Espaços Métricos

306 Pages·1993·19.236 MB·Portuguese Brazilian

by  Elon Lages Lima

1 la e li a
es aços
métricos
FlCHA CATALOGRÁFICA
(Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte,
Câmara Brasileira do Livro, SP)
Lima, Elon Lages, 1929-
L697e Espaços métricos. Rio de Janeiro, lnstitttto de Matemáti­
ca Pura e Aplicada, CNPq, 1977.
(Projeto Euclides) 2.ª EDIÇÃO
Bibliografia
Este livro ganhou o "Prêmio Jabuti",
1. Espaços métricos 1. Série
categoria Ciências, oUtorgado pela
Câmara Brasileira do Livro em 1978.
17. CDD-513.83
77-0551 18 -514 3
Índice para catálogo sistemático:
1. Espaços métricos : Topologia : Matemática 513 83 (17 .) 514.3 (18.)
impa
E:a)
Instituto de Matemática Pura e Aplicada • CNPq
1 la e li a
es aços
métricos
FlCHA CATALOGRÁFICA
(Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte,
Câmara Brasileira do Livro, SP)
Lima, Elon Lages, 1929-
L697e Espaços métricos. Rio de Janeiro, lnstitttto de Matemáti­
ca Pura e Aplicada, CNPq, 1977.
(Projeto Euclides) 2.ª EDIÇÃO
Bibliografia
Este livro ganhou o "Prêmio Jabuti",
1. Espaços métricos 1. Série
categoria Ciências, oUtorgado pela
Câmara Brasileira do Livro em 1978.
17. CDD-513.83
77-0551 18 -514 3
Índice para catálogo sistemático:
1. Espaços métricos : Topologia : Matemática 513 83 (17 .) 514.3 (18.)
impa
E:a)
Instituto de Matemática Pura e Aplicada • CNPq
CONTEÚDO
Copyright©, 1983 by Elon Lages Lima
Direitos reservados, 1983, por Conselho Nacional
de Desenvolvimento Científic•o e Tecnológico, CNPq,
PREFÁCIO. ..................................................... VII
Av. W-3 Norte, Brasília, DF
CAPÍTULO 1 ESPAÇOS MÉTRICOS ..............................
Primeira edição 1977 1
§1 Definição e exemglos de espaços métricos. .....................
1
§2 Bolas e esferas .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. ............
Impresso no Brasil/ Printed in Brazil 8
§3 Conjuntos limitados. ...................................... .
12
§4 Distância de um ponto a um conjunto; distância entre dois conjuntos
Capa: Casa do Desenho -Eli Beatriz Kuhnert 16
§5 Isometrias ................................................
19
§6 Pseudo-métricas. ...........................................
Projeto Euclides: Coordenado por Elon Lages Lima 21
Exercícios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Comissão Editorial: Cesar Camacho, Chaim Samuel Héinig, Djairo Guedes de Figueiredo,
CAPÍTULO 2 FUNÇÕES CONTÍNUAS ........................ ..
Elon Lages Lima, Guilherme de La Penha, Imre Simon, Jacob Palis Junior, Lindolpho de 29
Carvalho Dias, Manfredo Perdigão do Carmo, Pedro Jesus Fernandez §1 Definição e exemplos ..................................... .
29
§2 Propriedades elementares das aplicações contínuas. ... ·:. ........
33
1Itulos já publicados: §3 Homeomorfismos ..........................................
37
§4 Métricas equivalentes ......................................
1. Curso de Análise, vol. 1, Elon Lages Lima §5 Transformações lineares e multilineares ........................ 42
2. Medida e Integração, Pedro Jesus Fernandez Exercícios 49
3. Aplicações da Topologia à Análise, Chaim Samuel Héinig .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ............ .. . . . . . . .. . . . . .. 54
4. Espaços Métricos, Elon Lages Lima
CAPÍTULÓ 3 LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA ............
5. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Djairo Guedes de Figueiredo 62
6. Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Jacob Palis Júnior e Welington C. de Melo §1 Conjuntos abertos. ......................................... 62
7. Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves §2 Relações entre...conjuntos abertos e continuidade ................
68
8. Aspectos Teóricos da Computação, Cláudio L. Luchesi," Imre Simon, Istvan Simon, Janos §3 Espaços topológicos ....................................... . 71
Simon e Tomasz Kowaltowski Exer§c4íc ioCs onjuntos fechados ..............°. .................................................. . 73
9. Teoria Geométrica das Folheações, Alcides Lins Neto e César Camacho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fJ 80
10. Geometria Riemanniana, Manfredo P. do Carmo.
11. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Jorge Sotomayor CAPÍTULO 4 CONJUNTOS CONEXOS ........................ .. 90
12. Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário, Barry R. James §1 Definição e exemplos ......................................
13. Curso de Análise, vol. 2, Elon Lages Lima 90
§2 Propriedades gerais dos conjuntos conexos ...... : .............
14. Introdução à Teoria.Ergódica, Ricardo Maiié 92
§3 Conexidade por caminhos..................................
100
§4 Componentes conexas ......................................
105
§5 A conexidade como invariante topológico ..................... .
Distribuído por: Exercícios 107
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . 109
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
Avenida Venezuela, 163 CAPÍTULO 5 LIMITES
20.200 - Rio de Janeiro, R.J._- Brasil 115 li
§1 Limites de seqüências ......................................
115
§2 Seqüências de números reais ......... : ......................
121
§3 Séries. ...................................................
123
§4 Convergência e topologia ....................................
125
CONTEÚDO
Copyright©, 1983 by Elon Lages Lima
Direitos reservados, 1983, por Conselho Nacional
de Desenvolvimento Científic•o e Tecnológico, CNPq,
PREFÁCIO. ..................................................... VII
Av. W-3 Norte, Brasília, DF
CAPÍTULO 1 ESPAÇOS MÉTRICOS ..............................
Primeira edição 1977 1
§1 Definição e exemglos de espaços métricos. .....................
1
§2 Bolas e esferas .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. ............
Impresso no Brasil/ Printed in Brazil 8
§3 Conjuntos limitados. ...................................... .
12
§4 Distância de um ponto a um conjunto; distância entre dois conjuntos
Capa: Casa do Desenho -Eli Beatriz Kuhnert 16
§5 Isometrias ................................................
19
§6 Pseudo-métricas. ...........................................
Projeto Euclides: Coordenado por Elon Lages Lima 21
Exercícios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Comissão Editorial: Cesar Camacho, Chaim Samuel Héinig, Djairo Guedes de Figueiredo,
CAPÍTULO 2 FUNÇÕES CONTÍNUAS ........................ ..
Elon Lages Lima, Guilherme de La Penha, Imre Simon, Jacob Palis Junior, Lindolpho de 29
Carvalho Dias, Manfredo Perdigão do Carmo, Pedro Jesus Fernandez §1 Definição e exemplos ..................................... .
29
§2 Propriedades elementares das aplicações contínuas. ... ·:. ........
33
1Itulos já publicados: §3 Homeomorfismos ..........................................
37
§4 Métricas equivalentes ......................................
1. Curso de Análise, vol. 1, Elon Lages Lima §5 Transformações lineares e multilineares ........................ 42
2. Medida e Integração, Pedro Jesus Fernandez Exercícios 49
3. Aplicações da Topologia à Análise, Chaim Samuel Héinig .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ............ .. . . . . . . .. . . . . .. 54
4. Espaços Métricos, Elon Lages Lima
CAPÍTULÓ 3 LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA ............
5. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Djairo Guedes de Figueiredo 62
6. Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Jacob Palis Júnior e Welington C. de Melo §1 Conjuntos abertos. ......................................... 62
7. Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves §2 Relações entre...conjuntos abertos e continuidade ................
68
8. Aspectos Teóricos da Computação, Cláudio L. Luchesi," Imre Simon, Istvan Simon, Janos §3 Espaços topológicos ....................................... . 71
Simon e Tomasz Kowaltowski Exer§c4íc ioCs onjuntos fechados ..............°. .................................................. . 73
9. Teoria Geométrica das Folheações, Alcides Lins Neto e César Camacho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fJ 80
10. Geometria Riemanniana, Manfredo P. do Carmo.
11. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Jorge Sotomayor CAPÍTULO 4 CONJUNTOS CONEXOS ........................ .. 90
12. Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário, Barry R. James §1 Definição e exemplos ......................................
13. Curso de Análise, vol. 2, Elon Lages Lima 90
§2 Propriedades gerais dos conjuntos conexos ...... : .............
14. Introdução à Teoria.Ergódica, Ricardo Maiié 92
§3 Conexidade por caminhos..................................
100
§4 Componentes conexas ......................................
105
§5 A conexidade como invariante topológico ..................... .
Distribuído por: Exercícios 107
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . 109
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
Avenida Venezuela, 163 CAPÍTULO 5 LIMITES
20.200 - Rio de Janeiro, R.J._- Brasil 115 li
§1 Limites de seqüências ......................................
115
§2 Seqüências de números reais ......... : ......................
121
§3 Séries. ...................................................
123
§4 Convergência e topologia ....................................
125
§5 Seqüências de funções. ..................................... 128 PREFÁCIO
§6 Produtos cartesianos infinitos ................................ 132
§7 Limites de funções ..........................................
Exercícios ........................................................
1 CAPÍTULO 6 CONTINUIDADE UNIFORME .................... 148
§1 Observações e exemplos .................................... 149
Exercícios ...................... ·. ................................. 158
CAPÍTULO 7 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS.... .. .. .. .. .. .. 161
§1 Seqüências de Cauchy.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. 161
§2 Espaços métricos completos .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. . . .. .. .. . . .. 165
§3 Espaços de Banach e espaços de Hilbert.. ..... -· . . . .. . . .. .. . . .. 169
§4 Extensão de aplicações contínuas .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. .. 175
§5 Cómpletamento de um espaço métrico. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . . 180 Este livro foi escrito para servir de texto a um curso sobre Espaços
§6 Espaços métricos topologicamente completos.... .. .. . .. . ... . . . . 183 M.étricos, como uma introdu.ção à Topologia Um tal curso não deve ser
§7 O teorema de Baire. . .. . . .. . . .. .. .. .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. . . .. 186 lecionado antes do último ou penúltimo ano de graduação. De fato, os
§8 O método das aproximações sucessivas·.. . .. . .. .. .. . . .. .. .. . . .. 196
alunos tirarão maior proveito dos assuntos aqui' abordados se já olharem
· Exercícios .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. 202
para épsilons e deltas com a familiaridade que se adquire depois de um ·
CAPÍTULO 8 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPACTOS.. .. . . .. . . . . . . .. 207 ou dois semestres de Análise.
Estritamente falando, o único pré-requisito formal para a leitura
§1 Compacidade na reta.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. ... .. . . .. .. .. 207
§2 Espaços métrico.s compactos. ................... : . .. .. .. .. .. .. 209 deste livro é a linguagem (e a notação) de Conjuntos. Mas, se bem que
§3 Produtos de dois fatores, um dos quais é compacto.. .. . . . . .. .. . . 216 nenhum resultado específico de Análise seja essencial para o entendimento
§4 Uma base para rt'(K; M). ...................· ................ 219 da matéria aqui tratada, uma experiência anterior com os métodos de
§5 Caracterizações de espaços compactos. . .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. 221
demonstração daquela disciplina facilitará bastante o acompanhamento
§6 Produtos cartesianos de espaços compactos. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. 226
da exposição. Além disso, um certo conhecimento de Análise ajudará o
§7 Continuidade uniforme .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . . . .. . . .. .. 233
leitor a apreciar o significado das aplicações da teoria dos Espaços Métricos,
§8 Espaços localmente compactos .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. . . .. . .. . .. .. 235
§9 Espaços vetoriais normados de dimensão finita . . .. .. . . . . .. .. . . 238 tanto nos exemplos que· apresentamos como nos que encontrará depois.
§10 Eqü_icontinuidade. ....................... ., . . .. .. . . .. .. .. .. .. 240 Existe uma regra segundo a: qual todo autor que reescreve um livro,
§11 Os teoremas de aproximação de Weierstrass e Stone.. . . .. .. .. . . 248
necessariamente o torna pior. Se isto for verdade, sou duas vezes culpado
Exercícios .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . . . .. . . .. .. . . .. .. .. .. 264
do mesmo crime.
CAPÍTULO 9 ESPAÇOS SEPARÁVEIS............................ 274 Com efeito, o que originou o presente trabalho foram umas notas
mimeografadas que escrevi quando ainda era aluno da faculdade, e
§1 Propriedades gerais.. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. 274
que gozaram de alguma popularidade entre os iniciantes na Topologia
§2 Espaços localmente compactos separáveis. . .. .. .. .. . .. . . . .. .. .. 278
§3 O cubo de Hilbert c�m espaço separável universal.. .. .. .. .. .. . . 280 há alguns anos. Elas foram .radicalmente refeitas para serem texto de
§4 O teorema de Hahn-Mazurkiewicz.. .. .. . .. . . .. . . . . .. . .. .. .. . . 281 curso no 10. º Colóquio Brasileiro de Matemática Além de modernizar
§5 Paracompacidade. . .. .. . . .. .. . . .. . . . . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. 284 e ampliar a versão original, procurei· apresentar algumas· aplicações, como
Exercícios .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. 290
o Teorema Fundamental da Álgebra, a existência de funções contínuas
sem derivada em nenhum ponto, o Teorema de Picard sobre existência
BIBLIOGRAFIA.. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . . . .. . . . .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. 293
ÍNDICE DE NOTAÇÕES .......................................... 295 e unicidade de solução para equações diferenciais-ordinárias, o Teorema
ÍNDICE ALFABÉTICO .....................·. . . . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. 296 de Monte! sobre famílias normais de funções analíticas, a curva de Peano,
138.n
-14�
§5 Seqüências de funções. ..................................... 128 PREFÁCIO
§6 Produtos cartesianos infinitos ................................ 132
§7 Limites de funções ..........................................
Exercícios ........................................................
1 CAPÍTULO 6 CONTINUIDADE UNIFORME .................... 148
§1 Observações e exemplos .................................... 149
Exercícios ...................... ·. ................................. 158
CAPÍTULO 7 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS.... .. .. .. .. .. .. 161
§1 Seqüências de Cauchy.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. 161
§2 Espaços métricos completos .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. . . .. .. .. . . .. 165
§3 Espaços de Banach e espaços de Hilbert.. ..... -· . . . .. . . .. .. . . .. 169
§4 Extensão de aplicações contínuas .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. .. 175
§5 Cómpletamento de um espaço métrico. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . . 180 Este livro foi escrito para servir de texto a um curso sobre Espaços
§6 Espaços métricos topologicamente completos.... .. .. . .. . ... . . . . 183 M.étricos, como uma introdu.ção à Topologia Um tal curso não deve ser
§7 O teorema de Baire. . .. . . .. . . .. .. .. .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. . . .. 186 lecionado antes do último ou penúltimo ano de graduação. De fato, os
§8 O método das aproximações sucessivas·.. . .. . .. .. .. . . .. .. .. . . .. 196
alunos tirarão maior proveito dos assuntos aqui' abordados se já olharem
· Exercícios .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. 202
para épsilons e deltas com a familiaridade que se adquire depois de um ·
CAPÍTULO 8 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPACTOS.. .. . . .. . . . . . . .. 207 ou dois semestres de Análise.
Estritamente falando, o único pré-requisito formal para a leitura
§1 Compacidade na reta.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. ... .. . . .. .. .. 207
§2 Espaços métrico.s compactos. ................... : . .. .. .. .. .. .. 209 deste livro é a linguagem (e a notação) de Conjuntos. Mas, se bem que
§3 Produtos de dois fatores, um dos quais é compacto.. .. . . . . .. .. . . 216 nenhum resultado específico de Análise seja essencial para o entendimento
§4 Uma base para rt'(K; M). ...................· ................ 219 da matéria aqui tratada, uma experiência anterior com os métodos de
§5 Caracterizações de espaços compactos. . .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. 221
demonstração daquela disciplina facilitará bastante o acompanhamento
§6 Produtos cartesianos de espaços compactos. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. 226
da exposição. Além disso, um certo conhecimento de Análise ajudará o
§7 Continuidade uniforme .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . . . .. . . .. .. 233
leitor a apreciar o significado das aplicações da teoria dos Espaços Métricos,
§8 Espaços localmente compactos .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. . . .. . .. . .. .. 235
§9 Espaços vetoriais normados de dimensão finita . . .. .. . . . . .. .. . . 238 tanto nos exemplos que· apresentamos como nos que encontrará depois.
§10 Eqü_icontinuidade. ....................... ., . . .. .. . . .. .. .. .. .. 240 Existe uma regra segundo a: qual todo autor que reescreve um livro,
§11 Os teoremas de aproximação de Weierstrass e Stone.. . . .. .. .. . . 248
necessariamente o torna pior. Se isto for verdade, sou duas vezes culpado
Exercícios .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . . . .. . . .. .. . . .. .. .. .. 264
do mesmo crime.
CAPÍTULO 9 ESPAÇOS SEPARÁVEIS............................ 274 Com efeito, o que originou o presente trabalho foram umas notas
mimeografadas que escrevi quando ainda era aluno da faculdade, e
§1 Propriedades gerais.. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. 274
que gozaram de alguma popularidade entre os iniciantes na Topologia
§2 Espaços localmente compactos separáveis. . .. .. .. .. . .. . . . .. .. .. 278
§3 O cubo de Hilbert c�m espaço separável universal.. .. .. .. .. .. . . 280 há alguns anos. Elas foram .radicalmente refeitas para serem texto de
§4 O teorema de Hahn-Mazurkiewicz.. .. .. . .. . . .. . . . . .. . .. .. .. . . 281 curso no 10. º Colóquio Brasileiro de Matemática Além de modernizar
§5 Paracompacidade. . .. .. . . .. .. . . .. . . . . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. 284 e ampliar a versão original, procurei· apresentar algumas· aplicações, como
Exercícios .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. 290
o Teorema Fundamental da Álgebra, a existência de funções contínuas
sem derivada em nenhum ponto, o Teorema de Picard sobre existência
BIBLIOGRAFIA.. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . . . .. . . . .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. 293
ÍNDICE DE NOTAÇÕES .......................................... 295 e unicidade de solução para equações diferenciais-ordinárias, o Teorema
ÍNDICE ALFABÉTICO .....................·. . . . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. 296 de Monte! sobre famílias normais de funções analíticas, a curva de Peano,
138.n
-14�
CAPÍTULGJ 1
o Teorema de Stone-Weierstrass, etc. Espero que esses exemplos dêem
uma pequena idéia da força e da versatilidade das teorias aqui expostas. ESPAÇOS MÉTRICOS
Ao texto do Colóquio acrescentei cerca de 400 exercícios, o §11 do Ca­
pítulo 8 e um capítulo sobre espaços separáveis. Todo o esforço foi feito
para tornar este livro uma exceção à regra acima citada.
Organizar a lista de exercícios propostos neste livro foi talvez a parte
mais divertida da tarefa, de escrevê-lo. Espero que uma parcela do fas­ §1 Definição e exemplos de espaços
cínio que senti ao selecionar, descobrir, formular e resolver esses problemas
métricos
se transmita ao leitor. Não se pode esperar aprender Matemática contem­
plativamente. Apelo, portanto, ao leitor para que tente resolver os exer­
cícios que lhe pareçam mais atraentes e/ou desafiadores. Não os queira Uma métrica num conjunto M é uma função d: M x M--+ IR, que
resolver um por um, nem os ataque necessariamente na seqüência em associa a cada par ordenado de elementos x, y EM um número real d(x, y),
que são apresentados. Isto poderia consumir muito tempo. Mas procure chamado a distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes
ler o enunciado de cada um. E boa sorte na viagem que ora inicia. condições para quaisquer x, y, z EM:
Ao finalizar, cumpro o agradável dever de agradecer a João Beal
dl) d(x, x) = O;
Vargas e Oclide Dotto por terem apontado várias correções no texto
d2) Se x # y então d(x, y) > O;
mimeografado.
d3) d(x, y) = d(y, x);
+
d4) d(x, z) :s:; d(x, y) d(y, z).
Rio de Janeiro, 10 de setembro de 1976.
Os postulados dl) e d2) dizem que d(x, y) 2 O e que d(x, y) O se,
Elon Lages Lima =
e somente se, x = y. O postulado d3) afirma que a distância d(x, y) é uma
função simétrica das variáveis x, y. A condição d4) chama-se desigualdade
i.
do triângulo·; ela tem origem no fato de que, no plano euclidiano, o com­
primento de um dos lados de um triângulo não excede a soma clos outros
PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO
dois.
Não há mudanças essenciais no livro; foram apenas corrigidos alguns
erros. Quero agradecer aos colegas que tiveram a bondade de m'os comu­ X z y
+
nicar, destacando entre eles Jesus Alfonso Perez, Nilson Nunes de Castro e d(x, z) < d(x, y) d(y, z)
Oclide Dotto.
x. y z
+ +
Rio de Janeiro, abril de 1983. d(x, z) < d(x, y) d(y, z) d(x, z) = d(x, y) d(y, z)
Elon Lages Lima Um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d é uma
métrica em M. Na maioria das vezes, salvo quando houver possibilidade
de dúvida, diremos simplesmente "o espaço métrico M", deixando suben­
tendida qual a métrica d que está sendo considerada.
Os elementos de um espaço métrico podem ser de natureza bastante
arbitrária: números, pontos, vetores, matrizes, funções, conjuntos, etc.
Mas nós os chamaremos sempre os pontos de M.
Daremos agora alguns exemplos de espaços métricos.
f\
CAPÍTULGJ 1
o Teorema de Stone-Weierstrass, etc. Espero que esses exemplos dêem
uma pequena idéia da força e da versatilidade das teorias aqui expostas. ESPAÇOS MÉTRICOS
Ao texto do Colóquio acrescentei cerca de 400 exercícios, o §11 do Ca­
pítulo 8 e um capítulo sobre espaços separáveis. Todo o esforço foi feito
para tornar este livro uma exceção à regra acima citada.
Organizar a lista de exercícios propostos neste livro foi talvez a parte
mais divertida da tarefa, de escrevê-lo. Espero que uma parcela do fas­ §1 Definição e exemplos de espaços
cínio que senti ao selecionar, descobrir, formular e resolver esses problemas
métricos
se transmita ao leitor. Não se pode esperar aprender Matemática contem­
plativamente. Apelo, portanto, ao leitor para que tente resolver os exer­
cícios que lhe pareçam mais atraentes e/ou desafiadores. Não os queira Uma métrica num conjunto M é uma função d: M x M--+ IR, que
resolver um por um, nem os ataque necessariamente na seqüência em associa a cada par ordenado de elementos x, y EM um número real d(x, y),
que são apresentados. Isto poderia consumir muito tempo. Mas procure chamado a distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes
ler o enunciado de cada um. E boa sorte na viagem que ora inicia. condições para quaisquer x, y, z EM:
Ao finalizar, cumpro o agradável dever de agradecer a João Beal
dl) d(x, x) = O;
Vargas e Oclide Dotto por terem apontado várias correções no texto
d2) Se x # y então d(x, y) > O;
mimeografado.
d3) d(x, y) = d(y, x);
+
d4) d(x, z) :s:; d(x, y) d(y, z).
Rio de Janeiro, 10 de setembro de 1976.
Os postulados dl) e d2) dizem que d(x, y) 2 O e que d(x, y) O se,
Elon Lages Lima =
e somente se, x = y. O postulado d3) afirma que a distância d(x, y) é uma
função simétrica das variáveis x, y. A condição d4) chama-se desigualdade
i.
do triângulo·; ela tem origem no fato de que, no plano euclidiano, o com­
primento de um dos lados de um triângulo não excede a soma clos outros
PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO
dois.
Não há mudanças essenciais no livro; foram apenas corrigidos alguns
erros. Quero agradecer aos colegas que tiveram a bondade de m'os comu­ X z y
+
nicar, destacando entre eles Jesus Alfonso Perez, Nilson Nunes de Castro e d(x, z) < d(x, y) d(y, z)
Oclide Dotto.
x. y z
+ +
Rio de Janeiro, abril de 1983. d(x, z) < d(x, y) d(y, z) d(x, z) = d(x, y) d(y, z)
Elon Lages Lima Um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d é uma
métrica em M. Na maioria das vezes, salvo quando houver possibilidade
de dúvida, diremos simplesmente "o espaço métrico M", deixando suben­
tendida qual a métrica d que está sendo considerada.
Os elementos de um espaço métrico podem ser de natureza bastante
arbitrária: números, pontos, vetores, matrizes, funções, conjuntos, etc.
Mas nós os chamaremos sempre os pontos de M.
Daremos agora alguns exemplos de espaços métricos.
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2 Espaços métricos Espaços métricos 3
EXEMPLO 1. A métrica "zero-um". Qualquer conjunto M pode tornar-se Pitágoras. Evidentemente, para considerações de natureza geométrica, d
um espaço métrico de maneira muito simples. Basta de-, é a métrica natural pois fornece a distância da Geometria Euclidiana.
M M
finir a métrica d: x ➔ IR pondo d(x, x) = O e d(x, y) = 1 se x #-y. Por outro lado, d' 'e d" são formalmente mais simples, de manipulação
As condições dl) a d4) são facilmente verificadas. O espaço métrico que mais fácil. Por isso, e por serem ambas "equivalentes" a d, num sentido
se obtém desta maneira é, naturalmente, bastante trivial, embora seja que esclareceremos no Cap. 2, vale a pena considerá-las, apesar de seus
útil para contra-exemplos. significados ligeiramente artificiais. O caso particular n = 2 nos dá o
plano IR2, cujos pontos indicaremos com a notação mais simples z = (x, y),
EXEMPLO 2. Subespaço; métrica induzida. Se (M, d) é um espaço métrico,
w = (u, v), etc. Muitas vezes identificaremos IR2 com o conjunto C dos
todo subconjunto S e M pode ser considerado, de modo
números complexos, mediante a correspondência (x, y) +-+ x + iy, onde
natural, como espaço métrico: basta considerar a restrição de d a S x S, J=i.
i A vantagem desta identificação reside no fato de que IC possui
=
ou seja, usar entre os elementos de S a mesma distância que eles possuíam
uma multiplicação com propriedades interessantes. Também para n 3,
como elementos de M. Quando isto é feito, S chama-se um subespaço =
quando obtemos o espaço euclidiano IR3 da Geometria Sólida tradicional,
de M e a métrica de S diz-se induzida pela de M. Esta,. idéia óbvia nos per­
mite obter uma grande variedade de exemplos de espaços métricos, con-_ usaremos a notação p = (x, y, z), mais simples do que p = (x1 , x2, x3).
Uma interpretação intuitiva para a métrica d' pode ser obtida, no
siderando os diversos subconjuntos de um espaço métrico dado.
caso n = 2, imaginando que 0 plano IR2 é à planta de uma cidade cujas
EXEMPLO 3. A reta, ou seja, o conjunto IR dos números reais, é o exem- ruas são retas paralelas aos eixos coordenados x = O e y = O. Então o
menor caminho ligando x a y através das ruas tem comprimento igual a
plo mais importante de espaço métrico. A distância entre
dois pontos x, y E IR é dada por d(x, y) = 1 x-y 1- As condições dl) a d4) d'(z, w) = 1 x -u 1 + 1 y -v j. A figura abaixo fornece uma comparação entre
as distâncias d(z, w), d'(z, w) e d"(z, w).
resultam imediatamente das propriedades elementares do valor absoluto
de números reais. Esta é a chamada "métrica usual" da reta. A menos que
y w
seja feita menção explícita em contrário,é a ela que nos referiremos sempre A
que considerarmos IR como espaço métrico.
EXEMPLO 4. O espaço euclidiano IR". Este exemplo generaliza o anterior. z . " Dd'
d
Os pontos de IR" são as listas x = (x1, ... , x) onde cada
uma das n coordenadas xi é um número real. Há três maneiras naturais --1-------------x
o
de se definir a distância entre dois pontos em IR". Dados x = (x 1 , ..•, xn)
e y = (y 1 , ... , yn ), escreveremos: [ Para uso posterior, registramos aqui a
d(x, Y) = J (x1 -y1)2 + · · · + (xn-Ynf = _Ln (xi-YJ2 ]1/2 , PROPOSIÇÃO 1. SQeujaamisq ude, rd 'q uee ds"e jaams mx,é tyr iEca IRs ",d _etefimni-dsae:s no Exemplo 4.
•= 1
d'(x, y) = lx1-Y11 + · · · + lxn Ynl = Ln lxi-Yil e d"(x, y) :s; d(x, y) :s; d'(x, y) :s; n · d"(x, y).
i= 1
Demonstração. A única dessas desigualdades que não é inteiramente óbvia
é a segunda. Ela se prova notando que [d (x, y)]2 = L(xi -y;)2
enquanto que
As funções d, d', d": IR" x IR" IR são métricas. De fato, elas cumprem
➔
obviamente as condições dl), d2) e d3). A condição d4) é imediata para [d'(x, y)]2 = L(X;-y;)2 + 2 L lxi-Yil · lxj-YJ
d' e d", e será verificada para d no Exemplo 7, abaixo. A métrica d é chamada i *Í
euclidiana. Elà provém da fórmula para a distância entre dois pontos do Observação. Quando não dissermos explicitamente que métrica estamos
plano (em coordenadas cartesianas), a qual se prova com o Teorema de utilizando em IR", fica subentendido que se trata da euclidiana.
2 Espaços métricos Espaços métricos 3
EXEMPLO 1. A métrica "zero-um". Qualquer conjunto M pode tornar-se Pitágoras. Evidentemente, para considerações de natureza geométrica, d
um espaço métrico de maneira muito simples. Basta de-, é a métrica natural pois fornece a distância da Geometria Euclidiana.
M M
finir a métrica d: x ➔ IR pondo d(x, x) = O e d(x, y) = 1 se x #-y. Por outro lado, d' 'e d" são formalmente mais simples, de manipulação
As condições dl) a d4) são facilmente verificadas. O espaço métrico que mais fácil. Por isso, e por serem ambas "equivalentes" a d, num sentido
se obtém desta maneira é, naturalmente, bastante trivial, embora seja que esclareceremos no Cap. 2, vale a pena considerá-las, apesar de seus
útil para contra-exemplos. significados ligeiramente artificiais. O caso particular n = 2 nos dá o
plano IR2, cujos pontos indicaremos com a notação mais simples z = (x, y),
EXEMPLO 2. Subespaço; métrica induzida. Se (M, d) é um espaço métrico,
w = (u, v), etc. Muitas vezes identificaremos IR2 com o conjunto C dos
todo subconjunto S e M pode ser considerado, de modo
números complexos, mediante a correspondência (x, y) +-+ x + iy, onde
natural, como espaço métrico: basta considerar a restrição de d a S x S, J=i.
i A vantagem desta identificação reside no fato de que IC possui
=
ou seja, usar entre os elementos de S a mesma distância que eles possuíam
uma multiplicação com propriedades interessantes. Também para n 3,
como elementos de M. Quando isto é feito, S chama-se um subespaço =
quando obtemos o espaço euclidiano IR3 da Geometria Sólida tradicional,
de M e a métrica de S diz-se induzida pela de M. Esta,. idéia óbvia nos per­
mite obter uma grande variedade de exemplos de espaços métricos, con-_ usaremos a notação p = (x, y, z), mais simples do que p = (x1 , x2, x3).
Uma interpretação intuitiva para a métrica d' pode ser obtida, no
siderando os diversos subconjuntos de um espaço métrico dado.
caso n = 2, imaginando que 0 plano IR2 é à planta de uma cidade cujas
EXEMPLO 3. A reta, ou seja, o conjunto IR dos números reais, é o exem- ruas são retas paralelas aos eixos coordenados x = O e y = O. Então o
menor caminho ligando x a y através das ruas tem comprimento igual a
plo mais importante de espaço métrico. A distância entre
dois pontos x, y E IR é dada por d(x, y) = 1 x-y 1- As condições dl) a d4) d'(z, w) = 1 x -u 1 + 1 y -v j. A figura abaixo fornece uma comparação entre
as distâncias d(z, w), d'(z, w) e d"(z, w).
resultam imediatamente das propriedades elementares do valor absoluto
de números reais. Esta é a chamada "métrica usual" da reta. A menos que
y w
seja feita menção explícita em contrário,é a ela que nos referiremos sempre A
que considerarmos IR como espaço métrico.
EXEMPLO 4. O espaço euclidiano IR". Este exemplo generaliza o anterior. z . " Dd'
d
Os pontos de IR" são as listas x = (x1, ... , x) onde cada
uma das n coordenadas xi é um número real. Há três maneiras naturais --1-------------x
o
de se definir a distância entre dois pontos em IR". Dados x = (x 1 , ..•, xn)
e y = (y 1 , ... , yn ), escreveremos: [ Para uso posterior, registramos aqui a
d(x, Y) = J (x1 -y1)2 + · · · + (xn-Ynf = _Ln (xi-YJ2 ]1/2 , PROPOSIÇÃO 1. SQeujaamisq ude, rd 'q uee ds"e jaams mx,é tyr iEca IRs ",d _etefimni-dsae:s no Exemplo 4.
•= 1
d'(x, y) = lx1-Y11 + · · · + lxn Ynl = Ln lxi-Yil e d"(x, y) :s; d(x, y) :s; d'(x, y) :s; n · d"(x, y).
i= 1
Demonstração. A única dessas desigualdades que não é inteiramente óbvia
é a segunda. Ela se prova notando que [d (x, y)]2 = L(xi -y;)2
enquanto que
As funções d, d', d": IR" x IR" IR são métricas. De fato, elas cumprem
➔
obviamente as condições dl), d2) e d3). A condição d4) é imediata para [d'(x, y)]2 = L(X;-y;)2 + 2 L lxi-Yil · lxj-YJ
d' e d", e será verificada para d no Exemplo 7, abaixo. A métrica d é chamada i *Í
euclidiana. Elà provém da fórmula para a distância entre dois pontos do Observação. Quando não dissermos explicitamente que métrica estamos
plano (em coordenadas cartesianas), a qual se prova com o Teorema de utilizando em IR", fica subentendido que se trata da euclidiana.