenvectoren - zeer de moeite
waard, al hoort het niet tot de directe examenstof-
en zo nog veel meer zaken waaraan vwo-leerlingen
het merendeel van hun tijd besteden, als ze tenmin-
ste niet reeds het moede hoofd in de schoot hebben
gelegd.
Centraal in het symposium, dat voorgezeten werd
door Dr. J. A. van Maanen (van wie ook dit verslag
afkomstig is) stond de vraag hoe het onderwijs in de
bovenbouw van het vwo op dit gegeven moet rea-
geren, en of de opkomst van de computer-algebra
wellicht op iets langere termijn tot veranderingen in
het examenprogramma vwo-B zal moeten leiden.
Computer-algebra in Om de actualiteit van het onderwerp, ook interna-
het vwo: tionaal gezien, te benadrukken opende de voorzit-
ter met twee recente citaten.
ondersteunend of
Als eerste haalde hij de oratie van Prof. Dr. J. de
ondermijnend? Lange aan. De Lange somt aan het eind van zijn be-
toog een aantal onderzoeksvragen op. De eerste
daarvan luidt:
Jan van Maanen 'Het bovenbouwprogramma vwo-B is aan een drasti-
sche vernieuwing toe. Allereerst is het analyse-deel
bij de herverkaveling in 1985 buiten de verandering
Onder deze titel werd op vrijdag 5 april 1991, als gebleven. In het licht van de snel naderende zakcom-
onderdeel van het 27ste Nederlands Mathematisch puter als de TI-81 en de mogelijkheden van compu-
Congres, een symposium gehouden over de moge- ter-algebra lijkt deze verandering zeer ingrijpend te
lijke betekenis van computer-algebra voor het gaan worden. Daarbij zal met name met wiskundigen
voortgezet onderwijs. Het symposium, een initia- overlegd moeten worden'.'
tief van Dr. J. Top (Vakgroep Econometrie, Eras- In het tweede citaat, uit een artikel dat enkele dagen
mus Universiteit), had rond de 70 deelnemers, van voor het Symposium verscheen, stelt de Engelse
wie ongeveer een derde werkzaam in het voortgezet didacticus Neil Bibby:
onderwijs. 'Het sleutelwoord is "vrijheid". Als het CSE vwo-B
Op dit moment zijn er computerprogramma's be- (bij het vertalen aangepast aan de Nederlandse situ-
schikbaar (zoals DERIVE en MAPLE) waarmee atie; Bibby heeft het over het Engelse A-level exa-
leerlingen het grootste deel van het rekenwerk kun- men.) inderdaad bestaat uit 10 minuten wiskunde en
nen verrichten dat bij de analyse-opgaven uit de vijftig minuten gedoe, dan is het hoog tijdom het exa-
vwo-B-stof nodig is. Voor vwo-A geldt hetzelfde, menprogramma opnieuw te bezien en daarbij reke-
met matrixrekening als extra toepassingsmogelijk- ning te houden met de mogelijkheden van automati-
heid. De programma's stellen de gebruiker name- sering die de computer-algebra-pakketten ons
lijk in staat om naast het maken van numerieke be- bieden2
.'
rekeningen en het tekenen van grafieken ook
symbolisch rekenwerk uit te voeren. Daartoe beho- Na deze schoten voor de boeg was het woord aan
ren activiteiten als 'haakjes verdrijven', ontbinden de twee inleiders. Als eerste sprak Drs. P. H. M.
in factoren, berekenen van limieten, afgeleiden en Drjvers (Vakgroep 0W & OC, Rijksuniversiteit
primitieven, vergelijkingen en stelsels vergelijkin- Utrecht). Hier volgt een samenvatting van zijn
gen exact oplossen, de gebruikelijke berekeningen inleiding:
met matrices maken, inclusief het berekenen van
4 Euclides Bijdrage
Computer-algebra in de bovenbouw van Aan de intrede van computer-algebra in de wiskun-
het voortgezet onderwijs deles zijn risico's verbonden. Het grootste gevaar is
dat de ontwikkeling genegeerd wordt. Een tweede
Het essentiële kenmerk van een Computer-algebra- risico is dat meer aandacht besteed zal worden aan
Systeem is het vermogen om symbolische algo- concepten en abstracties. Daarmee wordt het vak
ritmen uit te voeren. Rekenen met variabelen, voor veel leerlingen moeilijker. Daar staan ook
formulemanipulatie, exact rationaal rekenen, dif- kansen tegenover. Het onderwijs kan verrijkt wor-
ferentiëren en primitiveren zijn m.b.v. een dergelijk den door de mogelijkheden die computer-algebra
pakket eenvoudig uit te voeren. Daarnaast kan het biedt tot zelf experimenteren, zelfontdekkend le-
systeem grafieken tekenen en numeriek (benade- ren, het opossen van realistische problemen en het
rend) rekenen. mathematiseren.
De vraag is welke gevolgen computer-algebra voor
het wiskunde-onderwijs zal hebben. Wanneer de De tweede inleiding werd verzorgd door Dr. S. L.
symbolische zakcomputer op de markt komt zal Kemme (Rijksuniversiteit Groningen), die voor-
het onderwijs daarop snel moeten reageren. Bij de stelde om het werken met computer-algebra te
vakgroep 0W & OC van de Rijksuniversiteit analyseren door er het soort vragen bij te stellen die
Utrecht wordt in het kader van het project 'Corn- bij je opkomen als je op reis bent. In de volgende
puter-algebra in de bovenbouw V.0.' lesmateriaal samenvatting wordt dit verder uitgewerkt:
ontwikkeld waarin het pakket DERIVE centraal
staat. Twee voorbeelden uit dit materiaal worden
besproken. Het gaat om opgaven uit de huidige Reizen per computer
schoolboeken.
Computergebruikers hebben via het beeldscherm
In het eerste voorbeeld gaat het om de maximale en het toetsenbord toegang tot een wereld die ach-
inhoud van een doosje dat gevouwen is uit een stuk ter het venster van het beeldscherm lijkt te liggen.
karton van 20 bij 20 centimeter. Het grafisch of Met behulp van computerprogramma's 'reizen' ze
analytisch oplossen van dit probleem met DERI- door een wereld van symbolische objecten. Door
VE is eenvoudig voor wie in staat is de vertaalslag het intypen van commando's kunnen ze die wereld
naar de formule te maken. Het uitvoeren van een ook veranderen. Ze kunnen nieuwe objecten
functie-onderzoek wordt minder belangrijk omdat maken of bestaande objecten wijzigen. Op die ma-
DERIVE dat over kan nemen. Verder komen nieu- nier kunnen ze experimenten uitvoeren en eigen-
we vragen binnen het bereik van de leerling. Wat schappen en wetmatigheden van die symbolische
gebeurt er als de zijde van het karton lengte a heeft? wereld afleiden.
En wat als het een rechthoek is? De activiteiten van de reiziger worden in sterke
mate bepaald door de wijze van Organisatie van het
In het tweede voorbeeld komt een Lesliematrix aan computerprogramma. Werkt het als een spoor-
de orde. Ook hier geldt dat de techniek van de boekje, dat het reizen in een reeds bekende wereld
matrixvermenigvuldiging niet beheerst hoeft te gemakkelijker maakt? Is het programma misschien
worden. Wel is het relevant om te weten wat de een globale reisgids, die attendeert op interessante
macht van de matrix in dit verband voorstelt. Ook plekjes die de reiziger dan verder zelf kan onderzoe-
dit sommetje is snel af, maar nieuwe openingen ken? Of gedraagt het zich als een (irritante) reislei-
bieden zich aan. Wat bijvoorbeeld als het vrucht- der, die bij ieder nieuw vergezicht ongevraagd tekst
baarheidscijfer verandert? Exponentiële groei en uitleg geeft? Het computerprogramma zet de
komt aan de orde. Leerlingen blijken in de klas 'reiziger' dus aan tot specifieke activiteiten. Daar-
weinig moeite met de bediening van DERIVE te mee biedt de reismetafoor allerlei mogelijkheden
hebben. Wat het leereffect van een DERIVE-prac- om het effect van een computerprogramma te ana-
ticum is zal echter nauwkeurig onderzocht moeten lyseren.
worden. Deze gedachte wordt verder uitgewerkt door twee
Euclides Bijdrage 5
schappij: de leerling ziet (Ie computer wel staan,
maar de computer ziet de leerling niet staan'). Over
het algemeen werd deze vrees niet gedeeld. Het on-
van dit soort 'reis'-kenmerken te gebruiken om een derwijs heeft nu ook onpersoonljke, routinematige
beeld te geven van de (on)mogeljkheden van het kanten. Zo stelde Pranger: Voor docenten is het
programma DERIVE. gemakkelijker om leerlingen allerlei vaardigheden
Op reis zijn er taalproblemen, en zo ook bij het wer- bij te brengen, zoals daar zijn: het ontbinden in
ken met DERIVE. Een korte demonstratie maakt factoren, de wortelformule toepassen, breuksplit-
duidelijk dat het programma sommige boodschap- sen etc. Trainen, trainen en op den duur lukt het
pen anders begrijpt dan de reiziger ze bedoelt, maar wel. Voor docenten is het moeilijk leerlingen oplos-
het contact valt toch Vrij snel te leggen, zeker als de singsstrategieën bij te brengen. Hoe begin je aan
reiziger niet bij de pakken neerzit. een vraagstuk, waar moet je naar kijken, welke ver-
banden kun je leggen.' Vandaar haar stelling:
Interessant is ook het kenmerk van de verbazing op 'Haakjes wegwerken is voor de luie (leraar).' Bo-
reis dat het in den vreemde anders gaat dan thuis. vendien (bijdragen uit de zaal:) wordt de software
Het voorbeeld van de opgave uit een eerstejaars door mensen geschreven. De ontwikkelaars van de
programma's zijn herkenbaar aanwezig en van hun
analyse-college om$ dx te bepalen laat zien
aanpak kunnen leerlingen veel leren. De mens blijft
l+x
bepalen wat er gebeurt, maar het instrumentarium
dat de primitieve verbazend snel verschijnt en dat
waarover hij beschikt wordt groter. Hij maakt, in
het programma bij doorvragen (naar de factorisa-
muziektermen gesproken, de overstap van solist
tie van de noemer, bijvoorbeeld) heel toeschietelijk
naar dirigent.
is in het prijsgeven van zijn geheimen. Op deze wijze
valt er, al experimenterend, veel te leren. Informa-
Men was het erover eens dat leerlingen, als compu-
tie wordt voor leerlingen toegankelijker dan ze nu
ter-algebra in het onderwijs gebruikt gaat worden,
meestal is, en door op de grote weg goed op te schie-
nog steeds een grote hoeveelheid stof zelfstandig
ten, waartoe een programma als DERIVE de mo-
moeten beheersen. Bovendien is het maar schijn
gelijkheid biedt, bestaat de mogelijkheid om meer
dat leerlingen niets meer zelf hoeven te kunnen,
en interessantere wiskunde aan te bieden dan nu
want er zal een verschuiving in de leerstof optreden.
het geval is.
Doordat minder tijd aan rekenwerk besteed hoeft
te worden, zal de aandacht verschuiven naar de
achterliggende begrippen (Drjvers; zo ook Si-
Discussie
mons: 'Het gebruik van computer-algebra leidt tot
een verandering van het wiskundeonderwijs. Voor de
Een forumdiscussie naar aanleiding van stellingen
meesten wordt dit overbodig en voor de overigen
van de forumleden (Drs. A. W. Boon, Chr. Gym-
moeilijker, maar wel interessanter').
nasium Sorghvliet, Den Haag; Drs. J. W. Maassen,
Dat computer-algebra er zal komen werd evenmin
secretaris van de NVvW; Mw. Drs. M. .Pranger,
betwijfeld. Als het niet gestructureerd wordt inge-
Chr. Lyceum Zeist; Prof. Dr. F. H. Simons, TU
voerd, dan zal het in elke school zijn eigen weg
Eindhoven, en de twee inleiders) besloot het sym-
gaan. Kernpunt bij een beheerste invoering zijn
posium. De discussie, waaraan de aanwezigen in de
daarom leerplan en examenprogramma (Maassen:
zaal actief deelnamen, werd na afloop van de 'offi-
'Of computer-algebra in het vwo ondersteunend of
ciële speeltijd' in kleinere kring voortgezet.
ondermijnend is, hangt af van leerplanontwikkelaars
en examenopstellers. Zij moeten er voor zorgen dat
Als eerste kwam de vraag aan de orde in hoeverre
de computer het wiskundig denken van de leerling
inschakeling van computer-algebra het onderwijs
gaat ondersteunen en niet gaat vervangen'). Hoewel
minder persoonlijk zal maken (Boon: 'We snellen
'het effect van het gebruik van computer-algebra bin-
computergestuurd naar een a-persoonlijke maat-
nen de huidige opzet van het wiskundeonderwijs te
6 Euclides Bijdrage
verwaarlozen is' (Kemme), is een start nu reeds mo-
gelijk en wenselijk (Drjvers: Wie het wiskundig
Boekbespreking
inzicht van leerlingen wil toetsen laat ze bij het
schoolonderzoek DERIVE gebruiken').
De discussie in kleinere kring, die zelfs de belang-
stelling van Radio Rijnmond trok, spitste zich toe Rik Aerts & Magda Deckers: Kinderen rekenen, 267 blz;f49,50,
1989, uitgeverij Acco Leuven/Amersfoort.
op de opmerking van Simons dat computer-alge-
bra een middel is en geen doel3
Voor wiskundeleraren in het voortgezet onderwijs komt het re-
.
Als dat middel bijdraagt tot een zinnige invulling kenonderwijs steeds meer in de belangstelling te staan. In de ba-
van de vwo-wiskunde is dat mooi, maar belangrij- sisvorming wiskunde is ook het onderdeel rekenen opgenomen
vanuit de gedachte dat het rekenonderwijs in de basisschool
ker op dit moment is de vraag wat er met het vwo-
geen eindonderwijs meer is. Verder hebben zich in het rekenon-
B-programma moet gebeuren. Daarin zou meer
derwijs in de basisschool ontwikkelingen voorgedaan in de
aandacht moeten zijn voor wiskundig redeneren, richting van realistisch reken- en wiskundeonderwijs die ook het
probleemanalyse en modelvorming. Een tweede wiskundeonderwijs voor 12-tot 16-jarigen zullen gaan beïnvloe-
argument voor het herzien van het vwo-B-pro- den. Iedere wiskundeleraar kan uiteraard kennis nemen van het
reken- en wiskundeonderwijs in de basisschool door een moder-
gramma is volgens verschillende aanwezigen dat
ne methode voor het basisonderwijs in te kijken. Of door de
sommige onderdelen van het huidige programma
'Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskun-
(ruimtemeetkunde, differentiaalvergelijkingen) deonderwijs op de basisschool' (uitg. Zwijssen, Tilburg; de
onbevredigend gevonden worden. eerste 2 delen zijn inmiddels verschenen: Overzicht einddoelen
en Basisvaardigheden en cijferen) waarin het programma voor
het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs in de basisschool
uitvoerig wordt beschreven en in een didactische context ge-
Conclusie plaatst.
Een heroverweging van het vwo-B-programma is In het boek 'Kinderen Rekenen' met als ondertitel: 'een proces-
matige benadering' van Rik Aerts en Magda Deckers komt het
geboden. Daarbij dienen onder andere de toepas-,
rekenonderwijs bij onze zuiderburen in beeld. Op uitgebreide en
singsmogelijkheden van computer-algebra betrok-
zeer nauwgezette wijze wordt in dit boek beschreven hoe het re-
ken te worden4 kenleerproces vanaf het aanvankelijk rekenen in de kleuter-
.
school tot en met het rekenen met decimale getallen en breuken
dient te verlopen. Heel consequent wordt daarbij het didactische
model van eerst handelen met concrete materialen, daarna
verwoorden en tenslotte werken met schematische voorstellin-
Noten gen uitgewerkt. De leerkracht wordt daarbij een uitgebreide
handleiding aangereikt die, volgens de auteurs, zal leiden tot
Jan de Lange, Hard tegen Hart. Vernieuwing in het wiskunde- functioneel leren, tot bruikbare resultaten en tot verhoogde mo-
onderwijs. Rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt tivatie bij de leerlingen.
van gewoon hoogleraar in de didactiek van het wiskunde- en Bij lezing wordt duidelijk dat in het Belgische onderwijs nog af-
informatica-onderwijs aan de Rijksuniversiteit Utrecht op gerekend dient te worden met het formalistische en deductief
woensdag 16januari 1991. Citaat op p. 47. opgebouwde 'New Math'-onderwijs, dat dankzij Freudenthal
Neil Bibby, 'Wherefore "plug-and-chug"?: computeralgebra grotendeels aan ons land voorbij is gegaan. Het gaat de auteurs
versus A-level mathematics', Mathematical Gazette 75 (March ook om het opbouwen van wiskunde vanuit realistische vraag-
1991), pp. 40-48. Citaat op p. 47. stukken. Kenners van de ontwikkelingen in het Nederlandse
Zie ook zijn bijdrage over 'Aansluitingsproblematiek VWO- rekenonderwijs zal duidelijk worden dat de Belgische auteurs
WO', Euclides 66, nr. 7 (april 1991), p. 204-206. aan de term 'realistisch' een andere, meer beperkte betekenis ge-
Allerlei initiatieven voor de bestudering en ontwikkeling van ven.
toepassingen zijn reeds gaande: de experimenten binnen het hui-
dige vwo-programma, zoals die nu reeds plaatsvinden bij de Voor opleiders, schoolbegeleiders en voor wiskundeleraren die
vakgroep OW& OC van de Rijksuniversiteit Utrecht en de regelmatig geconfronteerd worden met leerlingen met reken-
oprichting op 27 maart 1991 van een 'CONtactgroep Compu- problemen bevat deze uitgave bruikbare suggesties mits deze
ter-Algebra Voor het Onderwijs' (met als voorlopige naam 'vertaald' worden naar de Nederlandse onderwijscontext.
CONCAVO), te bereiken via het Expertisecentrum CAN (t.a.v.
Drs. A. J. P. Heck), CWI, Kruislaan 413, 1098 SJ Amsterdam. H. M. M. Jansen
Euclides Bijdrage 7
• Bijdrage • 1 1 • genre: Saenredam. Tenslotte wordt enige zakelijke
informatie over de tentoonstelling gegeven.
De architectuurschilders van de
zeventiende eeuw
Met 'Perspectiven' wordt het werk aangeduid van
de zeventiende-eeuwse kunstschilders die zich vrij-
wel uitsluitend bezig hielden met het afbeelden van
architectuur. Dit specialisme kwam alleen in Ne-
derland tot ontwikkeling en heeft niet langer dan
zo'n honderd jaar bestaan. In totaal ging het om
een twintigtal, veelal vermogende, schilders. Zij
'Perspectiven' konden het zich permitteren meestal niet op bestel-
ling te werken, maar zich geheel te wijden aan een
Agnes Verweij genre waarvoor bij het grote publiek weinig belang-
stelling bestond: het schilderen van gebouwen en
interieurs in perspectief. Door deze onderwerpkeu-
ze kregen zij de gelegenheid kun kennis op het ge-
Inleiding
bied van de perspectiefleer te demonstreren. Aldus
Tijdens het laatste Wintersymposium van het Wis- was het schilderen van architectuur een nogal eli-
kundig Genootschap hield Jan van de Craats een tair gebeuren.
mooie voordracht met als titel 'Hoe teken je een ku- Johannes Vredeman de Vries (1527-ca. 1606), die
bus?'. Hij propageerde —evenals enkele jaren gele- de eerste architectuurschilder genoemd kan wor-
den tijdens een studiedag van de NVvW' - het den, begon pas op latere leeftijd met het schilderen
gebruik van de orthogonale parallelprojectie op van gebouwen. Hij publiceerde enkele geïllustreer-
school en behandelde verder de theoretische ach- de boeken over bouwkunst, en één van deze boeken
tergronden van deze tekenmethode2. Van de Craats bevatte prenten die duidelijk moesten maken hoe
besteedde in zijn inleiding ook enige het perspectief geconstrueerd kon worden. Vrede-
aandacht aan perspectieftekenen, en in dit verband man de Vries en de architectuurschilders die direct
liet hij een prent zien van de architect en schilder Jo- na hem kwamen, zoals Bartholomeus van Bassen
hannes Vredeman de Vries, uit diens boek over per- (ca. 1590-1652) en Dirck van Delen (1605-1671),
spectief dat in 1604/1605 verscheen. Deze inleiding schilderden vooral gefantaseerde gebouwen. Daar-
kon menigeen inspireren om in de lessen over per- bij konden zij zich niet baseren op de waarneming,
spectief, zoals bij wiskunde B voor havo en vwo, maar hadden ze hun kennis van het perspectief no-
het werk van de zeventiende-eeuwse architectuur- dig om de afbeeldingen echt te laten lijken.
schilders aan bod te laten komen. Pieter Jansz. Saenredam (1597-1665), de meest be-
De overzichtstentoonstelling 'Perspectiven', die dit kende architectuurschilder, was de eerste die zich
najaar in Museum Boymans-van Beuningen in toelegde op het afbeelden van bestaande gebou-
Rotterdam wordt gehouden, kan hiervoor nieuwe wen. Hij schilderde vooral kerkinterieurs in per-
inspiratie geven. Het lijkt dan ook de moeite waard spectief, waarbij hij het tafereel (dat is het vlak
om met leerlingen een bezoek aan de tentoonstel- waarop geprojecteerd wordt) verticaal en lood-
ling te brengen. recht op een hoofdrichting in de kerk koos (een
Hieronder volgt eerst een korte toelichting op het hoofdrichting is de lengte-as of de richting lood-
onderwerp van de tentoonstelling; daarna wordt recht daarop). Saenredam was bevriend met de
iets meer verteld over de werkwijze van de belang- bouwmeester Jacob van Campen en heeft dan ook
rijkste vertegenwoordiger van het tentoongestelde een aantal van diens bouwwerken in beeld ge-
8 Euclides Bijdrage