Etude algebrique et algorithmique des singularites des equations differentielles implicites

149 Pages·1997·0.793 MB·French

by  Hubert E.

Th(cid:18)ese
pr(cid:19)esent(cid:19)ee par
Evelyne HUBERT
pour obtenir le titre de Docteur
de l’Institut National Polytechnique Grenoble
(arr^et(cid:19)es minist(cid:19)eriels du 5 juillet 1984 et du 30 mars 1992)
Sp(cid:19)ecialit(cid:19)e : Math(cid:19)ematiques Appliqu(cid:19)ees
(cid:19)
Etude Alg(cid:19)ebrique et Algorithmique des
(cid:19)
Singularit(cid:19)es des Equations Di(cid:11)(cid:19)erentielles
Implicites
Date de soutenance : 23 avril 1997
Composition du jury
Pr(cid:19)esident : Pr. Bernard MALGRANGE
Rapporteurs : Pr. Michael SINGER
Pr. Daniel LAZARD
Examinateurs : Pr. Jacques BLUM
Pr. Jean DELLA DORA
Th(cid:18)ese pr(cid:19)epar(cid:19)ee au sein du
Laboratoire de Mod(cid:19)elisation et de Calcul
(Informatique et Math(cid:19)ematiques Appliqu(cid:19)ees de Grenoble)
2
3
Puisque la Terre est ronde et que l’espace est
courbe, le bout du monde est l’endroit juste
derri(cid:18)ere soi.
J. Meunier.
4
Pr(cid:19)eface
Nous proposons quelques algorithmes pour (cid:19)etudier l’ensemble des solutions des
(cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles alg(cid:19)ebriques, ordinaires ou aux d(cid:19)eriv(cid:19)ees partielles. Cet
ensemble se scinde en solutions g(cid:19)en(cid:19)erales et en solutions singuli(cid:18)eres. Ces notions
peuvent^etred(cid:19)e(cid:12)niesdemani(cid:18)ererigoureusedanslecadredel’alg(cid:18)ebredi(cid:11)(cid:19)erentielle,
une th(cid:19)eorie fond(cid:19)ee par J.F.Ritt.
Avant d’entrer dans cette th(cid:19)eorie alg(cid:19)ebrique, nous avons tenu (cid:18)a comprendre
l’interpr(cid:19)etationanalytiquedesprobl(cid:18)emespos(cid:19)esparlessolutionssinguli(cid:18)eres. Celle-
ci est d’autant plus intrigante qu’elle est (cid:18)a l’origine du travail fondateur de
J.F.Ritt et qu’elle a (cid:19)et(cid:19)e quelque peu d(cid:19)elaiss(cid:19)ee depuis. Dans l’introduction, nous
pr(cid:19)esentons donc les motivations analytiques de ce travail ainsi qu’un r(cid:19)esum(cid:19)e en
termes accessibles du travail accompli.
Dans la deuxi(cid:18)eme partie de ce m(cid:19)emoire nous pr(cid:19)esentons des (cid:19)el(cid:19)ements de cette
th(cid:19)eorie. Nousavons vouluy s(cid:19)eparer clairementlesr(cid:19)esultatspurement alg(cid:19)ebriques
des aspects algorithmiques, bien qu’ils soient interd(cid:19)ependants.
Ceci nous permet tout d’abord de mettre en (cid:19)evidence les (cid:19)equivalents de l’alg(cid:18)ebre
polynomiale - th(cid:19)eor(cid:18)eme de la base, d(cid:19)ecompositions en id(cid:19)eaux premiers... . Ce
sont ces r(cid:19)esultat qui permettent de donner une d(cid:19)e(cid:12)nition alg(cid:19)ebrique des solutions
des syst(cid:18)emes di(cid:11)(cid:19)erentiels. La d(cid:19)e(cid:12)nition de la solution g(cid:19)en(cid:19)erale d’une (cid:19)equation
di(cid:11)(cid:19)erentielle s’obtiendra naturellement dans ce contexte, et c’est l(cid:18)a la motivation
de cette pr(cid:19)esentation.
D’autre part, nous avons souhait(cid:19)e montrer comment obtenir un algorithme de
d(cid:19)ecomposition e(cid:11)ectif en modi(cid:12)ant tr(cid:18)es l(cid:19)eg(cid:18)erement l’algorithme th(cid:19)eorique de
Ritt (Chapitre F ). L’algorithme obtenu est en fait une version all(cid:19)eg(cid:19)ee de
l’algorithme Rosenfeld-Gro(cid:127)bner de F.Boulier. Les principes mis en (cid:27)uvre lui
sont d’ailleurs tr(cid:18)es largement emprunt(cid:19)es. Cependant le lien entre l’algorithmede
Ritt et l’algorithme de F.Boulier n’avait pas encore (cid:19)et(cid:19)e (cid:19)etabli (cid:18)a ma connaissance.
Si le regain d’int(cid:19)er^et scienti(cid:12)que de ces derni(cid:18)eres ann(cid:19)ees a permis d’aboutir (cid:18)a des
algorithmes e(cid:11)ectifs, il reste n(cid:19)eanmoins des probl(cid:18)emes ouverts tels la d(cid:19)etermi-
nation de la d(cid:19)ecomposition minimale et le calcul de bases di(cid:11)(cid:19)erentielles, qui est
(cid:19)equivalent au probl(cid:18)eme d’inclusion.
5
6
Dansladerni(cid:18)ere partiede ce m(cid:19)emoirenousavons voulur(cid:19)epondre a(cid:18)ces deux ques-
tions pour les (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles, c’est (cid:18)a dire pour les syst(cid:18)emes di(cid:11)(cid:19)erentiels
constitu(cid:19)es d’une seule (cid:19)equation.
Nous avons (cid:19)etabli des algorithmes et leur implantation pour d(cid:19)eterminer la d(cid:19)e-
composition minimale. Au c(cid:27)ur de cette d(cid:19)etermination se tient le tr(cid:18)es di(cid:14)-
cile Th(cid:19)eor(cid:18)eme des petites puissances. La r(cid:19)ealisation e(cid:11)ective est soutenue par
l’algorithme Rosenfeld-Gr(cid:127)obner.
En outre, nous proposons un algorithme et quelques crit(cid:18)eres qui permettent de
calculer dans certains cas les bases di(cid:11)(cid:19)erentielles des composantes essentielles. Le
point bloquant de cet algorithme est le probl(cid:18)eme de Ritt.
Pour exposer ces algorithmes nous avons adopt(cid:19)e un ordre qui nous fait d(cid:19)ecouvrir
au fur et (cid:18)a mesure les d(cid:19)emonstrations de n(cid:19)ecessit(cid:19)e et de su(cid:14)sance du Th(cid:19)eor(cid:18)eme
des petites puissances.
L’algorithme e(cid:11)ectif de d(cid:19)ecomposition minimale le plus direct est expos(cid:19)e dans le
paragraphe G . Nous prolongeons l’algorithme Rosenfeld-Gr(cid:127)obner pour obtenir
une d(cid:19)ecomposition en id(cid:19)eaux premiers, comme celle de Ritt. On peut alors ap-
pliquer le Th(cid:19)eor(cid:18)eme des petites puissances pour (cid:19)eliminer les composantes re-
dondantes. Un algorithme plus (cid:12)n, qui (cid:19)evite les factorisations, requiert plus
d’expertise sur les conditions de su(cid:14)sance et de n(cid:19)ecessit(cid:19)e. Quant (cid:18)a l’algorithme
de calcul des bases di(cid:11)(cid:19)erentielles, il r(cid:19)eclame une relecture encore plus pouss(cid:19)ee de
la n(cid:19)ecessit(cid:19)e.
Aussi avons-nous choisi de pr(cid:19)esenter dans le Chapitre H notre algorithme de
calcul de bases di(cid:11)(cid:19)erentielles, puis dans le Chapitre I notre deuxi(cid:18)eme algorithme
de d(cid:19)ecomposition minimale.
Apr(cid:18)es avoir ma^(cid:16)tris(cid:19)e ces d(cid:19)emonstrations nous pourrons (cid:19)etablir au Chapitre J
quelques crit(cid:18)eres pour r(cid:19)esoudre le probl(cid:18)eme de Ritt et donc nous permettre de
calculer dans plus de cas les bases di(cid:11)(cid:19)erentielles.
La derni(cid:18)ere partie de ce m(cid:19)emoire est relativement ind(cid:19)ependante et est consacr(cid:19)ee
(cid:18)a l’(cid:19)etude des (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles ordinaires du premier ordre. Pour de telles
(cid:19)equations nous savons toujours calculer une base di(cid:11)(cid:19)erentielle de la solution
g(cid:19)en(cid:19)erale. Nous proposons un algorithmeplus simple que dans le cas g(cid:19)en(cid:19)eral pour
ce faire (Paragraphe N.1). Nous verrons que cette base di(cid:11)(cid:19)erentielle nous permet
d’apporter une expertise sur les points singuliers des solutions non singuli(cid:18)eres
(Paragraphe N.3).
Aussi, dans cette partie nous exposerons au pr(cid:19)ealable les analyses, g(cid:19)eom(cid:19)etriques
et analytiques, d(cid:19)ej(cid:18)a existantes pour l’(cid:19)etude des points singuliers des (cid:19)equations
di(cid:11)(cid:19)erentielles du premier ordre. Celles-ci sont cependant insu(cid:14)santes lorsqu’il
s’agitdeconsid(cid:19)ererlessolutionsdansleurglobalit(cid:19)e. D’ou(cid:18) l’int(cid:19)er^etd’uneapproche
alg(cid:19)ebrique.
Table des mati(cid:18)eres
I Introduction 13
A Motivations 15
A.1 Premiers m(cid:19)efaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A.2 Solutions singuli(cid:18)eres essentielles et particuli(cid:18)eres . . . . . . . . . . 17
B Histoires singuli(cid:18)eres 23
B.1 L’a^ge de la solution singuli(cid:18)ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B.2 Alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
B.3 Le Th(cid:19)eor(cid:18)eme des Petites Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
C R(cid:19)esum(cid:19)e 31
C.1 La solution g(cid:19)en(cid:19)erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
C.2 Alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C.3 Les d(cid:19)ecompositions minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C.4 Le calcul de bases di(cid:11)(cid:19)erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C.5 E(cid:19)quations di(cid:11)(cid:19)erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 34
D Les probl(cid:18)emes ouverts 37
D.1 Propri(cid:19)et(cid:19)es enveloppantes des solutions singuli(cid:18)eres . . . . . . . . . 37
D.2 Solutions particuli(cid:18)eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II Alg(cid:18)ebre et Algorithmes pour les syst(cid:18)emes di(cid:11)(cid:19)eren-
tiels 47
E Alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle 49
7
TABLE DES MATIE(cid:18)RES 8
E.1 Anneaux di(cid:11)(cid:19)erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
E.2 Anneaux de polyn^omes di(cid:11)(cid:19)erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
E.3 Notion alg(cid:19)ebrique de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
E.4 Id(cid:19)eaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
F Les algorithmes de d(cid:19)ecomposition 61
F.1 R(cid:19)eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
F.2 Coh(cid:19)erence et lemme de Rosenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
F.3 D(cid:19)ecomposition en id(cid:19)eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
F.4 D(cid:19)ecomposition en id(cid:19)eaux r(cid:19)eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
(cid:19)
III Equations di(cid:11)(cid:19)erentielles alg(cid:19)ebriques 73
G Composantes essentielles 75
G.1 La composante g(cid:19)en(cid:19)erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
G.2 Le proc(cid:19)ed(cid:19)e de pr(cid:19)eparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
G.3 Le Th(cid:19)eor(cid:18)eme des Petites Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
G.4 Algorithme e(cid:11)ectif et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
H Calcul des bases di(cid:11)(cid:19)erentielles 89
H.1 Processus th(cid:19)eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
H.2 Le lemme de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
H.3 Le probl(cid:18)eme de Ritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
I Decomposition reguli(cid:18)ere minimale 101
I.1 D(cid:19)e(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
I.2 Su(cid:14)sance du Th(cid:19)eor(cid:18)eme des Petites puissances . . . . . . . . . . . 103
I.3 Necessit(cid:19)e du Th(cid:19)eor(cid:18)eme des Petites Puissances . . . . . . . . . . . 104
I.4 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
J Retour sur le Probl(cid:18)eme de Ritt 109
J.1 A propos du calcul de bases di(cid:11)erentielles . . . . . . . . . . . . . 109
J.2 Quelques crit(cid:18)eres pour le probl(cid:18)eme de Ritt . . . . . . . . . . . . . 112
9 TABLE DES MATIE(cid:18)RES
J.3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
IV Points singuliers des (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles ordi-
naires du premier ordre 115
K Notations d’Alg(cid:18)ebre 119
K.1 Vari(cid:19)et(cid:19)es alg(cid:19)ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
K.2 Id(cid:19)eaux quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
K.3 D(cid:19)ecompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
L G(cid:19)eom(cid:19)etrie des (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles du premier ordre 123
L.1 Courbes int(cid:19)egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
L.2 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
L.3 Courbes int(cid:19)egrales singuli(cid:18)eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
M E(cid:19)tude analytique 133
M.1 Points Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
M.2 Points de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
M.3 Le polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
N La solution g(cid:19)en(cid:19)erale 137
N.1 Calcul de la base de la composante g(cid:19)en(cid:19)erale . . . . . . . . . . . . 137
N.2 S(cid:19)erie enti(cid:18)eres solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
N.3 D(cid:19)eveloppement en s(cid:19)erie des solutions non-singuli(cid:18)eres . . . . . . . 140
TABLE DES MATIE(cid:18)RES 10