Etude didactique et cognitive des rapports entre argumentation et démonstration dans l ...

425 Pages·2016·21.08 MB·French

by  Bettina Pedemonte

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER-GRENOBLE I
Science, Technologie, Médicine

UNIVERSITÉ DE GENOVA
Siège administratif du Doctorat en Mathématiques du Consortium des Universités de Genova, de

Torino et du Politecnico di Torino

EEttuuddee ddiiddaaccttiiqquuee eett ccooggnniittiivvee ddeess rraappppoorrttss ddee
ll’’aarrgguummeennttaattiioonn eett ddee llaa ddéémmoonnssttrraattiioonn ddaannss
ll’’aapppprreennttiissssaaggee ddeess mmaatthhéémmaattiiqquueess

Thèse en co-tutelle
Bettina Pedemonte

Présentée le19 juin 2002 pour obtenir le titre de

Docteur de l’Université Joseph Fourier – Grenoble 1
UFR : Informatique – Mathématiques Appliquées
Specialité : Didactique des Mathématiques

et
Dottore di Ricerca in Matematica dell’Université de Genova
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Président : Colette Laborde, Professeur à l’IUFM de Grenoble
Rapporteurs Marc Rogalski Professeur à l’Université de Paris
Paolo Boero, Professore all’Università di Genova
Examinateurs : Nicolas Balacheff, Directeur de Recherche au CNRS, Directeur de thèse
Maria Alessandra Mariotti, Professore all’Università di Pisa, Directeur de thèse
Christian Plantin Professeur à l’Université de Lyon
Mariolina Bartolini Bussi, Professore all’Università di Modena

MMeerrccii……

… A mes directeurs de thèse, Nicolas Balacheff et Maria Alessandra Mariotti car ils m’ont
encadrée dans cette recherche de façon très professionnelle et complémentaire. Merci à
Nicolas pour les corrections très ponctuelles et pour les suggestions données au bon moment.
Merci à Maria Alessandra pour m’avoir aidée à expliciter mes idées et m’avoir permis
d’avoir toujours une vision d’ensemble de la thèse. L’enrichissement que j’ai reçu en
travaillant avec eux est précieux. J’ai appris à travailler et apprécier la différence entre deux
encadrements de recherche différents, l’italien et le français, l’effort nécessaire pour passer
d’une recherche à un autre a été fait par moi autant que par Nicolas et par Maria
Alessandra. Cela m’a permis d’expliciter mes idées de façon très libre et en même temps bien
guidée.

… A mes rapporteurs Marc Rogalski et Paolo Boero. Merci à Marc pour l’énorme travail fait
pour corriger cette thèse. Les suggestions données, très ponctuelles et pertinentes, m’ont
permis d’avancer dans la recherche même au terme de la rédaction du manuscrit. Merci à
Paolo pour le plaisir qu’il a exprimé en lisant la thèse, et pour les suggestions données au
cours de ma recherche.
Mais je tiens à remercier Paolo en particulier car il a toujours cru en mes capacités, il m’a
toujours encouragée et en premier il m’a transmis son amour pour la recherche en
didactique. C’est sûrement grâce à lui si je suis partie pour la France.

… Aux autres membres du jury, Christian Plantin, Mariolina Bartolini Bussi, Colette
Laborde. Merci à Christian pour le temps dédié aux clarifications linguistiques à propos de
l’argumentation. Merci à Mariolina pour avoir accepté avec enthousiasme de faire partie de
mon jury. Merci à Colette pour m’avoir accueillie au sein du laboratoire il y a quatre ans
malgré le manque de connaissance de la langue française, et pour m’avoir toujours
encouragée au cours de ma présence en France.

… Au laboratoire Leibniz et en particulier à l’équipe Did@Tic. Je tiens à remercier tous les
thésards pour leurs précieux conseilles, donnés au cours de nos rencontres, qui m’ont permis
d’avancer dans la recherche. Merci en particulier à Nathalie Gaudin pour les corrections de
français apporté au manuscrit.
… A Betta pour avoir partagé avec moi les bons moments et ceux difficiles de cette « aventure
française ». Les difficultés rencontrées la première année ont été beaucoup moins lourdes
avec elle.

… A tous mes copains italiens et français pour m’avoir encouragée et soutenue. En
particulier merci a Paolo Decreti pour m’avoir poussée à partir quand j’ai pris la décision de
monter en France pour étudier la didactique.

… Aux professeurs Bernard Capponi, Domingo Paola, Tiziana Venturi, Maria Pia Galli, qui
m’ont permis de travailler avec leurs classes en apportant une contribution fondamentale au
dispositif expérimental.

… à Giampaolo Chiappini et Maria Rosa Bottino pour m’avoir consenti de monter à
Grenoble toutes les fois que cela était nécessaire.

…à ma famille. La rédaction de cette thèse a demandé un gros effort qui n’est pas seulement
lié à la recherche en didactique. Une bonne dose de courage, la confiance en moi, et capacité
de faire face aux difficultés m’ont permis de commencer et de terminer la rédaction de cette
thèse. Pour cela je remercie mon père Santo, ma mère Norina et mon petit frère Matteo. Je
remercie toute ma famille, Giannina, Milvio, Valentina, Monica, Mattia, Barbara, Germano
pour la sérénité et l’encouragement qu‘ils m’ont toujours apporté.

… Merci à Eric Bainville, ma famille future, non seulement pour les corrections de français,
pour le soutien et l’accueil montrés pendant ces années. C’est grâce à lui si je ne me suis pas
sentie étranger en France, si j’ai appris non seulement à apprécier mais aussi à aimer les
différences de ce pays par rapport à l’Italie.

C’est donc à eux, à ma famille présente et future que je dédie cette thèse.
Sommaire

SSoommmmaaiirree

Introduction 1

Chapitre 1
Argumentation et démonstration en mathématiques
Introduction 9
1 La démonstration en didactique des mathématiques 11
1.1 Comportement des élèves face à une démonstration 11
1.2 Apprentissage de la démonstration 14
2 Analyse cognitive des rapports entre argumentation et démonstration en vue d’une analyse 16
2.1 Duval : une approche cognitive de l’argumentation 17
2.1.1 Analyse fonctionnelle et analyse structurelle du raisonnement 18
2.1.1.1 Analyse fonctionnelle du raisonnement 18
2.1.1.2 Analyse structurale du raisonnement 20
2.1.1.2.1 Structure d’un pas de raisonnement 20
2.1.1.2.2 Structure de l’enchaînement des pas de raisonnement 22
2.1.2 Conséquences de l’analyse présentée 22
3 L’argumentation en mathématique 23
3.1 Développement d’une théorie de l’argumentation 24
3.2 L’argumentation en mathématique à la suite des théories linguistiques contemporaines 28
3.2.1 La fonctionnalité de l’argumentation en mathématique 29
3.2.1.1 L’argumentation en mathématique est une justification rationnelle 29
3.2.1.2 L’argumentation en mathématique a toujours un objectif : la recherche de la vérité 30
3.2.1.3 L’argumentation en mathématique est convaincante 30
3.2.1.4 Le champ de l’argumentation 32
3.2.2 La structure de l’argumentation 34
3.2.2.1 Les connecteurs pragmatiques 35
3.2.2.2 Caractérisation de la structure de l’argumentation : schéma ternaire 36
4 Démonstration 40
4.1 Développement d’une théorie de la démonstration 41
4.2 La démonstration selon les voix des linguistes 43
4.2.1 La fonctionnalité de la démonstration 44
4.2.1.1 La démonstration a un objectif : valider 44
4.2.1.2 La démonstration est convaincante et elle s’adresse à un auditoire universel 45
4.2.1.3 Le champ de la démonstration 45
4.2.2 La structure du pas de démonstration 46
Conclusion 46
Sommaire
Chapitre 2
Unité et rupture cognitive entre argumentation et démonstration
Introduction 49
1 Unité cognitive 50
1.1 Unité cognitive entre production de la conjecture et construction de la démonstration 50
1.2 Unité cognitive entre argumentation et démonstration 52
1.3 Ecart entre argumentation et démonstration 53
1.3.1 Ecart culturel, écart du système de référence, écart structurel 55
1.3.2 Comment identifier les écarts ? 56
1.3.3 Symptômes de l’écart : rupture cognitive ? 57
2 Structure de l’argumentation et de la démonstration 60
2.1 Structure de la démonstration 61
2.1.1 La démonstration déductive 62
2.1.2 La démonstration par récurrence 63
2.2 Quelques structures de l’argumentation 64
2.2.1 Argumentation déductive 66
2.2.2 Argumentation abductive 67
2.2.3 Argumentation inductive 70
3 Retour sur l’unité ou rupture cognitive entre argumentation et démonstration 74
3.1 Continuité ou écart entre structures 74
3.1.1 Le cas particulier de l’argumentation inductive 76
3.2 Unité ou rupture cognitive du système de référence et structurelle entre argumentation et 78
Conclusion 80

Chapitre 3
Le modèle de Toulmin : un outil méthodologique
Introduction 81
1 Comment traiter les argumentations et les démonstrations des élèves ? 82
1.1 Conjecture et théorème 82
1.1.1Argumentation constructive ou structurante? 83
1.1.2Théorème ou énoncé prouvé ? 84
2 Le modèle de Toulmin : un outil méthodologique 86
2.1 Découpage de l’argumentation dans le modèle de Toulmin 86
2.2 … pour analyser les structures entre argumentation et démonstration 87
2.3 …pour analyser le système de référence 89
2.3.1 Les conceptions dans le modèle de Toulmin 90
2.3.2 Passage de la conception à la théorie 93
2.3.3 La restriction comme rétroaction afin d’invalider les contrôles erronés 94
2.3.4 Restriction : rétroaction d’un milieu afin de réfuter une conception 96
2.3.5 Changement de cadre pour activer une restriction à un permis d’inférer erroné 98
2.3.6 Le système de représentation : élément pivot entre cadre et conception 99
2.3.7 Changement de cadre pour valider un permis d’inférer 101
2.3.8 Construction d’une démonstration 102
2.3.9 Le cadre et le champ. 103
2.3.10 Des conceptions à la détermination du système de référence (conceptions, cadres) 104
2.4 Limites du modèle de Toulmin 105
2.4.1 Problématique de l’identification d’une structure d’argumentation dans le modèle 106
Conclusion 109
Sommaire
Chapitre 4
Analyse a priori de la situation expérimentale
Introduction 111
1 Justification du dispositif expérimental par rapport à notre problématique 112
1.1 Questions et hypothèses de recherche 112
1.2 Mise en place du dispositif expérimental 113
1.2.1 Choix des problèmes 115
1.2.2 Dévolution de la situation expérimentale 116
1.2.3 Justification de l’utilisation de Cabri-géomètre pendant les expérimentations 117
1.2.4 Milieu de la situation expérimentale 118
1.2.5 Choix des élèves à analyser 119
2 Analyse a priori des situations proposées 119
2.1 Situation expérimentale 1 119
2.1.1 Pourquoi ce problème ? 120
2.1.2 Structures attendues d’argumentation à partir de quelques procédures de résolution 121
2.1.2.1 Construction des hauteurs des triangles pour comparer les aires 122
2.1.2.2 Méthode trigonométrique pour comparer les aires 126
2.1.2.3 Exploration sur les cas particuliers de triangle ABC 127
2.1.2.4 Rotation d’un triangle extérieur 134
2.1.2.5 Stratégie de construction du parallélogramme 138
2.1.2.6 Stratégie du théorème des médianes et des hauteurs 140
2.1.3 Conceptions mobilisables pendant la résolution du problème 143
2.1.3.1 Conceptions mobilisables relatives à la notion d’aire 143
2.1.4 Unité ou rupture cognitive structurelle et du système de référence 145
2.2 Situation expérimentale 2 149
2.2.1 Pourquoi ce problème ? 150
2.2.2 Analyse des solutions possibles 151
2.2.3 Structures de l’argumentation 151
2.2.4 Conceptions mobilisables concernant le cas limite 156
2.2.5 Unité ou rupture cognitive structurelle et du système de référence 157
2.3 Situation expérimentale 3 159
2.3.1 Pourquoi ce problème ? 159
2.3.2 Structures attendues d’argumentation à partir des quelques procédures de résolution 160
2.3.2.1 Ajout d’un côté au polygone à partir du même sommet 162
2.3.2.2 Ajout d’un côté au polygone à partir d’un sommet quelconque 166
2.3.2.3 Considération d’un polygone comme exemple générique (Balacheff 1988) 167
2.3.3 Conceptions mobilisées 169
2.3.4 Unité et rupture cognitive structurelle et du système de référence 170
Conclusion 172

Chapitre 5

Mise en place de la situation expérimentale: analyse a posteriori
Introduction 175
1 Considérations générales 175
1.1 France et Italie : différences entre expérimentations 176
2 Analyse a posteriori des situations proposées 176
2.1 Situation expérimentale 1 178
2.1.1 Structures d’argumentations construites par les élèves à partir des procédures de résolution 182
2.1.1.1 Construction des hauteurs des triangles pour comparer les aires 183
2.1.1.2 Exploration sur les cas particuliers du triangle ABC 194
2.1.1.3 Exploration sur les cas particuliers du triangle ABC + construction de la hauteur 197
2.1.1.4 Méthode trigonométrique pour comparer les aires 208
Sommaire
2.1.2 Analyse du système de référence 211
2.1.2.1 Construction des hauteurs des triangles pour comparer les aires 211
2.1.2.2 Exploration sur les cas particuliers du triangle ABC 216
2.1.2.3 Exploration sur les cas particuliers du triangle ABC + construction de la hauteur 223
2.1.2.4 Méthode trigonométrique pour comparer les aires 227
2.1.2.5 Stratégie du théorème des médianes et des hauteurs 227
2.1.2.6 La possibilité de mesurer les aires avec l’outil de la mesure de Cabri-géomètre 229
2.1.3 Discussion des résultats 231
2.1.3.1 Unité ou rupture cognitive structurelle et du système de référence. 231
2.2 Situation expérimentale 2 233
2.2.1 Structures d’argumentations construites par les élèves à partir des procédures de résolution 236
2.2.1.1 Stratégie empirique 236
2.2.1.2 Généralisation au cas n 238
2.2.1.3 Quasi-induction 244
2.2.1.4 Récurrence 246
2.2.2 Analyse du système de référence de l’argumentation et de la preuve 249
2.2.2.1 Conceptions mobilisées concernant le cas limite 250
2.2.3 La restriction dans le modèle de Toulmin 257
2.2.4 Discussion des résultats 261
2.3 Situation expérimentale 3 263
2.3.1 Structures d’argumentations construites par les élèves à partir des procédures de résolution 266
2.3.1.1 Stratégie empirique et généralisation à partir de celle-ci 266
2.3.1.2 Stratégie d’insertion d’un côté à un polygone à partir du même sommet 271
2.3.1.3 Stratégie d’insertion d’un côté au polygone à partir de sommets différents 276
2.3.2 Analyse du système de référence 280
2.3.2.1 La démonstration par récurrence 281
2.3.2.2 Polygones non simples 282
2.3.3 Discussion des résultats 285
Conclusions 286

Conclusions 289
Références bibliographiques 297
Annexes 303
Annexe 1. Fiches des problèmes proposés en France et en Italie 303
Annexe 2. Fiches des dialogues et des copies des élèves relatives au problème 1 309
Annexe 3. Fiches des dialogues et des copies des élèves relatives au problème 2 377
Annexe 4. Fiches des dialogues et des copies des élèves relatives au problème 3 397
IInnttrroodduuccttiioonn

Capire una dimostrazione è il momento
1
della verità per la matematica
G. Lolli

L’apprentissage de la démonstration demande un changement de vision des mathématiques,
progressant au-delà de la vérification expérimentale et de l’intuition pour adopter une
démarche conforme à une théorie mathématique. Il ne s’agit pas d’apprendre des techniques
mais de savoir les situer dans la théorie. L’objectif de la démonstration est d’établir la validité
d’un résultat à l’intérieur d’un système théorique. Cet objectif est difficile à comprendre, et il
est encore plus difficile de le faire comprendre. Mais on ne peut pas enseigner les
mathématiques sans introduire la démonstration (Mariotti, 2001). Ceci explique les
nombreuses recherches en didactique des mathématiques concernant la démonstration.
En tant que chercheurs, notre hypothèse est que la problématique de la démonstration doit
s’inscrire dans une problématique plus vaste. En effet, la démonstration d’un énoncé répond à
un problème de validité, mais une question sur la validité est posée avant la démonstration :
souvent on démontre un énoncé dont on suppose la vérité. Et cette question ne peut pas se
situer simplement au niveau de la démonstration. La démonstration est liée à une théorie
mathématique, mais il y a souvent un processus précédant la démonstration, qui, au moyen
des connaissances, non nécessairement théoriques, permet de construire les éléments de base
pour la mise en place d’une démonstration.

1
Comprendre une démonstration est le moment de vérité pour les mathématiques
2 Introduction
Si l’on pouvait avoir accès aux connaissances des élèves au moment d’aborder une
démonstration, l’identification des difficultés qui peuvent empêcher la transformation des
connaissances en théorie mathématique, et les remèdes nécessaires pour les dépasser, seraient
peut-être plus accessibles.
La détermination de ces connaissances n’est possible qu’au travers des observables que
l’élève fournit pendant son activité.
Le psychologue et le maître peuvent se former une image des
connaissances et représentations des élèves à partir des observables
dont ils disposent, c’est-à-dire des actions du sujet en situation et des
témoignages symboliques que le sujet fournit de son activité :
formulations verbales, dessins, schémas, écritures… (Vergnaud, 1981,
p. 220).
Mais quels sont les observables qui permettent de déterminer les connaissances des élèves au
moment de construire une démonstration ?
La démonstration, par nature, ne permet pas de visualiser l’ensemble des connaissances qui
ont permis sa construction. Les connaissances sont occultées par une exigence théorique qui
ne laisse pas transparaître le processus qui a permis la construction de la démonstration.
C’est pourquoi la démonstration, comme objet d’étude de la didactique en mathématique, doit
élargir sa problématique à un univers qui échappe aux « règles rigides » auxquelles elle est au
contraire soumise. Balacheff, dans la Lettre de la preuve de Mai/Juin 1999, a proposé une
problématique de l’argumentation.
Comprendre la démonstration c'est d'abord construire un rapport
particulier à la connaissance en tant qu'enjeu d'une construction
théorique, et donc c'est renoncer à la liberté que l'on pouvait se
donner, en tant que personne, dans le jeu d'une argumentation. Parce
que ce mouvement vers la rationalité mathématique ne peut être
accompli qu'en prenant effectivement conscience de la nature de la
validation dans cette discipline, il provoquera la double construction
de l'argumentation et de la démonstration (Balacheff, 1999).
L’argumentation, en tant que processus moins contraint que la démonstration, permet d’avoir
accès à des connaissances des élèves qui dans la démonstration ne sont pas nécessairement
explicitées. Le problème de la vérité d’un énoncé se trouve finalement séparé du problème de
sa validité. L’accès authentique à une problématique de la vérité et de la preuve se situe dans
l’argumentation. C’est donc dans une problématique de l’argumentation que peut s’expliquer
une problématique de la démonstration.
C’est ici que notre travail trouve son point de départ.