esercizi svolti di geometria analitica

165 Pages·2006·2.78 MB·Italian

ESERCIZI SVOLTI DI GEOMETRIA
ANALITICA

A cura di Valter Gentile

E-Notes pubblicata dalla Biblioteca Centrale di Ingegneria
Siena, 12 settembre 2006

1
Esercizi svolti di geometria analitica

A cura di gentile Valter Ed. 2006
Indice
Indice

LA RETTA E LE SUE APPLICAZIONI.......................................................................................................................5
Problema 1......................................................................................................................................................................5
Problema 2......................................................................................................................................................................5
Problema 3......................................................................................................................................................................5
Problema 4......................................................................................................................................................................6
Problema 5......................................................................................................................................................................6
Problema 6......................................................................................................................................................................7
Problema 7......................................................................................................................................................................7
Problema 8......................................................................................................................................................................8
Problema 9......................................................................................................................................................................8
Problema 10....................................................................................................................................................................9
Problema 11....................................................................................................................................................................9
Problema 12....................................................................................................................................................................9
Problema 13..................................................................................................................................................................10
Problema 14..................................................................................................................................................................10
Problema 15..................................................................................................................................................................11
Problema 16..................................................................................................................................................................11
Problema 17..................................................................................................................................................................12
Problema 18..................................................................................................................................................................12
Problema 19..................................................................................................................................................................13
Problema 20..................................................................................................................................................................13
Problema 21..................................................................................................................................................................14
Problema 22..................................................................................................................................................................14
Problema 23..................................................................................................................................................................15
Problema 24..................................................................................................................................................................15
Problema 25..................................................................................................................................................................16
Problema 26..................................................................................................................................................................16
Problema 27..................................................................................................................................................................17
Problema 28..................................................................................................................................................................17
Problema 29..................................................................................................................................................................18
Problema 30..................................................................................................................................................................18
Problema 31..................................................................................................................................................................18
Problema 32..................................................................................................................................................................19
Problema 33..................................................................................................................................................................19
Problema 34..................................................................................................................................................................20
Problema 35..................................................................................................................................................................20
Problema 36..................................................................................................................................................................20
Problema 37..................................................................................................................................................................21
Problema 38..................................................................................................................................................................22
Problema 39..................................................................................................................................................................25
Problema 40..................................................................................................................................................................26
Problema 41..................................................................................................................................................................28
Problema 42..................................................................................................................................................................30
LA CIRCONFERENZA E LE SUE APPLICAZIONI................................................................................................34
Problema 1....................................................................................................................................................................34
Problema 2....................................................................................................................................................................34
Problema 3....................................................................................................................................................................34
Problema 4....................................................................................................................................................................35
Problema 5....................................................................................................................................................................35
Problema 6....................................................................................................................................................................35
Problema 7....................................................................................................................................................................36
Problema 8....................................................................................................................................................................36
Problema 9....................................................................................................................................................................36
Problema 10..................................................................................................................................................................37
Problema 11..................................................................................................................................................................38
Problema 12..................................................................................................................................................................39
Problema 13..................................................................................................................................................................40
Problema 14..................................................................................................................................................................41
Problema 15..................................................................................................................................................................43

2
Esercizi svolti di geometria analitica

A cura di gentile Valter Ed. 2006
Indice
Problema 16..................................................................................................................................................................44
Problema 17..................................................................................................................................................................45
Problema 18..................................................................................................................................................................47
Problema 19..................................................................................................................................................................48
Problema 20..................................................................................................................................................................49
Problema 21..................................................................................................................................................................51
Problema 22..................................................................................................................................................................54
Problema 23..................................................................................................................................................................57
LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI............................................................................................................61
Problema 1....................................................................................................................................................................61
Problema 2....................................................................................................................................................................61
Problema 3....................................................................................................................................................................61
Problema 4....................................................................................................................................................................62
Problema 5....................................................................................................................................................................62
Problema 6....................................................................................................................................................................63
Problema 7....................................................................................................................................................................64
Problema 8....................................................................................................................................................................64
Problema 9....................................................................................................................................................................65
Problema 10..................................................................................................................................................................65
Problema 11..................................................................................................................................................................66
Problema 12..................................................................................................................................................................66
Problema 13..................................................................................................................................................................67
Problema 14..................................................................................................................................................................68
Problema 15..................................................................................................................................................................68
Problema 16..................................................................................................................................................................68
Problema 17..................................................................................................................................................................69
Problema 18..................................................................................................................................................................71
Problema 19..................................................................................................................................................................72
Problema 20..................................................................................................................................................................76
Problema 21..................................................................................................................................................................79
L’ELLISSI E LE SUE APPLICAZIONI......................................................................................................................84
Problema 1....................................................................................................................................................................84
Problema 2....................................................................................................................................................................84
Problema 3....................................................................................................................................................................84
Problema 4....................................................................................................................................................................85
Problema 5....................................................................................................................................................................86
Problema 6....................................................................................................................................................................86
Problema 7....................................................................................................................................................................87
Problema 8....................................................................................................................................................................87
Problema 9....................................................................................................................................................................88
Problema 10..................................................................................................................................................................88
Problema 11..................................................................................................................................................................89
Problema 12..................................................................................................................................................................89
Problema 13..................................................................................................................................................................90
Problema 14..................................................................................................................................................................91
Problema 15..................................................................................................................................................................91
Problema 16..................................................................................................................................................................91
Problema 17..................................................................................................................................................................91
Problema 18..................................................................................................................................................................92
Problema 19..................................................................................................................................................................93
Problema 20..................................................................................................................................................................93
Problema 21..................................................................................................................................................................94
Problema 22..................................................................................................................................................................95
Problema 23..................................................................................................................................................................96
Problema 24..................................................................................................................................................................97
Problema 25..................................................................................................................................................................98
Problema 26..................................................................................................................................................................99
Problema 27................................................................................................................................................................101
Problema 28................................................................................................................................................................102
Problema 29................................................................................................................................................................105
Problema 30................................................................................................................................................................110
L’IPERBOLE E LE SUE APPLICAZIONI...............................................................................................................113
Problema 1..................................................................................................................................................................113

3
Esercizi svolti di geometria analitica

A cura di gentile Valter Ed. 2006
Indice
Problema 2..................................................................................................................................................................114
Problema 3..................................................................................................................................................................115
Problema 4..................................................................................................................................................................116
Problema 5..................................................................................................................................................................116
Problema 6..................................................................................................................................................................117
ESERCIZI IN CUI SONO PRESENTI PIU’ CURVE E LORO RELAZIONI......................................................120
Problema 1..................................................................................................................................................................120
Problema 2..................................................................................................................................................................127
Problema 3..................................................................................................................................................................135
Problema 4..................................................................................................................................................................139
Problema 5..................................................................................................................................................................142
Problema 6..................................................................................................................................................................144
Problema 7..................................................................................................................................................................146
Problema 8 ( sessione 1982/1983 ).............................................................................................................................151
Problema 9..................................................................................................................................................................154
Problema 10................................................................................................................................................................157

4
Esercizi svolti di geometria analitica

A cura di gentile Valter Ed. 2006
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Esercizi svolti: la retta e sue
applicazioni.
Problemi fondamentali

LA RETTA E LE SUE APPLICAZIONI
Problema 1
Determinare la distanza tra i punti A(– 2 ; 3 ) e B( 4 ; – 5 ).

Applicando la formula

( ) ( )
d = x - x 2 + y - y 2
2 1 2 1

della distanza tra due punti, si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )
d = x - x 2 + y - y 2 = 4+2 2 + - 5- 3 2 =
2 1 2 1
( ) ( )
= 6 2 + - 8 2 = 36+64 = 100 =10

Problema 2
Determinare la distanza tra i punti A( 5 ; 2 ) e B(–3 ; 2) .

Applicando la formula :

d = | x – x |
B A

della distanza tra due punti aventi la stessa
ordinata, si ottiene

d = | x – x | = | – 3 – 5 | = | – 8 | = 8
B A

Problema 3
Determinare il perimetro del triangolo di vertici A( 1 ; –1 ), B( 4 ; 3 ) e C( 4 ; – 1 ).

Si applicano le formule della distanza tra due punti per trovare le misure dei lati AB, AC, BC del
( ) ( )
triangolo cioè d = x - x 2 + y - y 2 , e per punti che hanno ugual ordinata d = | x – x | e
2 1 2 1 B A
per quelli che hanno ugual ascissa d = | y – y |. Si ottiene:
B A

( ) ( ) ( ) ( )
AB = x - x 2 + y - y 2 = 4- 1 2 + 3+1 2 =
B A B A
( ) ( )
= 3 2 + 4 2= 9+16 = 25 =5

Esercizi svolti di geometria analitica 5
A cura di Gentile Valter Ed. 2006
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Esercizi svolti: la retta e sue
applicazioni.
Problemi fondamentali

AC = | x – x | = | 4 –1 | = | 3| = 3
C A
BC = | y – y | = | 3 + 1 | = |4| = 4
B C

Il perimetro del triangolo ABC è

2p (ABC) = 5 + 3 + 4 = 12

Problema 4
Verificare che il triangolo di vertici A( 3 ; 2 ) , B(2 ; 5 ),C(– 4; 3) è rettangolo e determinarne
l'area .

( ) ( )
Applicando la formula d = x - x 2 + y - y 2 , della distanza tra due punti, si ottiene:
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AB = x - x 2 + y - y 2 = 2- 3 2 + 5- 2 2 = - 1 2 + 3 2= 1+9 = 10
B A B A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AC = x - x 2 + y - y 2 = - 4- 3 2 + 3- 2 2 = - 7 2 + 1 2= 49+1 = 50
c A c A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
BC = x - x 2 + y - y 2 = - 4- 2 2 + 3- 5 2 = - 6 2 + - 2 2= 36+4 = 40
C B C B

Per verificare che il triangolo ABC è
rettangolo, basta verificare il teorema di
Pitagora , cioè l'identità

AC2= AB2 + BC2.

Si ottiene 50 = 10 + 40 ; 50 = 50 .

Dunque il triangolo ABC è rettangolo
con ipotenusa AC.
L'area del triangolo è:
ABxBC 10x 40 400 20
As = = = = =10
2 2 2 2

Problema 5
Verificare che il triangolo di vertici A( 1 ; 4 ) , B(–3 ; 1 ), C( 1 ; –2 ) è isoscele e determinarne
il perimetro.

Applicando le formule per trovare la distanza tra due punti, si ottiene
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ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Esercizi svolti: la retta e sue
applicazioni.
Problemi fondamentali

( ) ( ) ( ) ( )
AB = x - x 2 + y - y 2 = - 3- 1 2 + 1- 4 2 =
B A B A
( ) ( )
= - 4 2 + - 3 2= 16+9 = 25 =5
( ) ( ) ( ) ( )
AC = x - x 2 + y - y 2 = 1- 1 2 + - 2- 4 2 =
c A c A
( )
= - 6 2= 36 = 6
( ) ( ) ( ) ( )
BC = x - x 2 + y - y 2 = 1+3 2 + - 2- 1 2 =
C B C B
( ) ( )
= 4 2 + - 3 2= 16+9 = 25 =5

Poichè risulta AB = BC, il triangolo è isoscele sulla base AC.

Il perimetro del triangolo ABC è
2p ( ABC ) = 5 + 5 + 6 = 16 .

Problema 6
Verificare che il triangolo di vertici A(– 4 ; 3), B(–1 ; –2), C( 1 ; 6) è isoscele e determinarne
l'area.

( ) ( )
Applicando la formula d = x - x 2 + y - y 2 , della distanza tra due punti, si ottiene
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AB = x - x 2 + y - y 2 = - 1+4 2 + - 2- 3 2 = 3 2 + - 5 2= 9+25 = 34
B A B A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AC = x - x 2 + y - y 2 = 1+4 2 + 6- 3 2 = 5 2 + 3 2= 25+9 = 34
c A c A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
BC = x - x 2 + y - y 2 = 1+1 2 + 6+2 2 = 2 2 + 8 2= 4+64 = 68
C B C B

Poichè risulta AB = AC, il triangolo è isoscele sulla base
BC.

Inoltre il triangolo ABC è rettangolo: infatti basta
verificare il teorema di Pitagora , cioè l'identità

BC2= AB2 +AC2.

Si ottiene 68 = 34 + 34 ; 68 = 68 .
Dunque il triangolo ABC è rettangolo con ipotenusa BC.
L'area del triangolo è
ABxBC 34x 34 34
As = = = =17
2 2 2

Problema 7
Determinare la mediana relativa al lato AB del triangolo di vertici A(0;4), B(–2;0), C(2 ;–2).

Sapendo che la mediana è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto,
Esercizi svolti di geometria analitica 7
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ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Esercizi svolti: la retta e sue
applicazioni.
Problemi fondamentali

avremo:

Applicando le formule:

( ) ( )
x + x y + y
x = 1 2 y = 2 1
m 2 m 2
per trovare le coordinate del punto medio di un segmento.

In questo caso per determinare le coordinate del punto
medio M di AB si ha
( )
x + x 0- 2
x = A B = = - 1
m 2 2
( )
y + y 4+0
y = A B = = 2 da cui M (– 1 ; 2 ).
m 2 2
Per trovare la lunghezza della mediana CM basta applicare
la formula della distanza tra due punti: si ottiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d = CM = x - x 2 + y - y 2 = - 1- 2 2 + 2+2 2 = - 3 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5
M C M C

Problema 8
Determinare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A(4 ; 5) e B(2 ; 1).

Applicando le formule:

( ) ( )
x + x y + y
x = 1 2 y = 2 1
m 2 m 2

troviamo le coordinate del punto medio di un segmento.
In questo caso le coordinate del punto medio M di AB
sono:

( )
x + x 4+2
x = A B = =3
m 2 2
( )
y + y 5+1
y = A B = =3 da cui M ( 3 ; 3 ).
m 2 2

Problema 9
Determinare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A(6;–1) e B(2;1).

Applicando le formule:

( ) ( )
x + x y + y
x = 1 2 y = 2 1
m 2 m 2

troviamo le coordinate del punto medio di un
segmento.
Esercizi svolti di geometria analitica 8
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ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Esercizi svolti: la retta e sue
applicazioni.
Problemi fondamentali

In questo caso le coordinate del punto medio M di AB sono:
( ) ( )
x + x 6+2 y + y - 1+1
x = A B = = 4 y = A B = =0 da cui M ( 4 ; 0 ).
m 2 2 m 2 2

Problema 10
Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici O(0;0), A(4;3), B(2 ;-3).

Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre
mediane.

Applicando le formule rispettivamente
x + x + x y + y + y
x = 1 2 3 e y = 1 2 3 ;
G 3 G 3
per trovare le coordinate del baricentro di un triangolo si
ottiene
x + x + x 0+4+2 6
x = 1 2 3 = = = 2
G 3 3 3
y + y + y 0+3- 3
y = 1 2 3 = = 0 da cui G ( 2 ; 0 ) .
G 3 3

Problema 11
Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici A(–3;4), B(–1;–3), C( 1;5 ).

Applicando le formule rispettivamente
x + x + x y + y + y
x = 1 2 3 e y = 1 2 3 ;
G 3 G 3

per trovare le coordinate del baricentro di un triangolo si
ottiene

x + x + x - 3- 1+1 - 3
x = 1 2 3 = = = - 1
G 3 3 3

y + y + y 4- 3+5 6
y = 1 2 3 = = = 2
G 3 3 3

da cui G (–1 ; 2 ) .

Problema 12
Trovare le coordinate di A (2 ; –3) nel sistema traslato XO'Y di origine O'(–1;1).

Esercizi svolti di geometria analitica 9
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ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Esercizi svolti: la retta e sue
applicazioni.
Problemi fondamentali

Applicando la formula della traslazione di assi

x = X + a 2 = X – 1
si ottiene il sistema
y = Y + b – 3 = Y + 1

che ha per soluzione X = 3 e Y = – 4 .

Dunque le coordinate di A nel sistema X O'Y sono

A' ( 3 ; – 4 ) .

Problema 13
Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(1;3) e B(0;1).

Applicando la formula per trovare il coefficiente
angolare di una retta non parallela all'asse delle
y - y
ordinate si ha m = 2 1 cioè
x - x
2 1
1- 3 - 2
m = = = 2
0- 1 - 1

Quindi dalla formula esplicita y = mx + q,
abbiamo y = 2x + q e poichè Q ( 0 , 1 ) si ha che
sostituendo l'ordinata all'origine della retta è q =
1 .

Dunque l'equazione della retta è
y = 2x + 1.
Possiamo abbreviare il tutto applicando
l’equazione generica della retta passante per due
punti cioè:
y- y y - y
1 = 2 1
x- x x - x
1 2 1
y- 3 1- 3
da cui = in definitiva y – 3 = 2(x – 1) cioè
x- 1 0- 1
y = 2x +1

Problema 14
Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(0;4) e B(–2;0).

Applicando la formula per trovare il coefficiente angolare di una retta non parallela all'asse delle
y - y 0- 4 - 4
ordinate si ha m = 2 1 cioè m = = = 2
x - x - 2- 0 - 2
2 1
Esercizi svolti di geometria analitica 10
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