Esercizi di Meccanica Razionale

542 Pages·1982·86.12 MB·Italian

by  Sergio Bressan

S. BllESSAN
A. GRIOLI
esercizi di • .
m e e c a n c a
r a z i o n l e
EDIZIONI
LIBRERIACORT1NA
PADOVA
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
1 a EDIZIONE 1978
23 EDIZIONE 1979
RISTAMPA 1981
PROPRIETA LETTERARIA RISERVATA
LIBRERIA CORTINA - PADOVA
PRINTED IN ITA LY
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
Sergio Bressan - Antonio Grioli
esercizi di
meccani•c a
razionale
seconda edizione
riveduta ed ampliata
EDIZIONI
LIBRERIACORTINA
PADOVA 1981
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
P r e m e s s a
Questo libro trae origine ~ai diversi corsi
di "Esercitazioni di Meccanica Razionale" ·che
si sono tenuti e che tuttora si tengono in va
rie Università per le lauree in Astronomia, in
Fisica, in Ingegneria e in Matematica.
In esso si è cercato di venire incontro al
le esigenze sia dei diversi programmi dei cor
si summenzionati,sia dello scopo didattico del
1 'opera.
A tal fine si sono richiamate,all'inizio di
ogni capit;olo, le definizioni ·e i teoremi ad
esso più strettamente connessi, consentendo co
si precisi richiami nello svolgimento degli e
sercizi.
Sui consueti argomenti di Cinematica, Stati
da e Dinamica, alcuni capitoli contengono de
gli sviluppi richiesti specific.atamen~e da cer
ti corsi.
Nel testo sono contenuti due capitoli di e
sercizi sulle equazioni e trasformazioni cano
niche e sul metodo di integrazione di Hamilton
-Jacobi solitamente assenti in libri di eserci
zi.
Inoltre,per certi corsi dell'Ingegneria, si
è aggiunto alla :fine, un capitolo con i primi
elementi che servono alla Statica Grafica.
Sergio Bressan e Antonio Grioli
Padova; maggio 19 7 8
La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])
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1
C A P I T O L O
CALCOLO VETTORIALE
DEF !-_J.[0 Dato un sistema di n vettori y1 ,y2, •• -•••• •Yn• si diae toro
risuttante it vettore R dato da :
n
L
( 1) yi.
i=l
Dette vix' viy e viz (i=1,2, ••• ,n) le componenti di yi (i=1,2, ••• ,n)
secondo gli assi di una terna cartesiana, trirettangola e levogira di
riferimento, e Rx' Ry e R quelle del loro risultante, si ha :
2
n n n
(2) i?=:=l vix iL=:l viy iL=:l V iz •
DEF. II0 dato un sistema di n vettori yi (i=1,2, ••• ,n) apptiaati nei
punti Ai (i=1,2, ••• ,n) si ahiama toro momento potare risui
tante ~Q' rispetto ai poto Q, it vettore dato da :
n
(3) M = L:
-Q
i=l
Dette MQx' MQy e MQz le componenti di ~Q rispetto al siste~a car
tesiano ortogonale Oxyz , xi , yi e zi ( i=1, 2, ••. , n) le coordinate dei
'~/'
punti Ai' x , y e z quelle di Q e vix' viy e viz le compone6ti di yi'
0 0 0
si ha :
rn=
MQx [<yi-yQ)viz (zi-zQ)viy]
i=l
t
(4) MQy [czi-zQ)vix (xi -xQ) v iz]
i•l
t
MQz [(xi -x0) v iy (yi-yQ)vix]
i=l
Dalle (4) si vede che, se il polo è l'origine o, le componenti
del momento polare risul_tante diventano
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2
Ln Ln
(5) (yiviz - 2iviy) M y (zivix - xiviz)
i=l i=l
n
2=
Mz (xiviy - yivix)
i=l
---;
~REMA 1° \ il momento polare di un sistema di vettori applicati
non varia se si spostano i vettori lungo le loro ret
te di applicazione.
Se si sceglie un polo Q' diverso da Q e si indica con ~Q'
il momento polare risultante del sistema di vettori applicati yi
(i=1 ,2, ... ,n) rispetto ad esso, risulta
(6) ~Q' ~Q + Q 'Q A !3
ove ~Q è dato da (3) e R è il risultante del sistema di vettori ap
plicati.
DEF. III0 se E è il risultante di un sistema di vettori applicati
e ~Q ne è il momento polare risultante rispetto ad un po
lo Q, la quantità (indipendente da Q ) ~ x ~ dicesi tri
nomio invariante.
DEF. IV0 l 'asse centrale di un sistema di vettori applicati V.
-i
(i=1,2, . . . ,n) a risultante diverso da zero, è il luogo
dei poli di momento polare parellelo al risultante.
TEOREMA II0 : l 'asse centrale è il luogo dei poli di minimo momento.
Dato il sistema di n vettori yi (i=1,2, ... ,n) applicati nei pun
ti Ai (i=1 ,2, ... ,n) e la retta orientata r, di versore ~, si dà la
seguente
DEF. V0 dicesi momento assiale risultante del sistema di vettori
applicati rispetto alla retta orientata r, lo scalare M
r
dato da :
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3
n
L
(7)
i=l
ove Q è un punto quaZsiasi di r.
TEOREMA 111° iZ momento assiaZe risuZtante di un sistema di vettori
appZicati rispetto ad W'l6 Pe-t-t-a e~ F n~n v~~ia
se si spostano i vettori Zungo Ze rispettive rette di
appZicazione.
TEOREMA IV 0 (DI VARIGNON) : iZ momento risuZtante poZare (assiaZe) di
un sistema di vettori appZicati tutti in un medesimo
poZo A o su rette concorrenti in un punto A , coincf.
de con iZ momento rispetto aZZo stesso poZo (aZZa ste!
sa retta orientata) deZ risuZtante deZ sistema appZic~
'to in A •
DEF. VI0 due sistemi di vettori appZicati si dicono riducibiZi Z'uno
aZZ'aZtro se, con Ze soZe operazioni eZementari, si può pa!
sare dai vettori deZZ'uno a queZZi deZZ'aZtro.
DEF. VII0 un sistema di vettori appZicati dicesi equiZibrato o nuZZo
:
o riducibiZe a zero se è riducibiZe ad una ò più coppie di
braccio nuZZo.
TEOREMA V0 condizione necessaria e sufficiente affinché un siste
ma di vettori appZicati sia riducibiZe a un soZo vettQ
re appZicato o ad una soZa coppia è che sia nuZZo iZ
suotrinomio invariante.
TEOREMA VI o condizione necessaria e sufficiente affinché un siste
ma di vettori appZicati sia equiZibrato è che esso ab
bia nuZZi iZ risuZtante e iZ momento risuZtante rispet
to ad un poZo.
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