Estática y Dinámica Analítica

25 Pages·2008·0.22 MB·Spanish

Estática y Dinámica Analítica
Mecánica II
Temas 6 y 7
Manuel Ruiz Delgado
Escuela Te´cnica Superior de Ingenieros Aerona´uticos
Universidad Polite´cnica de Madrid
Esta´ticayDina´micaAnal´ıtica–p.1/25
Mecánica analítica
Equilibrio y sistemas reónomos
Principio de los trabajos virtuales
Principio de D’Alembert
Ecuación general de la Dinámica
Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
Fuerzas generalizadas y términos cinéticos
Ecuaciones de Lagrange
Ecuaciones de equilibrio
Sistemas potenciales
Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holónomos
Método de los desplazamientos independientes
Método de los multiplicadores de Lagrange
Cálculo de las fuerzas de ligadura
Ecuación de la energía para sistemas holónomos
Esta´ticayDina´micaAnal´ıtica–p.2/25
Equilibrio y sistemas reónomos
Equilibrio: un sistema material tiene una configuración de
equilibrio cuando abandonado el sistema en reposo en dicha
configuración, permanece indefinidamente en reposo:
r (t) = re ; v (t) = 0 ∀t
i i
i
Ligaduras finitas no estacionarias: f(r , t) = 0
i
(cid:26)
N (cid:26)
(cid:26)
e e
f(r , t) = 0 ; ∇ f · 0 + f (r , t) = 0 ∀t
i (cid:26)i t i
(cid:26)
(cid:26)i=1
X
N
Cinemáticas no estacionarias: A (r , t) · v + B (r , t) = 0
i j i j
i=1
X
e
0 + B r , t = 0 ∀ t
j
Sólo puede haber equilibrio en los puntos que cumplan estas
(cid:0) (cid:1)
condiciones: en los que las ligaduras no se mueven.
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Principio de los trabajos virtuales
Formulacio´ n gene´rica
Condición de equilibrio de un sistema (Newtoniana):
D e L e
F (r , 0, t) + F (r , 0, t) = 0, i = 1, . . . , N
i i i i
Son 3N condiciones independientes
Si damos un desplazamiento virtual arbitrario:
N
D L
δW = F + F · δr = 0 ∀ δr PTV
i i i i
i=1
(cid:16) (cid:17)
X
Por ser una combinación lineal de vectores nulos.
Como los δr forman un espacio vectorial de dimensión 3N, al
i
exigir ∀ δr , tenemos 3N condiciones independientes: el PTV es
i
equivalente a las 3N ecuaciones Newtonianas
La formulación genérica del PTV no aporta nada nuevo:
• igual número de ecuaciones que la Estática Newtoniana
• siguen estando las fuerzas de ligadura.
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Principio de los trabajos virtuales
Formulacio´ n detallada
El PTV es útil cuando hay g ligaduras ideales: sus fuerzas no
trabajan en los DVCL (espacio vectorial de dimensión n= GDL)
D L
Sistema en equilibrio: F + F = 0, i = 1, . . . , N
i i
Damos un desplazamiento virtual arbitrario:
N
δW = FD + FL · δr = 0 ∀ δr
i i
i=1 i i
N
Si el δr es un DVCPL, (cid:0) FL · δr(cid:1)= 0,
i i
i=1 i
N
P
D
δW = F · δr = 0 ∀ DVCL
i i
i=1
X
Ecuación general de la estática
No aparecen las fuerzas de ligadura
∀ DVCL ⇔ n= GDL ecuaciones independientes
Es condición necesaria: se deduce de las newtonianas
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Principio de los trabajos virtuales
Es condición suficiente: demostración por reducción al absurdo
Supongamos que se cumple el PTV, pero el sistema no está en
equilibrio: empezará a moverse con aceleraciones ¨r distintas de
i
D L
cero: F + F = m ¨r
i i
i i
En un tiempo infinitesimal dt, partiendo del reposo, cada
partícula se desplaza dr = ¨r dt2/2 (∈ Desp. Posibles)
i i
Tomando como DVCL los DP δr = ǫ ¨r ,
i i
N N N
dW = FD + FL · δr = m ¨r · ¨r ǫ = m ¨r 2 ǫ ≥ 0
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
(cid:16) (cid:17)
X X X
En contra de la hipótesis
Luego no puede cumplirse el PTV y no haber equilibrio.
Queda por demostrar que los dr = ǫ ¨r son DVCL
i i
Esta´ticayDina´micaAnal´ıtica–p.6/25
Principio de los trabajos virtuales
Se derivan las ecuaciones de las ligaduras; inicialmente r˙ ,
i
(cid:8)
N (cid:8) N
∂∇ (cid:8)f
i
(cid:8) · r˙ + ∇ f · ¨r + f = 0
(cid:8) i i i tt
(cid:8) ∂t
(cid:8)
i=1 i=1
X X
(cid:26)
(cid:26)
N N
(cid:26)
∂A
(cid:26)i
· r˙ + A · ¨r + B = 0
(cid:26) i i i t
∂t
(cid:26)
i=1 i=1
(cid:26)
X X
Para ser DVCL, los ¨r deben cumplirlas congeladas,
i
N N
∇ f · ¨r = 0; A · ¨r = 0
i i i i
i=1 i=1
X X
Sólo son DVCL en los esclerónomos, f = B = 0
t
En los reónomos sólo consideramos los puntos fijos: f = B = 0
t
En esos puntos, los ¨r sí son DVCL.
i
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Principio de los trabajos virtuales
N
D
δW = F · δr = 0 ∀ DVCL
i i
i=1
X
PTV: La condición necesaria y suficiente para que un sistema
material sometido a ligaduras ideales tenga una configuración
de equilibrio es que en dicha configuración se anule el trabajo
virtual de las fuerzas directamente aplicadas para cualquier
desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.
PTV ↔ Ecuación general de la estática
En sistemas reónomos sólo se puede aplicar en los puntos en que
f = B = 0
t
En los demás no puede haber equilibrio.
Esta´ticayDina´micaAnal´ıtica–p.8/25
Principio de D’Alembert
a
2 ley de Newton para un sistema de N partículas:
D L
F + F = m ¨r = p˙ , i = 1 . . . N
i i i
i i
Se pueden poner en la forma
FD + FL − p˙ = FD + FL + FI = 0 , i = 1 . . . N
i i i i i i
Equivale a plantear el equilibrio de cada partícula relativo a unos
ejes con origen en la propia partícula.
Principio de D’Alembert: Las ecuaciones del movimiento de un
sistema material se obtienen planteando, en cada instante, el
equilibrio entre las fuerzas dadas, las de ligadura, y las de inercia.
Se reduce a un problema de estática: Aplicar el PTV
Pero las ecuaciones siguen siendo diferenciales, no algebraicas
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Ecuación general de la Dinámia
Aplicamos a un sistema el principio de D’Alembert y damos DV:
N
F − p˙ = 0 ⇒ δW = (F − p˙ ) · δr = 0, ∀ δr
i i i i i i
i=1
Aplicamos ahora el PTV: si los δr son DVCL, las fuerzas de
i
P
ligadura no trabajan, y queda
N
D
F − p˙ · δr = 0 ∀ DVCL
i i i
i=1
(cid:16) (cid:17)
X
Esta es la Ecuación general de la Dinámica
No aparecen las fuerzas de ligadura
∀ DVCL: Hay n ecuaciones independientes (no GDL)
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