Escher en het Alhambra

14 Pages·2017·2.6 MB·Dutch

by  Chris Cambre

Kraak de Eschercode met GeoGebra
Chris Cambré
Het Alhambra als inspiratie
Escher bezoekt twee maal het Alhambra. Wat inspireert hem?
De schetsende toerist
In 1922 rondt Maurits Escher zijn opleiding tot graficus af. In oktober van dat jaar bezoekt hij voor de
eerste keer het Alhambra in Granada. Hij schetst een middag lang tegels met geometrische patronen
na. De volgende dertien jaar woont hij in Italië. Uit zijn grafisch werk blijkt vooral zijn belangstelling
voor het landschap en het perspectief. Vlakvullingen vormen nog geen centraal thema in zijn werk.
Beslissende inspiratie
In 1936 bezoekt Escher het Alhambra voor de tweede keer en nu laat het bezoek wel zijn sporen na in
zijn werk. Samen met zijn vrouw verblijft hij drie dagen in Granada. In zijn schetsboek kan je zien welke
motieven hij uitkiest en wat hem boeit.
De twee patronen op de bovenste rij zijn identiek opgebouwd, maar de inkleuring verschilt. De opties
verticale of schuine kleurpanden geven de patronen een totaal andere dynamiek. De grootte van de
vierkantjes tussen de veelhoekige motieven verandert ook de balans tussen wit en kleur. Wit en kleur
is ook wat Escher boeit in de onderste rij. Is wit gewoon de achtergrondkleur, of staan er juist witte
motieven op een gekleurde achtergrond? Je kunt voortdurend je blik verleggen en het patroon anders
bekijken. Vlakverdelingen worden een belangrijk thema in Eschers werk. En steeds staan centraal: de
dynamiek en de meerdere lagen waarin je ze kunt bekijken.

Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 1
Verwerking in eigen werk

Deze tekening toont hoe Escher de patronen verwerkt. Bovenaan tekent hij drie patronen (A - B - C)
uit het Alhambra. De abstracte motieven zijn op drie verschillende manieren geschikt in het patroon.
Alle spelen ze met voor- en achtergrond. Escher past dezelfde schikkingen toe in vlakvullingen met
dierenmotieven.
 De kevers zijn enkel verschoven, zoals in tekening A.
 De rode en witte libellen staan loodrecht op elkaar, zoals in tekening B.
 De rijen vliegende vissen krijg je enkel op elkaar door een glijspiegeling, zoals in tekening C.
nieuwe inhoud aan vlakvullingen
Een jaar na zijn bezoek aan Andalusië geeft Escher het begrip vlakvulling een heel nieuwe inhoud. Op
een baanbrekende manier verwerkt hij dynamiek en vervaging tussen voor- en achtergrond in enkele
meesterwerken.

Metamorphose I (1938)
Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 2
Vlakvullingen
Op weg gezet door zijn broer
Berend, Maurits oudste broer ziet het werk Metamorphose I. Hij is geoloog aan de universiteit in
Leiden en bezorgt Maurits recente wetenschappelijke studies over kristallografie. In oefenschriftjes
bestudeert Maurits de verschillende symmetrieën en legt hij de basis voor zijn latere honderden
tekeningen.

Marcus du Sautoy
De link tussen het Alhambra en symmetrie wordt boeiend verteld in het boek Het symmetriemonster
van Marcus du Sautoy. Hij neemt de lezer mee in zijn persoonlijke zoektocht. Als jonge knaap leert hij
dat er een manier blijkt te zijn om afbeeldingen in een taal om te zetten. De taal van de wiskunde biedt
een alternatieve manier om de wereld te zien. Voor hem werd die wiskundige taal een virtueel venster
op n-dimensionale ruimten. In het hoofdstuk Het paleis van de symmetrie vormen de 17
behangpatronen de leidraad voor zijn bezoek aan het Alhambra.

Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 3
In het GeoGebraboek Symmetrie in het Alhambra: https://www.geogebra.org/m/cwdEuhUw kan je de
symmetrieën van de 17 behangpatronen mee analyseren. In aanvullende oefeningen kan je zelf op
zoek gaan naar de symmetrieën. Hieronder vind je een voorbeeld van oefening en antwoord.
Door de kleurkeuze is er geen draaisymmetrie. Er is evenmin een symmetrie door spiegeling of
glijspiegeling. Het patroon behoort tot de behangpatroongroep p1.
Regelmatige veelhoeken als basis voor een rooster
Om een regelmatig rooster op te bouwen, vertrek je van regelmatige veelhoeken. In een GeoGebra
applet kan je illustreren welke veelhoeken je wel en welke je niet kunt gebruiken.

Vierkanten, gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken kan je aan elkaar passen tot een
vlakvullend geheel. Gelijkzijdige vijfhoeken of zevenhoeken kan je niet gebruiken als basis voor het
rooster van een vlakvulling. In het vlak sluiten regelmatige vijfhoeken niet aan elkaar aan. In de ruimte
kan je er wel een regelmatig twaalfvlak mee bouwen. Zevenhoeken overlappen elkaar reeds in het
vlak. Ook ruimtelijk zijn ze niet bruikbaar.
Rooster en compositie
Het gebruik van een eenvoudig vierkant raster betekent niet dat de compositie van het basismotief
eenvoudig is. In het Alhambra vind je varianten van een eenvoudige vierkant tot vernuftige
bandconstructies en secundaire motieven.
Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 4
Door de schikking van de gekleurde vierkante tegels krijg je een indruk van horizontale panden op een
witte muur. In een variant krijgt het vierkant een witte rand met op de hoekpunten kleine zeshoeken.
Kijk je naar de hele wand, dan zie je ofwel blauwe, groene en oranje vierkanten die zelf bestaan uit
kleinere vierkanten, ofwel zie je in de eerste plaats een zwart, vierkant rooster.
Bandmotieven en secundaire motieven

Links worden lijnen binnen een basisvierkant uitgewerkt tot gekleurde banden. Hierdoor ontstaat een
gelaagdheid waarbinnen je voortdurend je blik kunt verleggen. In het rechtse patroon worden de
hoekpunten en het middelpunt van het basisvierkant uitgewerkt tot een achthoekig roosmotief.
Binnen het basisvierkant vormen haakse pijlfiguren een swastika-figuur. En toch hebben al deze
patronen verticale, horizontale en diagonale symmetrieassen binnen een vierkant rooster.
Zelf vlakvullingen maken
De zijden van een vierkant aanpassen
In een GeoGebra applet kan je stapsgewijs een vlakvulling opbouwen door de zijden van een vierkant
aan te passen en te verslepen.

Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 5
Om de zijden van het basismotief te tekenen, maken we gebruik van veelhoekslijnen.
Bepaal de versleepbare punten op één zijde van het vierkant als vrije punten in een commando:
E = (0, 0.5), F = (0, 1) en G = (0,1.5). Let op wanneer de je de punten definieert via de knoppenbalk. Klik
je b.v. ergens op de y-as dan kan je het punt enkel op de y-s verslepen! Met deze extra punten
definiëren we een veelhoekslijn. Selecteer de knop Veelhoekslijn, klik achtereenvolgens op de punten
A, E, F, G, D en nog eens op A. Je definieert dezelfde veelhoekslijn ook met het commando
Veelhoekslijn(A, E, F, G, D).

Versleep je een of meerdere van de punten, dan lijkt
het of je de zijde van het vierkant verandert en een
aangepaste vorm creëert.

De aanpassing overbrengen naar de overstaande zijde
De aanpassing van een zijde van het vierkant brengen we door een verschuiving over naar de
overstaande zijde.
- Typ het commando u = Vector(A, B) in de invoerbalk of bepaal de vector via de knoppenbalk
door de knop Vector te selecteren en de punten A en B aan te klikken.
- Bepaal een schuifknop s1 van 0 tot 1 met als stapgrootte 0.05.
-

- Verschuif de veelhoekslijn met Verschuiving(<veelhoekslijn>, s1*u) (controleer in je bestand
de juiste naam van de veelhoekslijn!). Door de vector u te vermenigvuldigen met de factor s1
lijkt het alsof je de veelhoekslijk effectief mee verschuift met de schuifknop.
Dit verhaal doen we nog een keer over met de bovenzijde van het vierkant. Met de 4 aangepaste zijden
definiëren we een nieuw vierkant veelhoek2 = Veelhoek(A, E, F,G,D,H,I,J,C,G',F',E',C',J',I',H'). Let in
deze definitie goed op de volgorde van de punten! Deze nieuwe veelhoek vormt het basismotief. Dit
basismotief kan je dan weer dupliceren om de vlakvulling te vormen. Ook dit kan je met een
schuifknop, zodat je de vlakvulling ziet ontstaan.
Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 6
Werken met lijsten
Een alternatief voor een overvloed van punten en onoverzichtelijke commando’s is het werken met
lijsten van punten. Er is wel een heel grote maar: let er op dat de punten in de definitieve lijst één
logische tekenvolgorde vormen. Zo loopt lijstboven de punten af van links naar rechts. Maar na rotatie
rond de rechterbovenhoek komen we deze punten in omgekeerde volgorde tegen in lijstrechts.
Gelukkig bestaat er een commando Omkeren( <Lijst> ). Denk dus goed na hoe je het motief gaat
tekenen:
- Met welk punt begin je?
- Volgens welke lijst begin je te tekenen?
- Welke lijst volgt en moet de volgorde van deze lijst omgekeerd worden?
- Ga zo verder tot je terug aan het beginpunt bent.
Concreet in dit bestand: Als je linksboven in wijzerzin begint te tekenen, doorloop je achtereenvolgens
lijstboven, de omkering van lijstrechts, de omkering van lijstonder en lijstlinks.

We definiëren daarom de lijst lijstbasisvorm als een samenvoeging van lijsten met het commando:
lijstbasisvorm=Samenvoegen(lijstboven, Omkeren(lijstrechts), Omkeren(lijstonder),lijstlinks).
Het basismotief van de vlakvulling definieer je nu als Veelhoek(lijstbasisvorm).
De manier waarop het basismotief herhaald wordt in de vlakvulling vertelt je meteen ook hoe het
basismotief gevormd is: door horizontale en verticale verschuiving.

Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 7
De zijden van een vierkant aanpassen en roteren

Ook nu vertelt de manier waarop het basismotief herhaald wordt in de vlakvulling hoe het basismotief
gevormd is: door rotatie rond de hoekpunten van het basisvierkant.

Een patroon op verschillende manieren bekijken
Escher maakte deze schets bij zijn bezoek in 1936. Het basismotief is een driehoek met gekromde
zijden.

In het Alhambra vind je dezelfde driehoek ook terug in een eenvoudigere zwart-wit versie zonder
de kleine zeshoekige sterfiguren. Je kunt het op verschillende manieren bekijken:
Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 8
 Welk symmetrisch patroon zie ik in een wand en op welk rooster is de vlakvulling gebaseerd?
 Met welke transformaties vorm ik de basisveelhoek om tot het basismotief?
 Hoe tekenden de Arabische handwerklieden dit motief?
De basisvorm en het rooster
De basisvorm volgt niet altijd de grenzen van het rooster. In onderstaand patroon kan je nagaan hoe
ook een driehoek met gedraaide zijden een geschikte vorm is voor een vlakvulling.

In een GeoGebra applet kan je nagaan dat het patroon een draaisymmetrie heeft van 120°. Draai je
slechts over 60°, dan bedekken de zwarte driehoeken de witte.
Transformatie van de basisvorm
Je kunt het motief met de gekromde driehoek construeren door transformatie van de basisdriehoek.

 Teken een cirkelboog op de helft van een zijde van de driehoek.
 Draai deze cirkelboog over 180° rond het midden van deze zijde.
 Roteer de aangepaste zijde rond zijn twee uiteinden

Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 9
Snijpunten van rechten, cirkels en bogen
De Arabische tekenaars creëerden hun basismotieven niet met (glij)spiegelingen, rotaties of
verschuivingen. Ze maakten enkel gebruik van een liniaal en een passer en verbonden snijpunten van
lijnen, cirkels en bogen. In een GeoGebra applet kan je stap voor stap de opbouw van hetzelfde motief
volgen op de manier van de Arabische tekenaars.

Het motief met de gekromde driehoek verschijnt pas wanneer je de zeshoeken aan elkaar past. De
tekenaar tekent een zeshoekig motief met cirkelbogen. De toeschouwer ziet een patroon met een
driehoekig rooster en als motief gekromde driehoeken.

Een aantal van deze Islamitische patronen is uitgewerkt in het boek Islamitische Geometrische
Patronen Zelf Ontwerpen En Maken van Eric Broug. De auteur heeft een eigen website
http://www.broug.com/ ontwerpt zelf, publiceert, geeft les en zet allerlei projecten op rond
Islamitische geometrische patronen.

Chris Cambré - Dag van wiskunde – 25 november 2017 pag. 10