Escuela de Ingeniería Introducción a la Mecánica Analítica

47 Pages·2015·1.44 MB·Spanish

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
Escuela de Ingeniería
Introducción a la
Mecánica Analítica
Dr. Ing. ANTONIO CAMURRI R.
Profesor Titular de Mecánica Racional de la
Universidad de Concepción
APUNTES DE CLASES
EDITORIAL U N I V E R S I T A R I A, S. A.
UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
E S C U E LA DE I N G E N I E R IA
I N T R O D U C C I ON
A LA M E C A N I CA A N A L I T I CA
Dr. Ing.
ANTONIO CAMURRI R.
Profesor Titular de Mecánica Racional en la
Universidad de Concepción
1 9 5 9
EDITORIAL UNIVERSITARIA S. A.
Ricardo Santa Cruz 747 - Casilla 10220 - Teléfono 36252 - Santiago
PREFACIO
El objeto que me indujo a escribir estas páginas, fué
el de explicar en forma esencial las ecuaciones y principios
fundamentales de la Mecánica Analítica Clásica, ilustrando
cada tema por medio de algunos problemas con la finalidad
de aclarar más la materia.
El libro contiene precisamente los elementos funda-
mentales de la Mecánica Analítica y deseo por lo tanto poner
en relieve que sirve solamente como introducción a un estudio
ulterior de este ramo, sin tener la pretensión de satisfacer en
si mismo al lector que desee formarse una cultura completa
en el campo de la Mecánica Superior.
Para una buena comprensión de la materia se presupon
ne en el lector el conocimiento de los conceptos básicos
del Cálculo Infinitesimal y de la Mecánica Racional.
Dr. Ing. Antonio Camurri R.
Concepción (Chile), 1959.
5
INDICE
Págs.
CAPITULO I
1.) Consideraciones preliminares 9
2.) El Principio ¿e D'Alembert y la ecuación
simbólica de la Dinámica 10
3.) Ecuaciones de Lagrange 14
4.) Ecuaciones de Hamilton 23
CAPITULO II
1.) Nociones de cálculo de las variaciones 33
2.) Principio de Hamilton o de la mínima acción 39
3.) Ecuación de Jacobi 44
4.) Deducción de la ecuación de Schrodinger
por medio de la ecuación de Jacobi 50
CAPITULO I
CONSIDERACIONES PRELIMINARES
Se sabe que el problema fundamental de la dinámica
consiste en la determinación del movimiento de .un sistema ma-
terial cualquiera sometido a la acción de fuerzas conocidas.
Considerando el sistema material como formado por n
partículas y aplicando a cada uno el 2a principio fundamental de
la dinámica se obtienen las n ecuaciones
(1) ma = F (s = 1. 2.....П)
a s B
donde m, cf, F indican respectivamente la masa, la acelera-
a s a
ción y la fuerza resultante correspondientes a la partícula de
índice s.
La ecuación (1) equivale alastres ecuaciones escalares
(2) m x« = X m vH = У m z!i = Z
as в s s s ss 3
donde X, Y, Z indican las proyecciones de la fuerza F so-
a a g s
bre los ejes de referencias Ox, Oy, Oz.
En el caso de sistemas materiales libres, como p.e. son
los cuerpos celestes, se conocen las fuerzas P aplicadas y por
a
consiguiente la integración de las ecuaciones (2) permite deter-
minar el movimiento de todo el sistema»
Sin embargo, en la mayoría de los casos, los sistemas
materiales están vinculados, es decir, sobre cada partícula ac-
túan en general fuerzas activas y reacciones vinculares. Pero
mientras que las fuerzas activas se conocen, las reacciones
vinculares son incógnitas.
Las ecuaciones (2) constituyen; por lo tanto un plántea-
miento provisorio en la determinación del movimiento de un
sistema vinculado.
Se impuso por lo tanto la necesidad de investigar proce-
dimientos que permitieran eliminar las reacciones, y encontrar
ecuaciones diferenciales dependientes solamente de los datos
del problema mecánico.
9
Veremos en las páginas siguientes que combinando el
principio de los trabajos virtuales con aquel de D'Alembert, es
posible obtener ecuaciones del movimiento en que intervienen
solamente las fuerzas activas, es decir datos del problema.
2.) EL PRINCIPIO DE D'ALEMBERT
Y LA ECUACION SIMBOLICA DE LA DINAMICA
Consideremos un sistema material vinculado con vínculos
sin roce e indiquemos por F у ф la fuerza activa y la reacción
s 8
vincular aplicada a la partícula P de masa m .
B a
Aplicando la ecuación (1) tenemos:
(3) ma=F + Ф
a a a в
de donde
(4) (F - m a ) + ¥ = 0
a s
Ahora bien se llama con el nombre de fuerza perdida la cantidad
(Р — т ~а ) y si se compara_la (4) con la condición de equilibrio
а а в
de un punto material F г Ф = 0, podemos decir que "durante
а
el movimiento de un sistema, las fuerzas perdidas quedan equi-
libradas continuamente por las reacciones vinculares".
En la proposición enunciada anteriormente, consiste el
principio de D'Alemberto
Suponiendo ahora que las reacciones vinculares se com-
portan en dinámica como en estática desde el punto de vista de
su dirección, es lícito aplicar el principio de los trabajos virtua-
les y decir que el trabajo virtual de las reacciones vinculares
será nulo en correspondencia de desplazamientos virtuales in-
vertibles, y positivo o nulo en correspondencia de desplaza-
mientos no invertibles, es decir
n
(5) S Ф --дР
в а
8 = 1
La relación (5) está condicionada sin embargo a una pre-
cisación del concepto de desplazamiento virtual»
Los vínculos son en general invariables en función del
10
tiempo, pero en dinámica se presentan a veces vínculos varia-
bles Por ejemplo un plano inclinado durante la caída de un
cuerpo, puede cambiar de inclinación. El cable del cual cuelga
un cuerpo puede cambiar de longitud durante la oscilación del
cuerpo mismo
Consideremos, para fijar las ideas, un punto material
que cae a lo largo de un plano inclinado liso, cuya inclinación
oc disminuye en función del tiempo. En este caso el vínculo ha-
ce desplazar el punto material en el tiempo dt en un sentido tal
que el trabajo de la reacción vincular resulta negativo, contra-
riamente a lo que dice la (5). Esta dificultad puede ser elimina-
da considerando como desplazamientos virtuales del sistema ma-
terial en el instante t, los desplazamientos infinitesimales com-
patibles con los vínculos supuestos fijos en la posición que han
asumido en el instante t mismo.
En otros términos, cuando se consideran desplazamien-
tos virtuales en el instante í, los vínculos deben suponerse fi-
jos desde dicho instante.
En base a esta consideración la (5) puede ser aplicada
también a sistemas vinculados con vínculos variables.
Queremos poner en relieve que cuando los vínculos de-
penden del tiempo, un punto cualquiera P del sistema mecánico
a
dependerá de un cierto número m de parámetros lagrangianos q
t
y explícitamente del tiempo t, es decir
P P (9t. 9 . 0
= m
Los parámetros lagrangianos o coordinadas generalizadas
q. indican, como es sabido, los grados de libertad del sistema.
Vamos ahora a multiplicar escalarmente ambos miembros
de (4) por 8P , obteniendo
a
(F -m a ) .8P + Ф . 8P = 0
в as а а в
de donde
£ (F - m a ) . SP + 2Ф . SP' = 0
„1 8 s s • 3=1 s s
y en base a la (5)
n ••
(6) 2(P -m a) . SP 5 0
„ s s s s
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es decir en cada instante, el trabajo virtual de las fuerzas perdi-
das es nulo en correspondencia de los desplazamientos virtuales
invertibles y negativos o a lo sumo nulo para los desplazamien-
tos virtuales no invertibles.
En otros términos, "durante el movimiento de un sistema
mecánico vinculado con vínculos lisos, las fuerzas perdidas sa-
tisfacen el principio de los trabajos virtuales
La (6) toma el nombre de "ecuación fundamental o sim-
bólica de la dinámica".
Ejemplos:
1.) Determinan la ecuación del movimiento de una masa
pendular, utilizando el principio de D'Alembert. Fig. 1.
Aplicando la ecuación (4) en la
forma (F - т а) + Ф - 0 y ob-
servando que la reacción Ф es-
tá dirigida como el cable de
suspensión, se deduce que la
fuerza perdida debe tener com-
ponente tangencial nulo, es de-
cir
— m p sen fflj —"m i/ = n0
dt2
que es la conocida ecuación
de las oscilaciones pendula-
Figura 1 res>
2.) Determinar el movimiento de dos masas m m cooli-
lt 2
gadas entre si por un cable enrollado en la garganta de una ga-
rrucha. Fig. 2.
Suponiendo m > m y considerando el eje de referencia
x 2
Oz vertical dirigido hacia abajo, podemos indicar la aceleración
de m por , la de m por - -
t 2
y la ecuación simbólica (6) asume la forma
imtё -{mg + m^r)Sz = 0
2
es decir
12
Figura 2 Figura 3
(7) d*z - ~mi
g
dt2 m + m
x 2
La (7) nos dice que la masa m baja con la aceleración
í
constante
g m,1 - m2 ,
Para fijar las ideas si la masa m = -~-m tenemos
f 2 ít
cPz_ _ _l_
dt2 3 8 '
es decir la masa m baja con una aceleración igual a — de la de
1
gravedad
r
3.) Determinar la reacción vincular para un punto mate-
rial que se mueve sobre una curva material por efecto de su peso.
Fig. 3.
Si el punto estuviera en reposo debería verificarse la re-
lación conocida F + Ф = 0, que proyectada sobre la normal и ala
curva, nos daría
(8) Ф„ = —Fn
es decir la relación vincular normal sería igual y contraria a la
componente normal de la fuerza activa.
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Sin embargo, dado que el cuerpo está en movimiento, tene-
mos que aplicar la (4), bastando proyectarla sobre la normal, sien-
do Ф, = 0 por la hipótesis del vínculo liso y tenemos
Í4 Fn - m~pv —n)' + Ф n = 0
de donde
(9) Ф = -F, + mVlñ
n n p
Comparando (8) con (9), se deduce que las reacciones en
dinámica son en general distintas qüe en estática, manteniendo
sin embargo las direcciones y los sentidos iguales, lo que se di-
jo a propósito del principio de D'Alembert.
3.) ECUACIONES DE LAGRANGE
Consideremos un sistema mecánico cualquiera, vinculado
con vínculos sin roce y un punto P , siendo
g
Ps = Ps • •. °' Ч > 0 s = 1<.2' '••,n
т
У 4i> Чг> ° • ° • 4 parámetros lagrangianos
m
Observemos que P puede depender explícitamente del
s
tiempo t y esto ocurre cuando los vínculos son variables.
Si sobre el sistema actúan fuerzas activas, el trabajo vir-
tual efectuado por dichas fuerzas será
(10) dr = Í I . 8P
a
Recordando que los desplazamientos virtuales se refieren
por hipótesis a vínculos supuestos fijos a partir del instante /con-
siderado, tenemos
ir = l f . 8P = 1F .ф S + A )
S=1u a =Í S ó qi с lq Óq q m
S qi 3 m
" ~ f)P " ~ дР n ~ r)P
dq -1 dq «-•» dq
l 2 m
(11) 8r = Q,8q + Qjq
% m
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