Esercizi scelti di Algebra

237 Pages·2017·2.37 MB·Italian

by  Rocco Chirivì

UNITEXT 107
Rocco Chirivì · Ilaria Del Corso
Roberto Dvornicich
Esercizi scelti
di Algebra
Volume 1
UNITEXT – La Matematica per il 3+2
Volume 107
Editor-in-Chief
A.Quarteroni
SeriesEditors
L.Ambrosio
P.Biscari
C.Ciliberto
C.DeLellis
M.Ledoux
V.Panaretos
W.J.Runggaldier
www.springer.com/series/5418
Rocco Chirivì (cid:2) Ilaria Del Corso (cid:2)
Roberto Dvornicich
Esercizi scelti di Algebra
Volume 1
RoccoChirivì RobertoDvornicich
DipartimentodiMatematicaeFisica DipartimentodiMatematica
UniversityofSalento UniversityofPisa
Lecce,Italy Pisa,Italy
IlariaDelCorso
DipartimentodiMatematica
UniversityofPisa
Pisa,Italy
ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2532-3318
UNITEXT–LaMatematicaperil3+2
ISBN978-88-470-3960-5 ISBN978-88-470-3961-2(eBook)
DOI10.1007/978-88-470-3961-2
©Springer-VerlagItaliaSrl.2017
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Immaginedicopertina:“Quadrati,cerchiesimmetrie”diRoccoChirivì©(2017)
QuestaedizioneèpubblicatadaSpringerNature
LasocietàregistrataèSpringer-VerlagItaliaSrl.
AdAndrea, chesa cos’èlamatematica
Rocco
AFrancesca, conl’augurio chesappia
scoprire ecoltivarelepropriepassioni
Ilaria
Aigiovanichegiàamanoochepotrebbero
amare lamatematica
Roberto
Prefazione
Questoèunlibrodiesercizidialgebra,comprensivodellenotediteorianecessarie
qualeriferimentoperlasoluzionedeitestiproposti.Èbasatosull’esperienzadivari
decenni di insegnamento dell’algebra all’Università di Pisa e raccoglie i testi e le
relativesoluzionidegliesercizipropostiagliesamineglianni.
Unmotivochecihaportatoallapreparazionediquestolibroèl’ideachelamate-
maticasipossaimpararesoloreinventandola,eperfareciònonc’èmodomigliore
cheelaborarelesoluzionidegliesercizi.Altroforteimpulsoalnostrolavoroèstata
laconvinzionechegliesercizipresentatiabbianodellecaratteristichechelirendono
diversidatuttiglialtri.Laprimaèlanonserialità:nonesistonoesercizi“ripetuti”,
ossiaesercizichesidifferenzianofralorosoloperlavariazionedialcuniparametri,
mailcuimetododisoluzioneèessenzialmentelostesso.Laseconda,eforsefonda-
mentale,è quellache nonproponiamoeserciziche si possano affrontare con sem-
plicistrumentidiroutine:ogniesercizio,peressererisolto,habisognodiun’idea.
Chiunque si sia cimentato con la matematica sa come questo cambi completa-
mente, da una parte, il livello di difficoltà di un esercizio, e, dall’altra, il suo in-
teresse intrinseco. Il progresso culturale che deriva dal risolvere un esercizio che
richiede delle idee è incomparabilmente superiore a quello della soluzione di un
esercizio per cui basta la mera applicazione di tecniche apprese. Abbiamo inoltre
l’ambizione di ritenere che le idee necessarie per risolvere i nostri esercizi si dif-
ferenzino abbastanza nettamente l’una dall’altra, e che questo aspetto sia uno dei
motividimaggioreinteressedellibro.Daquestopuntodivista,potremmodescri-
vereilnostrocomeunlibrodiproblemidialgebrapiuttostocheunlibrodiesercizi.
Invirtùdellastoriadell’UniversitàdiPisa,chehatraisuoistudentianchequelli
della Scuola Normale Superiore, è possibile che gli esercizi proposti in questo li-
bro siano a volte più difficili rispetto alla media degli esercizi proposti nei testi di
esamenelleuniversitàitaliane.Tuttavia,loscopodiquestolibroèdistimolareilra-
gionamentoepreparareglistudenti,nelmodomigliore,allostudiodell’algebra.Il
nostroconsiglioimportantissimoailettorièquindi:noncadetemainellatentazione
diguardarelasoluzionesenzaaverprovatoabbastanzaalungoarisolvereuneser-
cizio.Studiareunasoluzionegiàpronta,anchesesitrattadiunasoluzioneelegante,
non porta ad una vera crescita; come dicevamo sopra, per imparare la matematica
vii
viii Prefazione
bisognafarelamatematica.Èinfattilaricercadiunasoluzionechearricchisceefa
scoprireilegamifralecose,legamichesonoestremamenteimportantinellostudio.
Inoltre,speriamoinquestomododiincuriosireglistudentiall’approfondimentodei
temitracciatinellepocherighedeltestodiunproblema.
L’organizzazione del libro segue lo sviluppo storico dell’insegnamento dell’al-
gebraneiprimiannidelcorsodilaureainmatematicadell’UniversitàdiPisa.Dopo
unperiodoincuilostudioeraconcentratoinuncorsochesisvolgevainteramenteil
primoanno,conilpassaggioalladifferenziazionefralaureatriennaleelaureama-
gistraleilcorsoèstatodivisoindueparti,unachiamataAritmeticaeunachiamata,
inunprimomomento,StruttureAlgebricheesuccessivamenteAlgebra1.Essecor-
rispondonoesattamenteall’organizzazionediquestolibroinduevolumi.
La parte di Aritmetica riguarda essenzialmente lo studio di strumenti di base,
qualil’induzione,alcunielementidicalcolocombinatorio,inumeriinterielecon-
gruenze.Aciòsegueun’introduzioneallostudiodelleproprietàbasilaridellestrut-
turealgebriche:igruppiabeliani,glianelli,ipolinomielelororadici,leestensioni
dei campi e i campi finiti. Nel secondo volume, relativo a Strutture Algebriche e
Algebra1,siapprofondisconolateoriadeigruppi,glianellicommutativiconparti-
colareriferimentoallafattorizzazioneunica,leestensionideicampiesiintroducono
lenozionifondamentalidellateoriadiGalois.
Ciascunaparteèaccompagnatadarichiamiteoriciriguardantilamateriaoggetto
degli esercizi. Tale parte teorica, benché esaustiva non ha comunque la pretesa di
sostituireunlibroditestodialgebrae,inparticolare,irisultatirichiamatinonhanno
dimostrazione.(Perogniapprofondimentoillettorepuòconsultare,adesempio,il
volume “Algebra” di I.N. Herstein, Editori Riuniti, oppure “Algebra” di M. Artin,
BollatiBoringhieri.)
Illibrocontieneinoltreunaseriediesercizipreliminari.Essidovrebberoessere
affrontatiperprimiinquantoleloroconclusionisonospessousatenellesoluzioni
degliesercizisuccessivi.Vogliamoinfinesottolinearechetuttelesoluzioniquipro-
posteusanosologlistrumentiteoricirichiamatiegliesercizipreliminari.L’utilizzo
diteoremipiùavanzatipermetterebbedirisolvereinmodopiùagevole,oinalcuni
casirenderebbebanali,gliesercizi;maciòèdeltuttocontrarioallospiritoconcui
questolibroèstatoscritto.
Ringraziamenti.VogliamoringraziareCiroCilibertoperilsuosostegno,ladotto-
ressaFrancescaBonadeidiSpringerItaliaperilpreziosoaiutoe,inparticolarmodo,
glistudentichenegliannihannoseguitolenostrelezionieaffrontatoglieserciziqui
propostiagliesami.
Aggiornamenti. Invitiamo i lettori a farci avere le loro impressioni e a segna-
larci eventuali errori, quasi inevitabili in un libro con dettagliate soluzioni di ol-
tre 250 esercizi, via posta elettronica a [email protected],
[email protected]@unipi.it.
Per aggiornamenti e errata corrige è possibile consultare la pagina web http://
www.dmf.unisalento.it/~chirivi/libroEserciziAlgebra.html.
PisaeLecce,Italia RoccoChirivì
giugno2017 IlariaDelCorso
RobertoDvornicich
The nicethingaboutmathematicsisdoing
mathematics
PierreDeligne
Indice
1 Richiamiditeoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Nozionifondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Gliinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Leapplicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Lerelazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Ilprincipiodiinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Leoperazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Inumeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Inumeriinteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Ladivisibilitàtrainteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Lecongruenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 L’aritmeticamodulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Igruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Definizioneeprimeproprietà . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3 Prodottodisottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4 Classilateralidiunsottogruppo . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.5 Sottogruppinormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.6 Ilgrupposimmetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.7 Omomorfismidigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.8 Prodottodirettodigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Glianelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.1 Definizioneeprimeproprietà . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2 Sottoanelli,idealiequozienti . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.3 Anellidipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.4 Divisibilitàtrapolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.5 Fattorizzazionedipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.6 Quozientidianellidipolinomi . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6 Icampi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
xi