Estruturas Combinatórias associadas aos Coefficientes de Littlewood-Richardson Mestrado em Matemática

117 Pages·2015·0.813 MB·Portuguese

by  Inês Martins Rodrigues

Universidade de Lisboa
Faculdade de CiŒncias
Departamento de MatemÆtica
Estruturas Combinat(cid:243)rias associadas
aos Coe(cid:28)cientes de
Littlewood-Richardson
Mestrado em MatemÆtica
InŒs Martins Rodrigues
Disserta(cid:231)ªo orientada por:
Prof. Doutora Maria Manuel Correia Torres
2015

Resumo
Os coe(cid:28)cientes de Littlewood-Richardson surgem inicialmente no contexto das
fun(cid:231)ıes de Schur. A primeira regra para os determinar foi apresentada por Little-
wood e Richardson, nos anos trinta, e descreve-os como contando certos tipos de
tableaux de Young enviesados. Contudo, s(cid:243) mais tarde, no (cid:28)nal dos anos setenta, foi
apresentada uma demonstra(cid:231)ªo rigorosa, por Sch(cid:252)tzenberger e Thomas (cid:21) baseada na
teoriaentretantodesenvolvidaemtornodetableauxdeYoung,emparticularacorres-
pondŒncia RSK e o jeu de taquin. Mais recentemente, a partir dos anos oitenta, tŒm
sido apresentadas outras interpreta(cid:231)ıes combinat(cid:243)rias para estes coe(cid:28)cientes, bem
como demonstra(cid:231)ıes mais simples da regra de Littlewood-Richardson.
O objectivo desta disserta(cid:231)ªo passa por apresentar tanto uma abordagem clÆssica
aos coe(cid:28)cientes de Littlewood-Richardson, como tambØm expor vÆrias outras inter-
preta(cid:231)ıes mais recentes, tornando claras as correspondŒncias entre elas. Destacamos
os padrıes de Gelfand-Tsetlin, as colmeias de Knutsen e Tao, e os tri(cid:226)ngulos de
Berenstein-Zelevinsky.
Para alØm de uma breve referŒncia a tableaux de Young e alguns dos seus al-
goritmos combinat(cid:243)rios mais importantes, nesta disserta(cid:231)ªo serªo apresentadas os
principais resultados relativos a fun(cid:231)ıes de Schur; evidenciamos a sua rela(cid:231)ªo com
tableaux e observamos que formam uma base para a Ælgebra das fun(cid:231)ıes simØtricas.
O produto de fun(cid:231)ıes de Schur, bem como as fun(cid:231)ıes de Schur indexadas por formas
enviesadas, motivam a introdu(cid:231)ªo dos coe(cid:28)cientes de Littlewood-Richardson, como
sendo os coe(cid:28)cientes que aparecem numa combina(cid:231)ªo linear de outras fun(cid:231)ıes de
Schur.
Segue-seaapresenta(cid:231)ªodaabordagemclÆssica(cid:224)regradeLittlewood-Richardson:
enunciada em termos de certos tipos de tableaux enviesados e demonstrada com re-
curso ao jeu de taquin. SerÆ tambØm apresentada uma demonstra(cid:231)ªo mais recente,
que se baseia nas involu(cid:231)ıes de Bender-Knuth, inicialmente utilizadas na demons-
tra(cid:231)ªo da simetria das fun(cid:231)ıes de Schur. Para concluir, serªo apresentadas algumas
estruturas combinat(cid:243)rias mais recentes que sªo tambØm contadas pelos coe(cid:28)cientes
de Littlewood-Richardson, estabelecendo-se bijec(cid:231)ıes entre elas.
Palavras-chave: Parti(cid:231)ıes; tableaux de Young; fun(cid:231)ıes simØtricas; fun(cid:231)ıes de
Schur; coe(cid:28)cientes de Littlewood-Richardson.
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Abstract
The Littlewood-Richardson coe(cid:30)cients initially emerge in the context of Schur
functions. The(cid:28)rstruletodeterminethemwaspresentedbyLittlewoodandRichard-
son, during the thirties, and describe them as counting certain types of skew Young
tableaux. However, it was only in the late seventies that a rigorous proof was
presented, by Sch(cid:252)tzenberger and Thomas (cid:21) based on the theory regarding Young
tableauxdevelopedinthemeantime,particularlytheRSKcorrespondenceandjeu de
taquin. Morerecently,fromtheeighties,othercombinatorialinterpretationsforthese
coe(cid:30)cients have been presented, as well as other simpler proof for the Littlewood-
Richardson rule.
The purpose of this thesis is to present a classical approach to the Littlewood-
Richardson coe(cid:30)cients, as well as expose other recent interpretations, making clear
the correspondence between them. We will highlight the Gelfand-Tsetlin patterns,
the Knutsen-Tao hives and the Berenstein-Zelevinsky triangles.
In this thesis, beside a brief reference to Young tableaux and its most important
combinatorial algorithms, we will present the main results regarding Schur functions;
we highlight their relation with tableaux and remark that they form a basis for the
algebra of symmetric functions. The product of Schur functions, as well as the skew
Schur functions, motivate the introduction of the Littlewood-Richardson coe(cid:30)cients,
as the coe(cid:30)cients that arise in a linear combination of other Schur functions.
ItfollowsthepresentationtotheclassicalapproachtoLittlewood-Richardsonrule:
we will enunciate it in terms of certain types of skew tableaux and prove it using jeu
de taquin. It will also be presented a more recent proof, based on the Bender-Knuth
involutions, thatareusedtoprovethesymmetryofSchurfunctions. Toconclude, we
willpresentsomerecentcombinatorialstructuresthatarealsocountedbyLittlewood-
Richardson coe(cid:30)cients, establishing bijections between them.
Keywords: Partitions; Young tableaux; symmetrical functions; Schur functions;
Littlewood-Richardson coe(cid:30)cients.
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Agradecimentos
Come(cid:231)o por expressar a minha gratidªo (cid:224) Professora Maria Manuel Torres, com
quem tive o privilØgio de trabalhar: nªo s(cid:243) por me ter apresentado este tema que
tanto me interessou, mas tambØm pelo seu apoio incansÆvel ao longo da elabora(cid:231)ªo
desta disserta(cid:231)ªo. Nas inœmeros horas que dedicou a este texto, o seu rigor cient(cid:237)(cid:28)co
e os inœmeros comentÆrios pertinentes foram constantes, assim como a simpatia e o
entusiasmo que a caracterizam.
Agrade(cid:231)o(cid:224)minhafam(cid:237)liaportodooseuapoio. Umagradecimentomuitoespecial
(cid:224) minha mªe e ao meu pai, que sempre me apoiaram de tantas formas ao longo do
meu percurso acadØmico − o vosso carinho e palavras de encorajamento foram fun-
damentais em vÆrios momentos.
(cid:201)importanteumapalavradeagradecimentoaoGrupo-4deKlein. Agrade(cid:231)otam-
bØm ao meus amigos pela for(cid:231)a e paciŒncia mostradas nos œltimos tempos.
Por(cid:28)m,agrade(cid:231)oaoGuilherme,aquemdevo,emgrandeparte,estetrabalho. Pela
ajuda incansÆvel, pelo carinho, pelas palavras de incentivo, por nunca me deixares
desistir − e por muito mais do que poderia aqui deixar escrito. Obrigada.
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PrefÆcio
As fun(cid:231)ıes de Schur sªo fun(cid:231)ıes simØtricas indexadas por parti(cid:231)ıes, que formam
uma base para a Ælgebra das fun(cid:231)ıes simØtricas. Os coe(cid:28)cientes de Littlewood-
Richardson surgem inicialmente relacionados com as fun(cid:231)ıes de Schur − sªo os co-
e(cid:28)cientes que aparecem no desenvolvimento nessa base quer do produto de fun(cid:231)ıes
de Schur, quer das fun(cid:231)ıes de Schur enviesadas. PorØm, as suas aplica(cid:231)ıes sªo mais
vastas, ocorrendo tambØm no contexto de representa(cid:231)ıes de S e GL (C), no cÆlculo
n n
de Schubert ou nos valores pr(cid:243)prios de matrizes herm(cid:237)ticas.
Aprimeiraformula(cid:231)ªodaregradeLittlewood-Richardsonfoiapresentadaem1934
porLittlewoodeRichardson,estabelecendoqueocoe(cid:28)cientedeumafun(cid:231)ªodeSchur
que aparece no produto de duas outras fun(cid:231)ıes de Schur pode ser calculado em ter-
mos de certos tableaux. Embora a regra fosse enunciada como um teorema geral, a
demonstra(cid:231)ªo contemplava apenas casos muito simples. Em 1938, Robinson a(cid:28)rma
ter demonstrado a regra; contudo, a sua prova era demasiado intrincada e continha
1
vÆrias falhas.
A regra de Littlewood-Richardson permaneceu sem demonstra(cid:231)ªo atØ aos anos
70. Entretanto, foram feitos vÆrios avan(cid:231)os na teoria dos tableaux de Young. Em
particular, Schensted introduziu nos anos 60 uma constru(cid:231)ªo com tableaux, que se
provou ser equivalente (cid:224) desenvolvida por Robinson em 1938, estabelecendo-se entªo
a correspondŒncia de Robinson-Schensted. No in(cid:237)cio dos anos 70, esta bijec(cid:231)ªo foi
generalizada por Knuth, apresentando a correspondŒncia RSK. Como consequŒncia
surgiram as primeiras demonstra(cid:231)ıes completas da regra de Littlewood-Richardson:
em 1977, Sch(cid:252)tzenberger introduz o jeu de taquin, utilizando-o para demonstrar a
regra, e em 1978, Thomas apresenta uma demonstra(cid:231)ªo baseada na constru(cid:231)ªo de
Schensted.
Apartirdosanos80surgemoutrasinterpreta(cid:231)ıesparaoscoe(cid:28)cientesdeLittlewood-
Richardson,assimcomooutrasdemonstra(cid:231)ıesmaissimplesdaregraparaosdetermi-
nar. Em1985,GelfandeZelevinskyapresentamumageneraliza(cid:231)ªodeumaconstru(cid:231)ªo
dos anos 50, os padrıes de Gelfand-Tsetlin, aos quais adicionam uma condi(cid:231)ªo em
1M.vanLeeuwenfazumaresenhahist(cid:243)ricadaregradeLittlewood-Richardsonmaiscompletae
detalhada,quepodeserlidaem[29]
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termos de uma parti(cid:231)ªo, formando os esquemas de Gelfand-Zelevinsky. Estas estru-
turassurgemcomoprop(cid:243)sitodeestudarrepresenta(cid:231)ıesdogrupoGL (C). Em1992,
n
BerensteineZelevinskyintroduzemostri(cid:226)ngulosdeBerenstein-Zelevinsky, comoin-
tuitodeestudaroprodutotensorialdecertossl-m(cid:243)dulos. KnutseneTaoapresentam,
em1999,umanovaestruturacombinat(cid:243)riacomointuitodedemonstraraConjectura
de Satura(cid:231)ªo: as colmeias e o modelo honeycomb. Em 200, Fulton apresenta uma
bijec(cid:231)ªo entre colmeias e uma subclasse de tableaux enviesados, os contratableaux.
Todas estas estruturas sªo indexadas por trŒs parti(cid:231)ıes e sªo contadas pelos coe(cid:28)-
cientes de Littlewood-Richardson.
Simultaneamente,surgiramtambØmnovasdemonstra(cid:231)ıesdaregradeLittlewood-
Richardson, comoasdeGasharov(1998), RemmeleShimozono(1998), eStembridge
(2002), que se baseiam em involu(cid:231)ıes com troca de sinais em tableaux. Gasharov e
Stembridgerecorrem(cid:224)sinvolu(cid:231)ıesdeBender-Knuth,quesªotambØmutilizadaspara
mostrar a simetria das fun(cid:231)ıes de Schur.
Com esta disserta(cid:231)ªo pretendemos apresentar uma abordagem aos coe(cid:28)cientes
de Littlewood-Richardson essencialmente baseada nas fun(cid:231)ıes de Schur e na combi-
nat(cid:243)ria de tableaux de Young, que seja auto-contida e permita demonstrar a regra
paraosdeterminar,nasuaformula(cid:231)ªoclÆssica. Apartirdestecontexto,pretendemos
estabelecer liga(cid:231)ıes com a teoria mais recente, apresentando interpreta(cid:231)ıes combi-
nat(cid:243)rias alternativas para o cÆlculo dos coe(cid:28)cientes.
A organiza(cid:231)ªo da disserta(cid:231)ªo serÆ a seguinte:
• No primeiro cap(cid:237)tulo Ø feita uma breve introdu(cid:231)ªo aos conceitos e resultados
elementares relativos a parti(cid:231)ıes e tableaux de Young, que serªo utilizados nos
cap(cid:237)tulos seguintes. Apresentaremos os algoritmos que motivam a correspon-
dŒncia RSK e o jeu de taquin, tanto em termos de tableaux, como de palavras.
Estas correspondŒncias serªo posteriormente utilizadas na demonstra(cid:231)ªo clÆs-
sica da regra de Littlewood-Richardson.
• O segundo cap(cid:237)tulo diz respeito (cid:224) Ælgebra das fun(cid:231)ıes simØtricas, apresentando
algumassuasbases,comŒnfasenabasedasfun(cid:231)ıesdeSchur,queserªode(cid:28)nidas
em termos de tableaux de Young. De seguida, apresentaremos a dedu(cid:231)ªo da
Identidade de Cauchy, que serÆ utilizada no cap(cid:237)tulo seguinte. Apresentamos
ainda duas formula(cid:231)ıes alternativas das fun(cid:231)ıes de Schur: a f(cid:243)rmula de Jacobi-
Trudi e o quociente de alternantes.
• Noterceirocap(cid:237)tuloapresentamosaformula(cid:231)ªoclÆssicadaregradeLittlewood-
Richardson, assim como duas demonstra(cid:231)ıes. A primeira demonstra(cid:231)ªo baseia-
se no jeu de taquin, e resulta essencialmente da teoria desenvolvida em torno
de tableaux de Young; a segunda demonstra(cid:231)ªo Ø mais recente e baseia-se nos
trabalhosdeGasharoveStembridge,recorrendo(cid:224)sinvolu(cid:231)ıesdeBender-Knuth.
• Noquartocap(cid:237)tulosªoapresentadasalgumasestruturascombinat(cid:243)riasrecentes
que sªo contadas pelos coe(cid:28)cientes de Littlewood-Richardson: os tri(cid:226)ngulos
de Littlewood-Richardson, os esquemas de Gelfand-Zelevinsky, as colmeias de
Knutsen e Tao, e os tri(cid:226)ngulos de Berenstein-Zelevinsky. Serªo tambØm apre-
sentadas algumas bijec(cid:231)ıes entre estas estruturas, obtendo-se assim outras for-
mula(cid:231)ıes para os coe(cid:28)cientes de Littlewood-Richardson.
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