Equations générales des milieux continus

113 Pages·2017·1.27 MB·French

by  Jean Garrigues

Equations générales des milieux continus
Jean Garrigues
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Jean Garrigues. Equations générales des milieux continus. École d’ingénieur. Equations générales des
milieux continus(mécanique et thermodynamique), LMA, France. 2016, pp.112. ￿cel-00696063v5￿
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Équations générales
des milieux continus
Jean Garrigues
(versiondu14octobre2016)

Avant-propos
L’objectif de ce cours est d’établir les équations générales régissant tous les milieux conti-
nus,qu’ilssoientsolidesoufluides.Lesdéveloppementsquisuiventseplacentdanslecadre
de la physique classique (non relativiste et non quantique). Les équations générales des mi-
lieuxcontinussontdonclesconséquencesdesquatreprincipesfondamentauxdelaphysique
classique(1) :
1. leprincipedelaconservationdelamasse;
2. leprincipefondamentaldelamécanique;
3. lepremierprincipedelathermodynamiqueouprincipedelaconservationdel’énergie;
4. lesecondprincipedelathermodynamique.
Encequiconcerneleprincipefondamentaldelamécanique,l’auteurarésolumentchoisidese
basersurleprincipefondamentaldeNewton,c’est-à-direceluiquiestgénéralementenseigné
danslescoursélémentairesdemécaniquegénérale.Cechoixestunchoixpédagogique:plutôt
que de commencer la mécanique des milieux continus par l’énoncé d’un nouveau principe
fondamentaldelamécanique(leprincipedestravauxvirtuelsoudespuissancesvirtuelles(2)),il
semblepréférableàl’auteurdesebasersurlesconnaissancesclassiquespréalablementacquises
parlesétudiantsenmécaniquegénérale.Lesconnaissancespréalablesdemécaniquegénérale
nécessairesetsuffisantesàlalecturedececoursselimitentauxtroisthéorèmesgénérauxpour
desensemblesdepointsmatériels(finisouinfinis):
1. lethéorèmedelarésultantedynamique;
2. lethéorèmedumomentdynamique;
3. lethéorèmedelapuissancecinétique(dérivéetemporelledel’énergiecinétique).
Encequiconcernelathermodynamique,aucuneconnaissancepréalablen’estrequise;lecours
en rappelle les concepts fondamentaux et ne s’appuie que sur l’énoncé primal des deux prin-
cipes.
Enpremièrelecture,lelecteurpourraignorerlesremarquesoucommentairesquiapparaissent
enretraitetenpetitscaractèressansnuireàlacompréhensiondel’ensembleducours.
Lalecturedececourssupposeunemaîtrisesuffisantedel’algèbreetdel’analysetensorielles(3)
ainsiquedelacinématiquedesmilieuxcontinus(4).
Danslamesuredupossible,onrespecteralesconventionstypographiquessuivantes:
– lesnombresréelssontenminusculesitaliques(exemple:a,µ);
(1) Ondémontrequesileprincipedelaconservationdel’énergieestuniverseletsilesgrandeurscalorifiques
scalairesouvectoriellessontobjectives,lesdeuxpremiersprincipes(masseetmécanique)ensontdesconséquences.
Voir l’article http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00600261. On peut néanmoins présenter ces quatre
principescommeétantindépendantspuisqu’ilsnesontpascontradictoires.
(2) Danscecours,les«principesvirtuels»apparaîtrontdonccommedesthéorèmes.
(3) L’auteurproposeunautrecoursintituléAlgèbreetanalysetensoriellespourl’étudedesmilieuxcontinus:
http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923oubien
http://jgarrigues.perso.centrale-marseille.fr/tenseurs.html
(4) L’auteurproposeunautrecoursintituléCinématiquedesmilieuxcontinus:
http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00681766oubien
http://jgarrigues.perso.centrale-marseille.fr/cinematique.html.
4
– lesvecteurssontenminusculesitaliquesgrasses(exemple:vvv);
– lestenseurssontenmajusculesitaliquesgrasses(exemple:TTT);
– lestermesd’unematricesontrangésdansuntableauentrecrochets,àdeuxindices,l’indice
degaucheestl’indicedeligne,etl’indicededroiteestl’indicedecolonne:
 
m m m
11 12 13
(cid:2) (cid:3)
m21 m22 m23= mij
m m m
31 32 33
– latranspositionestnotéeavecun(cid:62) enexposant(exemple:TTT(cid:62));
– lesensemblesd’entitésmathématiquessontenmajusculesdoublées,enparticulier:
– Restl’espacedesréels,
– V estunespacevectorieldedimension3,
3
– V⊗p estl’espacevectorieldestenseursd’ordre pconstruitssurV (dedimension3p),
3 3
– Q estlegroupedesrotations(Q ⊂V⊗2);
3+ 3+ 3
– leproduitvectorieldedeuxvecteursdeV estnoté«∧»;
3
– letenseurmétriqueestnotéGGG;
– letenseurd’orientationestnotéHHH;
– ladescriptiondeLagranged’unchampmatérielestnotéeavecunindice ;
L
– ladescriptiond’Eulerd’unchampmatérielestnotéeavecunindice ;
E
– ladérivéeparticulaired’unchampmatérielΨΨΨ(P,t)estnotéeΨΨΨ˙(P,t).
Remerciements
JetiensàremerciertrèsvivementMathias LEGRAND(5),cegrandmagiciendeLATEX,sansqui
lamiseenpagedecetexteneseraitquecellepardéfautdelaclassebook(6) etquim’aaussi
donnédeprécieuxconseilssurlatypographiefrançaise.
JeremercieaussivivementmonanciencollègueetnéanmoinstoujoursamiThierryDÉSOYER(7)
pourlesdiscussionsparfoisvivesmaisleplussouventfructueusesqu’ilabienvoulum’accorder,
ainsiquepourletempsqu’ilabienvoulupasseràlarelecturedecetexte.
Bonnelecture.
Information– Cetexteestrédigéenvued’unelecturedynamiqueàl’écran:touteslesréférencesinterneset
externessontactivesetconduisentàlacibleréférencée(danslaplupartdesvisualisateursdefichiersauformat
pdf,onrevientàl’étatprécédentaveclacombinaisondetouches<alt><pagearrière>).Néanmoins,lesréférences
despagesontétéconservéespourlalecturedudocumentimprimé.
(5) Del’universitéMcGill,deMontréal.
(6) CeuxquiécriventenLATEXmecomprendront.
(7) Del’ÉcoleCentraleMarseille(ECM)etduLaboratoiredeMécaniqueetd’Acoustique(LMA)àMarseille.
Table des matières
1 Concepts fondamentaux ....................................... 9
1.1 Lesdomainesdemilieuxcontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Domainematériel,9•Domainegéométrique,10•Comparaison,10.
1.2 Grandeursphysiquesextensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Applicationàundomainematériel,11•Applicationàundomainegéométrique,12.
1.3 Dérivéetemporelled’unegrandeurextensive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Dérivées temporelle d’intégrales à bord mobile, 12 • Cas d’un domaine matériel, 13 • Cas d’un
domainegéométrique,14.
1.4 Lemmefondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Conservation de la masse ..................................... 19
2.1 Conceptdemasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Principedelaconservationdelamasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Formelocaleduprincipedelaconservationdelamasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Conservationdelamassedansundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Densitésmassiquesdegrandeursextensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Principe fondamental de la mécanique ......................... 25
3.1 Rappelsdemécaniquegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
LoideNewtonetobservateursgaliléens,25•Théorèmesgénéraux,26.
3.2 Effortsextérieurssurundomainematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Actionsàdistance,28•Actionsdecontact,29.
3.3 Effortsintérieursdansunmilieucontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Existencedutenseurdescontraintes,30•Conditionsauxlimitesencontrainte,31•Décomposition
descontraintes,32.
3.4 Théorèmesgénérauxpourundomainematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Théorèmedelarésultantedynamique,33•Théorèmedumomentdynamique,34•Théorèmedela
puissancecinétique,35.
3.5 Conséquenceslocalesdesthéorèmesgénéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Équationdemouvement,36•Symétriedutenseurdescontraintes,38•Puissancedeseffortsintérieurs,
39•Synthèse,40.
6
3.6 Théorèmesgénérauxpourundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bilandequantitédemouvement,41•Bilandemomentcinétique,43•Biland’énergiecinétique,44.
3.7 Formulationintégraledeséquationsdemouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Conservation de l’énergie ..................................... 51
4.1 Conceptsdebaseenthermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Système,51•Variablesd’état,52•Fonctiond’état,56•Isotropiedesfonctionsd’état,57•Espace
desétats,58•Évolutionthermodynamique,59.
4.2 Principedelaconservationdel’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Énoncéclassiquepouruneévolutionfinieentredeuxinstants,60•Énoncéglobalinstantané,61.
4.3 Conservationdel’énergiepourundomainematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Courantdechaleurdansunmilieucontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Formelocaledelaconservationdel’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Conservationdel’énergiepourundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Second principe de la thermodynamique ....................... 71
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Énoncétraditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Secondprincipepourundomainematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Formelocaledusecondprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Secondprincipepourundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Nécessitédel’existenced’uneloidecomportementthermique . . . . . . . . . . . . . 80
5.8 Capacitéscalorifiqueslocalesdansuneévolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Le modèle fluide simple ...................................... 85
6.1 Définitiond’unfluidesimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Conséquencesdusecondprincipedelathermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 86
RelationdeHelmholtz,87•Loidecomportementmécanique,88•Loidecomportementthermique,
88•Synthèse,89.
6.3 Fluidessimplesnewtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Gazparfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Tabledesmatières 7
6.5 Liquidesidéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.6 Fluidessimplescompressiblesetdilatables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Compressibilitéetdilatabilité,93•Fluidesimpleàcompressibilitéetdilatabilitéconstantes,95.
6.7 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Synthèse .................................................... 99
7.1 Leproblèmedemécaniquedesmilieuxcontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Larésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Démonstrations ............................................. 105
A.1 Lemmefondamentalpourlesintégralesdevolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.2 Démonstrationdel’«hypothèsedeCauchy» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.3 ExistenceduchamptensorieldescontraintesdeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.4 Existenceduchampvectorielcourantdechaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1
Concepts fondamentaux
Avantd’aborderl’écrituredesprincipesfondamentauxetdeleursconséquencespourlesmilieux
continus,ilestnécessaired’introduiredesconceptsindispensablesàlabonnecompréhension
deschapitressuivants.
1.1 Lesdomainesdemilieuxcontinus
En mécanique des milieux continus, on raisonne sur deux types de domaines : les domaines
matérielsetlesdomainesgéométriques.Danscettesectiononendonnelesdéfinitions.
Remarque– Danslalittératurespécialisée,lesauteursneprécisentpastoujoursclairementletype
dedomainequ’ilsconsidèrent,etcetteimprécisionestàl’originedenombreuxmalentendus.
1.1.1 Domainematériel
(cid:4) Définition1.1– Domainematériel. Undomainematérielestdéfiniparl’ensembledesparti-
cules(apriorienmouvement)quileconstituent.
Siuneparticuleappartientaudomainematérielàuninstantt,elleluiappartientdoncàtoutinstant.
Un domaine matériel se déplace et se déforme en raison du mouvement de ses particules(1).
Quandonconsidèreundomainematériel,onditsouventque«l’onsuitledomainedansson
mouvement».Iln’yadoncpasdematièrequitraverselafrontièreenmouvement.Ledomaine
matérielétantenmouvement,l’ensembledespositionsactuellesdesesparticulesdéfinitune
régiondel’espacequichangeàchaqueinstant.
Remarques– Lapositionetlemouvementd’uneparticulediffèrentd’unobservateuràl’autre.
Par ailleurs, la forme d’un domaine matériel évolue avec le temps, mais la forme actuelle d’un
domainematérielestlamêmepourtouslesobservateurscarlesdistancesactuellesentreparticules
sontdesgrandeursscalairesobjectives.
(cid:4) Notation1.2– Danslasuite,onutiliseralesconventionssuivantes:
– undomainematérielseranotéDm (c’estunensembledeparticules);
– ledomainedel’espaceoccupéparsesparticulesàl’instantactuelt seranotéDm;
t
– safrontièreàl’instantactuelt seranotée∂Dm;
t
– ledomainedel’espaceoccupéparsesparticulesàuninstantderéférencet seranotéDm;
0 0
– safrontièreàl’instantderéférencet seranotée∂Dm.
0 0
(1) Onrappellequelemouvementestdifférentpourchaqueobservateur.