Espacios de Hilbert : (geometría, operadores, espectros) PDF
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ESPACIOS DE HILBERT (Geometría, Operadores, Espectros) Lorenzo Abellanas Catedrático de Métodos Matemáticos en la Universidad Complutense Alberto Galindo Catedrático de Mecánica Cuántica en la Universidad Complutense EUDEMA EUDEMA UNIVERSIDAD: MANUALES Cubierta: José María Cerezo Reservados todos los derechos. Ni la totalidad, ni parte de este libro, puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electr6nico o mecánico, incluyendo fotocopia, grobaci6n magnética o cualquier almacenamiento de informaci6n y sistema de recuperaci6n, sin permiso escrito de EUDEMA (Ediciones de la Universidad Complutense, S. A.) ® Lorenzo Abellanas y Alberto Galindo EUDEMA, S. A. (Ediciones de la Universidad Complutense, S. A.), 1987 Fortuny, 53. 28010 Madrid Depósito legal: M 41.685-1988 ISBN: 84-7754-035-7 Printed in Spain Imprime: Anzos, S. A. -Fuenlabrada (Madrid) Índice Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 l. Espacios lineales y aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Espacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Subespacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Bases de Hamel. Dimensión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Suma directa de subespacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Aplicaciones lineales y antilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Gráfico de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Isomorfismos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Soluciones a los ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Espacios lineales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Relación norma-distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Compleción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sumas infinitas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Apéndice: Desigualdades de Minkovski y Holder (para sumas) . . . . . 37 Ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Soluciones a los ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Espacios LP .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 49 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 · Borelianos y funciones borelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ·Integral de Lebesgue. Espacio !f'1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 55 Propiedades «c.d.». Espacios L1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 59 Espacios LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Otras propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Comparación con la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Espacios U(!Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Soluciones a los ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 4. Espacios Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Espacios con producto escalar (pre-Hilbert, Hilbert) . . . . . . . . . . . . . 75 Propiedades geométricas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Norma inducida por el producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Ejemplos de espacios con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Relación norma-producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Espacios de Hilbert. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Complementos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Soluciones a los ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5. Bases de Hilbert. Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 10 l Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 102 Espacios de Hilbert separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Teorema del isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Bases ortonormales y bases lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Algunas bases ortonormales importantes de funciones . . . . . . . . . . . ll O Bases ortonormales en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ll4 Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Soluciones a los ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6. Operadores lineales acotados. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Acotación y continuidad de operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Sobre el dominio de los operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Existencia del inverso en d(H1, H2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 126 Estructura de d (H 1, H 2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 127 Algunos operadores interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Soluciones a los ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Funcionales lineales continuos. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Topología débil sobre H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Topologías útiles sobre d(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Apéndice: Principios básicos del análisis lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Ejercicios del capítulo 7 .............. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Soluciones a los ejercicios del capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8. Algunos tipos importantes de operadores lineales acotados . . . . . . . . . 167 ~operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Operadores autoadjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 Operadores (autoadjuntos) positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Proyectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 La transformación de Fourier como operador unitario sobre L2 • • • • 188 Isometrías parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ESPACIOS DE HILBERT 9 Operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Apéndice (familias sumables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Operadores de la clase Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Operadores de clase de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10. Espectro y resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Propiedades topológicas de u(A) y p(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Comparación de los espectros de A y A+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Rango numérico y espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11. Espectro de unitarios y autoadjuntos en .s;/(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Espectro de operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Espectro de unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Espectro de isométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Espectro de autoadjuntos en d(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Espectro de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12. Espectro y forma canónica de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . 229 Espectro de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Descomposición espectral de los operadores compactos normales 232 Forma canónica de un compacto arbitrario ................... · 234 Triangulación de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 13. Introducción a las ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Operadores integrales. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Ecuaciones integrales de tipo compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Propiedades espectrales de los operadores integrales de tipo compacto . 248 Núcleo resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Resolución del caso degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Método iterativo (Serie de Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 El método de los determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Ecuaciones de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Ecuaciones integrales con núcleo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 14. Descomposición espectral de operadores normales acotados . . . . . . . . . 265 Cálculo funcional continuo con un operador autoadjunto acotado 265 Cálculo funcional boreliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Los proyectos espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Familias espectrales y medidas espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Integración respecto de una medida espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Descomposición espectral de autoadjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . 280 Relación entre u(A) y {Et} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 10 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Representación espectral de operadores autoadjuntos acotados con es- pectro simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Descomposición espectral de unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Descomposición espectral de normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Matriz asociada a un operador lineal en A" . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Traza y determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Producto directo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Tipos importantes de matrices en Mn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Espectro y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Cálculo variacional de a(A), A autoadjunta . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Localización de los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Polinomio mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Cálculo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Caso particular: Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 lndice analítico 311 Biblíografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 1n troducción · La teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert se halla situada en una de esas curiosas confluencias entre la Física y la Matemática, que sólo por hábito dejan de provocar sorpresa. En los últimos cincuenta años, la Física ha recurrido a una teoría matemática basada en espacios de dimensión iriflnita, dotados de una estructura geométrica de tipo euclídeo, para formular sus propios problemas y esquemas de trabajo. Y no es menos cierto que ha devuelto generosamente el favor, tanto por las contribuciones de algunos fisicos a temas de carácter estrictamente matemático como por el planteamiento continuo de nuevos problemas que, a su vez, acaparan la atención y el esfuerzo de los matemáticos, cerrando así un ciclo de intercambios que actúa de catalizador sobre el desarrollo de ambos campos. En estas notas pretendemos dar una visión a la vez autocontenida, concisa y bastante completa de la teoría de operadores lineales acotados en espacios de Hilbert. Tras unos capítulos preliminares sobre espacios lineales normados, se introducen los espacios LP de Lebesgue. Su definición en el capítulo tercero se presenta por un método más rápido que el clásico en teoría de la medida (u-álgebras, etc.), esperando que su dificultad se vea, con ello, muy atenuada. Después de un análisis relativamente detallado de los aspectos más elementales de la geometría de los espacios de Hilbert y de las aplicaciones lineales continuas, se recogen algunas cuestiones relacionadas con los operadores lineales acotados que son de gran importancia, tanto teórica como práctica. Nos hemos reducido al análisis de operadores acotados con el fin de mantener la exposición a un nivel adecuado para sus finalidades docentes en el primer ciclo de la Licenciatura. De hecho, el análisis aquí presentado facilitará enormemente al lector interesado la incursión en problemas lineales no acotados. Entre los tipos más importantes de operadores acotados que quedan englobados en el alcance de estas notas destacan en primer lugar los unitarios, autoadjuntos y proyectores ortogonales, todos ellos casos particulares de los llamados operadores normales. A ellos se dedica el capítulo octavo. Otra familia de gran interés, la de los operadores compactos, ha sido aislada en el capítulo noveno, por gozar de propiedades muy peculiares. Los Capítulos JO, 11 y 12 presentan las nociones básicas de espectro y resolvente, sus propiedades generales y la estructura especifica del espectro de las familias antes citadas. Como aplicación inmediata de los Capítulos 9 y 12, en el Capítulo 13 se analizan algunos aspectos básicos en la teoría de ecuaciones integrales. Finalmente, el Capítulo 14 contiene el cálculo funcional para operadores auto- 12 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO adjuntos (más generalmente, normales) acotados, en sus versiones continua y boreliana, así como la descomposición espectral y tópicos con ella relacionados. Se ha intentado a lo largo de estas notas preservar en lo posible un equilibrio conveniente entre los resultados teóricos dt!l libro y algunos ejemplos ilustrativos intercalados en el texto a tal efecto. Lo cual no significa que se abrume al lector con una sarta de ejercicios monótoname11te repetidos, meramente mecánicos. Bien al contrario, hemos procurado escoger un muestrario de ejemplos, a veces bajo el título de ejercicios, suficientemente representativos y, siempre que ha sido posible, dentro de los operadores que con mayor frecuencia aparecen en la práctica (transformación de Fourier, matrices densidad, operador posición [acotado], operadores integrales ... ). Sólo en un equilibrio adecuado entre el estudio de la teoría abstracta y la resolución de ejemplos y ejercicios puede lograrse un dominio razonable del análisis lineal en espacios de Hilbert. En este mismo orden de ideas, y pese a que la teoría de matrices es requisito previo para unos conocimientos de base en teoría general de operadores lineales, hemos creído aconsejable resumir en un apéndice las propiedades más destacables de las matrices finitas, con el doble fin de que el lector pueda consultarlas directamente, y además pensando en que le sirvan como almacén para autoproponer se ejercicios simples en conexión con las ideas del texto. Queremos agradecer a M. A. Iglesias su esmero en el mecanografiado del original de estas notas. Deseamos asimismo agradecer a M.a Ángeles Solano y Daniel Montanya, de Eudema, su inestimable colaboración en la edición y producción de esta obra. 1 Espacios lineales y aplicaciones lineales 1.1. ESPACIOS LINEALES Un espacio lineal (o vectorial) sobre un cuerpo A (que tomaremos= IR ó C) es una tema (L, +, ·) formada por un conjunto no vacío L y dos aplicaciones L x L ~ L, A x L -+ L llamadas suma y producto por escalares, respectivamente, que satisfacen: i) (L, +) es un grupo aditivo ii) A.· (x+y)=A. · x+A. ·y iii) A. · (fJ · x) = (A.fJ) · x Vx, yEL iv) (A+fJ) · X=A · X+fJ · x VA., !JEA V) } • X=X Corrientemente, escribiremos L en lugar de (L, +, ·), sobreentendiendo fijadas las aplicaciones ( +, ·) . Y simplificaremos A. · x escribiendo A.x sencillamente, convenio que no induce a error debido a las condiciones (ii-v) precedentes. Los elementos de L se llaman vectores; los de A, escalares. Notaciones Sea L un espacio lineal sobre A, y sean A, B, dos subconjuntos de L. Definimos: A+B={x+ylxEA, yEB} , A+<l>=A A.A::: { A.xix E A} , A.<l>::: <l> U AA= A.A AEA 14 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicios J. Sea Mn(A) el conjunto de matrices n x n sobre A. Definase una estructura de espacio lineal en Mn(A) mediante las operaciones usuales con matrices. 2. Probar que el conjunto C[a,b] de funciones continuas complejas definidas sobre [a, b] e IR es un espacio lineal, con las operaciones habituales de suma de funciones, etc. 3. Todo espacio lineal L sobre C puede ser considerado como espacio lineal sobre R 4. Sea N el conjunto de n-plas {aJ~ =(a¡, a2, ••• , an) con ocie A, dotado de las operaciones {aiH+{Pi}~={ai+Pi}~; A.{ai}~={A.aiH· Probar que es un espacio lineal sobre A. 1.2. SUBESPACIOS LINEALES Un subconjunto no vacío M de un espacio lineal L se dice subespacio lineal deL si M+McM, AMcM. Es elemental probar que: n i) Si {M Cl} «e A es una familia de subespacios lineales de L, entonces M Cl lo Cl es también. ii) Si M1, M2, ••• , Mn, son subespacios lineales deL, entonces M1 +M2+ ··· +Mn también lo es. En todas estas afirmaciones, L y sus subespacios lineales se consideran sobre el mismo A. Dado un subconjunto (no vacío) X del espacio lineal L, se llama envolvente lineal de X al mínimo subespacio lineal que contiene a X. Se denotará por lin(X). Como consecuencias inmediatas de esta definición: n i) lin(X)= M, donde M es subespacio lineal de L. M=>X ii) lin(X)={xeLix=A. x +A. x + ··· +A.nxn, A.ieA, xieX}. 1 1 2 2 Haciendo hincapié en este último punto, hagamos constar explícitamente antes de entrar a discutir conceptos tales como independencia lineal, etc., que el adjetivo «lineal» lleva siempre implícita la idea de sumas finitas exclusivamente. Así pues, por ejemplo, Iin(X) consta tan sólo de aquellos vectores en L que son alcanzables a partir de los del conjunto generador X mediante producto por escalares y sumas finitas. ¡Independientemente de que el conjunto X fuera finito o no! Ejercicio ao tn Sea X:={l, t, t2, ••• , tn, ... }cC[O, 1). Hallar Iin(X). ¿Es e'=}:o-- n-¡. un elemento de lin(X)?
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