Esercizi e Complementi di Geometria Analitica 2003/2004

80 Pages·2005·0.68 MB·Italian

by  Marco Manetti

Dipartimento di Matematica “Guido Castelnuovo”
Universit`a degli Studi di Roma “La Sapienza”
Esercizi e Complementi di
Geometria Analitica 2003/2004
Domenico Fiorenza e Marco Manetti
Premessa
Queste note sono il frutto di un pigro tentativo di organizzazione e revisione dei
tanti foglietti distribuiti durante le lezioni e le esercitazioni di Geometria Analitica
durante l’anno accademico 2003-04. Il materiale contenuto consiste principalmente
in:
1. Argomenti di teoria non contenuti nel libro di testo (S. Abeasis: Complementi
di Algebra lineare e Geometria).
2. Esercizi standard, di verifica delle conoscenze acquisite e di preparazione alle
prove scritte di esame.
3. Esercizi impegnativi, per stimolare la creativita` degli studenti.
Gli esercizi sono stati suddivisi per argomenti, e di alcuni di essi si danno soluzioni
dettagliate. Alcuni esercizi particolarmente impegnativi sono segnalati da un aster-
isco.
Le notazioni possono variare leggermente da esercizio ad esercizio. Ad esempio, la
i-esima coordinata del vettore x potra` essere indicata tanto da x che da xi, mentre
i
l’elemento di posto (i,j) della matrice A potra` essere indicato tanto da A che da
ij
Ai. Per il birapporto di 4 punti distinti A,B,C,D della retta proiettiva abbiamo
j
usato la convenzione
A−C A−D (C −A)(D−B)
(ABCD) = : = .
B−C B−D (C −B)(D−A)
Ringraziamo Riccardo Salvati Manni per aver fornito alcuni esercizi qui presenti e,
ovviamente, tutti quanti hanno seguito con interesse il corso.
Indice
Premessa ii
1. Il teorema fondamentale dell’algebra 1
2. Esercizi sui gruppi simmetrici 1
3. Esercizi sulla traccia di matrici 3
4. Esercizi sui prodotti scalari 4
5. Esercizi sulle isometrie di Rn e Cn 7
6. Esercizi sulle matrici simmetriche 8
7. Esercizi su proiezioni ortogonali e riflessioni 9
8. Esercizi sullo spazio vettoriale duale 14
9. Forme bilineari 15
10. Il teorema di Cartesio 22
11. Esercizi sulle forme bilineari e sulle forme quadratiche 23
12. Altri esercizi sulle matrici simmetriche 35
13. Esercizi sugli spazi e le applicazioni affini 37
14. Esercizi sulle coniche 39
15. Esercizi sulle matrici e le applicazioni nilpotenti 49
16. Esercizi sull’esponenziale di matrici 52
17. Il quadrilatero armonico 60
18. Esercizi di geometria proiettiva 61
iii
Come disegnare una figura deforme, che sembrera` proporzionata da
un certo punto di vista.
Tracciate su un cartone bianco e sottile un disegno qualunque e
bucherellateilcontorno.Disponetepoiilcartoncinobucatoaperpen-
dicolo su una superficie orizzontale che supponiamo essere un altro
cartone. Mettete una candela accesa dietro il cartone forato e diseg-
nate sulla superficie orizzontale le linee create dalla luce: la qual cosa
vi fornira` delle linee diverse. Fatta questa operazione, ritirate il car-
tone bucato e la candela; mettete l’occhio dove era la luce e vedrete
il vostro disegno riprendere una forma regolare.
Joseph Pinetti: Divertimenti fisici, Capitolo III (1784)
D.FiorenzaeM.Manetti: geometriaanalitica2003/04 1
1. Il teorema fondamentale dell’algebra
Teorema 1.1. Sia p(z) un polinomio di grado positivo a coefficienti complessi.
Allora esiste z ∈ C tale che p(z ) = 0.
0 0
Dimostrazione. Iniziamo con alcune semplici osservazioni.
Il teorema `e certamente vero se il polinomio `e del tipo p(z) = azn +b con n > 0 e
a (cid:3)= 0; infatti basta prendere come z una radice n-esima di −b/a.
0
In qualsiasi momento possiamo agire sul polinomio p per moltiplicazione per una
costante non nulla a e per traslazione z (cid:4)→ z +c, c ∈ C costante; il teorema `e vero
per il polinomio q(z) = ap(z+c) se e soltanto se `e vero per il polinomio p(z), infatti
p(z ) = 0 se e solo se q(z −c) = 0.
0 0
Consideriamo la funzione continua f: C (cid:6) R2 → [0,+∞[ definita come f(z) = |p(z)|
e mostriamo che possiede un punto di minimo assoluto. A meno di moltiplicazione
per costanti possiamo supporre p polinomio monico, cio`e
p(z) = zn+an−1zn−1+···+a0
e quindi per la disuguaglianza triangolare
(cid:3) (cid:4)
n(cid:2)−1 n(cid:2)−1 |a |
f(z) = |p(z)| ≥ |zn|− |a ||z|i = |zn| 1− i .
i |z|n−i
i=0 i=0
Un semplice conto mostra che se R > 0 `e sufficientemente grande e tale che
n(cid:2)−1 |a | 1
i
<
Rn−i 2
i=0
allora per ogni z ∈ C con |z| ≥ R vale
|z|n Rn
f(z) ≥ ≥ ≥ f(0)
2 2
equindiilminimoassolutodellafunzionef sulchiusoelimitato{z||z| ≤ R}`eanche
un minimo assoluto per la funzione f definita su tutto il piano complesso.
Sia dunque z ∈ C un punto di minimo locale per f e supponiamo per assurdo
0
che f(z ) > 0. A meno di traslazioni possiamo supporre z = 0 ed a meno di
0 0
moltiplicazione per invertibili possiamo supporre
p(z) = 1−b zk +···+b zn, k ≥ 1, b (cid:3)= 0.
k n k
Sia c una radice k-esima di 1/b e consideriamo la funzione continua g: [0,1] → R,
(cid:5)k
g(t) = f(ct) = |1−tk +tk+1( b citi−k−1)|.
i
Per t << 1, g(t) = 1−tk +O(k+1) e quindi 0 non puo` essere un punto di minimo
relativo per g. Questo prova che l’ipotesi f(0) (cid:3)= 0 crea una contraddizione.
2. Esercizi sui gruppi simmetrici
Indichiamo con Σ il gruppo simmetrico su n elementi, cio`e il gruppo delle permu-
n
tazioni dell’insieme {1,... ,n} e con Xa l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi
n
di cardinalita` a di {1,... ,n}.
Esercizio 2.1. Calcolare le cardinalita` di Σ e di Xa. (cid:14)
n n
Esercizio 2.2. Perogni1 ≤ a ≤ nsiconsideril’azionenaturalediΣ suXa.Dire,
n n
motivando la risposta, se tale azione `e transitiva e se gli stabilizzatori sono isomorfi
a gruppi simmetrici. (cid:14)
Esercizio 2.3. (Principio di inclusione-esclusione).
Siano A ,... ,A sottoinsiemi di un insieme finito A; per ogni I = {i ,... ,i } ∈ Xa
1 n 1 a n
2 D.FiorenzaeM.Manetti: geometriaanalitica2003/04
denotiamo con α(I) la cardinalita` di A ∩···∩A .
i1 ia
Dimostrare che la cardinalita` di A ∪···∪A `e uguale a
1 n
(cid:2)n (cid:2)
(−1)a−1 α(I).
a=1 I∈Xa
n
(cid:14)
Traccia di soluzione. Ai fini della dimostrazione non `e restrittivo supporre A(cid:6) =(cid:7)
b
A ∪···∪A . Per ogni coppia di numeri naturali positivi a,b denotiamo con
1 n
a
il coefficiente binomiale di Newton, considerandolo uguale a 0 ogniqualvolta b < a.
Per ogni 1 ≤ b ≤ n si ha quindi la formula
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
(cid:2)n (cid:2)b
b b
(−1)a−1 = (−1)a−1 = 1−(1−1)b = 1.
a a
a=1 a=1
Per ogni x ∈ A denotiamo con b(x) il numero di indici i ∈ {1,... ,n} tali che x ∈ A .
i
E` chiaro che per ogni a = 1,... ,(cid:6)n il nu(cid:7)mero di multiindici {i1,... ,ia} ∈ Xna tali
b(x)
che x ∈ A ∩···∩A `e uguale a .
i1 ia a
Abbiamo quindi (perch´e?)
(cid:6) (cid:7)
(cid:2)n (cid:2) (cid:2)n (cid:2) (cid:2)
b(x)
(−1)a−1 α(I) = (−1)a−1 = 1.
a
a=1 I∈Xa a=1 x∈A x∈A
n
Esercizio 2.4. Per ogni n ≥ 1, sia a il numero di permutazioni di {1,... ,n} che
n
non hanno punti fissi, ovvero a `e la cardinalita` del complementare dell’unione di
n
tutti gli stabilizzatori dell’azione di Σ su X1. Calcolare
n n
a
n
lim .
n→∞ n!
(Suggerimento: inclusione-esclusione). (cid:14)
Esercizio 2.5. Duegiocatori,dotaticiascunodiunsacchettoconi90numeridella
tombola, effettuano il seguente gioco: ogni giocatore estrae un numero dal proprio
sacchetto e lo deposita sul tavolo. Se i due numeri estratti sono identici vince il
giocatore A ed il gioco termina, altrimenti si prosegue ed B vince se entrambi i
giocatori arrivano a svuotare i sacchetti.
Chi, tra A e B, ha piu` probabilita` di vittoria? (cid:14)
Esercizio 2.6. Costruire un sottogruppo di GL (R) isomorfo al gruppo Σ delle
2 3
permutazionisutreelementi.(Suggerimento:siconsideril’azionesiΣ suR3 indotta
3
dalle permutazioni sui vettori della base canonica. Il piano di equazionex+y+z = 0
`e invariante per quest’azione). (cid:14)
Soluzione. Una base del piano V definito dall’equazione x+y +z = 0 `e costituita
dai due vettori
   
1 1
e = −1; e =  0 
1 2
0 −1
Ricordiamo che il gruppo Σ `e generato dai cicli σ = (12) e τ = (123). L’azione di σ
3
e τ su R3 `e data da
       
x y x z
       
σ y = x ; τ y = x
z z z y
D.FiorenzaeM.Manetti: geometriaanalitica2003/04 3
Per vedere come agisce Σ su V, ci basta descrivere l’azione dei due generatori σ e
3
τ sui vettori della base di V che abbiamo scelto. Si ha
   
1 −1
σ(e ) = σ−1 =  1  = −e
1 1
0 0
   
1 0
σ(e ) = σ 0  =  1  = −e +e
2 1 2
−1 −1
(cid:6) (cid:7)
−1 −1
Dunque la matrice che rappresenta σ nella base data `e S = . Per quanto
0 1
riguarda τ, si ha
   
1 0
τ(e ) = τ −1 =  1  = −e +e
1 1 2
0 −1
   
1 −1
τ(e ) = τ  0  =  1  = −e
2 1
−1 0
(cid:6) (cid:7)
−1 −1
Dunquelamatricecherappresentaτ nellabasedata`eT = .Ilsottogrup-
1 0
po di GL (R) generato da S e T `e il sottogruppo cercato.
2
3. Esercizi sulla traccia di matrici
Esercizio 3.1. SianoA ∈ M (K)eB ∈ M (K).Dimostrarechesihatr(AB) =
m,n n,m
tr(BA). (cid:14)
(cid:5)Soluzione. Ricordiamo che la traccia di una matrice k ×k `e definita come trC =
k Ci Dunque
i=1 i
(cid:2)m (cid:2)m (cid:2)m (cid:2)n
tr(AB) = (AB)i = (cid:18)Ai,B (cid:19) = AiBj
i i j i
i=1 i=1 i=1 j=1
Analogamente
(cid:2)n (cid:2)n (cid:2)m (cid:2)n (cid:2)m
tr(BA) = (BA)i = BiAj = AjBi
i j i i j
i=1 i=1 j=1 i=1 j=1
Gli indici i e j sono indici “muti”; possiamo dunque scambiare il ruolo di i e j nella
sommatoria ottenendo
(cid:2)n (cid:2)m
tr(BA) = AiBj
j i
j=1 i=1
(cid:2)m (cid:2)n
= AiBj
j i
i=1 j=1
ovvero tr(AB) = tr(BA).
Esercizio 3.2. SianoA ,A ,...,A matricik×k.Dimostrarechetr(A A A ···A ) =
1 2 n 1 2 3 n
tr(A A ···A A ). Questo fatto si esprime dicendo che l’operazione
2 3 n 1
(A ,...,A ) (cid:4)→ tr(A A A ···A )
1 n 1 2 3 n
`e ciclicamente invariante (invariante per l’azione del gruppo ciclico Z/nZ sulle vari-
abili A , ... A ). (cid:14)
1 n
4 D.FiorenzaeM.Manetti: geometriaanalitica2003/04
Soluzione. Poniamo B = A A ···A . Sfruttando il risultato dimostrato nell’Eser-
2 3 n
cizio 3.1, troviamo
tr(A A A ···A ) = tr(A B) = tr(BA ) = tr(A A ···A A )
1 2 3 n 1 1 2 3 n 1
Esercizio 3.3. Provare con un controesempio che, se n ≥ 3, e σ `e un elemen-
to del gruppo di permutazioni su n elementi, in generale si ha tr(A A ···A ) (cid:3)=
1 2 n
tr(A A ···A ). Questo fatto si esprime dicendo che l’operazione
σ(1) σ(2) σ(n)
(A ,...,A ) (cid:4)→ tr(A A A ···A )
1 n 1 2 3 n
non`e simmetricamente invariante (invariante per l’azione del gruppo simmetrico Σ
n
sulle variabili A , ... , A ). (cid:14)
1 n
Soluzione. Ad esempio si possono prendere
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
1 1 1 1 1 −1
A = ; A = ; A = ;
1 1 1 2 1 −1 3 0 0
e σ: {1,2,3} → {1,2,3} definita da
σ(1) = 2; σ(2) = 1; σ(3) = 3.
Si ha infatti
(cid:6) (cid:7)
2 −2
tr(A A A ) = tr = 0
1 2 3 2 −2
e
(cid:6) (cid:7)
2 −2
tr(A A A ) = tr(A A A ) = tr = 2
σ(1) σ(2) σ(3) 2 1 3 0 0
4. Esercizi sui prodotti scalari
Esercizio 4.1. (regola del parallelogramma)
Mostrare che per ogni x,y ∈ Rn vale
(cid:20)x−y(cid:20)2+(cid:20)x+y(cid:20)2 = 2(cid:20)x(cid:20)2+2(cid:20)y(cid:20)2.
(cid:14)
Esercizio 4.2. (Sfera di Apollonio)
Siano dati x ∈ R3 e λ ∈]0,1[. Denotando y = x/(1−λ2), provare che per ogni z ∈ R3
vale
(cid:20)z−x(cid:20)2−λ2(cid:20)z(cid:20)2
= (cid:20)z−y(cid:20)2−λ2(cid:20)y(cid:20)2.
1−λ2
Dedurre che il luogo dei punti p ∈ R3 tali che d(p,x) = λd(p,0) `e una sfera e
calcolarne raggio e centro. (cid:14)
Esercizio 4.3. Verificare l’identita` tra prodotti scalari di vettori
(cid:18)x−u,y−z(cid:19)−(cid:18)x−z,y−u(cid:19)+(cid:18)x−y,z−u(cid:19) = 0
e utilizzarla per dimostrare che le tre altezze di un triangolo xyz si incontrano in un
punto u. (cid:14)
Esercizio 4.4. SiconsiderinoinR3 ilpianoαdiequazionecartesianax+y+2z = 0
e la retta r = α⊥. Determinare una base ortonormale e ,e ,e di R3 con e ,e ∈ α
1 2 3 1 2
ed e ∈ r. (cid:14)
3
D.FiorenzaeM.Manetti: geometriaanalitica2003/04 5
Soluzione. Iniziamo col determinare una base (non necessariamente ortonormale)
v ,v ,v di R3, con v ,v ∈ α e v ∈ r. Applicando il procedimento di Gram-
1 2 3 1 2 3
Schmidt a questa base troveremo una base ortonormale e ,e ,e con le caratter-
1 2 3
istiche richieste. Come {v ,v } dobbiamo scegliere una base di α. Dall’equazione
1 2
x+y+2z = 0 ricaviamo

x = −t −2t
1 2
y = t
 1

z = t
2
e dunque con le scelte canoniche (t ,t ) = (1,0) e (t ,t ) = (0,1) troviamo
1 2 1 2
   
−1 −2
   
v = 1 ; v = 0
1 2
0 1
Il vettore v si trova immediatamente: `e il vettore dei coefficienti dell’equazione
3
cartesiana del piano, ovvero
 
1
 
v = 1
1
2
AdessoapplichiamoilprocedimentodiGram-Schmidtpertrasformare{v ,v ,v }in
1 2 3
unabaseortogonale{f ,f ,f }.Osserviamochev `egi`aortogonalealpianogenerato
1 2 3 3
da v e v , quindi bastera` applicare il procedimento di Gram-Schmidt ai vettori v
1 2 1
e v prendendo poi f = v . Si ha:
2 3 3
f = v
1 1
(cid:18)v ,f (cid:19)
f = v − 2 1 f
2 2 (cid:18)f ,f (cid:19) 1
1 1
e dunque
     
−1 −1 1
f =  1 ; f = −1; f = 1
1 2 3
0 1 2
Infine, normalizzando i vettori {f } troviamo
i
     
−1 −1 1
1 1 1
e = √  1 ; e = √ −1; e = √ 1
1 2 3
2 3 6
0 1 2
Esercizio 4.5. Sia V lo spazio vettoriale delle funzioni continue a valori complessi
definite in [−π, π]. Se f, g ∈ V definiamo
(cid:16)
π
(cid:18)f, g(cid:19) := f(x)g(x)dx.
−π
Verificare che si tratta di un prodotto Hermitiano.
Si indichi con f la funzione definita ponendo f (x) = eint, verificare che per distinti
n n
m,n ∈ Z, f e f sono ortogonali. (cid:14)
n m
Esercizio 4.6. Sia A: Rn → Rn un’applicazione lineare. Dimostrare che per ogni
base ortonormale u ,... ,u vale
1 n
(cid:2)n
Traccia(A) = (cid:18)Au ,u (cid:19).
i i
i=1
(cid:14)
6 D.FiorenzaeM.Manetti: geometriaanalitica2003/04
Esercizio 4.7. Sia V uno spazio vettoriale reale munito di un prodotto scalare.
Siano dati m vettori ortonormali v ,v ,...,v tali che, per ogni v ∈ V si abbia
1 2 m
(cid:2)m
(cid:18)v,v(cid:19) = (cid:18)v,v (cid:19)2.
i
i=1
Dimostrare che v ,v ,...,v `e una base di V. (cid:14)
1 2 m
Esercizio 4.8. Scegliendo la base canonica {Ej} per lo spazio delle matrici reali
i
m×n, si ottiene un identificazione M (R) (cid:6) Rmn. Il prodotto scalare standard
m,n
su Rmn induce pertanto un prodotto scalare sullo spazio M (R). Dimostrare che
m,n
questo prodotto scalare si puo` esprimere come (cid:18)A,B(cid:19) = tr(ATB). (cid:14)
Soluzione. Le coordinate di una matrice A ∈ M (R) rispetto alla base canonica Ej
m,n i
sono semplicemente i coefficienti Ai della matrice. Il prodotto scalare indotto sullo
j
spazio delle matrici dal prodotto standard in Rmn `e pertanto
(cid:2)m (cid:2)n (cid:2)n (cid:2)m
(cid:18)A,B(cid:19) = AiBi = (AT)jBi
j j i j
i=1 j=1 j=1 i=1
(cid:2)n (cid:2)n
= (cid:18)(AT)j,B (cid:19) = (ATB)j
j j
j=1 j=1
= tr(ATB).
Esercizio 4.9. Sia (cid:20) − (cid:20) la norma indotta su M (R) dal prodotto scalare
m,n m,n
(cid:18)A|B(cid:19) = tr(ATB).DimostrarecheseA ∈ M (R)eB ∈ M (R),allora(cid:20)AB(cid:20) ≤
m,n n,m m,m
(cid:20)A(cid:20) ·(cid:20)B(cid:20) . (cid:14)
m,n n,m
Soluzione. Per quanto dimostrato nell’Esercizio 4.8,
(cid:20)AB(cid:20)2 = (cid:18)AB,AB(cid:19)
m,m
(cid:2)m (cid:2)m (cid:2)m (cid:2)m (cid:17) (cid:18)
(AB)i(AB)i (AB)i 2
j j j
i=1 j=1 i=1 j=1
(cid:2)m (cid:2)m
= (cid:18)Ai,B (cid:19)2
j
i=1 j=1
Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz sappiamo
(cid:18)Ai,B (cid:19)2 ≤ (cid:20)Ai(cid:20)2·(cid:20)B (cid:20)2
j j
da cui
 
(cid:3) (cid:4)
(cid:2)m (cid:2)m (cid:2)m (cid:2)m
(cid:20)AB(cid:20)2 ≤ (cid:20)Ai(cid:20)2·(cid:20)B (cid:20)2 = (cid:20)Ai(cid:20)2  (cid:20)B (cid:20)2
m,m j j
i=1 j=1 i=1 j=1
e si conclude utilizzando le uguaglianze
(cid:2)m (cid:2)m (cid:2)n
(cid:20)Ai(cid:20)2 = (Ai)2 = (cid:20)A(cid:20)2
j m,n
i=1 i=1 j=1
(cid:2)m (cid:2)m (cid:2)n
(cid:20)B (cid:20)2 = (Bi)2 = (cid:20)B(cid:20)2
j j n,m
j=1 j=1 i=1