Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I

315 Pages·2003·3.14 MB·Italian

Universita` di Torino
QUADERNI DIDATTICI
del
Dipartimento di Matematica
E. Abbena, G. M. Gianella
Esercizi di Geometria
e Algebra Lineare I
Corso di Studi in Fisica
Quaderno # 16 - Aprile 2003
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Gliesercizipropostiinquestaraccoltasonostatiassegnaticometemid’esamedeicorsidiGeometriatenutinegli
ultimiannipressoilCorsodiLaureainFisicadell’Universita`diTorino.EssisonoindirizzatiaiCorsidiGeometria
eAlgebraLineareIediComplementidiGeoemtriaeAlgebraLineareI,perStudentidiFisica;lasuddivisionein
capitolirispettal’andamentodeiprogrammi.
Negliultimicapitolisonoriportatealcunesoluzioniequalchesvolgimentoottenutoperlopiu` usandoilpacchetto
dicalcolosimbolicoMathematica,versione 4.0.
Si ringraziano iProff. P.M. Gandini, S. Garbiero e A. Zucco peraver permessol’inserimentoin questa raccolta
degli esercizi da loro assegnati e svolti negli anni in cui essi tenevano l’insegnamento del Corso di Geometria
pressoilCorsodiLaureainFisicaegrazieaSimonM.Salamonperisuoipreziosiconsigli.
iii
Disegnorealizzato(conMathematica)dallostudentedelprimoanno: FedericoCrepaldi
iv
Indice
1 Sistemilineari 1
2 Matriciedeterminanti 6
3 Calcolovettoriale 11
4 Sottospazivettoriali 16
5 Spazivettorialieuclidei 27
6 Applicazionilineari 30
7 Diagonalizzazionedimatrici 52
8 Conichenelpiano 62
9 Geometriaanaliticanellospazio 68
10 Soluzioni-Sistemilineari 91
11 Soluzioni-Matriciedeterminanti 102
12 Soluzioni-Calcolovettoriale 111
13 Soluzioni-Sottospazivettoriali 127
14 Soluzioni-Spazivettorialieuclidei 145
15 Soluzioni-Applicazionilineari 150
16 Soluzioni-Diagonalizzazionedimatrici 189
17 Soluzioni-Conichenelpiano 209
18 Soluzioni-Geometriaanaliticanellospazio 270
v

Capitolo 1
Sistemi lineari
Risolvereediscutere,alvariaredeglieventualiparametrireali,iseguentisistemilineari:
(cid:236)(cid:239)(cid:239) x1(cid:43)x2(cid:45)x3 (cid:61)1
[1] (cid:237) 2x (cid:43)2x (cid:43)x (cid:61)0
(cid:239) 1 2 3
(cid:239)
(cid:238) x1(cid:43)x2(cid:43)2x3 (cid:61)(cid:45)1.
(cid:236)(cid:239)(cid:239) (cid:45)2x1(cid:43)x2(cid:43)x3 (cid:61)1
[2] (cid:237) x (cid:45)2x (cid:43)x (cid:61)(cid:45)2
(cid:239) 1 2 3
(cid:239)
(cid:238) x1(cid:43)x2(cid:45)2x3 (cid:61)4.
(cid:236)(cid:239)(cid:239) 2x1(cid:45)x2(cid:45)x3(cid:45)4x4 (cid:61)9
[3] (cid:237) 4x (cid:45)3x (cid:45)x (cid:61)0
(cid:239) 1 3 4
(cid:239)
(cid:238) 8x1(cid:45)2x2(cid:45)5x3(cid:45)9x4 (cid:61)18.
(cid:236)(cid:239) 2x(cid:45)2y(cid:43)z(cid:43)4t (cid:61)0
(cid:239)
(cid:239)
(cid:239) x(cid:45)y(cid:45)4z(cid:43)2t (cid:61)0
[4] (cid:237)
(cid:239)(cid:239) (cid:45)x(cid:43)y(cid:43)3z(cid:45)2t (cid:61)0
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 3x(cid:45)3y(cid:43)z(cid:43)6t (cid:61)0.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:43)az(cid:61)1
(cid:239)
[5] (cid:237) x(cid:43)2y(cid:43)bz(cid:61)3
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) y(cid:43)cz(cid:61)2.
(cid:236)(cid:239) 2x(cid:43)y(cid:45)z(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:239) x(cid:43)2y(cid:45)2z(cid:61)0
[6] (cid:237)
(cid:239)(cid:239) 3x(cid:45)y(cid:43)2z(cid:61)(cid:45)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:45)y(cid:43)z(cid:61)k.
(cid:236)(cid:239) ax(cid:45)y(cid:43)z(cid:61)2
(cid:239)
[7] (cid:237) x(cid:45)ay(cid:43)z(cid:61)3(cid:45)a2
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:45)y(cid:43)az(cid:61)a(cid:43)1.
1
2 E.Abbena,G.M.Gianella–EsercizidiGeometriaeAlgebraLineareI
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:43)z(cid:61)a
(cid:239)
[8] (cid:237) x(cid:45)ay(cid:45)z(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 2x(cid:43)y(cid:43)az(cid:61)a(cid:43)1.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:43)Λz(cid:61)2Λ(cid:45)1
(cid:239)
[9] (cid:237) x(cid:43)Λy(cid:43)z(cid:61)Λ
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) Λx(cid:43)y(cid:43)z(cid:61)1.
(cid:236)(cid:239) 2x(cid:43)az(cid:61)1
(cid:239)
[10] (cid:237) 3x(cid:43)ay(cid:45)2z(cid:61)2
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) ax(cid:43)2z(cid:61)1.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:45)z(cid:61)1
(cid:239)
[11] (cid:237) 2x(cid:43)3y(cid:43)kz(cid:61)3
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:43)ky(cid:43)3z(cid:61)h.
(cid:236)(cid:239) kx(cid:43)y(cid:43)z(cid:61)1
(cid:239)
[12] (cid:237) x(cid:43)ky(cid:43)z(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:43)y(cid:43)kz(cid:61)h.
(cid:236)(cid:239) x(cid:45)y(cid:43)z(cid:61)5
(cid:239)
[13] (cid:237) 2x(cid:43)y(cid:43)2z(cid:61)b
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) (cid:45)3x(cid:45)3y(cid:43)az(cid:61)1.
(cid:236)(cid:239) 2x(cid:45)3y(cid:43)2z(cid:61)1
(cid:239)
[14] (cid:237) x(cid:43)y(cid:45)2z(cid:61)2
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 4x(cid:45)y(cid:43)az(cid:61)b.
(cid:236)(cid:239) (cid:40)3(cid:45)k(cid:41)x(cid:45)y(cid:45)z(cid:61)a
(cid:239)
[15] (cid:237) 2x(cid:45)(cid:40)4(cid:45)k(cid:41)y(cid:45)2z(cid:61)b
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 3x(cid:45)3y(cid:45)(cid:40)5(cid:45)k(cid:41)z(cid:61)c.
(cid:236)(cid:239) (cid:40)2(cid:45)k(cid:41)x(cid:45)ky(cid:43)(cid:40)1(cid:45)k(cid:41)z(cid:61)1(cid:45)2k
(cid:239)
[16] (cid:237) (cid:40)4(cid:45)2k(cid:41)x(cid:45)3ky(cid:43)(cid:40)1(cid:45)2k(cid:41)z(cid:61)1(cid:45)k
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) (cid:40)2(cid:45)k(cid:41)x(cid:45)2ky(cid:43)kz(cid:61)(cid:45)5k.
(cid:236)(cid:239) (cid:40)h(cid:43)1(cid:41)x(cid:45)hy(cid:43)(cid:40)2h(cid:43)1(cid:41)z(cid:61)3(cid:43)2h
(cid:239)
[17] (cid:237) (cid:40)h(cid:43)1(cid:41)x(cid:45)hy(cid:43)2hz(cid:61)1(cid:43)3h
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) (cid:40)(cid:45)h(cid:45)1(cid:41)x(cid:45)(cid:40)2h(cid:43)1(cid:41)z(cid:61)(cid:45)3(cid:40)h(cid:43)1(cid:41).
(cid:236)(cid:239) (cid:40)m(cid:45)1(cid:41)x(cid:43)y(cid:43)mz(cid:61)0
(cid:239)
[18] (cid:237) m(cid:40)1(cid:45)m(cid:41)x(cid:43)(cid:40)1(cid:45)m(cid:41)y(cid:45)2m2z(cid:61)2
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) (cid:40)m(cid:45)1(cid:41)x(cid:43)2y(cid:45)2z(cid:61)m(cid:43)3.
Universita`diTorino
Capitolo1–Sistemilineari 3
(cid:236)(cid:239) (cid:40)k(cid:43)1(cid:41)x(cid:43)(cid:40)k(cid:43)1(cid:41)y(cid:43)2z(cid:61)1
(cid:239)
[19] (cid:237) x(cid:43)ky(cid:43)z(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) (cid:40)1(cid:45)k(cid:41)x(cid:43)(cid:40)k(cid:45)1(cid:41)z(cid:61)0.
(cid:236)(cid:239) kx(cid:45)2(cid:40)k(cid:43)1(cid:41)y(cid:43)z(cid:61)4(cid:45)2k
(cid:239)
[20] (cid:237) (cid:40)k(cid:43)1(cid:41)y(cid:43)z(cid:61)k(cid:43)3
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 2kx(cid:45)5(cid:40)k(cid:43)1(cid:41)y(cid:43)2z(cid:61)8(cid:45)9k.
(cid:236)(cid:239) kx(cid:43)2y(cid:43)2kz(cid:61)1
(cid:239)
[21] (cid:237) kx(cid:43)(cid:40)3(cid:45)k(cid:41)y(cid:43)3kz(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) kx(cid:43)(cid:40)k(cid:43)1(cid:41)y(cid:43)2kz(cid:61)2.
(cid:236)(cid:239)(cid:239) x1(cid:43)x2(cid:43)x3 (cid:61)a
[22] (cid:237) ax (cid:43)x (cid:43)2x (cid:61)2
(cid:239) 1 2 3
(cid:239)
(cid:238) x1(cid:43)ax2(cid:43)x3 (cid:61)4.
(cid:236)(cid:239) x(cid:45)y(cid:43)z(cid:45)t (cid:61)a2
(cid:239)
[23] (cid:237) 2x(cid:43)y(cid:43)5z(cid:43)4t (cid:61)a
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:43)2z(cid:43)t (cid:61)2.
(cid:236)(cid:239)(cid:239) 2x1(cid:43)ax2(cid:43)x3 (cid:61)2
[24] (cid:237) x (cid:43)x (cid:43)ax (cid:61)4
(cid:239) 1 2 3
(cid:239)
(cid:238) x1(cid:43)x2(cid:43)x3 (cid:61)a.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)z(cid:43)2t (cid:61)2
(cid:239)
[25] (cid:237) (cid:45)x(cid:45)y(cid:43)z(cid:43)t (cid:61)a2
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 4x(cid:43)y(cid:43)2z(cid:43)5t (cid:61)a.
(cid:236)(cid:239) 2x(cid:45)y(cid:43)3z(cid:43)t (cid:61)0
(cid:239)
[26] (cid:237) 4x(cid:43)y(cid:45)2z(cid:45)t (cid:61)0
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 2x(cid:43)5y(cid:43)az(cid:45)5t (cid:61)0.
(cid:236)(cid:239)(cid:239) x1(cid:43)2x2(cid:45)x3(cid:43)Λx4 (cid:61)0
(cid:239)
(cid:239) (cid:45)x (cid:43)(cid:40)Λ(cid:45)2(cid:41)x (cid:43)x (cid:61)0
[27] (cid:237) 1 2 3
(cid:239)(cid:239)(cid:239) 2x2(cid:43)x3 (cid:61)0
(cid:239)
(cid:238) (cid:45)x1(cid:45)2x2(cid:43)x3(cid:43)Λx4 (cid:61)0.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:45)z(cid:61)0
(cid:239)
[28] (cid:237) x(cid:43)(cid:40)2Λ(cid:43)1(cid:41)y(cid:45)(cid:40)Λ(cid:43)1(cid:41)z(cid:61)2Λ(cid:43)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:43)Λy(cid:45)z(cid:61)Λ(cid:45)1.
(cid:236)(cid:239) x(cid:45)y(cid:45)z(cid:61)0
(cid:239)
[29] (cid:237) 3x(cid:43)y(cid:43)2z(cid:61)0
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 4x(cid:43)Λy(cid:61)0.
QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica
4 E.Abbena,G.M.Gianella–EsercizidiGeometriaeAlgebraLineareI
(cid:236)(cid:239) 3x(cid:43)2y(cid:43)z(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:239) 5x(cid:43)3y(cid:43)3z(cid:61)2
[30] (cid:237)
(cid:239)(cid:239) 7x(cid:43)4y(cid:43)5z(cid:61)3
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:43)y(cid:45)z(cid:61)0.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:43)hz(cid:61)2h
(cid:239)
[31] (cid:237) x(cid:43)y(cid:43)2z(cid:61)(cid:45)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 2x(cid:45)hy(cid:43)4z(cid:61)(cid:45)2.
(cid:236)(cid:239) hx(cid:43)y(cid:43)hz(cid:61)(cid:45)1
(cid:239)
[32] (cid:237) 2x(cid:45)y(cid:43)2z(cid:61)(cid:45)h(cid:45)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 3x(cid:43)3y(cid:43)(cid:40)h(cid:43)2(cid:41)z(cid:61)(cid:45)h(cid:45)2.
(cid:236)(cid:239) x(cid:45)ay(cid:43)z(cid:61)a
(cid:239)
[33] (cid:237) ax(cid:45)2y(cid:43)3z(cid:61)(cid:45)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) 3x(cid:45)2y(cid:43)az(cid:61)5a.
(cid:236)(cid:239) 2x(cid:43)ay(cid:61)1
(cid:239)
[34] (cid:237) x(cid:43)y(cid:45)z(cid:61)(cid:45)2
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) ax(cid:45)y(cid:43)z(cid:61)2.
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)y(cid:43)(cid:40)h(cid:45)1(cid:41)z(cid:61)2h(cid:45)2
(cid:239)
[35] (cid:237) x(cid:43)y(cid:43)2z(cid:61)(cid:45)1
(cid:239)(cid:239)
(cid:238) 2x(cid:43)(cid:40)(cid:45)h(cid:43)1(cid:41)y(cid:43)(cid:40)h(cid:45)1(cid:41)2z(cid:61)(cid:45)2.
[36] Verificarecheper a(cid:61)(cid:45)1 ilseguentesistemalinearee` incompatibile:
(cid:236)(cid:239) x(cid:43)2y(cid:45)z(cid:61)0
(cid:239)
(cid:237) (cid:45)x(cid:43)z(cid:61)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) x(cid:43)4y(cid:43)az(cid:61)0.
[37] Discutere la compatibilita` del seguente sistema lineare, al variare dei parametri
h,k (cid:206) —. Determinare esplicitamente le soluzioni (quando e` possibile) usando anche (quando e` possibile) il
teoremadiCramer:
(cid:236)(cid:239) (cid:45)hx(cid:43)y(cid:43)z(cid:61)2
(cid:239)
(cid:237) x(cid:45)y(cid:61)(cid:45)1
(cid:239)
(cid:239)
(cid:238) hx(cid:45)2y(cid:45)2z(cid:61)k.
[38] Discutere la compatibilita` del seguente sistema lineare, al variare dei parametri
h,k (cid:206) —. Determinare esplicitamente le soluzioni (quando e` possibile) usando anche (quando e` possibile) il
teoremadiCramer:
(cid:236)(cid:239)(cid:239) x1(cid:43)2x2(cid:43)x3 (cid:61)1
(cid:237) x (cid:43)(cid:40)2(cid:45)h(cid:41)x (cid:43)(cid:40)2(cid:43)h(cid:41)x (cid:61)2
(cid:239) 1 2 3
(cid:239)
(cid:238) x1(cid:43)(cid:40)2(cid:43)3h(cid:41)x2(cid:45)2hx3 (cid:61)k.
Universita`diTorino