Espaces de lacets formels et algèbres de Lie tangentes

137 Pages·2015·1.7 MB·French

DØlivrØ par l’UniversitØ de Montpellier
PrØparØe au sein de l’Øcole doctorale Information, Structure, SystŁme
Et de l’unitØ de recherche Institut de MathØmatiques et de
ModØlisation de Montpellier
SpØcialitØ: MathØmatiques
PrØsentØe par Benjamin Hennion
[email protected]
Espaces de lacets formels et algŁbres
de Lie tangentes
Soutenue le 12 juin 2015 devant le jury composØ de
M. Bertrand Toºn DR UniversitØ de Montpellier Directeur
M. Mikhail Kapranov Prof. Yale University Rapporteur
M. Carlos Simpson DR UniversitØ de Nice, Sophia-Antipolis Rapporteur
M. Damien Calaque Prof. UniversitØ de Montpellier Examinateur
M. Dennis Gaitsgory Prof. Harvard University Examinateur
M. Gabriele Vezzosi Prof. Universit(cid:224) degli Studi di Firenze Examinateur

RØsumØ
L’espacedeslacetslissesC8pS1,MqassociØ(cid:224)unevariØtØsymplectiqueM sevoitdotØd’unestructure
(quasi-)symplectiqueinduiteparcelledeM.NoustraiteronsdanscettethŁsed’unanaloguealgØbrique
de cet ØnoncØ. Dans leur article [KV1], Kapranov et Vasserot ont introduit l’espace des lacets formels
associØ (cid:224) un schØma. Il s’agit d’un analogue algØbrique (cid:224) l’espace des lacets lisses.
Nous gØnØralisons ici leur construction (cid:224) des lacets de dimension supØrieure. Nous associons (cid:224)
tout schØma X (cid:21) pas forcØment lisse (cid:21) l’espace LdpXq de ses lacets formels de dimension d. Nous
dØmontrerons que ce dernier admet une structure de schØma (dØrivØ) de Tate : son espace tangent est
de Tate, c’est-(cid:224)-dire de dimension in(cid:28)nie mais su(cid:30)samment structurØ pour se soumettre (cid:224) la dualitØ.
NousdØ(cid:28)nironsØgalementl’espaceBdpXqdesbullesdeX,unevariantedel’espacedeslacets,etnous
montrerons que le cas ØchØant, il hØrite de la structure symplectique de X. Notons que ces rØsultats
sont toujours valides dans des cas plus gØnØraux : X peut Œtre un champ d’Artin dØrivØ.
Pour dØmontrer nos rØsultats, nous dØ(cid:28)nirons ce que sont les objets de Tate dans une p8,1q-
catØgorie C stable et complŁte par idempotence. Nous prouverons au passage que le spectre de K-
thØorie non-connective de TatepCq est Øquivalent (cid:224) la suspension de celui de C, donnant une version
8-catØgorique d’un rØsultat de [Sai].
Dans le dernier chapitre, nous traiterons d’un problŁme di(cid:27)Ørent. Nous dØmontrerons l’existence
d’une structure d’algŁbre de Lie sur le tangent dØcalØ de n’importe quel champ d’Artin dØrivØ X. Qui
plus est, ce tangent agit sur tout quasi-cohØrent E, l’action Øtant donnØe par la classe d’Atiyah de E.
Ces rØsultats sont par exemple valides dans le cas d’un schØma X sans hypothŁse de lissitØ.
DanscettethŁse,nousutiliseronslesthØoriesdesp8,1q-catØgoriesetdesstructuressymplectiques
dØrivØes.
Abstract
IfM isasymplecticmanifoldthenthespaceofsmoothloopsC8pS1,Mqinheritsofaquasi-symplectic
form. We will focus in this thesis on an algebraic analogue of that result. In their article [KV1],
KapranovandVasserotintroducedandstudiedtheformalloopspaceofaschemeX. Itisanalgebraic
version of the space of smooth loops in a di(cid:27)erentiable manifold.
We generalize their construction to higher dimensional loops. To any scheme X (cid:21) not necessarily
smooth (cid:21) we associate LdpXq, the space of loops of dimension d. We prove it has a structure of
(derived) Tate scheme (cid:21) ie its tangent is a Tate module: it is in(cid:28)nite dimensional but behaves nicely
enough regarding duality. We also de(cid:28)ne the bubble space BdpXq, a variation of the loop space. We
prove that BdpXq is endowed with a natural symplectic form as soon as X has one (in the sense of
[PTVV]).
To prove our results, we develop a theory of Tate objects in a stable p8,1q-category C. We
also prove that the non-connective K-theory of TatepCq is the suspension of that of C, giving an
8-categorical version of a result of [Sai].
The last chapter is aimed at a di(cid:27)erent problem: we prove there the existence of a Lie structure
on the tangent of a derived Artin stack X. Moreover, any quasi-coherent module E on X is endowed
with an action of this tangent Lie algebra through the Atiyah class of E. This in particular applies
to not necessarily smooth schemes X.
Throughoutthisthesis,wewillusethetoolsofp8,1q-categoriesandsymplecticderivedalgebraic
geometry.
iv
Contents
Introduction ix
En fran(cid:231)ais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
In english . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Preliminaries 1
0.1 A few tools from higher category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Derived algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Categorical results 9
1.1 Tate objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Adjunction and unit transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Computation techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Ind-pro-stacks and Tate stacks 31
2.1 Ind-pro-stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Cotangent complex of a pro-stack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Cotangent complex of an ind-pro-stack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Uniqueness of pro-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.4 Uniqueness of ind-pro-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Symplectic Tate stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Tate stacks: de(cid:28)nition and (cid:28)rst properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Shifted symplectic Tate stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.3 Mapping stacks admit closed forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.4 Mapping stacks have a Tate structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Loop and bubble spaces 55
3.1 Formal loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Dehydrated algebras and de Rham stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2 Higher dimensional formal loop spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 Tate structure and determinantal anomaly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Bubble spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Local cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 De(cid:28)nition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.3 Its tangent is a Tate module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 A symplectic structure (shifted by d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
v
4 Tangent Lie algebra 73
4.1 Lie algebras and formal stacks over a cdga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 PoincarØ-Birkho(cid:27)-Witt over a cdga in characteristic zero . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Algebraic theory of dg-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.3 Almost (cid:28)nite cellular objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.4 Homology and cohomology of dg-Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.5 Formal stack over a dg-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Tangent Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Formal stacks and Lie algebras over a derived Artin stack . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Tangent Lie algebra of a derived Artin stack locally of (cid:28)nite presentation . . . 88
4.2.3 Derived categories of formal stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.4 Atiyah class, modules and tangent maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.5 Adjoint represention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Perspectives 107
5.1 A symplectic structure on the formal loop space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 A formal loop space over a variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Local geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Notations glossary 111
References 113
vi
1
Saurez-vous attribuer (cid:224) chaque auteur sa citation ?
(cid:19) Il avait fait alors une grande dØmonstration
de sa dØcouverte (cid:224) un congrŁs international
Notre-Dame de Paris, Victor
[...]. Mais personne ne l’avait cru (cid:224) cause ‚ ‚
Hugo
de son costume. Les grandes personnes sont
comme (cid:231)a. (cid:20)
(cid:19)Desnombres! 2,5estunnombre,´1estun La cantatrice chauve, EugŁne
‚ ‚
nombre. (cid:20) Ionesco
(cid:19) Bien des choses Øchappent (cid:224) la raison, et
celui qui, pour comprendre la vie, y applique
seulementlaraison,estsemblable(cid:224)quelqu’un Hommage (cid:224) Alexander
qui prØtendrait saisir une (cid:29)amme avec des ‚ ‚ Grothendieck, Agora des
pincettes. Iln’aplusdevantluiqu’unmorceau savoirs, Bertrand Toºn
de bois charbonneux, qui cesse aussit(cid:244)t de
(cid:29)amber. (cid:20)
(cid:19) Il devint donc de plus en plus savant, et en
mŒme temps, par une consØquence naturelle, Le petit prince, Antoine de
‚ ‚
de plus en plus rigide comme prŒtre, de plus Saint-ExupØry
en plus triste comme homme. (cid:20)
(cid:19) Prenez un cercle, caressez le, il deviendra Les faux-monnayeurs, AndrØ
‚ ‚
vicieux ! (cid:20) Gide
1Giveeveryauthorhisquoteback. Iwon’ttranslatethequotes,though.
vii
viii
Introduction
En fran(cid:231)ais
Contexte
(cid:192) une variØtØ di(cid:27)Ørentielle M, on associe son espace des lacets lisses C8pS1,Mq. Cet objet central (cid:224)
la thØorie des cordes hØrite d’une forme symplectique sit(cid:244)t que l’on dote M d’une telle forme. Plus
prØcisØment,l’espacedeslacetslissesdevientquasi-symplectique(iln’estpasdedimension(cid:28)nie),voir
par exemple [MP]. Nous nous intØresserons ici (cid:224) un analogue algØbrique de ce rØsultat.
La premiŁre question (cid:224) laquelle l’on fait face est la dØ(cid:28)nition d’un analogue (cid:224) l’espace des lacets
lissesdanslecadrealgØbrique.UnerØponseapparuten1994danslestravauxdeCarlosContou-CarrŁre
[CC]. Il y Øtudie le groupe G pCpptqqq des fonctions en quelque sorte holomorphes dans le groupe
m
multiplicatif. Il s’agit, (cid:224) ma connaissance, de la premiŁre incarnation des espaces de lacets formels.
C’est Øgalement dans cette Øtude qu’appara(cid:238)t le fameux symbole de Contou-CarrŁre. L’idØe de lacets
formels a ensuite ØtØ gØnØralisØe (cid:224) tout groupe algØbrique, avec l’implication de la grassmanienne
a(cid:30)ne GrG “ GpCpptqqq{GpCrrtssq dans le programme de Langlands. Dans leur article [KV1], Mikhail
Kapranovet(cid:201)ricVasserotintroduisirentl’espacedeslacetsformelsd’unschØmalisseX.Ils’agitd’un
ind-schØma LpXq correspondant peu ou prou (cid:224) l’espace des morphismes SpecCpptqqÑX. Nous nous
inspirerons fortement de leur construction dans la suite de cette thŁse. Kapranov et Vasserot ont de
plusmunil’espacedeslacetsformelsd’unestructuredefactorisationetontØtabliunlienfortavecles
algŁbres vertex, puis dans [KV3], avec les opØrateurs di(cid:27)Ørentiels chiraux.
NousnousintØresseronsdanscettethŁse(cid:224)deslacetsformelsdedimensionsupØrieure.Oncompte
aumoinsdeuxmaniŁresd’imaginerdetelsobjets.LapremiŁreconsiste(cid:224)remplacerCpptqqparuncorps
localdedimensionsupØrieureCppt qq...ppt qq.CettemØthodeestauc(cid:247)urdelaconstructiondesadŁles
1 d
deBeilinson,ouencoredessymbolesdeContou-CarrŁresupØrieurs(voir[OZ2]pourladimension2et
[BGW1] en toute dimension). Cette dØmarche trŁs fructueuse demande cependant de choisir un ordre
dans les coordonnØes locales t ,...,t . L’auteur se pla(cid:238)t (cid:224) penser aux adŁles comme des morphismes
1 d
partantd’untorededimensiondmunid’undrapeau(correspondant(cid:224)l’ordredescoordonnØes)plut(cid:244)t
que partant d’une vØritable sphŁre. Nous aborderons ici la seconde mØthode. Elle consiste (cid:224) voir
l’espace des lacets formels comme un objet dØrivØ. L’auteur a appris aprŁs la rØdaction de cette thŁse
l’existence d’un document non-publiØ dans lequel Mikhail Kapranov s’Øtait intØressØ (cid:224) cette approche
dØrivØe. L’auteur remercie Kapranov de l’avoir laissØ lire ces notes trŁs enrichissantes.
La gØomØtrie algØbrique dØrivØe est apparue par (cid:224)-coups. Son existence a d’abord ØtØ prØdite
par Maxim Kontsevich in [Kon]. Ionut Ciocan-Fontanine et Mikhail Kapranov ont ensuite introduit
la premiŁre dØ(cid:28)nition formelle d’un objet gØomØtrique dØrivØ : les dg-schØmas et dg-variØtØs (voir
[CFK]). Bertrand Toºn et Gabriele Vezzosi ont alors dØveloppØ dans [HAG2] une thØorie pleinement
fonctionnelle des champs (supØrieurs) dØrivØs, (cid:224) l’aide des catØgories de modŁles. Le domaine a pu
s’Øtendreengrandepartiegr(cid:226)ceautravaildeJacobLurieet(cid:224)sasØriedepapiersDAG.IlaØgalement
modernisØ la thØorie en utilisant les p8,1q-catØgories (voir [HTT] et [HAlg]).
Une fois les espaces de lacets formels (dØrivØs) dØ(cid:28)nis, la seconde question est en(cid:28)n (cid:224) portØe
de main : les espaces de lacets formels sont de dimension in(cid:28)nie, comment alors parler de formes
symplectiques? Les formes symplectiques (dØcalØes) dans un contexte dØrivØ ont ØtØ introduites par
ix
Tony Pantev, Bertrand Toºn, Michel VaquiØ et Gabriele Vezzosi dans [PTVV]. Elles reposent sur le
complexe cotangent, objet central de la gØomØtrie dØrivØe. En tant que complexe, il n’est en gØnØral
plus concentrØ en degrØ 0. Pour le mettre en relation avec son dual, il faut donc avoir recourt (cid:224) un
dØcalage, permettant de faire co(cid:239)ncider les amplitudes. Une forme symplectique est donc une 2-forme
fermØe dØcalØe et non-dØgØnØrØe. Dans notre cas, l’espace des lacets formels est non seulement dØrivØ,
mais Øgalement de dimension in(cid:28)nie. Pour contourner ce problŁme, nous structurerons le cotangent
a(cid:28)n qu’il se plie sans histoire (cid:224) la dualitØ : le cotangent est alors un module de Tate.
Les espaces vectoriels de Tate sont apparus chez bien des auteurs. On nommera par exemple
Lefschetz,Tate,BeilinsonouencoreDrinfeld(voir[Dri]).L’idØeestlasuivante:unespacevectorielV
dedimensionin(cid:28)niepeutŒtreconsidØrØcommeunespacevectorieltopologiquediscret.SondualV˚est
alorsmunid’unetopologieditelinØairementcompacte.Deplus,ledualtopologiquedeV˚ n’estautre
queV.UnespacevectorieldeTateesten(cid:28)nl’extensiond’unespacediscretparunespacelinØairement
compact. Cela permet d’identi(cid:28)er une famille d’espaces vectoriels qui, bien que de dimension in(cid:28)nie,
se comportent bien par rapport (cid:224) la dualitØ. Plus rØcemment, Oliver Br(cid:228)unling, Michael Gr(cid:246)chenig
et Jesse Wolfson (voir [BGW2]) ont dØveloppØ une thØorie gØnØrale pour les objets de Tate (cid:224) valeur
dans une catØgorie exacte.
Dans cette thŁse
Dans cette thŁse, nous dØ(cid:28)nirons les espaces de lacets de dimension supØrieure, en gØnØralisant la
dØ(cid:28)nition de Kapranov et Vasserot. Nous approcherons ensuite la question symplectique. Soit X un
schØma de prØsentation (cid:28)nie (sans hypothŁse de lissitØ). On dØ(cid:28)nit l’espace LdpXq des lacets formels
de dimension d dans X comme suit. Soit d’abord LdpXq l’espace des morphismes entre le voisinage
V
formel de 0 dans Ad et X. Il s’agit d’une version supØrieure des espaces d’arcs formels ØtudiØs par
exemple par Jan Denef et Fran(cid:231)ois Loeser dans [DL]. Soit ensuite LdpXq l’espace des morphismes
U
depuis le voisinage formel ØpointØ de 0 dans Ad vers X. L’espace des lacets formels LdpXq est alors le
voisinage formel de LdpXq dans LdpXq.
V U
La comprØhension de ces trois objets est au c(cid:247)ur de ces travaux. Le principal problŁme est
de donner une dØ(cid:28)nition sensØe du voisinage formel ØpointØ de 0 dans Ad. Il est aisØ de dØcrire sa
cohomologie $
’&krrX ,...,X ss if n“0
1 d
HnpAˆd(cid:114)t0uq“ pX ...X q´1krX´1,...,X´1s if n“d´1
’% 1 d 1 d
0 otherwise
mais le dØ(cid:28)nir avec toute sa structure n’est pas aussi aisØ. Nous pouvons nØanmoins dØcrire les mor-
phismes depuis ce voisinage formel ØpointØ. Cela permet une dØ(cid:28)nition de LdpXq puis de l’espace des
U
lacets formels.
CetobjetgØomØtriqueestdedimensionin(cid:28)nie.UnepartiedecetteØtudeesttournØeversl’identi-
(cid:28)cationdestructuresupplØmentairea(cid:28)nd’amØliorersoncomportement.VoicidonclepremierrØsultat
dans cette direction.
ThØorŁme 1 (voir proposition 3.1.3.4). L’espace des lacets formels de dimension d dans un schØma
X est reprØsentØ par un ind-pro-schØma dØrivØ. De plus, le foncteur X ÞÑLdpXq satisfait la descente
Øtale.
Soulignons ici la nØcessitØ de la structure dØrivØe : dŁs lors que X est un schØma, les parties
non-dØrivØesdeLdpXq,LdpXqetLdpXqsontisomorphessidě2.LagØomØtriedØrivØenouspermet
U V
ØgalementdedØ(cid:28)nirl’espacedeslacetsformelspourdesobjetsX plusgØnØraux:leschamps(dØrivØs).
En particulier, le cas d’un champ classi(cid:28)ant X “BG est couvert par notre dØ(cid:28)nition. Bien sßr, dans
un tel cas, l’espace des lacets formels n’est plus un ind-pro-schØma dØrivØ, mais plut(cid:244)t un ind-pro-
champdØrivØ.En(cid:28)n,danslecasoød“1etX estunschØmalisse,onmunitl’espacedeslacetsformels
de Kapranov et Vasserot d’une structure dØrivØe. Il a toutefois ØtØ conjecturØ dans [GR, 9.2.10] que
cette structure dØrivØe serait triviale lorsque X est schØma a(cid:30)ne lisse. Gaitsgory et Rozenblyum ont
prouvØ leur conjecture dans le cas oø X est un groupe algØbrique.
x