Esercitazioni di Meccanica Razionale

26 Pages·2005·0.12 MB·Italian

Esercitazioni
di Meccanica Razionale
a.a. 2002/2003
Vettori applicati
Maria Grazia Naso
[email protected]
Dipartimento di Matematica
Universita` degli Studi di Brescia
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Calcolo vettoriale - (cid:13)c 2003 M.G. Naso – p.1
◮
Riferimento bibliografico: ad es.
Appendice B. Vettori applicati
del testo consigliato
M. Fabrizio, Elementi di Meccanica Classica, Zanichelli
editore, Bologna, 2002.
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Calcolo vettoriale - (cid:13)c 2003 M.G. Naso – p.2
Esercizio 1. Dato il seguente sistema di tre vettori applicati
P
(A ,~v ) , (A ,~v ) , (A ,~v )
1 1 2 2 3 3
nel riferimento Oxyz:
A (1, 0, 0) ~v (0, 0, 1)
1 1
A (1, 1, 1) ~v ( 1, 1, 0)
2 2
− −
A (1, 1, 0) ~v (1, 0, 1) ,
3 3
−
determinare il modulo del momento, di tale sistema, calcolato
rispetto ai punti dell’asse centrale.
A B C D
1 2 0 3.
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Risoluzione.
1. calcoliamo il risultante del sistema :
P
3
~
R = ~v = (0, 1, 0) .
i
−
i=1
X
~
2. calcoliamo il momento risultante M rispetto al polo O
O
3
~
M = (A O) ~v = (0, 1, 1) .
O i i
− × − −
i=1
X
3. determiniamo l’ invariante scalare
~ ~
I = R M = 1 = 0 .
O
· 6
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~ ~
R M
′ ′ ~ O
4. Sia O a.c.: (O O) = λ R + × , λ R. Calcoliamo
∈ − R2 ∈
~ ~
R M
~ ~ ~ ~ O
M ′ =M + R λ R + ×
O O
× R2
!
1
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
=M R R M R M R
O O O
− R2 · − ·
h(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) i
I
~
= vers(R) .
R
~
Calcoliamo quindi il modulo del momento risultante M
′
O
′
rispetto ad un punto O dell’asse centrale
I
~
M ′ = | | = 1 A .
O
~
| | R ⇒
| |
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Esercizio 2. Dato il seguente sistema di tre vettori applicati
(A ,~v ), (A ,~v ), (A ,~v ), nel riferimento Oxyz:
1 1 2 2 3 3
P
A (1, 0, 0) A (0, 0, 2) A (1, 1, 0)
1 2 3
1 1
~v (1, 1, 0) ~v (0, 0, 1) ~v , , 0 ,
1 2 3
2 −2
(cid:18) (cid:19)
determinare
~
(a) il vettore risultante R.
~
(b) il momento risultante M rispetto al polo O.
O
(c) l’invariante scalare I.
(d) l’equazione cartesiana dell’asse centrale.
~
(e) il modulo del momento risultante M calcolato rispetto ad
′
O
′
un punto O dell’asse centrale.
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Risoluzione.
3
3 1
~
(a) R = ~v = , , 1 .
i
2 2
i=1 (cid:18) (cid:19)
X
3
~ ~
(b) M = (A O) ~v = 0.
O i i
− ×
i=1
X
~ ~
(c) I = R M = 0.
O
·
~ ~
R M
′ ~ O
(d) Poich´e (O O) = λ R + × , λ R, l’equazione
− R2 ∈
dell’asse centrale
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3 1
in forma vettoriale: (x, y, z) = λ , , 1 , λ R.
•
2 2 ∈
(cid:18) (cid:19)
in forma parametrica:
•
3
x = λ
2

1
 y = λ


 2


z = λ .





2 
in forma cartesiana: x = 2 y = z.
•
3
~ ′
(e) M = 0, O asse centrale.
′
O
| | ∈
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Esercizio 3. Dato il seguente sistema di tre vettori applicati
(A ,~v ), (A ,~v ), (A ,~v ), nel riferimento Oxyz:
1 1 2 2 3 3
P
A (2, 0, 0) A (0, 0, 2) A (0, 1, 0)
1 2 3
1 1
~v (1, 0, 0) ~v (1, 0, 1) ~v , , 0 ,
1 2 3
2 −2
(cid:18) (cid:19)
determinare
(a) l’equazione cartesiana dell’asse centrale.
~
(b) il modulo del momento risultante M calcolato rispetto ad
′
O
′
un punto O dell’asse centrale.
1
(c) i valori dei parametri α e β affinch´e il punto P α, α + , β
6
(cid:18) (cid:19)
appartenga all’asse centrale.
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Risoluzione.
(a)
3
5 1 15
~ 2
R = ~v = , , 1 R =
i
2 −2 ⇒ 2
i=1 (cid:18) (cid:19)
X
3
1
~
M = (A O) ~v = 0, 2,
O i i
− × −2
i=1 (cid:18) (cid:19)
X
7 5
~ ~
R M = , , 5 .
O
× −4 4
(cid:18) (cid:19)
~ ~
R M
′ ~ O
Poich´e (O O) = λ R + × , λ R, l’equazione
− R2 ∈
dell’asse centrale
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