Table Of Content

A Il presente volume è una raccolta organica di esercizi svolti di Analisi Reale e Fun- M Matteo Muratori Fabio Punzo Nicola Soave zionale. Le soluzioni sono esposte in dettaglio, con connessioni alla teoria. . M B u L’opera è indirizzata principalmente a studenti di Matematica, Fisica e Ingegneria, r a B S che affrontano argomenti di teoria della misura e di analisi funzionale in corsi to A r avanzati di Analisi Matematica. i F C T ESERCIZI SVOLTI Il libro è suddiviso nei seguenti capitoli: . P K u G n R Capitolo 1. Spazi Metrici z R o Capitolo 2. Misure e σ-Algebre N OU A DI ANALISI Capitolo 3. L’Integrale di Lebesgue . S N o Capitolo 4. Funzioni AC e BV a D C v Capitolo 5. Spazi di Banach e Operatori Lineari e REALE E FUNZIONALE Capitolo 6. Spazi Lp T Capitolo 7. Spazi di Hilbert Capitolo 8. Operatori Compatti e Teoria Spettrale E s e r c Gli autori sono Professori del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Mila- i z no, dove abitualmente tengono corsi di Analisi Matematica di base ed avanzati, i S per le lauree triennali e magistrali e per il dottorato. Inoltre, svolgono attività di v o ricerca su Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali, Disuguaglianze Funzionali l t i e Analisi Geometrica. d i A n a l i s i R e a l e e F u n z i Feedback Euro 29,50 o n a l e T www.editrice-esculapio.it C D A N U CCooppeerrttiinnaaSScceellttaa..iinndddd 11 2266//0077//22002211 1122::0000::4488 R O R G T K C S A B B A Matteo Muratori Fabio Punzo Nicola Soave Esercizi Svolti di Analisi Reale e Funzionale ISBN978-88-9385-256-2 © Copyright2021 SocietàEditriceEsculapios.r.l. ViaTerracini,30-40131Bologna [email protected] Impaginazione:CarlottaLenzi LayoutCopertina:LauraBrugnoli Stampatoda:Legodigit-Lavis(TN) PrintedinItaly Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietropagamentoallaS.I.A.Edelcompensoprevistodall’art.68,commi4e5,dellalegge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionatiS.I.A.E.oconaltremodalitàindicatedaS.I.A.E.Perleriproduzioniaduso non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi,comedispenseesimili)l’editorepotràconcedereapagamentol’autorizzazionea riprodurreunnumerodipaginenonsuperioreal15%dellepaginedelvolume. CLEARedi-CentroLicenzeeAutorizzazioniperleRiproduzioniEditoriali CorsodiPortaRomana,n.108-20122Milano e-mail:[email protected]:http://www.clearedi.org. Prefazione Questo libro consiste in una raccolta organica di esercizi svolti di Analisi Rea- le e Funzionale. È ben noto che la disponibilità di eserciziari concernenti tali argomenti è piuttosto limitata. Non mancano testi, anche eccellenti, che con- tengono, oltre alla teoria, vari esercizi; le soluzioni, però, anche se particolar- mente impegnative, spesso sono completamente lasciate al lettore o solamente accennate. In questo volume, invece, le risoluzioni degli esercizi sono presentate in dettaglio, la loro logica e le connessioni con la teoria vengono sempre messe in risal- to. L’esposizione è agevole, ma non si perdono mai di vista il dovuto rigore e il linguaggiospecifico. L’opera è principalmente rivolta a studenti di Matematica, Fisica, Ingegneria che affrontano argomenti di teoria della misura e di analisi funzionale in corsi avanzatidianalisimatematica. Alcuniesercizisonodicalcolo,altririguardanomaggiormenteaspettiteorici,cer- ti,contrassegnaticonilsimbolo*,richiedonounaspecialeelaborazione.Diversi esercizi sono corredati da suggerimenti, altri sono articolati in più punti colle- gati tra loro e posti in ordine crescente di difficoltà. Questo aiuta lo studente volenteroso a risolvere autonomamente esercizi di livello avanzato. I contenuti di alcuni esercizi riguardano parti della teoria che spesso, per ragioni di tempo, non si riescono a trattare a lezione. La loro comprensione permette senza dub- bio di conoscere degli argomenti con maggiore profondità e di acquisire con essi una buona familiarità. Gran parte delle soluzioni sono autocontenute; a volte, però,indeterminatiesercizisenerichiamanoaltri,sempreinmanierachiaraed esplicita. Ciascun capitolo si apre con l’indicazione dei prerequisiti teorici; si fa anche ri- ferimento ad alcuni libri dove gli argomenti di teoria correlati sono trattati. È indispensabilechelostudentepossiedaunaadeguataconoscenzadellateoriain- dicata,primadiaffrontaregliesercizi.Icapitoli,perquantopossibile,sonoindi- pendentil’unodall’altro;d’altrapartelacomprensionediuncapitolopuòessere agevolatadallaletturadiquellicheloprecedono. Milano,7luglio2021 Gliautori L’esperienzasuggeriscecheèimpossibilepubblicareunlibroprivodierrori.Giautorisarannoquindi gratiailettoriattentichevorrannosegnalarglieliperemail. Indice Prefazione iii Notazioni vii 1SpaziMetrici 1 1.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2Misureeσ-Algebre 19 2.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3L’integralediLebesgue 43 3.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4FunzioniACeBV 109 4.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5SpazidiBanacheOperatoriLineari 143 5.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6SpaziLp 199 6.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7SpazidiHilbert 257 7.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8OperatoriCompattieTeoriaSpettrale 291 8.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Bibliografia 323 Notazioni In questo testo si considerano sempre funzioni a valori reali e spazi vettoriali suR.Perquantoriguardalanotazione,isimboliadottatisonoprevalentemente standard,mapermaggiorechiarezzariportiamodiseguitoquellipiùutilizzatio periqualileconvenzionicomunitipicamentenonsonounivoche.Inparticolare: N+ Insieme dei numeri naturali escluso lo zero. A volte si scriverà più esplici- tamenteN\{0}. (cid:98)a(cid:99) Parteinterainferiorediunnumerorealea∈R. R Insiemedeinumerirealiestesi,ovveroR∪{−∞}∪{+∞}. a∨b Massimotraduenumeria,b∈R. a∧b Minimotraduenumeria,b∈R. P(X) InsiemedellepartidiuninsiemeX.Talvoltaverràanchedenotatocon2X. L(Ω) σ-algebra dei sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di un insieme Ω ⊆ Rn Le- besgue-misurabile.Spesso,perbrevità,scriveremo“misurabile”alpostodi “Lebesgue-misurabile”. Quando associato a funzioni f : Ω → R (eventualmente → R), il termine “misurabile”o“Lebesgue-misurabile”siriferiràafunzionitalichef−1(A)∈ L(Ω) per ogni insieme Boreliano A ⊆ R (eventualmente ⊂ R). Scriveremo invece “Borel-misurabile” se inoltre f−1(A) è un Boreliano di Rn (spesso indicheremotaliinsiemiconB(Rn)).Piùingenerale,se(Ω,M)èunospazio misurabile astratto, diremo che f è misurabile se f−1(A) ∈ M per ogni BorelianoAcomesopra. λ MisuradiLebesgueinRoRn.Misurediversedaλverrannogenericamente denotate con µ, per rimarcare la differenza. La notazione per gli integrali sarà (cid:90) (cid:90) f(x)dx= fdλ perintegralicalcolatirispettoaλ, E E (cid:90) fdµ perintegralicalcolatirispettoaµ. E Nel primo caso, la variabile di integrazione sarà spesso omessa per bre- vità, mentre l’elemento di misura dx sarà sempre riportato per chiarezza. In alcuni esercizi, qualora necessario per evitare ambiguità, si indicherà esplicitamenteladimensioneacuisiriferiscelamisuradiLebesgue. q.o. Quasi ovunque rispetto alla misura di Lebesgue. Nel caso di una generica misuraµ,scriveremoµ-q.o.perevitareambiguità. viii EserciziSvoltidiAnalisiRealeeFunzionale χ Funzionecaratteristicadell’insiemeA:χ (x)=1sex∈A,mentreχ (x)= A A A 0sex(cid:54)∈A. Lp(Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) Insieme i cui elementi sono classi di equivalenza di funzioni f :Ω→Rmisurabili,etaliche (cid:90) |f|pdx<+∞, se1≤p<∞, Ω esssup|f|<+∞, sep=∞, Ω dovelarelazionediequivalenzaèdatada f ∼g ⇐⇒ f =g q.o.inΩ. Senonspecificatodiversamente,lospaziodimisurasoggiacentesaràsem- pre (Ω,L(Ω),λ). Con abuso di linguaggio, gli elementi di Lp(Ω) sono chia- mati semplicemente funzioni. Si suppone noto che Lp(Ω) sia uno spazio di Banachrispettoallanorma (cid:18)(cid:90) (cid:19)1 p (cid:107)f(cid:107) = |f|pdx , se1≤p<∞, Lp(Ω) Ω (cid:107)f(cid:107) =esssup|f|. L∞(Ω) Ω Perbrevità,avoltesiuseràlanotazione(cid:107)f(cid:107) :=(cid:107)f(cid:107) . p Lp(Ω) Le funzioni appartenenti a L1(Ω) verranno anche denominate, per sinteti- cità,“sommabili”.In alcuniesercizisarànecessariointegrarefunzioni non necessariamente in L1(Ω); in tal caso, ricordiamo che l’integrale di f ha sempresensopurchéalmenounatraf+ ef− siasommabile. p(cid:48) Esponenteconiugatodip;sep∈(1,∞)vale p ,sep=1vale∞esep=∞ p−1 vale 1. La definizione verrà comunque spesso riscritta esplicitamente per maggiorechiarezza. Lp (Ω) InsiemedellefunzioniappartenentiaLp(K)perognisottoinsiemecompat- loc toK (cid:98)Ω. {xn}n∈N Successione di elementi di un insieme X, anche indicata con {xn}n. Quasi sempre, per non appesantire la notazione, il pedice n∈N verrà interamen- te omesso, salvo nei casi in cui sia necessario per evitare ambiguità (ad esempioquandosonopresentiindicimultipli). f| Restrizionediunafunzionef :X →Y adunsottoinsiemeA⊂X.Inmolti A casi,pernonappesantirelanotazione,verràsottintesaimplicitamente. (cid:96)p (1≤p≤∞)Insiemedellesuccessioniavalorireali{x(k)}k∈N taliche (cid:88)∞ (cid:12) (cid:12)p (cid:12)x(k)(cid:12) <+∞, se1≤p<∞, (cid:12) (cid:12) k=0 (cid:12) (cid:12) sup(cid:12)x(k)(cid:12)<+∞, sep=∞. (cid:12) (cid:12) k∈N Notazioni ix Ciascun(cid:96)p èunospaziodiBanachrispettoallanorma (cid:32)(cid:88)∞ (cid:12) (cid:12)p(cid:33)p1 (cid:107)x(cid:107) = (cid:12)x(k)(cid:12) , se1≤p<∞, (cid:96)p (cid:12) (cid:12) k=0 (cid:12) (cid:12) (cid:107)x(cid:107) =sup(cid:12)x(k)(cid:12). (cid:96)∞ (cid:12) (cid:12) k∈N La notazione usata, con l’indice in alto, viene introdotta al fine di evitare confusione quando tratteremo successioni di elementi in (cid:96)p (ovvero succes- sionidisuccessioni):scriveremointalcaso{x }=(cid:8)x(k)(cid:9) ⊂(cid:96)p. n n n∈N Ricordiamo che gli spazi (cid:96)p si possono vedere come casi particolari degli spazi Lp. Precisamente, (cid:96)p = Lp(N,P(N),ν), dove ν denota la misura del conteggio. A seconda del contesto, l’indice di partenza per le successioni potrebbeancheesserediversoda0. C0([a,b]) Insiemedellefunzionicontinuesuunintervallo[a,b].Èbennotoche,dotato dellanormadelsup(oLagrangiana) (cid:107)f(cid:107) := max |f(x)|=(cid:107)f(cid:107) , C0([a,b]) ∞ x∈[a,b] sitrattadiunospaziodiBanach. C1([a,b]) Insieme delle funzioni derivabili con derivata continua su un intervallo [a,b].SitrattadiunospaziodiBanachrispettoallanorma (cid:107)f(cid:107) = max |f(x)|+ max |f(cid:48)(x)|=(cid:107)f(cid:107) +(cid:107)f(cid:48)(cid:107) . C1([a,b]) ∞ ∞ x∈[a,b] x∈[a,b] AC([a,b]) Insiemedellefunzioniassolutamentecontinuesull’intervallo[a,b].Sitratta diunospaziodiBanachrispettoallanorma (cid:90) b (cid:90) b (cid:107)f(cid:107) := |f(x)|dx+ |f(cid:48)(x)|dx AC([a,b]) a a =(cid:107)f(cid:107) +(cid:107)f(cid:48)(cid:107) . L1([a,b]) L1([a,b]) Perbrevità,scriveremoavolte(cid:107)f(cid:107) omettendol’intervallodidefinizione. AC BV([a,b]) Insieme delle funzioni a variazione limitata sull’intervallo [a,b]. La variazione totale di f sull’intervallo [a,b] sarà indicata con Vb(f). Si ricorda che a BV([a,b])èunospaziodiBanachrispettoallanorma (cid:90) b (cid:107)f(cid:107) := |f(x)|dx+Vb(f)=(cid:107)f(cid:107) +Vb(f). BV([a,b]) a L1([a,b]) a a C∞(Ω) (Ω ⊆ Rn aperto) Insieme delle funzioni di classe C∞ in Ω (cioè derivabi- c li infinite volte, con le derivate di qualsiasi ordine continue) con supporto compattocontenutoinΩ.