Equidistribution quantitative des points de petite hauteur sur la droite projective

0.4 MB·French

by  Charles Favre

EQUIDISTRIBUTION QUANTITATIVE DES POINTS DE PETITE
HAUTEUR SUR LA DROITE PROJECTIVE
6
0 CHARLESFAVREANDJUANRIVERA-LETELIER
0
2

n
a
J
RE´SUME´. Nousintroduisonsuneclassedehauteursade´liquessurladroitepro-
4
jectivedontnousdonnonsuneestimationduminimumessentiel,etpourlesquelles
2
nousde´montronsunre´sultatd’e´quidistributiondespointsdepetiteshauteursen

] touteslesplaces(finiesetinfinies),avecestimationpre´cisedelavitessedecon-
T vergence.AtoutefractionrationnelleRenunevariableetde´finiesuruncorps
N denombresK,estassocie´eunehauteurnormalise´esursaclotuˆrealge´briqueK.
. Nous montrons que ces hauteurs dynamiques sont ade´liques en notre sens, et
h
en de´duisons des re´sultatsd’e´quidistribution depre´images par Ren toutes les
t
a places.NotreapprochesuitcelledeBilu,ets’appuiesurlathe´oriedupotentiel
m dans C,ainsi que dans l’espace de Berkovich associe´ a` la droiteprojective de
C ,pourchaquenombrepremierp.
[ p

2
v
1 ABSTRACT. Weintroduceanewclassofadelicheightsontheprojectiveline.
7 Weestimatetheiressential minimum andprove aresultof equidistribution (at
4 every place) for points of small height withestimates on the speed of conver-
7 gence. Toeach rational function R inonevariable and defined over anumber
0 field K, is associated a normalized height on the algebraic closure of K. We
4 showthatthesedynamicallydefinedheightsareadelicinoursense,anddeduce
0 fromthisequidistributionresultsforpreimagesofpointsunderRateveryplace
/
h of K. Our approach follows that of Bilu, and relieson potential theory in the
t complex plane, as well as in the Berkovich space associated to the projective
a
lineoverC ,foreachprimep.
m p
:
v
i TABLE DES MATIE`RES
X
1. Introduction 2
r
a 2. The´oriedupotentiel danslecascomplexe 11
3. L’espacedeBerkovichdeC . 19
p
4. EnergiedansC 23
p
5. Hauteursade´liques. 31
6. Dynamiquedesfractions rationnelles. 38
Re´fe´rences 45
Date:1fe´vrier2008.
2000MathematicsSubjectClassification. Primary:11G50,Secondary:37F10.
Lepremierauteurtienta` remercierchaleureusementleprojectMECESUPUCN0202,ainsique
l’ACI “Syste`mes Dynamiques Polynomiaux” qui ont permis son se´jour a` l’Universite´ Catholique
d’Antofagasta.Ledeuxie`meauteurestpartiellementsoutenuparleprojetFONDECYTN1040683.
Enfin,nousremercionslerapporteurpoursalecturede´taille´edel’article.
1
2 CHARLESFAVREANDJUANRIVERA-LETELIER
1. INTRODUCTION
L’objetdecetarticleestdede´finirunelargeclassedehauteurssurladroitepro-
jectivesuruncorpsdenombre, etdemontrerdemanie`requantitative, c’est-a`-dire
avecestimationdesrestes,quetoutesuitedepointsalge´briquesdontlahauteurtend
versze´ros’e´quidistribue entouteslesplacesfiniesetinfinies,selonunemesurene
de´pendant que de la hauteur. Nous appliquons de plus ces re´sultats a` l’e´tude dy-
namiquedefractions rationnelles a` coefficientsalge´briques.
Le premier re´sultat d’e´quidistribution des points de petite hauteur a e´te´ obtenu
par Szpiro-Ullmo-Zhang [SUZ] en lien avec la conjecture de Bogomolov, et con-
cerne l’e´quidistribution des points de petite hauteur dans les varie´te´s abe´liennes
parrapporta` lamesuredeHaar.Cetarticlefondateurainspire´ depuislorsdenom-
breuxtravaux. Toutd’abordparBiluquis’estinte´resse´ dans[Bi]aucasdelahau-
teur standard dans les espaces projectifs; puis a` Rumely qui a e´tendu l’approche
de Bilu pour une classe de hauteurs sur la droite projective issues de la the´orie
dupotentiel complexe. Autissier [Au]aensuite de´montre´ unevastege´ne´ralisation
des the´ore`mes de Bilu et Szpiro-Ullmo-Zhang dans le cas des courbes de´finies
sur un corps de nombre et en dimension supe´rieure. Enfinplus re´cemment, Baker
et Hsia dans [BH] ont de´montre´ des re´sultats d’e´quidistribution aux places finies
dansuncontextedynamiquepouruneclasseparticulie`re depolynoˆmes. Nousren-
voyons a` [U] pour des re´fe´rences plus comple`tes concernant d’autres re´sultats
d’e´quidistribution enarithme´tique.
Deuxapprochesparalle`lesontjusqu’a` pre´sente´te´ privile´gie´ danscesproble`mes
d’e´quidistribution arithme´tique. Lapremie`re de´veloppe´e par Szpiro-Ullmo-Zhang
et poursuivie par Autissier est d’inspiration ge´ome´trique. Les proprie´te´s d’e´qui-
distribution re´sulte dans ce cadre d’un the´ore`me d’Hilbert-Samuel arithme´tique
convenablement e´nonce´ enthe´oried’Arakelov.
L’autre approche initie´e par Bilu, et adapte´e par Rumely et Baker-Hsia part
d’uneinterpre´tationdeshauteursentermesdelathe´oriedupotentiel.C’estcelle-ci
quenousallonsadopterdanslasuite.
Un ingre´dient nouveau et important dans notre approche est l’utilisation inten-
sive d’une the´orie du potentiel convenable sur la droite projective de´finie sur un
corps p-adique. La topologie p-adique e´tant totalement discontinue, elle se preˆte
de fait mal a` l’analyse et tout particulie`rement a` la the´orie de la mesure et du po-
tentiel.Onestdoncnaturellement amene´ a` travaillerdansunespaceplusgrosdont
la topologie est plus maniable : la droite projective au sens de Berkovich. Cet es-
paceestunarbrere´elmunid’unetopologie compacte,etonpeutyde´velopperune
the´orie du potentiel comple`tement analogue au cas complexe. Il a ainsi e´te´ con-
struitparM.Jonssonetlepremierauteurdans[FJ]unope´rateur deLaplace,etses
proprie´te´s caracte´ristiques ont de´ja` e´te´ utilise´ avec succe`s pour la construction de
mesures invariantes en dynamique p-adique, voir [FR].Nous donnons ici d’autres
e´le´ments de the´orie du potentiel p-adique, mais nous nous sommes restreints a`
ceux ne´cessaires a` l’e´nonce´ et a` la preuve de nos re´sultats principaux. Nous ren-
voyons aux travaux inde´pendants de Baker-Rumely [BR2] pour une e´tude plus
POINTSDEPETITEHAUTEUR 3
approfondie, ainsi qu’aux travaux de the`se re´cents d’Amaury Thuillier [Th]. En-
finmentionnons queChambert-Loir[CL]adonne´ quelques e´le´mentspoure´tendre
cettethe´orieendimensionsupe´rieure.
1.1. Places, comple´tions et hauteurs ade´liques. Commenc¸ons tout d’abord par
mettreenplacequelquesnotationsavantdede´finirleshauteursquenouse´tudierons
parlasuite.
Soit M l’ensemble constitue´ de tous les nombres entiers premiers auquel on
Q
ajoute .Onde´signepar lanormeusuellesurQetpourunnombrepremier
∞
∞ |·|
p on de´signe par la norme p-adique, normalise´e par p = p−1. Pour toute
p p
|·| | |
extensionfinieK deQ,onde´signeraparM lacollectiondetouteslesnormessur
K
K quie´tendentl’unedesnormes ,avecv M .Une´le´mentdeM estappele´
v Q K
|·| ∈
place. Pour toute place v, on notera encore la norme sur K correspondante.
v
|·|
Ondiraquev estinfinielorsque sarestriction a` Qco¨ıncide avec etquev est
∞
|·|
finiesinon.
Pour tout v M , on note K le comple´te´ du corps value´ (K, ), et Q
K v v v
∈ | · |
l’adhe´rence de Q dans K . On pose N = [K : Q ]/[K : Q], ainsi que =
v v v v v
k·k
Nv. La norme s’e´tend de fac¸on unique a` la clotuˆre alge´brique de K .
| · |v | · |v v
On de´signera par C le comple´te´ de ce corps. Le corps C est alors complet et
v v
alge´briquement clos.Entouteplaceinfinie,ilestisomorpheaucorpsdesnombres
complexesC.
Aux places finies, (C , ) est a` la fois totalement discontinu et non locale-
v v
| ·|
ment compact, ce qui rend de´licat toute analyse sur cet espace. Pour contourner
ces difficulte´s, suivant [Be] on de´finit la droite projective au sens de Berkovich
P1(C ) comme la comple´tion (pour une me´trique convenable) de l’ensemble des
v
boules de rayon fini ou infini B(z,r) = w; z w r dans C . Cet espace
v v
{ | − | ≤ }
est naturellement un arbre re´el me´trique dans lequel les ensembles de la forme
B(z,r);r [0,+ ] sont des segments, et dont le bord a` l’infini s’identifie
{ ∈ ∞ }
canoniquement a` la la droite projective standard. On peut de plus le munir d’une
topologiequilerendlocalementconnexeetlocalementcompact.Ilestalorspossi-
bledede´finiruneclasse defonctionssurP1(C )a`valeursre´elles,etunope´rateur
v
∆de´fini sur eta` valeuPrs dans les mesures sur P1(C )qui joue le roˆle analogue
v
P
del’ope´rateur deLaplacesurladroiteprojectivecomplexe.
Apre`scespre´liminaires,rappelonsbrie`vementlade´finitiondelahauteurdeWeil
standard, ce qui permettra de motiver la de´finition de hauteur ade´lique. Soit K
une clotuˆre alge´brique de K. La hauteur de Weil (ou hauteur na¨ıve) d’un sous-
ensemble fini F de K, et invariant par l’action du groupe de Galois Gal(K/K),
estparde´finition1
h (F) := F −1 log+ α . (1)
nv v
| | k k
αX∈F v∈XMK
Ici F de´signe lacardinalite´ de F et log+ = logmax 1, . Onde´finit
v v
| | k·k { k·k }
aussilahauteurna¨ıved’une´le´mentαdeK parh (α) = h (F),ou` F estl’orbite
nv nv
de α sous l’action du groupe de Galois Gal(K/K). On e´tend h a` P1(K) =
nv
1danstoutl’articlelogde´signelelogarithmene´pe´rien
4 CHARLESFAVREANDJUANRIVERA-LETELIER
K en posant h ( ) = 0. Notons que par construction cette hauteur est
nv
∪{∞} ∞
invariante sousl’action deGal(K/K).
L’e´quation(1)admetuneinterpre´tation simpleentermedethe´oriedupotentiel.
Pourexpliquer cela`, notons Diag = (z,z) ; z C ladiagonale de C C .
v { ∈ v} v × v
Lorsque v est infinie, pour chaque paire de mesures bore´liennes ρ,ρ′ supporte´es
dans P1(C ), et telles que la fonction log+ z w soit inte´grable par rapport a`
v v
k − k
ρ ρ′ surC C Diag ,onpose
⊗ v × v \ v
((ρ,ρ′)) := log z w dρ(z) dρ′(w).
v v
− k − k ⊗
ZCv×Cv\Diagv
Pour simplifier les notations, pour tout ensemble fini F, on notera [F] la mesure
deprobabilite´ atomiquee´quidistribue´e surlespointsdeF.Notonsmaintenantque
((λ ,λ )) = 0etque
v v v
(([α],λ )) = log+ α , (2)
v v v
− k k
pour tout α C , ou` λ est la mesure de probabilite´ proportionnelle a` la mesure
v v
∈
de Lebesgue sur le cercle unite´ S1 C . Lorsque v est finie, un accouplement
v
⊂
(( , )) peuteˆtrede´finidefac¸onanalogue. Danscecas,laformule(2)restevalide
v
· ·
pour tout α C si l’on remplace λ par la masse de Dirac situe´e au point de
v v
P1(C )assoc∈ie´ a` B(0,1). Onve´rifie que ((λ ,λ )) = 0 pour tout v dans M , et
v v v K
quelaformuleduproduitdonne (([F],[F])) = 0.De(1)et(2),ontireenfin
MK
P
1
h (F) = (([F] λ ,[F] λ )) , (3)
nv v v v
2 − −
v∈XMK
pourtoutsous-ensemblefiniF deP1(K)invariantparl’actiondugroupedeGalois
Gal(K/K).
Nousproposons unede´finition dehauteurs base´esurcettee´galite´.
De´finition1.1. Unemesureade´liqueρestladonne´eenchaqueplaced’unemesure
deprobabilite´ ρ supporte´e dans P1(C ),telleque ρ = λ horsd’un nombrefini
v v v v
de places, et telle que ρ admette un potentiel continu en toutes les places, i.e.
v
ρ = λ +∆g avecg continue.
v v
De´finition 1.2. La hauteur ade´lique h associe´e a` la mesure ade´lique ρ est par
ρ
de´finitiondonne´epar
1
h (F) := (([F] ρ ,[F] ρ )) , (4)
ρ v v v
2 − −
v∈XMK
pourtoutensemblefiniF K invariantparGal(K/K).Pourtoutα P1(K),on
⊂ ∈
posera h (α) = h (F), ou` F est l’orbite de α sous l’action du groupe de Galois
ρ ρ
Gal(K/K).
Les hauteurs ade´liques peuvent toutes eˆtre de´finies de manie`re e´quivalente par
uneformuledutypeMahler.
POINTSDEPETITEHAUTEUR 5
Proposition 1.3. Soitα K etsoitP K[T]lepolynoˆme(unitaire) minimalde
∈ ∈
αsurK.Alorsona
1
h (α) = h ( )+ log P dρ .
ρ ρ v v
∞ deg(α) v∈XMKZP1(Cv) k k
Auxplacesfiniestelles queρ = λ ,l’inte´grale log P dρ este´gale
v v P1(Cv) k kv v
a` lanorme deGaussdu polynoˆme P = a Ti i.e. max a .Cecimontre que
i R i v
{| | }
lemembrededroiteestenre´alite´ unesommefinie.Danslecasdelahauteurna¨ıve,
P
l’e´galite´ ci-dessus sere´duita` laformuledeMahlerhabituelle.
1.2. Re´sultatsprincipaux. Lese´nonce´sci-dessous re´sumentlesproprie´te´sge´ne´-
ralesdeshauteurs ade´liques.
The´ore`me1. Pourtoutemesureade´liqueρ,lafonctionh estunehauteurdeWeil
ρ
dontleminimumessentiel estnon-ne´gatif.
End’autrestermes,ladiffe´renceh h estuniforme´mentborne´esurP1(K),
ρ nv
−
etpourtoutε> 0,l’ensemble α P1(K); h (α) < ε estfini.
ρ
{ ∈ − }
The´ore`me 2. Soit F une suite d’ensembles finis distincts deux a` deux et
n n≥0
{ }
Gal(K/K)-invariants telle quelim h (F ) = 0. Alorspour toute place v de
n→∞ ρ n
M onaconvergence faibleausensdesmesures[F ] ρ lorsquen .
K n v
→ → ∞
Nousdonneronsaussidesestimationsquantitativespre´cisesdelavitessedecon-
vergence [F ] ρ du The´ore`me 2. Afind’e´viter d’introduire trop de terminolo-
n v
→
gie, nous ne mentionnons ici qu’un e´nonce´ aux places infinies, et nous renvoyons
auThe´ore`me7en 5.5pourune´nonce´ analogue auxplacesfinies.
§
The´ore`me3. Soitρunemesureade´lique admettant unpotentiel Ho¨lderentoutes
les places. Alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tout ensemble fini
F K, invariant par l’action du groupe de Galois et de cardinalite´ F , pour
⊂ | |
touteplaceinfiniev M ,etpourtoutefonctionϕdeclasse 1 surP1(C ),ona
K v
∈ C
1 log F
ϕ(α) ϕdρ h (F)+C | | Lip(ϕ),
v ρ
(cid:12) F − (cid:12) ≤ F ×
(cid:12)| |αX∈F Z (cid:12) (cid:18) | | (cid:19)
ou` Lip((cid:12)(cid:12)ϕ) = sup ϕ(x) ϕ((cid:12)(cid:12)y)/d(x,y) et d est la me´trique sphe´rique sur
(cid:12) x6=y| − (cid:12) |
P1(C ).
v
Afindecomprendrelaforcedecettee´nonce´,mentionnonslecorollairenouveau
suivant dans lecas dela hauteur na¨ıve. Ici λS1 est lamesure de Haarsur lecercle
unite´.
Corollaire 1.4. Il existe une constante C > 0 telle que pour tout ensemble fini
F Q, invariant par l’action du groupe de Galois et de cardinalite´ F , et pour
⊂ | |
toutefonction ϕdeclasse 1 surP1(C),ona
C
1 log F
(cid:12) F ϕ(α)− ϕdλS1(cid:12)≤ hnv(F)+C F| | ×Lip(ϕ).
(cid:12)| |αX∈F Z (cid:12) (cid:18) | | (cid:19)
(cid:12) (cid:12)
Dans un travail re´cent, Petsche [Pe] a obtenu une estimation moins forte, mais
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
pouruneclassedefonctions plusge´ne´rales.
6 CHARLESFAVREANDJUANRIVERA-LETELIER
1.3. Exemples et applications dynamiques. Les hauteurs ade´liques que nous
avons construites recouvrent essentiellement toutes les constructions de hauteurs
de´ja` conside´re´es dans lalitte´rature (sur la droite projective). Elles co¨ıncident avec
leshauteursissuesdeme´triques(surlefibre´O(1))ditesade´liquesinte´grables,dont
la construction a e´te´ re´alise´e par Zhang et e´tendue par Chambert-Loir [CL] dans
untravailinde´pendant dunoˆtre.OnvoitainsiquenotreThe´ore`me2este´quivalent
a` [CL, The´ore`me 4.2] dans le cas de la droite projective. Nous nous contenterons
ici de de´crire deux types de situations dans lesquelles les The´ore`mes 1, 2, et 3
permettentd’e´tendre etdepre´cisercertains re´sultats de´ja` connus.
Supposons donne´ enchaque place infinie, uncompact duplan complexe E de
v
capacite´logarithmiquestrictementpositive.Pourtouteplacefinie,posonsρ = λ ,
v v
etpourtouteplaceinfinienotonsρ lamesured’e´quilibre(ausensdelathe´oriedu
v
potentiel) de E . Toutes ces mesures sont a` potentiel localement borne´e et sous
v
l’hypothe`se supple´mentaire quecespotentiels sontcontinus, onpeutdoncleuras-
socier une hauteur ade´lique h . Dans ce cadre, le The´ore`me 1 implique la partie
ρ
aise´e du the´ore`me de Fekete-Szego¨ et montre la finitude du nombre de points en-
tiersdonttouslesconjugue´ssontdansunvoisinagefixedeE (entouteslesplaces
v
infinies) sous une hypothe`se convenable sur la capacite´ des E . Le The´ore`me 3
v
quanta` luinousdonneuneversionquantitative de[Ru2,The´ore`me1].
Denotrepoint devuecependant, lesapplications lesplussignificatives concer-
nentuneclassedehauteursissuesdessyste`mesdynamiques.SoitdoncRunefrac-
tion rationnelle a` coefficients dans un corps de nombres K et de degre´ D 2.
≥
Onpeut montrer quelalimitelim D−nh Rn existe etde´finitune hauteur
n→∞ nv
◦
de Weil h qui ve´rifie h R = Dh . Nous allons voir que h est une hauteur
R R R R
◦
ade´lique, maispourcefaire,ilnousfauttoutd’abord de´crirequelques re´sultats de
naturedynamique.
En toute place infinie v M , les ite´re´s Rn de R induisent un syste`me
K n≥0
∈ { }
dynamique sur la sphe`re de Riemann. Bien que la nature des suites Rn(z)
n≥0
{ }
de´pendent tre`s fortement du choix du point z, l’action par images inverses de R
pre´sente desproprie´te´s d’uniformite´ touta` faitremarquable. Onde´montre eneffet
qu’ilexisteunemesuredeprobabilite´ ρ ,ditemesured’e´quilibre, tellequepour
R,v
toutz P1(C)nonexceptionnel pourR,ona
0
∈
lim D−n[R−n z ] = ρ . (5)
0 R,v
n→∞ { }
Rappelons qu’un point est dit exceptionnel pour R si son orbite inverse est finie,
et qu’une fraction rationnelle donne´e admet au plus deux points exceptionnels.
Ce re´sultat est duˆ a` Brolin [Br] dans le cas des polynoˆmes, et inde´pendemment a`
Lyubich[L]eta` Freire-Lopez-Man˜e´ [FLM],danslecasdesfractions rationnelles.
La mesure ρ est supporte´e sur son ensemble de Julia2, et permet d’obtenir de
R,v
nombreusesinformationssurlesyste`medynamiqueinduitparR.C’estdeplusune
mesurea` potentiel continue (etmeˆmeHo¨lder),voir 6.6.
§
En toute place finie v, une mesure ρ satisfaisant a` une proprie´te´ analogue
R,v
a e´te´ construite dans [FR]. Celle-ci n’est pas supporte´e en ge´ne´ral dans l’espace
2lapartiedelasphe`redeRiemannou` ladynamiqueestchaotique.
POINTSDEPETITEHAUTEUR 7
projectif standard P1(C ), mais dans l’espace de Berkovich associe´, et elle est
v
aussia` potentiel continu.
Onpeutmaintenant e´noncerle
The´ore`me 4. Soit R une fraction rationnelle de degre´ au moins 2 et a` coef-
ficients dans un corps de nombre K. Pour chaque place v de K soit ρ la
R,v
mesured’e´quilibre deRcorrespondante. Alorsρ = ρ estunemesure
R { R,v}v∈MK
ade´lique et la hauteur normalise´e h co¨ıncide avec la hauteur h de´finie par la
R ρR
mesureade´liqueρ .
R
LaProposition 1.3s’applique donc, etnousdonne ainsiuneformuledeMahler
pour toutes ces hauteurs. Dans ce cadre, celle-ci avait e´te´ e´nonce´e et de´montre´e
dans[PST].
La hauteur h est aussi redevable des The´ore`mes 1, 2 et 3 ci-dessus. Notons
R
cependant que le The´ore`me 1 ne nous donne aucune information. En effet, on a
par construction h 0, et le minimum essentiel de h est nul, car h = 0
R R R
≥ { }
qui est constitue´ des points pre´pe´riodiques de R, est toujours infini. Par contre,
leThe´ore`me 2 permet d’obtenir des re´sultats d’e´quidistribution remarquables. On
obtient ainsilecorollaire suivant, quidonne unepreuvearithme´tique d’un re´sultat
duˆ a` [L]danslecascomplexe.
Corollaire 1.5. Soient R et S deux fractions rationnelles a` coefficients dans un
corps de nombres K,avec deg(R) 2. Pour n 1, notons F lesous-ensemble
n
≥ ≥
dessolutionsdansK a` l’e´quationRn = S.SipourngrandlesensemblesF sont
n
distinctsdeuxa` deux,alorspourtouteplacev M ,ona
K
∈
lim [F ]= ρ .
n R,v
n→∞
Lorsque S(z) = z, l’ensemble F est e´gal a` l’ensemble des points pe´riodiques
n
de R dans K, de pe´riode n. Dans ce cas les ensembles F sont distincts deux a`
n
deux (pour n grand) et on obtient l’e´quidistribution des points pe´riodiques de R
selonlamesured’e´quilibre. C’estunre´sultat nouveaupourtouteplacefinie.
Lorsquez K n’estpasexceptionnel pourRetlorsquelafraction rationnelle
0
∈
S est constante e´gale a` z , on sait que les ensembles F sont distincts deux a`
0 n
deux. On obtient alors le re´sultat d’e´quidistribution des pre´images ite´re´es de z ,
0
mentionne´ ci-dessus en(5).
C’est dans ce contexte que plusieurs cas particuliers du Corollaire 1.5 ont e´te´
obtenus pre´ce´demment. Bilu [Bi] l’a tout d’abord de´montre´ pour les morphismes
de puissance. Autissier [Au] a ensuite obtenu ce re´sultat a` la place infinie pour
toutes les fractions rationnelles commeun cas particulier d’un re´sultat concernant
les courbes arithme´tiques. Le Corollaire 1.5 a re´cemment e´te´ de´montre´ pour les
polynoˆmes par Baker-Hsia [BH] a` la place infinie et, sous certaines hypothe`ses,
auxplacesfinies.
Finalement, dans des travaux inde´pendants des noˆtres, Baker-Rumely [BR1]
d’unepartetChambert-Loir[CL]d’autre partontde´montre´ leCorollaire 1.5pour
S(z) = z entouteslesplaces(finiesetinfinies).
8 CHARLESFAVREANDJUANRIVERA-LETELIER
La mesure ade´lique ρ est a` potentiel Ho¨lder (voir 6.6) et par conse´quent la
R
§
hauteur normalise´e h ve´rifie toutes les conditions du The´ore`me 3. Ceci permet
R
d’obtenir imme´diatementlaversionquantitative suivanteduCorollaire 1.5.
Corollaire1.6. SoitRunefractionrationnellededegre´ D 2acoefficients dans
≥
Q, et notons ρ sa mesure d’e´quilibre sur P1(C). Alors il existe une constante
R
C > 0 telle que pour toute fonction ϕ de classe 1 sur P1(C), pour tout point
C
z P1(Q)nonexceptionnel, etpourtoutn 0,onait
∈ ≥
1 h (z)+Cn
R
ϕ(α) ϕdρ Lip(ϕ).
(cid:12)Dn − R(cid:12)≤ Dn ×
(cid:12)(cid:12) α∈RX−n{z} Z (cid:12)(cid:12) (cid:18) (cid:19)
(cid:12) (cid:12)
Ce re´(cid:12)sultat est tout a` fait surprenant (cid:12)dans la mesure ou` pour une fraction ra-
(cid:12) (cid:12)
tionnelle a` coefficients complexes quelconques, l’estimation en nD−n ne semble
pas connue. Des estimations en exp( √n) ont e´te´ obtenues dans [DPU] (et pour
−
desfonctions f Ho¨lder), etraffine´es enσn pour unσ < 1proche 1dans [H], voir
aussi[PS]pourdesre´sultatsplusfaibles.
Il nous semble inte´ressant de mentionner aussi le corollaire suivant dont une
preuve directe par des me´thodes complexes semble de´licate. Ce corollaire nous a
e´te´ inspire´ par[BH,Theorem8.13]dontlethe´ore`meci-dessous enestuneversion
quantitative.FixonsunentierD 2,etregardonsl’ensembledespolynoˆmesdela
≥
formeP (z) = zD +cpourc C.Ilestinte´ressant deregarderl’ensemble ditde
c
∈
Mandelbrotetnote´ ,constitue´ desparame`trescpourlesquelsl’orbitedez = 0
D
M
pour P est borne´e. On montre que est un ensemble compact. On peut donc
c D
M
conside´rer sa mesure harmonique µ , qui est caracte´rise´e de manie`re dynamique
D
parlaformuleµ = lim D−n∆log+ Pn(0).
D n→∞ | c |
On dit qu’un parame`tre c C est critiquement fini, s’il existe des entiers dis-
tinctsnetmtelsquePn(0) =∈Pm(0).Notonsquepourdetelparame`tres, c Q¯.
c c ∈
The´ore`me 5. Il existe une constante C > 0 telle que pour tout ensemble fini et
Gal(Q¯/Q)-invariant F C de parame`tres critiquement finis et toute fonction ϕ
⊂
declasse 1 surP1(C),ona
C
log F
F −1 ϕ(α) ϕdµ C | | Lip(ϕ).
D
(cid:12)| | − (cid:12) ≤ F ×
(cid:12) αX∈F Z (cid:12) | |
(cid:12) (cid:12)
En particulier(cid:12) pour toute suite d’ensemble(cid:12)s finis Fn n≥1 distincts deux a` deux
(cid:12) (cid:12) { }
ve´rifiantlesproprie´te´s ci-dessus, ona[F ] µ .
n D
→
La preuve du The´ore`me 5 est donne´ en 6.5. Nous indiquons maintenant rapi-
§
dementlapreuveduCorollaire1.5.
De´monstrationduCorollaire1.5. On fixe tout d’abord des constantes B,C > 0
tellesqueh (S(z)) B h (z)+C (onpeutenfaitprendreB = deg(S)).Pour
R R
≤ ·
tout z F , on a alors Dnh (z) = h (Rn(z)) = h (S(z)) B h (z)+C,
n R R R R
∈ ≤ ·
donc
C
h (z) pourtoutz F .
R ≤ Dn B ∈ n
−
POINTSDEPETITEHAUTEUR 9
Comme R et S sont a` coefficients dans K, les ensembles F sont Gal(K/K)-
n
invariant,etl’estimationpre´ce´dentedonnelim h (F )= 0.Sousl’hypothe`se
n→∞ R n
supple´mentaire que les ensembles F sont distincts deux a` deux, le The´ore`me 2
n
s’applique etdonnealorslim [F ]= ρ . (cid:3)
n→∞ n R,v
1.4. Strate´giedelapreuve. Nousindiquonsmaintenantcommentde´montrernos
re´sultatsprincipaux, lesThe´ore`mes1et2.
Le fait que pour toute mesure ade´lique ρ, la fonction h soit une hauteur de
ρ
Weil re´sulte directement de notre hypothe`se de continuite´ sur les potentiels des
mesures ρ . Les deux autres e´nonce´s, le fait que le minimum essentiel de h soit
v ρ
positif etlere´sultat d’e´quidistribution, sontenre´alite´ laconse´quence d’une meˆme
estimation de positivite´ de chacun des termes (([F] ρ ,[F] ρ )) intervenant
v v v
− −
danslade´finition deh ,quenousexpliquons danslecasdesplacesinfinies.
ρ
Etantdiffe´rencededeuxmesuresdeprobabilite´, chaquemesure[F] ρ s’e´crit
v
−
∆gpourunefonctiongde´finieglobalementsurlasphe`redeRiemann.Uneinte´gra-
tion par partie montre alors que3 (([F] ρ ,[F] ρ )) = dg dcg de`s
− v − v v P1(Cv) ∧
que cette inte´grale est bien de´finie. C’est le cas lorsque g est lisse, ce que nous
R
allons supposer un instant pour les besoins de la discussion. Dans ce cas dg
∧
dcg = ∂g/∂x2 + ∂g/∂y 2dxdy est positif ets’annule si etseulement sig est
| | | | R
constante, ou bien de manie`re e´quivalente si et seulement si[F] ρ = ∆g = 0.
v
R −
On expliquera en 2.5 que tout ceci reste vrai sous l’hypothe`se plus faible que g
§
estcontinue.
Cependant la mesure [F] est atomique et donc g n’est meˆme pas localement
borne´e. L’ide´e consiste alors a` approcher [F] par une famille de mesures lisses
[F] (enconvolant par unnoyau lisse), et lepoint cle´ est d’estimer pre´cise´ment la
ε
diffe´rence (([F] ρ ,[F] ρ )) (([F] ρ ,[F] ρ )) . C’est le contenu
v v v ε v ε v v
− − − − −
desLemmes2.9et2.10,qui permettent decontroˆler cette diffe´rence en termesdu
parame`treεetdelacardinalite´ deF.
La meˆme analyse est possible aux places finies, si l’on remplace l’espace pro-
jectifstandard parladroiteprojective ausensdeBerkovich.Onutilisedanscecas
unproce´de´ dere´gularisation denaturee´le´mentaire(base´ surlastructured’arbrede
P1(C ))pourestimer lapositivite´ des termes(([F] ρ ,[F] ρ )).Ceciaboutit
v v v
− −
auxLemmes4.10et4.11.
Une fois ces estimations faites, la preuve du The´ore`me 1 est une application
simpleduthe´ore`medeNorthcottsurlafinitudedespointsdehauteur(na¨ıve)etde
degre´ borne´s.ConcernantleThe´ore`me2,siF estunesuited’ensemblesfinistelle
n
queh (F ) 0,nosestimations depositivite´ etlefaitque F impliquent
ρ n n
→ | |→ ∞
entouteslesplaceslim (([F ] ρ ,[F ] ρ )) = 0,dontonde´duit[F ] ρ .
n→0 n v n v v n v
− − →
Notons finalement que les estimations de positivite´ que nous donnons sont es-
sentiellementoptimales.Nousde´crivonsen 6.7unexemplequimontrequ’entous
§
lescascesestimationssontne´cessaires. Onconstruiteneffetunehauteurade´lique
(detypedynamique)h ,unesuited’ensemblefiniF invariantsousGal(K/K)et
ρ n
3a`uneconstantemultiplicativepre`stenantcomptedufaitquevestre´elounon.
10 CHARLESFAVREANDJUANRIVERA-LETELIER
decardinalite´ tendantversl’infini,pourlesquelsilexisteuneplace(finie)telleque
(([F ] ρ ,[F ] ρ )) < 0pourtoutn.
n v n v
− −
1.5. Plandel’article. Cetarticleestdivise´encinqparties.DanslaSection2,nous
rappelons les e´le´ments de the´orie du potentiel sur C ne´cessaires a` notre analyse.
Bien que le contenu de cette partie soit classique, le traitement que nous donnons
iciestadapte´epre´cise´ment a` nosbesoins etsertdebaseautraitementdelathe´orie
dupotentielquenousde´velopponsauxplacesfiniesparlasuite.DanslaSection3,
nous faisons quelques rappels sur la ge´ome´trie de la droite projective au sens de
Berkovich sur C . Dans la Section 4, nous de´crivons les re´sultats de the´orie du
p
potentiel sur C analogues a` ceux de la Section 2. La Section 5 est de´die´e aux
p
preuves des The´ore`mes 1, 2, et 3. Enfinnous montrons dans la dernie`re Section 6
leThe´ore`me4e´tablissantqueleshauteursdynamiquessontdeshauteursade´liques,
ainsiqueleThe´ore`me5.