Esercizi di Algebra Lineare e Geometria

249 Pages·2013·2.689 MB·Italian

by  Ernesto Dedò

Esercizi di Algebra Lineare e
Geometria
Prof. Ernesto Dedò
Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano
[email protected]
II edizione,
28 febbraio 2013

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Indice
Prefazione ix
I. Introduzione 1
1. Introduzione 3
1.1. Esercizidiripasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Calcolocombinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II. Algebra lineare 13
2. Matrici 15
2.1. Definizionedimatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Operazionisullematrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Matriciablocchiedequivalenzadimatrici . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Spazi vettoriali 23
3.1. Sottospaziebasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa 35
4.1. Determinanteerango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Matriceinversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Teoria dei sistemi 45
5.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1. VerooFalso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2. Arispostamultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
ii Indice
6. Applicazioni lineari, prodotti scalari 57
6.1. Applicazionilineariematricerappresentativa . . . . . . . . . . . 57
6.2. Prodottiscalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3. Basiortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4.1. VerooFalso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4.2. Arispostamultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7. Autovalori ed autovettori 71
7.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.1. VerooFalso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.2. Arispostamultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8. Diagonalizzazione, matrici ortogonali 83
8.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1.1. VerooFalso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1.2. Arispostamultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9. Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo 95
9.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.1.1. VerooFalso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.1.2. Arispostamultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
III. Geometria piana 101
10.La retta nel piano 103
10.1. Coordinatecartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2. Laretta,eserciziintroduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.3. Esercizivarisullaretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.La circonferenza nel piano 113
12.Le coniche 121
12.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.Fasci di coniche 129
13.0.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14.Luoghi geometrici 137
15.Proiettività ed involuzioni 145
Indice iii
16.Polarità piana 151
17.Centro 159
17.1. centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
17.2. Triangoliautopolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
IV. Geometria dello spazio 169
18.Generalità sulllo spazio 171
19.Rette e piani nello spazio 175
19.1. Pianierette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.2. Esercizivari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
19.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
19.4. VerooFalso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
19.5. Arispostamultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20.Sfera e circonferenza nello spazio 187
20.1. Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
20.2. Circonferenzanellospazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
20.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
21.Cilindri, coni e proiezioni 195
21.1. Cilindroecono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
21.2. Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
21.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
22.Superfici rigate e di rotazione 205
22.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
23.Quadriche 213
24.Luoghi nello spazio 219
25.Esercizi di ricapitolazione 223
25.1. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
25.2. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Elenco delle figure
1.1. Esercizio1.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
10.1. Esercizio10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.1. Itriangolisimilidell’Esercizio11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.2. Esercizio11.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
14.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
15.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
16.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
16.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
17.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
17.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
17.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
17.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
18.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
vi Elencodellefigure
19.1. Distanzadiduerettesghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
20.1. Circonferenzanellospazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
21.1. Proiezionesulpiano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
22.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
22.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210