Esercizi di Analisi Matematica

188 Pages·2001·0.59 MB·Italian

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA
Disequazioni e propriet`a degli insiemi
1.1- ese1. 1-
Risolvere le seguenti disequazioni:
(x+1)(x−2)<0 (x+5)(x−5)≥0
x+2 x−2
>0 >0
x−3 x+3
x+3 (x+1)(x−1)
<1 >0
x−2 x−2
(x−2)(x+1)
<0 x2(x−1)≥0
x+7
x(x−7)2 <0 (x−5)4(x+10)≤0
(4x+7)10(2x+8)<0 3x2+5x+2>0
p
x2+4x+4≤0 x+|x|≥3−x
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) x (cid:12) p
(cid:12) (cid:12)<2+x x2−4≤1−x
(cid:12)x−1(cid:12)
p
x2+|tx|≥0 x+ t(x)≥t
1 p
|2t−x|> tx2− |t|x≤t, t∈R
x
|x2+4|≥x −x2−4x−5>0
|x|<x |x+5|<|x+1|
kx+4k<1 |x+2|>|x−1|
−x2+4 −x2+9
<0 <0
(1−x)(x2−2x+3) (1−x)(x2−2x−3)
3−x |x+1|(x−2)
≤2x >x
|x+1| x+3
(cid:12)(cid:12)3x−2(cid:12)(cid:12) √
(cid:12) (cid:12)<0 1−|x|≤ x
(cid:12) x+3 (cid:12)
√
1−|x|< x2 |1−|x||≥1
√ p
2 x+1+x<x+7 x2−8x+25>−x+9
p
7 x2−2x≤x x+|x|≥2
3x+1 2(x+1)
< |x|>x
x−1 x−2
(a2+a+3)x2+2ax+1≤0, a∈R.
1.2- ese1. 2-
Determinare a∈R tale che risulti:
{x∈R:ax+1<0}⊂{x∈R:x2−3x+2>0}.
1.3- ese1. 3-
1
Descrivere i seguenti sottoinsiemi di R:
A={x∈R:|x−|x−1||<2}
√
B ={x∈R:x 3 x<0}
p
C ={x∈R: x2−2x+2<x−2}
D ={x∈R:x2+4x+4<0}
Quali di essi risultano vuoti?
1.4- ese1. 4-
Siano
A ={x∈R:x2+t<0} e B ={y ∈R:y(y2+1)<0}, t∈R
t
Per quali t∈R si ha A ⊂B?
t
1.5- ese1. 5-
Dati A,B,D sottoinsiemi di R verificare che
A\(B\D)⊂(A\B)∪D
Se D ⊂A vale l’eguaglianza?
1.6- ese1. 6-
Quali dei seguenti insiemi risultano vuoti?
A={x∈R:|x|≤x};
1
B ={x∈R:x2−1< };
2
C ={x∈R:|x|≤0};
D ={x∈R:|x+4|≤x+3};
E ={x∈R:sen x≥1};
F ={x∈R:x<x2}.
1.7- ese1. 7-
E` vero che
a∈R,b∈R,|b|≤a ∀a>0⇒b=0?
e che
a2+b2 < 1 ∀n∈N\{0}⇒a=b=0?
n
1.8- ese1. 8-
In che relazione stanno gli insiemi:
{x∈R:kx2−2kx−2x+4≤0}
{x∈R:x2+4x+4+k >0}
al variare di k ∈R?
1.9- ese1. 9-
2
Siano
p
A ={y ∈R,y =−x+1+ x2+1,x≥−1},
1
A ={y ∈R,y ≥a, ∀a∈A },
2 1
A ={z ∈R,z ≥a, ∀a∈A }.
3 1
a) 0∈A ?
1
b)A e A sono diversi dal ∅?
2 3
c)A e A sono intervalli? sono limitati?
2 3
1.10- ese1. 10-
Stesso problema di prima per
p
B ={ x+|x|;x∈R},
1
√
C ={−x+ x,x≥0}.
1
1.11- ese1. 11-
Risolvere le seguenti disequazioni:
52x+5x−5>0 2sin2 x−cos x−1>0
5
sin2 x+ cos x−2>0 ax ≥2
2
1
log ( −x)≥0 cos2 xsin (2x)>0
10 3 √
x−2
|x2+1|≥sin 2x √ >0
x−1
√
x+1 p p
√ < 6 |−3x+1| 5 x2−2x≤|x|
3−3x+1
(cid:12)(cid:12)cos 2x(cid:12)(cid:12) (2x8+6x+1)(x−1)
(cid:12) (cid:12)<1 √ ≤0
(cid:12) sin x (cid:12) x−1|x2+5x+50|
ax >a (a>1) 10x1 ≥100;
p 1
lg (x2−1)≤lg (sin x)(cos x)≤0
x2+1
√ p 1 |x|
tg x≥ |x| arcsin ≥arccos
x2+1 x2+1
π
tg (cos x)>5 |arcsin (2x−1)|≤
4
r
cos x p 2x−1
≥1 3 lg (1−x2)≤ .
|2sin x| 2 x+1
1.12- ese1. 13-
Siano
A={x∈R:|x−|x+1||<2}
B ={x∈R:ln(−x)<k}∩{x∈R:x<0}
k
C ={k ∈R:B ⊂A}
k
`e vero che: C 6=∅?, 0∈C?, C `e un intervallo?
3
1.13- ese1. 14-
Siano
A ={x∈R:ex ≥k},k ∈R,
k
π π
B ={x∈[− , ],tg x≥0}.
4 4
Si chiede se k <5 o k ≤1 per `e condizione necessaria, sufficiente o necessaria e sufficiente affinch´e
B ⊂A
k
.
1.14- ese1. 15-
Risolvere i seguenti sistemi:
ln (7x2−22x+19)≤2

r
1−cos 2x
 ≤1
2
((x2−1)cos x≤0
lg (2x)≥0
 x+5
 ≤2
2x−7

7x−3≥0
x2+6x≤9

x−7
 >x2+3
2x
p
 x2+1<2x
7x−3
 ≤0
4
 2x+1
 ≤1
6x2
px2+x>0
1.15- ese1. 16-
Siano a,b,c∈R. Sono vere o false le seguenti affermazioni, e perch´e?
a6=0⇒a2 >0;
1
a>0⇒ >0;
a
|a|<|b|⇒a2 <b2;
a+c>b+c ∀c>0;
∀n∈N ∃p∈N tale che n∈{x∈R:x2+1>p2};
√
∀x∈R ∃n∈N tale che x= 2mx2m
.
1.16- ese1. 21-
4
Sia a∈R,I ⊂R,I 6=∅, a=infI `e vero che a+1 `e un maggiorante di I?
1.17- ese1. 22-
E` vero che
(cid:18) (cid:19)
1 3
inf{x∈R:x2+x+ ≥0,}=sup{x∈R:lg x2+ <0} ?
4 10 4
1.18- ese1. 23-
Siano
p
A={x∈R:−x−1+ x2+1≥0, x≥−1},
B ={y ∈R:y ≤a, ∀a∈A},
C ={z ∈R:z ≥a, ∀a∈A}.
Calcolare, se esistono,
supA,infA,maxA,minA,
supB,infB,maxB,minB,
infC,supC,minC,maxC
1.19- ese1. 45-
Si considerino le proposizioni
a) ∀(cid:15)>0 ∃ δ >0 tale che |sen x|<(cid:15) ∀x tale che |x|<δ.
b) ∀(cid:15)>0 6∃ δ >0 tale che |sen x|<δ E` vero che b) `e la negazione di a) ?
In caso negativo scrivere le negazioni di a) e b).
1.20- ese6. 2-
Risolvere le seguenti disequazioni
√ √ √
x+1≥−e−x−π x+1≥ x+2
p √ x+1
x2+1≥ x+2 ≤1
x−a
1.21- ese6. 3-
Si consideri l’insieme
(cid:26) 30nn! (cid:27)
A= x= :n∈N
(2n)!
Determinare, se esistono, supA=...... infA=...... maxA=...... minA=......
1.22- ese6. 70-
Si considerino le funzioni
f(x)=x2+2x−3 g(x)=x+1
Risolvere le seguenti disequazioni
(cid:3)
p p
f(x)≥ g(x)
5
(cid:3)
p p
|f(x)|≥ g(x)
(cid:3)
s
f(x)
≥1
g(x)
(cid:3)
s
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)f(x)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)≥1
(cid:12)g(x)(cid:12)
1.23- ese7. 29-
(cid:3) Disegnare l’insieme A={(x,y)∈R2 :y(x+1)+x≥0}
(cid:3) Disegnare l’insieme B ={(x,y)∈R2 :y(x+1)+x≥0,y ≥x}
(cid:3) Disegnare l’insieme C ={(x,y)∈R2 :x∈[a,b], y ∈[a,b], x≤y}
a,b
(cid:3) Determinare tutti gli a,b∈R tali che C ⊂B
a,b
x+1
Si consideri f(x)=
x2+3x+3
(cid:3)
Disegnare l’insieme A={(x,y)∈R2 :x≤y,f(x)≥f(y)}
(cid:3) Trovare per quali a,b∈R x,y ∈[a,b], x≤y =⇒ f(x)≥f(y)
1.24- ese7. 30-
(cid:3) Trovare per quali a,b∈R x,y ∈[a,b], x≤y =⇒ f(x)≤f(y)
(cid:3) Disegnare il grafico di f
(cid:3) Determinare supf, inff, maxf, minf
(cid:3) Disegnare il grafico di g(x)=f(x−1)
(cid:3) Determinare D = {x ∈ R : g(x) ≤ x} e disegnare i grafici di x e g(x) sullo stesso piano cartesiano
precisandone le mutue posizioni.
(cid:26)
a =g(a )
(cid:3) Provare che la successione definita da n n−1 `e decrescente, inferiormente limitata e trovarne il
a =1
0
limite.
L a `e inferiormente limitata infatti:
A1 n
L a `e decrescente infatti:
B1 n
L lima = infatti:
C1 n
6
Propriet`a elementari delle funzioni
2.1- ese1. 12-
Provare che 2x >x per ogni x∈R.
2.2- ese1. 17-
Sia g :R→R, g(x)=x2+1; h:R\{0}→R, h(x)= 1. Calcolare g(2), g(1), 1 , g(h(2)), h(g(2)),
x 2 g(2)
g(1+x+h(2)) h(g(h(2)))
2.3- ese1. 18-
√
Scrivereleseguentifunzionicomecompostedellefunzionielementari(x→ x,x→ 1,x→x2,x→x+a)
x
√
p
f(x)= x2 f(x)= x2−4
1 1
f(x)= f(x)=
x−1 x2−4
1
f(x)=3x2−4x+4 f(x)=
|x−1|
.
2.4- ese1. 24-
Stabilire l’insieme immagine e studiare l’iniettivit`a delle seguenti funzioni:
f(x)=2x, x∈[−5,5],
f(x)=2x+3, x∈[−5,5],
f(x)=x, x∈(−3,3),
f(x)=x3, x∈[−2,2],
f(x)=2x3,
x
f(x)= , x∈[5,7]
|x|
(cid:26)
1 1≤x≤3
f(x)= x
2x 0≤x<1
(cid:26) √
− x x∈[0,1)
f(x)= √
x x∈[1,2].
2.5- ese1. 44-
Si considerino le proposizioni
a) : ∃ (cid:15)>0 tale che ∀δ >0 ∃ x con |x|<δ tale che |sen x|>(cid:15)
b) : ∀(cid:15)>0 ∃ δ >0 tale che |sinx|≤(cid:15)∀x con |x|<δ
E` vero che a) `e condizione sufficiente affinch`e non si verifichi b)
2.6- ese1. 73-
Dare tre esempi di funzioni crescenti e tre esempi di funzioni decrescenti.
2.7- ese1. 87-
7
Risolvere i seguenti problemi individuandone con precisione i dati caratteristici:
a) Un rettangolo ha area di 10 m2. Esprimere il perimetro del rettangolo come funzione della lunghezza di
un suo lato.
b) Unascatolarettangolarehaunvolumedi1m3 elunghezzadoppiadellalarghezza. Esprimerelasuaarea
superficiale come funzione della sua altezza.
c) Un rettangolo `e inscritto in un semicerchio di raggio 1 ed ha la base sul diametro. Esprimere l’area del
rettangolo come funzione della lunghezza della base.
d) Uncilindrocircolareretto`einscrittoinunasferadiraggio12m. Esprimereilvolumeel’areasuperficiale
del cilindro come funzione del raggio di base.
2.8- ese4. 15-
Si consideri la funzione
f(x)=ln(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)x2−2x(cid:12)(cid:12)−1(cid:12)(cid:12)
(cid:3) f `e definita in I =......
(cid:3) f `e continua in J =......
(cid:3) f `e derivabile in K =......
(cid:3) f `e crescente in L=......
(cid:3) f `e invertibile in [0,2] ? (cid:13)NO (cid:13)SI e la sua inversa `e......
(cid:3) f `e invertibile in [0,1] ? (cid:13)NO (cid:13)SI e la sua inversa `e......
(cid:3) f `e invertibile in [3,+∞] ? (cid:13)NO (cid:13)SI e la sua inversa `e......
(cid:3) f `e invertibile in [−1,1] ? (cid:13)NO (cid:13)SI e la sua inversa `e......
2.9- ese4. 19-
Sia
p
y(x)= 1−log (cos2x)
2
L’insieme di definizione di y `e
(cid:3) I =......Il rango di y `e ......
(cid:3) R =......infatti
y
(cid:3) y `e periodica di periodo
π (cid:13) π (cid:13) 2π (cid:13) 4π (cid:13) non `e periodica (cid:13)
2
(cid:3) il grafico di y `e simmetrico rispetto all’asse delle x (cid:13) all’asse delle y (cid:13) all’origine
(cid:13)
(cid:3) y `e monotona nell’insieme ......`e ivi crescente (cid:13) `e ivi decrescente (cid:13) infatti ......
Dopo aver verificato se y `e invertibile in (cid:2)5π,π(cid:3) determinare
6
(cid:3) il dominio dell’inversa
(cid:3) il rango dell’inversa
(cid:3) se l’inversa `e monotona
8
(cid:3) una espressione dell’inversa in termini di funzioni elementari
y−1(x)=......
(cid:3) Determinare l’insieme delle soluzioni in (cid:0)−π,π(cid:1) della disequazione
2 2
p
y(x)≤ log (tanx)
2
(cid:3) Dimostrare che
(cid:26)x2−2x+3(cid:27)
sup =+∞
1−x
(cid:3) Verificare usando la definizione di limite che
limx2+2x+1=4
x→1
2.10- ese5. 32-
Eprimere in funzione del lato x
(cid:3) L’area A(x) dell’esagono regolare.
(cid:3) L’area A(x) dell’poligono regolare di n lati.
2.11- ese5. 33-
Si consideri il parallelepipedo in cui l’altezza h, la larghezza w e la lunghezza ‘ soddisfano le seguenti
relazioni
w =2h ‘=3w
(cid:3) Esprimere mediante una funzione il volume del parallelepipedo
2.12- ese6. 20-
Tra tutti i cilindri aventi superficie totale uguale ad 1, determinare quello di volume massimo.
2.13- ese6. 30-
Siano dati la funzione f e l’insieme di valori V come segue.
(cid:26)f(x)= 2x
3x+1
V ={−1,2/3,2,0}
(cid:26)f(x)= 4x
5x+3
V ={−7,4/5,1}
(cid:26)f(x)= 3x
7x+2
V ={−5,−1,3/7}
(cid:26)f(x)= 2x
5x+2
V ={−1,2/5,3/7}
(cid:26)f(x)= 7x
3x+5
V ={1,7/3,15/7,0}
(cid:26)f(x)=− x
4x+3
V ={−1/4,2/3,1}
9
(cid:26)f(x)= 7x
−x+2
V ={−7,−7/2,−2}
(cid:26)f(x)= 5x
2x+6
V ={5/4,5/2,3}
(cid:26)f(x)= 4x
3−2x
V ={−3,−2,−3/4}
Per ogni coppia di dati trovare l’insieme di definizione Idi f.
Individuare f(I)∩V.
f `e strettamente crescente o decrescente in I?
f `e iniettiva in I?
La restrizione di f a [0,+∞) `e strettamente crescente?
La restrizione di f a [0,+∞) `e strettamente decrescente?
2.14- ese6. 31-
Siano date le funzioni f e g e l’insieme T essendo
!
1
g(x)=5h(x), h(x)=log 1+ √ T =[−1,1]
5 log 2x2
5
!
1
g(x)=3h(x)−1, h(x)=log 1+ √ T =[0,1]
3 log 4x4
3
!
1
g(x)=2h(x)−2, h(x)=log 1+ √ T =[−1,1]
2 log 6x6
2
!
1
g(x)=4h(x)+1, h(x)=log 1+ √ T =[0,1]
4 log 4x4
4
!
1
g(x)=7h(x)−3, h(x)=log 1+ √ T =[−1,1]
7 log 4x4
7
!
1
g(x)=8h(x)+3, h(x)=log 1+ √ T =[0,1]
8 log 2x6
8
!
1
g(x)=6h(x)+2, h(x)=log 1+ √ T =[−1,0]
6 log 2x2
6
(cid:18) (cid:19)
1
g(x)=3h(x)+1/3, h(x)=log 1/6+ T =[−1,0]
3 log x2
3
(cid:18) (cid:19)
2
g(x)=−2h(x), h(x)=log 1+ T =[−1,0]
2 log x2
2
Determinare l’insieme di definizione J di g
g `e crescente inJ?
g ‘e decrescente in J?
Determinare un intervallo (se esiste) in cui g `e strettamente crescente
Determinare un intervallo (se esiste) in cui g `e strettamente decrescente
Posto A=T ∩J, risulta
sup{g(x): x∈A}=
inf{g(x): x∈A}=
Esiste max{g(x): ∈A}? Esiste min{g(x): ∈A}?
10