Esercitazioni di Fisica Generale I

242 Pages·2000·15.932 MB·Italian

by  Luigi E. Picasso

, lI, ,l:lr'i
I
INDICE
Il 1" nunìero si riferisce al capitolo degli esercizi, tl20 al capitolo delle soluzioni)
191
1. N,TISURE ED ERRORI
2 VtrTTORI 393
.
6 s7i
3. CINENTATICA DtrL PUNTO
,1. LE EQUAZTONT DEL r\,rOTO 10 105 i
I
o. DINAN{ICA DtrL PUI{TO NON VINCOLATO 11 107 'i
6. DII{AN,{ICA TRASLAZIONALE DI SISTEN{I
NON VINCOLATI 15 113 /
-7 DINAN,IICA IN PRESENZA DI VINCOLI . 18 118 ,""
.
-8. LAVORO ED ENtrRGIA 21 123
9. N,TOTO IN CAN,{PO CEI\TRALE 25 130
10. CONSERVAZIONE DEL MONTENTO ANGOLARE ASSIALE 28 136
11. OSCILLAZIONI 30 138
L2. CINEN,{ATICA DEL CORPO RIGIDO 31 I42
13. CANIBIAN{trNTI DI RIFERIMENTO (CINEN,IATICA) 33 146
1I. DINAN{ICA NEI RIFtrRIN,ItrNTI NON INERZIALI 35 150
15. 38
LE EQUAZIONI CARDINALI DtrI SISTEMI r57
16. 40
DINANÍICA DEL CORPO RIGIDO 161
17. 43
ENERGIA DEI SISTEN,{I 168
18. LEGGI DI CONSERVAZIONE PER I SISTENÍI .. 46 r74
19. 49
FORZE IMPULSIVE E URTI r82
20. PROBLEN,II DI N{ECCANICA 52 18L*
2T.
EQUAZIONI DI STATO E TRASFORMAZIONI
63
TERNÍ ODINAMICHE 2r0
22, IL 1" PRII\CIPIO DELLA TERMODINAMICA 66 2r3
23. 72
TL 2" PRINCIPIO DELLA TERNTODINANÍICA 223
2]. ENTROPIA tr POTENZIALI TERMODINAN,ÍICI 75 228
25. PROBLEN{I DI TERN,{ODINAMICA 82 240
parte
Prima ESERCIZI E PROBLEMI
1. MISURE ED ERRORI
-f[ota. I] 7" esercizio è una proposta di esperimento da effettuarsi con mezzi "casa-
Iinghi", e dal risultato sempre gratifrcante. Meglio di ogni hezione serve a far capire
|'origine di quello che viene chiamato "errore" associato ad ogni risultato di una mi-
sura,. I1 problema della propagazione degli errori, che verrà affrontato in generale nel
3o esercizio, qui deye essere risolto dallo studente in modo "artigianale".
Le eguaglianze approssimate del 2" esercizio sono molto importanti e verranno spesso
utilizzate: in fisica molte espression i diventano più comprensibili ed efficaci se riscritte
trascurando i "terntini di ordine superiore", p.€s.log(1 + LVIV) -, LVIV, ecc.
Infine il 3" ed i1 4" riguardano il problema della propagazione degli errori.
1.1 Vi propongo di misurare I'accelerazione di gravità g apar-
tire dalla formula del periodo delle piccole oscillazioni del pendolo
T:2nt/m + g:4n2llT2
procedendo nel modo seguente: procuratevi del filo sottile ma
robusto, un oggetto di piccole dimensioni ma di grande massa
che appenderete al filo. Attaccate il filo al soffitto o allo stipite
di una porta e mettetelo in oscillazione, cercando di fare in modo
che le oscillazioni si svolgano su un piano. Quando le oscillazioni
sono piccole (= 10o) misurate con un cronometro il tempo corrispondente al maggior
numero possibile di oscillazioni. Ripetete più volte la misura.
Stimate al meglio I'errore su 7 dovuti alla sensibilità del cronometro e ai vostri tempi di
reazione (eventualmente misurati a parte), e sulla misura della lunghezza del pendoio;
quindi, dopo che avrete risolto il problema di capire come gli errori stimati su 7 e su
1 si "propagano" su 4tr2lfT2, sarete in grado di fornire il risultato della vostra misura
ed il relativo errore.
Fate una relazione in cui dite quali materiali avete usato, come avete assemblato il
pendolo, come avete proceduto a effettuare Ie varie misure, dei problemi che avete
,-lor-uto risolvere, e di quelli che avete individuato ma accantonato. Vi renderete conto
tire fare una misura accurata non è tanto banale, in ogni caso dovreste ottenere un
buon risultato ( S = 9.8 m/s2 ).
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I.2 Siano n e rn interi positivi e lrl << 1. Supponerrclo di poter tltrscrrlale,i tr.t'rtrini
proporzionali a 12 ,13.... dimostrare lc scguenti eguaglianze approssintate ,ncll',rlcline,
dato, anche se alcutre sono casi particolari cli srrcccssive). e verificalle,nr.rrrr,.r'ir-.uìlellt€,
(nrediante I'uso di una calcolatricc) per i valori inclicati.
a) (1 +r)'-llnr; r::0.01. n:10,
lt) -1 *1r -1-r; r : 0.01.
c) (1+,r)-rtNI-,': r : 0.01, lt : 10.
d) lr+;-r+),,; :
r; 0.01.
r/n-r+1";
e) (1 +r) :r: : 0.01. ri : 10.
f) (1 +r) Lnfrn - 11 Lr; r:0.01. ,:2.
rr1 -i
g) Verificare numeri.uít"n," per jr : 10-2 (usarc .'a CalC,ilatt'ir..-- -r -s-'--rit-lrli:
(:' - 1 + r; log"(1 + e;) - r
e scrivere e' e log"(t +r) rispettivautente conLc 1 - .r' c ./' ,.,,r: i- ,:i':=l,r ntuncro
di cifre significative.
1.3 Siano a, b grandezze fisiche (positive) fra loro indipenderìti. Ìrr1:rì.1'ar, ciascuntr
in triodo indipendente dall'trltra) con crrori rc'lativi La f cr. lb lr. t, .- -'rÌ ,Ì.), 'r ga che clt,tt i
errot'i relativi siano piccoli così da poter tra,scurare i loro cluaclrati e l - - ,r'. 1,rlocìotti.
tì) Sc r : o,'b dimostrare che I'errore relativo su .r è -\.r .r' : -\,r rr - lrr b.
b) Se r : e,P con p intero positivo, dimostrare che I'errore relatir-,-, s'r .r' è f.t'.''.r'-
pL,ctla.
c) Se r : o,P con p intero negativo, dimostrare che I'errore relatir-rt sr1 .r' rì \./r :
lplLala.
d) Sia ora r : ap 'bq colì p, Q interi. Dinrostrarc che l'errole lelarir',., sri :r è
Lrlr: lplLol,r + lql Lblb (t. o,b tton sorro positivi. scrivelerÌÌ,r rt . b ).
I.4 :
La legge oraria di un grave che cade verticalmente partenclo cla fcrnro è ,r- i7t'
.
Si srrpponga di misurare tempo e altezza di caduta con efrore relativo i rn tntrarnbi i
casi) dell'1%. Dire qrral è I'errore relativo sulla determinazione di q.
2. VETTORI
A[ota. 11 l" ò un esercizio di "ginnastica con gf indici": non i: essenziale che lo studente
lo affrorúi ora (può rinandarc rlucsta ginna,stica a quanclo p.es. avrà fatto rrn po' cli
pratica rli proclotti fra matrici), però f icle:ntità proposta nella donanda b) è ntolto
tttile e y:rinta o poi lo stuclente rlor,rà intpadronirsene. In ogni caso è necessario che lo
studente conosca, l'esistenza clelle identità t'ettoriali elencate nella domanda c).
Gli esercizi dal 2 al 5 sono più c,he altro esercizi di algt:bra lineare nello spazio euclicleo
tridirncnsionale; si suggerisce cli risolverli s€nza ricot'rere ad un sistcna di coordinate.
sfruttando le prooriatà del StrocJotto scalare e del proclotto vettore: infatti servono
ad abituare lo stucJcltc all'uso dei vettori e a far capire che certamente |uso delle
coordinate è talvolta utile, nìa lrorì logic:arnetúe essenziale. In paft,icolarc il 5" fornisce
allo studcntc una t'isione geonrctrica dcl problena dell'esistenza cli una, nessuna o
ltir't sohtzioni di un sistana linenre. Il 7" riguarda l'invarianza per cambiamcnti di
coctrdinatr:.
/
/y Indichiamo con ut, (i :1,2,3) le cornponenti cartesiane cli urr vettore. Il simbolo
di Kronek<:r 6ii è definito come
6it: {;
iz'n}'i
(così p.ers. Di 6nio, : a,) ed il sinibolo cli Levi Civita eiip corne
indici sono uguali
(ijk: { i iik valgono 1,2,3 opplrre 2,3,1oppure 3, 1,2;
:: k valgono 2,7,3 oppure I,3,2 oppure 3,2,L
chc
{Vcrifit'are
(r-0 /^\ 0i )r ,: \L- €;r7.0r01|r.
jk
S) Verificare I'iclcntità
I
f-a :
L, ,r^, itm ò;ldr - - 6i,,,ò*t . (1)
1,
c:) Utllizzare I'identità (1) per dimostrare le segrienti identità vettoriali
(d n "-: (ii . í) l' - (b. ì) d
^b)
:
d, (6A c-) (d. .-) 6 - @. ú) e
^
(d ) n (c--n d) : (d.d n ,l)b-(b.c-Ad)d:(d ^6.i)d-(dn6 eSí
^b
(d^b) ("-nd):(d.i)lb .d) - (d',t)(b i)
(solo Ia 1" e la 4" richiedono la suddetta identità. la 2" e Ia 3" si dimostrano come
consegllenza della 1').
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2.2
a) Determinare gli angoli che una diagonale di un cubo forma con i tle spieoli.
b) Determinare gli angoli che una diagonale di un parallelepipedo t1i lati c : 1rn.
b : 2m, c : 3m fbrma con i tre spigoli.
2.3
a) Se c-: c.d+ pÚ, con d e6 non paralleli. cleternrinare cr e J.
b) Dati due vettori d e6, scornporre il vettore d uella sonìnra c1i rln \.Élîr,rr€ parallelo
u 6'" di uno ad esso ortogonale.
2.4
a) Dimostrare che se d ei non sono paralleli. i vettori ai. i. f \ :,r., lineàrn)ente
indipendenti.
b) Se c-: ad, -f 96 + 1d n6, determinare o . J. ^,.
c) Dirnostrare che tre vettori d,, t, d non conìplanari sono liuearÌlrrr,:r il,l-pendenti.
d) Dimostrare che tre vettori complanari sono linearnrenre dipendentr.
2.5 Risolvere il sistema
(atr-thAIclz:d1
1ú*+britc2z:d2
l(-a3r*bsU*caz:d3
considerando (ay.cr,2,a3) corne le componenti (rispetto ad una terr-iì ,. j.k t di un
vettore d, (fu,b2,bs) come le componenti di un vettore d. e anai,rganlente per i
coefficienti ci e d;: mostrare che il sistema può essere riscritto nella fc,rirra
rd+a6+zd:í
e discutere in dettaglio il problema dell'esistenza delle soluzioni e della loro eventuaìe
unicità, considerando i casi in cui i vettori d,, b, c- non sono conìplanari. Srlìr-r conlplanari
nìa non tutti paralleìi fra di loro, sono paralleli fra di loro.
2.6 Nella teoria delle interazioni fra le cariche elettriche. date n caric'he (J;.Q2....Q,.,
in posizioni fisse, si definisce rnomento di di,polo rispetto ad un pLrnto O
- d"r {\
P: ) qtrt
dove è ;;"sizione di qi rispetto acl O.
"-,
a) Dimostrare che se D!:rQ,:0,1non dipende dalla scelta del pLrnto O.
b) Dimostrare che se DT:rqt. 10, esiste un punto O' lale che il momento di dipolo
rispetto ad O' è nullo.
c) Tfe cariche e, e, e -q sono in posizioni distinte: determinare la posizione del punto
rispetto al quale F: 0.
Vettori
2.7 Indicate con ur,L)stuz e con 'u7r,'uorllJrr ls componenti di uno stesso vettore t7
rispetto a due div-erse tenre (destrorse) di coordinatc:, dire quali fra le seguenti coppie
sono costituite da grandezze uguali:
(ur'r, i uruo f- 11"1)r. llarLI*r * Itg,uu, + ur,u",);
(r" + uo * u' t ur, t ur, * u",); (uruou" , urrnrrur,)'
({uor'-ur--s)ur I (tt'tt, - uruz)ro )- (urtt, - ttou*)u't'
,
(tto,u", -'rtrz,tto,)'u)", * (ltr,u*, - 'ttrr't)"r)ro, I (u*,tlo, -'ua,ur,)wr,) .
2.8 Siano d, ,Ú. .. dei "genuir.li" vettori (non pseudovettori). Quali fra Ie seguenti
grandezze non dipendono dalla convenzione del cavatappi (o del cacciavite, o della
mano destra)
d,.6; d ^6; d, n6.d: (dn 6) n c-; (ana-) .(anri) ; @ ^ù ^@^l).
3. CINEMATICA DEL PUNTO
À[oúa. I prini due esercizi sono ancora probleni di geontetria vettoria]e. Il 4" ri-
g-uarda il moto parabolico: la clomanda f) dcrc essere risolta effettuanclo opportune
approssirnazioni, e qui sono utili le eguaglianze approssimate dell'eserc:izio 1.2.
Le domande d) degli esercizi 4 e 7 sono donande di geometria (ciitrerenziale), darisol-
versi con i metodi della cinentatica: quella dell'csercizio 7 l'errà utilizzata nell'csercizio
9.1.
Ne1l'cscrcizio 12 si pone un tipicct problenta di calcolo nunterico (ntuncri piccoli come
risultato della differenza fra numeri granrli) ed è istnútivo che veng'ano t'isolti indivi-
rluando l'opportuna approssintazione suggerita dal problema frsico (approssinazione di
turà curva con una rcl úa . . . ).
Lo studente potrebbe essere tentato di risolvere: l'ultimo esercizio (riguardante l'acce-
lerazionc nel moto su una circonferenza) in norlo fornale mediante 1'uso del calcolo
rlifferenziale: non è necessario c se ne sconsiglia 1'uso.
3;1.. Due punti Pr c P2 hanno rispcttivarncnte le leggi orarie
fr(ú) : ior * úú, ù@ : r-02 I ri2t.
a) Esprimere in forma vettoriale la condizione perché le due traicttorie si intersechino.
b) Esprimcre in forma vettoriale la condizione perché P1 e P2 si incontrino. Deter-
rninare I'istante in cui avviene I'incontro.
'Z.i
Si consicleri la legge oraria
tr: o,sen(c,-, t -l pr), !/ : hsen(u.,t + p2), z : csen(c^,,,t -t pz).
Dirnostrare che il moto si svolge su un piano contenentc I'origine, mostrando che f(t), Vt
pttò essere espresso come combinazione lineare di due vettori.
3.3 Stabilire quale o quali delle seguenti affermazioni sono vere) e per quella/e falsa/e
dare un controesempio.
a) Se Ia legge oraria (ú) è periodica con periodo 7: r'(t + T) : i(t) Vú, anche d(ú)
e d(ú) sono periodiche con Io stesso periodo.
b) Se t'-(ú) è periodica con perioclo 7: ú(t + T) : ti(t) Vf , anche i(ú) è periodica
con lo stesso perioclo.
c) Ogni moto periodico su una retta ò un nioto armonico.
3/ Si consideri Ia legge oraria f,(f) : ío+únt+rrat:
$ Dimostrare che la traiettoria è una parabola.
D Determinare la posizione r-,, del vertice della parabola e I'istante f in cui il punto
passa per esso.
Cinematica del punto
,c) Scelto corne orientamento della parabola quello delìe ú crescenti, deterrninare la
velocità, scalare ?,r(l).
D"t"tminarc il raggio di curvatura della parabola nel suo vertice.
{),1
:
p) Deternrinare I'accelerazione scalare all'istante ú 0.
.f) Sia ue :.2}rtfs, a: I}nfs2. Calcolare con due cifre significative lo spazio
percorso in 1s a partire dall'istante t -- 200 s (ncll'approssimazione richiesta Ia
direzione di r,'0 risulterà non essere rilevante).
3'5 LIn punto materiale si rnuove nel piano (r,A) con la legge oraria
1'
r(t): a* + 0t, a(t): at'2 - pt (r > 0, ti > 0).
a) Deterrninare Ia velocità e I'accelerazionc del punto rnaterialc.
b) Deterrninare ia traiettoria (forrna e posizione).
3.6 Si consideri la legge oraria
r - I sen(9s sen oú)
a : -l cos(6s sen al) (o, 0o > 0),
,rí) Determinare ia traiettoria e dare una clescrizione del moto.
b) Dimostrare che il rnoto è periodico e detcrrninare il periocio T.
c) Deterrninare la velocità scalare ur(ú) e la velocità angolare a(t).
d) Determinare I'accelerazione d,(t) e dire in quali punti della traiettoria d è esclu-
sivamente centripeta o esclusivarnente tangenziale.
3.7 Si consideri la legge oraria
: :
:I: aCoSu,rlú, A b Sen.^,2t
e si supportga (per ora) a)r : tn2 : o (moto arrnonico nel piano).
a) Determinare la traiettoria ed il periodo del moto.
b) Determinare Ia velocità scalare e cercater di inclividuare (senza I'nso delle derivate)
i punti della traiettoria in cui essa è rnassima o ninirna.
c) Determinare I'accelerazione d(t) e rnostrare che è sempre diretta verso il centro
di simmetria della traiettoria.
d) Sia o ) b; determinare il raggio di curvatura dell'ellisse in un suo vertice (r :
:0)
e, A e mostrare che la posizione del centro del cerchio osculatore si trova fra
il centro dell'eliisse ed il fuoco pir) vicino ai vertice.
Si supponga ora *r #'oz.
e) Stabilire per quali valori di a1 e di e2 il moto è periodico e determinarne iì
periodo.
7
L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale 7
3;8 All'istant e t : 0 dalla quota h si lascia cadere (velocità iniziale nulla) una sferetta
metallica e aif istante t : 7 se ne lancia una seconda con velocità, Lrs diretta verso il
basso. Se le sferette devono incontrarsi prima cli arrivare al suolo, quali sono i valori
possibili di 'u6?
3.9 Dalla torre di Pisa (altezza h x 56m) viene lasciata cadere una pailina che,
arrivata iu fondo, rirnbalza elasticamente (cioè la sua velocità si inverte). Nell'istante
del rimbalzo dalla sommità della torre viene lasciata cadere una seconda pallina. Si
trascura I'attrito dell'aria.
a) Facendo esclusivamente appello all'intuizione, dire se le due palline si incontrano
ad una altezza clal suoìo rnaggiore,, nrinore o uguale di hl2.
b) Calcolare l'altezza dal suolo del punto di incontro e la velocità delle due palline
quando si incontrano.
3ad. 1o0gn iU rnima bpaalzllion ail dmio gcolumlom dae lvlaie nsuea l avseclioactait àc asdi erirdeu cdea duni 'uanlte fzazttao rhe, -r- :2 n0t. 8d.al suolo, er
a) Se trascuriamo la resistenza dell'aria, quanti rinrbalzi sono necessari pcrché l'aì-
lezza raggiunta divenga inferiore a l cnr'/ Si disegrrino i grafici spazio tempo,
velocità, tempo e accelerazione tempo fino all'istante del tr:rzo arrivo al suolo.
b) Dopo 6 s la pallina sarà fcrma o starà arìcora rimbalzando'/
3.11 Lina possibiie variantc clello sport clel tiro al piattello cousiste nel cercare cli
colpire un oggetto che viene lasciato cadere da rrna altezza h proprio nell'istante in cui
il proiettile esce dalla canna del fucile. Se d è la distanza tra la bocca del fucile e la
posizione iniziale dell'oggetto da colpire, dire quale angolo deve forrnare la canna del
fucile con l'orizzontale (angolo di puntarnento).
3.I2 Un mortaio è posto a una distanza d : 800 m da
:
una scarpata alta h I0.5 m e spara proiettili con velocità
:
u 300 m/s.
a) Qual è la distanza rninima dalla scarpata oltre la quaie oggetti posti al di là di
essa possono essere colpiti?
b) Qual è la rnassirna aitezza raggiunta dal proiettile e la sua velocità in tale punto'/
3.13 L'accelerazione di un corpo che scivola in assenza di attriti lungo un piano
:
inclinato di angolo (acuto) a rispetto aII'orizzontale è a gsenCI.
IJn punto materiale si trova nel punto più alto di una circonferenza di raggio R, disposta
in un piano verticale.
a) Prima di calcolarlo. sareste disposti a scommettere una grossa cifra sulla conget-
tura che il tempo che impiega il punto materiale a percorrere una corda della
circonferenza aumenti, diminuisca o resti costante all'aumentare della funghezza
/ (0 < I < 2R) della corda?
b) Calcolare detto tempo.
Cinematica del punto
3.I4 Uno sciatore scencle lungo una pista rettilinea che nel
primo tratto ha pendeùza e (piano inclinato con inclinaztone
o),e ad un certo punto cambia ia pendenza da a a > a.
13
Assumiamo che quando lo sciatore arriva nel punto in cui
canrbia la pendenza possa modificare Ia direzione della veio-
cità. ma non il suo modnlo, in rnodo da procedere scivolando
sulla pista oppure effettuando un saito staccandosi dalla pista in direzione opportuna.
a) Verificare che, qualrrnque sia Ia strategia adottata, il modulo della velocità dello
sciatore dipende solo dalla quota.
lt) rJtilizzare (eventualmente) il risultato prececlente per stabilire quale strategia deve
adottare lo sciator€r per arrivare prima al traguardo (posto oltre la rnassima gittata
dei salti).
3.1-5 Su una circonferenza di raggio .R un punto materiale parte da fermo e con a,cce-
Itlazione scalare costante raggiurrge la velocità us dopo un giro, dopodiclié la velocità
lesta costante.
Dr'1 r-rminare l'acceleraziorrc a-(f ).
3.16 Un punto materiale P si muove su una circonferenza. L'accelerazíone d è un
ve'ttore di modulo costante che forma con la tangente alla circonferenza nel punto
r,rccupato da P un angolo costante cv.
Dirc quale o quali dei seguenti casi sono possibili:
i) o:0; ii) a:45o; iii) a:90o.
3.I7 Un punto rnateriale P si sta nruovendo su una circonferenza. Ad un certo istante
t l'acceleraziorre d forma con la tangente alla circonferenza nel punto occupato da P
un arrgolo a.
Dire quale o quali dei seguenti casi sono possibili:
ir o : 0; ii) a : 45": iii) rr : 90o.
3.18 Un punto materiale è vincolato a ilmoversi su una circonferenza. È possibile un
uìoto, sulla circonferenzà o parte di essa, tale che il vettore accelerazione d è costante
e non nullo?