estimasi parameter distribusi exponentiated eksponensial pada data tersensor tipe ii skripsi ahmad

64 Pages·2016·1.71 MB·Indonesian

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED
EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II

SKRIPSI

AHMAD ZUDA KUMALA SANI

PROGAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2012

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED
EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga

Oleh :

AHMAD ZUDA KUMALA SANI
NIM. 080810246

Tanggal Lulus : 13 Juli 2012

Disetujui Oleh :

Pembimbing I Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Eko Tjahjono, M.Si.
NIP. 197501061999031002 NIP. 19600706 1986011001

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

Judul : ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI
EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA
TERSENSOR TIPE II
Penyusun : AHMAD ZUDA KUMALA SANI
NIM : 080810246
Tanggal Ujian : 13 Juli 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Eko Tjahjono, M.Si
NIP. 197501061999031002 NIP. 196007061986011001

Mengetahui :

Ketua Program Studi S1-Matematika
Departemen Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M. Si
NIP : 196802041993031002

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah.

Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Pada Data
Tersensor Tipe II .
Dalam penyusunannya, penyusun memperoleh banyak bantuan
dari berbagai pihak, karena itu penyusun mengucapkan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada :
1. Kedua orang tua tercinta, M. Imam Sya’roni dan Ningsih, serta kakakku A. Z.
Hakam S yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, harapan dan
kepercayaan yang begitu besar.
2. Toha Saifudin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen
pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan,
perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak
ternilai harganya.
3. Drs. H.Sediono, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si. selaku dosen penguji I dan II
yang telah banyak memberikan arahan dan masukan.
4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan
arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa Matematika.
5. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Koni, Pak Budi yang telah membantu
memperlancar keperluan di kampus.
ii

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
6. Ardi Wahyu As’ari. yang telah banyak memberikan semangat dan motivasi.
Terima kasih buat kesabaran, perhatian, ketulusan, dan kasih sayangnya.
7. Sahabatku Putu, Meta, Lina, Arifah, Varian, Mbah Uti, Vidong, Nasrul, Zaki,
Andika, Syafiq, Harun, Yani yang banyak memberikan support .
8. Teman-teman matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang
begitu hangat.
9. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih
atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.
Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan,
untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan
skripsi ini.
Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Surabaya, Juli 2012

Penyusun

iii

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
A Zuda Kumala Sani, 2012. Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data
tersensor tipe II. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifudin,S.Si,M.Si dan Drs. Eko Tjahjono,
M.Si. Departeman Matematika.Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK

Dalam skripsi ini, akan dibahas tentang distribusi Exponentiated Eksponensial
yaitu bentuk umum dari distribusi Eksponensial satu parameter dan akan diterapkan pada
data tersensor tipe II yaitu salah satu dari metode penyensoran berdasarkan kegagalan.
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menentukan penduga yang lebih baik untuk
parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II. Proses
estimasi ini menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square
(OLS) untuk memperoleh penduga titiknya.
Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II memiliki
bentuk fungsi Distribusi sebagai berikut :

Dengan adalah parameter bentuk, adalah parameter skala dan merupakan data
tersensor tipe II yaitu data sampai r kegagalan. Estimasi parameter distribusi
Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum
Likelihood dan OLS tidak dapat diselesaikan secara analitis karena penduga yang
didapatkan masih dalam bentuk implisit. Sehingga diperlukan suatu metode numerik
untuk menyelesaikannya, salah satunya yang digunakan dalam skripsi ini yaitu metode
Newton-Raphson.
Penentuan penduga yang lebih baik dalam data ini menggunakan kriteria MSE
dengan nilai yang paling kecil. Setelah dilakukan percobaan pada 16 data bangkitan dan
pada data pasien Leukimia diperoleh bahwa metode Ordinary Least Square (OLS) yang
lebih baik. Pada data bangkitan, nilai rata-rata MSE untuk metode Ordinary Least Square
(OLS) = 0.003513 dan nilai rata-rata MSE untuk metode Maximum Likelihood =
.041272. Prosentase urutan nilai MSE terkecil untuk metode Ordinary Least Square
(OLS) sebesar 87,5 % sedangkan untuk metode Maximum Likelihood sebesar 12,5 %.
Kemudian pada data pasien Leukimia didapatkan nilai MSE untuk metode Ordinary
Least Square (OLS) = 0.09842778 dan nilai MSE untuk metode Maximum Likelihood =
0.3210319.

Kata kunci : Distribusi Exponentiated Eksponensial, data uji hidup tersensor tipe II,
metode Ordinary Least square, Metode Maximum Likelihood, Metode
Newton-Raphson, Mean Square Error (MSE).

iv

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
A Zuda Kumala Sani, 2012. Parameter Estimation Exponentiated Exponential Distribution on
Censored Data Type II.. This final project was supervised by Toha Saifudiin, S, Si, M. Si and Drs.
Eko Tjahjono, M.Si., Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University
of Airlangga, Surabaya.

ABSTRACT

In this undergraduate theses, we discuss about Exponentiated Exponential
distribution which is the general form of an exponential distribution with one parameter
and we will apply to censored data type II which is one of the censoring methods based
on the failure.
The writing undergraduate theses purposes to determine the better estimation
method for parameter of exponentiated exponential distribution on censored data type II.
The estimation process uses Maximum Likelihood method and Ordinary Least Square
(OLS) to obtain the point estimator.
Exponentiated exponential distribution on censored data type II has the form of
distribution function is given:

where is the shape parameter, λ is the scale parameter, and t is data censored type II
with r failures data. Parameter estimation of exponentiated exponential distribution on
censored data type II with MLE and OLS cannot be solve analytically because the
estimator is still implicit form. Therefore we need a numeric method to solve and this
final project uses Newton-Raphson method to find numeric solution.

To determine is better estimation methods on data uses MSE criteria with the
smallest value. After doing test with16 generate data and leukemia patient, we can know
that method Ordinary Least Square (OLS) is better. On generate data, the average value
of ordinary least square (OLS) =0.003153 and the average value of maximum likelihood
estimator (MLE) = 0.041272. Percentage of MSE rank values for the method of Ordinary
Least Square (OLS) was 87.5% while for the MLE method by 12.5%. Then on leukemia
patient data the value MSE of ordinary least square (OLS) =0.09842778 and the value of
maximum likelihood estimator (MLE) = 0.3210319.

Keyword: Exponetiated exponential distribution, lifetime data for censored type II,
Ordinary Least Square (OLS), Maximum Likelihood Estimator (MLE),
Newton-Raphson, Mean square error

v

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
DAFTAR ISI

Halaman
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii
ABSTRAK ............................................................................................................. iv
ABSTRACT ............................................................................................................ v
DAFTAR ISI .......................................................................................................... vi
DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 3
1.3 Tujuan .............................................................................................. 4
1.4 Manfaat ............................................................................................ 4
1.5 Batasan Masalah............................................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 6
2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial............................................ 6
2.2 Estimasi Titik ................................................................................... 6
2.3 Metode Maximum Likelihood .......................................................... 7
2.4 Metode Ordinary Least Square ........................................................ 7
2.5 Analisis Data Uji Hidup ................................................................... 8
2.6 Fungsi Survival ............................................................................... 8
2.7 Tipe Penyensoran ............................................................................. 9
2.8 Mean Square Error ........................................................................ 10
2.9 Metode Newton Raphson ..................................................................... 12
2.10 Uji Goodness of Fit Kolmogorov – Smirnov ................................. 13
2.11 Estimasi Kaplan-Meier................................................................... 14
2.12 Keluarga Eksponensial dari Probability Density Function ............ 15
2.13 S-Plus 2000 ............................................................................................. 16
BAB III METODE PENULISAN ......................................................................... 18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................... 22
4.1 PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative
Density Function) Distribusi Exponentiated Eksponensial............ 22
vi

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
4.2 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial
pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum
Likelihood ....................................................................................... 24
4.3 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial
pada Data Tersensor Tipe II dengan Ordinary Least
Square (OLS) .................................................................................. 29
4.4 Membangkitkan Data Distribusi Exponentiated
Eksponensial .................................................................................. 32
4.5 Menentukan nilai awal Penduga Distribusi Exponentiated
Eksponensial .................................................................................. 33
4.6 Algoritma Progam .......................................................................... 33
4.6.1 Algoritma untuk membangkitkan r data dari n data
berdistribusi Exponentiated Eksponensial ........................... 33
4.6.2 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode
Maximum Likelihood ........................................................... 34
4.6.3 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode
Ordinary Least Square ....................................................... 35
4.6.4 Algoritma untuk menentukan nilai Mean Square
Error (MSE) ........................................................................ 36
4.6.5 Algoritma untuk uji Goodness of fit Kolmogorov
Smirnov ............................................................................... 37
4.6.6 Implementasi Algoritma ke Progam Komputer ................... 38
4.7 Penerapan pada Data Tahan Hidup Tersensor Tipe II ................... 39
4.7.1 Penerapan pada Data Simulasi ............................................ 39
4.7.2 Penerapan pada Data Pasien Leukimia ................................ 44
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 48
5.1 Kesimpulan .................................................................................... 48
5.2 Saran ............................................................................................... 50
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 51
LAMPIRAN

vii

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Sani, Ahmad Zuda Kumala
pada data tersensor tipe II