Table Of ContentEssays on Higher Order Approximation Solution
Methods for DSGE Models
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum politicarum
(Doktor der Wirtschaftswissenschaft)
eingereicht an der
Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät
der Humboldt-Universität zu Berlin
von
Hong Lan, MSc
Präsident/Präsidentinder Humboldt-UniversitätzuBerlin:
Prof. Dr. Jan-HendrikOlbertz
Dekan/DekaninderWirtschaftswissenschaftlichenFakultät:
Prof. Dr. UlrichKamecke
Gutachter/Gutachterin: 1. Prof. MichaelBurda, PhD
2. Prof. LutzWeinke,PhD
TagdesKolloquiums: 30.03.2015
Table of contents
Tableof contents iii
Listof(cid:191)gures vii
Listoftables ix
Nomenclature ix
1 Introduction 1
2 ComparingSolutionMethodsforDSGEModelswithLaborMarketSearch 3
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 TheStochasticGrowthModelwithLaborMarket Search . . . . . . . 6
2.2.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 SolutionMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 SimulatedMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 SimulatedDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Den HaanandMarcet’s(1994)AccuracyTest . . . . . . . . . 18
2.4.4 EulerEquationErrorTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.5 SimulatedMomentsComparison . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iv Tableofcontents
3 SolvingDSGEModelswithaNonlinearMovingAverage 37
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 ProblemStatement and SolutionForm . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 ModelClass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 SolutionForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Approximation: Taylor/VolterraSeries Approximation . . . . 42
3.3 NumericalSolutionofthePerturbationApproximation . . . . . . . . 45
3.3.1 First OrderApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 SecondOrderApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3 ThirdOrder andHigherApproximations . . . . . . . . . . . 51
3.4 Comparison withAlternativeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 StandardDSGEPerturbation: Boundedness andPruning . . . 54
3.4.2 Lombardo’s(2010)Matched Perturbation: Foundations . . . . 56
3.5 Stochastic NeoclassicalGrowthModel . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Logarithmic Preferences and Complete Depreciation Special
Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.2 CRRA-Incomplete DepreciationCase . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 DecomposingRiskinDynamicStochasticGeneralEquilibrium 75
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Related Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 GeneralOperationwithinDSGEModels . . . . . . . . . . . 81
4.3 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 PerturbationSolutionand Risk AdjustmentChannel . . . . . . . . . . 86
4.5 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6 Theoretical Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6.1 Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6.2 Variance andAutocovariances . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.3 AVarianceDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6.4 SimulatedMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 AnalysisoftheBaseline Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.7.1 ImpulseResponsesandSimulations . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7.2 MomentsComparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Table ofcontents v
4.7.3 Stochastic VolatilityandHansen-JagannathanBounds . . . . 105
4.8 AnExtensiontoFrictional Investment . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.10 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5 StochasticVolatilityinRealGeneral Equilibrium 115
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2 TheBaselineModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.1 The BaselineModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.2 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3 SolutionMethodand BaselineCalibration . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1 PerturbationSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.2 Baseline Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 AnalysisoftheBaseline Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.1 ImpulseResponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.2 Moment Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5 TheExtendedModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5.1 The ExtendedModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.2 CharacterizationandCalibration . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.3 ImpulseResponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.7 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
References 155
AppendixA Chapter2Appendix 165
A.0.1 Taylor Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.0.2 Projection Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
AppendixB Chapter3Appendix 169
B.0.3 MatrixCalculusandTaylorExpansion . . . . . . . . . . . . . 169
B.0.4 AuxiliaryMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.0.5 DetailsofThird-OrderDerivation . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.1 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.1 Proof ofLemma 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.2 Proof ofProposition4.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
vi Tableofcontents
B.1.3 ProofofCorollary 4.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.1.4 DetrendingtheModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.1.5 ProofofProposition4.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.1.6 ProofofProposition4.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2
B.1.7 Meanof dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
t
2
B.1.8 SecondMomentsofdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
t
3
B.1.9 SecondMomentsofdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
t
1 3
B.1.10 SecondMomentsbetweendy anddy . . . . . . . . . . . 190
t t
B.1.11 Variance Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.1.12 Coef(cid:191)cient Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3 3
B.1.13 ComputingElementsinE . . . . . . . . . . . . . 198
t t
List of (cid:191)gures
2.1 SimulatedDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 EEEofProjection, z 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 DifferenceinEEE,z 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 EEEofProjection, z 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 DifferenceinEEE,z 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 EmploymentEEEofPerturbation3(n=nmax)andSimulatedGrid . . . . . 28
2.7 EmploymentEEEofPerturbations, 2Contour . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Approx. PolicyRuleandHistogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1 ImpulseResponsestoaTechnologyShock, ModelofSection3.5.2 . . 62
3.2 Impulse Responses to a Technology Shock, Model of Section 3.5.2
Solid: 2,Dashed 5,Dash-Dotted 10 . . . . . . . . . . . 64
3.3 Second-Order Contributions to Impulse Responses to a Technology
Shock,ModelofSection 3.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 EulerEquationErrors,ShockatTimet,Aruobaetal.’s(2006)Baseline
Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 EulerEquationErrors,FirstOrderApproximation,Aruobaetal.’s(2006)
Baseline Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6 MaximumEulerEquationErrors, Aruobaetal.’s(2006)BaselineCase 71
3.7 AverageEulerEquationErrors,Aruobaetal.’s (2006)BaselineCase . 73
4.1 Monte Carlo Consistency of Moment Calculations, Example of m ,
t
Baseline ModelofSection 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 CapitalIRF:VolatilityShock,BaselineModelofSection5.2 . . . . . 97
4.3 MacroIRFs: VolatilityShock, BaselineModelofSection 5.2 . . . . . 98
4.4 ExpectedRiskPremiumIRFs: VolatilityandGrowthShocks,Baseline
ModelofSection 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
viii Listof (cid:191)gures
4.5 Simulated Squared Conditional Market Price of Risk, Baseline and
ConstantVolatilityModelof Section 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6 StochasticVolatilityandtheHansen-JagannathanBounds : Expected
Utility; : ConstantVolatility; : Baseline(StochasticVolatility) . . 106
4.7 MacroIRFs: VolatilityShock,ExtendedModelofSection5.4 . . . . 110
5.1 CapitalIRF:VolatilityShock,BaselineModelofSection5.2 . . . . . 125
5.2 EmploymentIRF: VolatilityShock,BaselineModelofSection 5.2 . . 126
5.3 MacroIRFs: VolatilityShock,BaselineModelofSection5.2 . . . . . 127
5.4 Roleof Frisch Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Roleof Risk Aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6 Roleof JobSeparation Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.7 IRFof MacroswithKPRPreferences . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.8 IRFof MacroswithKPRPreferences . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.9 ConditionalVarianceComparison,BaselineModelofSection 5.2 . . 138
5.10 MacroIRFs: VolatilityShocktoProductivity,ExtendedModelofSec-
tion5.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.11 Macro IRFs: Volatility Shock to Investment, Extended Model of Sec-
tion5.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.12 MacroIRFs: VolatilityShockto Preferences,ExtendedModelof Sec-
tion5.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.13 MacroIRFs: VolatilityShocktoGovernmentSpending,ExtendedModel
ofSection 5.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
List of tables
2.1 QuarterlyCalibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 SecondmomentsfromDataandProjectionSolution . . . . . . . . . . . . 15
2.3 DHMAccuracyTest,T 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 EulerEquationErrorTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 RelativeStandardDeviationfromDataandModel . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 CorrelationandAutocorrelation fromDataandModel . . . . . . . . . . . 32
3.1 Parameter Valuesfor theModelofSection 3.5.2 . . . . . . . . . . . . 61
4.1 Parameter Values: CommontoAllThree Calibrations . . . . . . . . . 87
4.2 Parameter Values: CalibratingHomoskedasticVolatility . . . . . . . . 88
4.3 MeanComparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 StandardDeviationComparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Variance Decompositionin Percentage . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 StandardDeviationComparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7 Variance Decompositionin Percentage . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1 BaselineCalibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Unconditional standarddeviation comparisonunderBaselineCalibration . . 138
5.3 UnconditionalStandarddeviationcomparisonunderhighriskaversion,higher
Frischelasticityandlowerjobseparation rate . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Unconditional standarddeviation comparison oftheextended model . . . . 151
5.5 Unconditionalstandard deviationdecompositionoftheextendedmodel 151
A.1 ParametersoftheIteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Description:2 Comparing Solution Methods for DSGE Models with Labor Market Search 3. 2.1 Introduction . the implications of such difference, the simulated moments of all the approximations (2001). 37Baxter and Farr (2005) note the imprecision of Basu and Kimball's (1997) estimation of this value.
