Ereignisrisiko: Statistische Verfahren und Konzepte zur Risikoquantifizierung

317 Pages·2022·3.861 MB·German

by  Steffi Höse, Stefan Huschens

Steffi Höse
Stefan Huschens
Ereignisrisiko
Statistische Verfahren und Konzepte zur
Risikoquantifizierung
Ereignisrisiko
Steffi Höse · Stefan Huschens
Ereignisrisiko
Statistische Verfahren und Konzepte zur
Risikoquantifizierung
Steffi Höse Stefan Huschens
Fakultät Wirtschaftswissenschaften Fakultät Wirtschaftswissenschaften
und Wirtschaftsingenieurwesen Technische Universität Dresden
Hochschule Zittau/Görlitz Dresden, Deutschland
Zittau, Deutschland
ISBN 978-3-662-64690-8 ISBN 978-3-662-64691-5 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64691-5
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Wir widmen dieses Buch Andreas Georgiou1
1 International Association for Official Statistics (2018) Statement in support for Andreas Georgiou.
http://www.iaos-isi.org/index.php/latestnews/221-80-former-chief-statisticians-condemn-
prosecution-of-andreas-georgiou. Zugegriffen: 30. Aug. 2021
International Statistical Institute (2021) ISI statements and letters concerning statistical ethics.
https://www.isi-web.org/about/policies/professional-ethics/statements-and-letters-concerning-
statistical-ethics. Zugegriffen: 7. Feb. 2022
Langkjaer-Bain R (2017) Trials of a statistician. Significance 14(4):14–19. https://doi.org/10.1111/
j.1740-9713.2017.01052.x. Zugegriffen: 30. Aug. 2021
Vorwort
Der Fokus dieses Buches liegt auf statistischen Verfahren zur Quantifizierung von Ereig-
nisrisiken. Es werden daher keine qualitativen Ansätze sondern ausschließlich quantitative
Konzepte zur Risikoeinschätzung behandelt. Den Ausgangspunkt bilden dabei Ereignisse,
deren Eintreten von einer Person oder Organisation als Schaden und deren mögliches
Eintreten deshalb als Risiko empfunden wird. Geeignete Maßzahlen zur Quantifizierung
dieser Ereignisrisiken sind Eintrittswahrscheinlichkeiten, die in komplexeren Risiko-
modellen Über- oder Unterschreitungswahrscheinlichkeiten darstellen können, oder
Ereignisintensitäten. Dabei ist das Ziel dieses Buches – im Unterschied zu zahlreichen,
teils hervorragenden, Monographien über Risikoanalyse und quantitatives Risiko-
management – Risikomaße nicht nur als wahrscheinlichkeitstheoretische Konzepte zu dis-
kutieren, sondern die Ermittlung von Risikomaßzahlen durch statistische Verfahren und
somit den Anwendungsbezug in den Vordergrund zu stellen.
Einerseits wird dieser Anwendungsbezug durch die besondere Ausrichtung des
Buches auf verschiedene Anwendungsbereiche erreicht. Dazu werden prototypische
Risikosituationen herausgearbeitet, die in verschiedenen Anwendungsbereichen, z.
B. dem Gebiet der Finanz- und Versicherungswirtschaft (monetäre Risiken), der Bio-
metrie (medizinische und ökologische Risiken) und der Technometrie (technologische
Risiken), mit unterschiedlichen inhaltlichen Interpretationen angetroffen werden, aber
mit denselben statistischen Methoden bearbeitet werden können. Im Unterschied zur
ökonomischen und versicherungsmathematischen Literatur, findet keine ausschließliche
Fokussierung auf monetäre Risiken statt. Eine interdisziplinäre Sichtweise wird
angestrebt, indem auch gesundheitsökonomische und ingenieurwissenschaftliche Themen-
bereiche integriert werden und somit ein Ansatz gewählt wird, der methodisch fachüber-
greifend und somit nachhaltig ist.
Andererseits wird die Anwendungsorientierung durch die Angabe kurzer Be-
rechnungsbeispiele für alle statistischen Verfahren und die Darstellung komplexerer
Anwendungsfälle für ganze Gruppen von Verfahren erreicht.
Zusätzlich werden konkrete Software-Beispiele inklusive der notwendigen An-
wendungshinweise angegeben. Dazu werden jeweils Prozeduren und Funktionen für
VII
VIII Vorwort
Excel (Office 2019), GAUSS (Version 21.0.8.4784), Mathematica (Version 12.3.1.0) und
R (Version 4.1.1) aufgelistet.
Gemessen an der wahrscheinlichkeitstheoretisch orientierten wissenschaftlichen
Literatur wird eine Darstellung auf einem relativ niedrigen mathematischen Niveau
gewählt, so dass ein Einsatz in der Lehre z. B. in nicht mathematischen Studiengängen
möglich ist. Dennoch wird auf formale Exaktheit Wert gelegt. Die zum Verständnis
notwendigen mathematischen, stochastischen und statistischen Grundlagen sind zur
Ergänzung in den Anhängen A bis C zusammengefasst. Während in theoretischer Fach-
literatur Theoreme im Mittelpunkt stehen, deren Umsetzung in ein konkretes statistisches
Verfahren dem Anwender überlassen wird, stehen hier statistische Verfahren im Sinne
algorithmischer Anwendungen auf Daten im Vordergrund. Ergebnis der Anwendung
eines statistischen Verfahrens ist eine statistische Maßzahl oder eine Testentscheidung.
Dennoch werden Herleitungen zentraler Gleichungen und der methodische Hinter-
grund aller dargestellten Verfahren ergänzend im Anhang jedes Kapitels beleuchtet. Für
aktuelle Hinweise siehe: http://www.ereignisrisiko.de
Dresden Steffi Höse
August 2021 Stefan Huschens
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ....................................................... 1
1.1 Risiko und Wahrscheinlichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Quantifizierung und Steuerung von Ereignisrisiken .................. 2
1.3 Wahrscheinlichkeiten und Intensitäten als Risikomaßzahlen
für Ereignisrisiken ............................................ 4
Literatur ......................................................... 7
2 Eintrittswahrscheinlichkeit als Risikomaßzahl ........................ 9
2.1 Quantitative Modellierung ...................................... 9
2.1.1 Eintrittswahrscheinlichkeit und Bernoulli-Variable ............. 9
2.1.2 Absolute und relative Häufigkeiten ......................... 10
2.1.3 Stichprobenmodell ...................................... 11
2.2 Punktschätzung .............................................. 12
2.3 Intervallschätzung ............................................ 15
2.3.1 Exakte Konfidenzschranken und -intervalle nach
Clopper und Pearson .................................... 16
2.3.2 Approximative Konfidenzschranken und -intervalle nach Wald ... 23
2.3.3 Anwendungsfall: Bonität und Ausfallwahrscheinlichkeit ........ 28
2.4 Statistisches Testen ........................................... 31
2.4.1 Exakte Tests für eine Eintrittswahrscheinlichkeit .............. 32
2.4.2 Approximative Tests für eine Eintrittswahrscheinlichkeit ........ 36
2.4.3 Anwendungsfall: Bonität und Ausfallwahrscheinlichkeit ........ 39
2.4.4 Rolle der Nullhypothese beim zweiseitigen Test ............... 42
2.5 Resümee .................................................... 42
2.6 Methodischer Hintergrund und Herleitungen ....................... 46
Literatur ......................................................... 62
3 Über- und Unterschreitungswahrscheinlichkeit als Risikomaßzahlen ..... 65
3.1 Quantitative Modellierung ...................................... 65
3.1.1 Über- und Unterschreitungswahrscheinlichkeiten als
Verteilungskennzahlen ................................... 67
IX
X Inhaltsverzeichnis
3.1.2 Über- und Unterschreitungshäufigkeiten ..................... 71
3.2 Statistische Inferenz für Über- und
Unterschreitungswahrscheinlichkeiten ............................ 72
3.2.1 Verteilungsfreier versus verteilungsgebundener Ansatz ......... 72
3.2.2 Statistische Inferenz ohne Verteilungsannahme ................ 73
3.2.3 Statistische Inferenz mit Verteilungsannahme ................. 75
3.3 Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert und
gegebener Standardabweichung .................................. 76
3.3.1 Punktschätzung ........................................ 77
3.3.2 Intervallschätzung ...................................... 79
3.3.3 Statistisches Testen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Normalverteilung mit gegebenem Erwartungswert und
unbekannter Standardabweichung ................................ 89
3.4.1 Punktschätzung ........................................ 90
3.4.2 Intervallschätzung ...................................... 92
3.4.3 Statistisches Testen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Normalverteilung mit unbekannten Parametern ..................... 105
3.5.1 Punktschätzung ........................................ 105
3.5.2 Intervallschätzung ...................................... 108
3.5.3 Statistisches Testen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6 Resümee .................................................... 118
3.7 Methodischer Hintergrund und Herleitungen ....................... 120
Literatur ......................................................... 141
4 Ereignisintensität als Risikomaßzahl ................................ 143
4.1 Quantitative Modellierung ...................................... 143
4.2 Punktschätzung .............................................. 145
4.3 Intervallschätzung ............................................ 147
4.3.1 Exakte Konfidenzschranken und -intervalle für die
Ereignisintensität ....................................... 148
4.3.2 Approximative Konfidenzschranken und -intervalle
für die Ereignisintensität ................................. 153
4.3.3 Anwendungsfall: Fehlerrate und Fehlerintensität .............. 157
4.4 Statistisches Testen ........................................... 159
4.4.1 Exakte Tests für eine Ereignisintensität ...................... 159
4.4.2 Approximative Tests für eine Ereignisintensität ............... 164
4.4.3 Anwendungsfall: Fehlerrate und Fehlerintensität .............. 167
4.4.4 Rolle der Nullhypothese beim zweiseitigen Test ............... 168
4.5 Ereignisse in mehreren disjunkten Zeitintervallen .................... 169
4.6 Resümee .................................................... 171
4.7 Methodischer Hintergrund und Herleitungen ....................... 174
Literatur ......................................................... 188
Inhaltsverzeichnis XI
5 Risikobeurteilung ohne beobachtete Schadenereignisse ................. 189
5.1 Der Fall der Null-Beobachtung .................................. 189
5.2 Null-Beobachtung im Bernoulli-Modell ........................... 191
5.2.1 Vermeidung der Null-Beobachtung ......................... 192
5.2.2 Likelihoodinferenz ...................................... 193
5.2.3 Konfidenzschranken und -intervalle ......................... 195
5.2.4 Statistisches Testen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3 Null-Beobachtung im Poisson-Modell ............................ 199
5.3.1 Vermeidung der Null-Beobachtung ......................... 200
5.3.2 Likelihoodinferenz ...................................... 201
5.3.3 Konfidenzschranken und -intervalle ......................... 203
5.3.4 Statistisches Testen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.4 Alternativen zur Maximum-Likelihood-Schätzung und
Ad-Hoc-Schätzwerte .......................................... 207
5.4.1 Minimax-Schätzung ..................................... 207
5.4.2 Bayesianische Schätzung ................................. 209
5.4.3 Ad-hoc-Schätzwerte ..................................... 210
5.5 Resümee .................................................... 212
5.6 Methodischer Hintergrund und Herleitungen ....................... 213
Literatur ......................................................... 214
6 Risikovergleich .................................................. 217
6.1 Quantitative Modellierung ...................................... 217
6.2 Statistische Schätzverfahren für den Risikovergleich ................. 220
6.2.1 Risikodifferenz ......................................... 221
6.2.2 Absolute Risikoreduktion ................................ 226
6.2.3 Risikoverhältnis ........................................ 229
6.2.4 Relative Risikoerhöhung ................................. 232
6.2.5 Relative Risikoreduktion ................................. 233
6.2.6 Odds-Verhältnis ........................................ 236
6.3 Statistische Testverfahren für den Risikovergleich ................... 239
6.4 Resümee .................................................... 244
6.5 Methodischer Hintergrund und Herleitungen ....................... 245
Literatur ......................................................... 259
7 Anhang A: Mathematische Konzepte ................................ 261
Literatur ......................................................... 264
8 Anhang B: Stochastische Konzepte .................................. 265
8.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung ................... 265
8.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung .................. 267
8.3 Quantil ..................................................... 269
8.4 Diskrete univariate Verteilungen ................................. 270