Table Of Content

ÉQUATIONS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES SUR UN CORPS FINI parJean-René Joly Introduction Cet article passe en revue les propriétés diophantiennes classiques des corps finis. Ces propriétés peuvent se grouper en quatre catégories: (1) Le théorème de Chevalley, et ses variantes ou améliorations: théo rèmesde Chevalley-Warning, Warning, Ax, Katz, Terjanian, ... Indiquons (ourappelons)quelethéorèmedeChevalley(pourunpolynômeànvariables F(X19 ..., Xn) sur un corps fini k) est l'énoncé suivant: si Fest sans terme constant, et si deg(F) <n, alors l'équation F(Xl9 ..., Xn) =0 admet sur k une solution autre que la solution «triviale» (0, 0, ..., 0). Ces divers théorèmes sont étudiés aux chapitres 3 et 7. (2) Les résultats de Hasse, Weil, Lang-Weil, Nisnevich, ..., concernant l'«hypothèsede Riemann»encaractéristique^. Lethéorème de Lang-Weil, par exemple, peut s'énoncer grosso modo de lafaçon suivante: si Vest une variété absolument irréductible de dimension r définie sur un corps fini k à q éléments, le nombre de points de V rationnels sur k est voisin de qr, avec un «terme d'erreur» de l'ordre de grandeur de #rr~(1/2). Les pro priétésde ce type sont étudiées au chapitre 8. (3) Les résultats relatifs aux fonctions zêta des variétés algébriques sut un corps fini, et notamment le théorème de rationalité de Dwork: si Fesf une variété algébrique définie surun corps finik; si, pourtoutentierpositi m,N désigne le nombre de points de Vrationnels sur k (l'unique extenr m m sionde degrémdck); etsitdésigneunevariable, alorsilexisteunefraction rationnelle en /, à coefficients rationnels, soit Z(V; t) (c'est la «fonction zêta» de V), telle qu'on ait £ N tm/m = log Z(V; t); la connaissance m de lafamillefinie des coefficients de Z(V; t) est alors équivalente à celle de la suite infinie (Nm)m^1. Les propriétés des fonctions zêta sont exposées au chapitre 9. ((44)) Enfin, les résultats spécifiques relatifs aux équations diagonales, c'est-à-dire aux équations de la forme alXIdl1dl + ... + anXndn = b. L'étude de ces équations (sur un corps fini, spécialement sur un corps de restes modulo p) est traditionnelle, et remonte à Gauss et Jacobi. Les équations diagonales se prêtent àun calcul exact du nombre de leurs solutions, et ont été utilisées de ce fait (notamment par Davenport-Hasse et Weil) pour vérifier sur des cas particuliers, et avant leur démonstration par Dwork et Weil, la rationalité des fonctions zêta et l'hypothèse de Riemann; elles ont permis plus généralement d'étayer les «conjectures de Weil » relatives à la forme exacte des fonctions zêta. Les équations diagonales sont étudiées aux chapitres 4 et 6. Naturellement, ces diverses catégories de résultats ne sont pas indépen dantes: enparticulier, les contenus deschapitres 8 et9 sontétroitementliés, et ce découpage en deux chapitres n'a été pratiqué que pour la commodité del'exposition. Indiquons d'autrepart que les chapitres 1, 2 et 5, non men tionnésci-dessus, sont consacrés respectivement à un rappel des propriétés générales des corps finis, à l'étude des polynômes sur un corps fini, et à l'étude des sommes de Gauss et de Jacobi attachées à un corps fini. Voir d'ailleurs la table des matières. Les chapitres 1 à 6 de cet article sont tout à fait élémentaires, et ne supposent connus que les rudiments de la théorie des groupes finis et de la théorie des corps: ce qui est largement couvert par les chapitres 11, IV, V et VII du Van der Waerden, par exemple; le chapitre 7 utilise (mais avec tous les rappels nécessaires) quelques propriétés très simples des corps cyclotomiques. Leschapitres 8et9 sontplustechniques,etsupposentconnu un minimum de géométrie algébrique: toutefois, le langage employé étant le langage classique des variétés affines ou projectives, l'intuition devrait pouvoir suppléer le plus souvent à d'éventuelles lacunes en ce domaine. Ainsi, la quasi totalité des neufchapitres est en principe accessible à tout lecteur (et notamment à tout débutant en théorie des nombres) ayant un niveau équivalent au deuxième cycle des universités françaises. Cet article a d'ailleurs pour origine lointaine un cours de première année de troisième cycle: «propriétés diophantiennes des corps finis», Grenoble, novembre/ décembre 1969. Les notations employées sont celles de Bourbaki, ou, plus simplement, celles de l'«Algebra» de Lang; rappelons seulement que Z, Q, R, C, Fp désignent respectivement l'anneau des entiers rationnels, le corps des nombres rationnels, celui des nombres réels, celui des nombres complexes, celui des restes modulop; et que, si a et b sont deux entiers non nuls, (a, b) représente leur p.g.c.d. La bibliographie (en fin d'article) comporte deux parties: la première est la liste des ouvrages généraux auxquels il estfait référence dans le texte (parnuméro entre crochets);lasecondeestlaliste des articlescités, qui sont classés (et auxquels il est fait référence) par nom(s) d'auteur(s) et année de publication. La première liste mentionne plusieurs monographies relatives aux «vraies » équations diophantiennes (sur les corps locaux et globaux): [4], [14], [18], ainsique [3](chap. 1,2et4), [7](chap. 7)et [13](chap. 1 et2): pour l'application à ces équations des résultats examinés dans le présent article, voir [4], lre partie (notamment pp. 204-205), [13], chap. 2 (notam mentp. 29), et aussi [3], chap. 1, sect. 5 et 6. TABLE DES MATIÈRES Chapitre 1. Corpsfinis(rappels) 5 1. Classificationdescorpsfinis 5 2. Groupeadditifetgroupemultiplicatifd'uncorpsfini 6 3. Extensions algébriquesd'uncorpsfini 8 Notessurlechapitre 1 9 Chapitre2. Polynômesetidéauxdepolynômes 10 1. Polynômesréduitsetpolynômesidentiquementnuls 10 2. Fonctionspolynomiales 13 3. Idéauxdepolynômes 14 Notessurlechapitre2 15 Chapitre3. ThéorèmesdeChevalleyetWarning 16 1. LethéorèmedeChevalley-Warning 16 2. SecondedémonstrationduthéorèmedeChevalley-Warning 18 3. Le«second»théorèmedeWarning 20 4. PolynômesnormiquesetthéorèmedeTerjanian 21 Notessurlechapitre 3 24 Chapitre4. Equationsdiagonales(I) 25 1. Equationsdiagonaleshomogènes 25 2. Sommesdepuissancesd-ièmes 27 3. Equations diagonalesquelconques 29 4. Equationsmultilinéaires 32 Notessurlechapitre4 35 Chapitre5. SommesdeGaussetdeJacobi 36 1. Caractèresadditifsetcaractèresmultiplicatifsd'uncorpsfini 36 2. SommesdeGauss 41 3. SommesdeJacobiàdeuxcaractères 43 4. SommesdeJacobiàncaractères 45 Appendice: déterminationeffectivedessommes deGaussetdeJacobi . . 47 Notes surlechapitre5 51 Chapitre6. Equationsdiagonales(II) 51 1. Equationsdiagonalessanstermeconstant 52 2. Equationsdiagonalesavectermeconstant 55 3. «Exemplisgaudeamus» 58 Notessurlechapitre6 61 Chapitre7. Théorèmed'Ax 62 1. RelationsdeStickelberger 63 2. Démonstrationduthéorème 67 3. Généralisationsetcompléments 71 Notessurlechapitre7 73 Chapitre8. «HypothèsedeRiemann» 74 1. Courbesdegenre0 75 2. Courbesdegenre 1 76 3. Courbes degenrequelconque 80 4. Variétésdedimensionquelconque 83 Notessurlechapitre8 88 Chapitre9.Fonctionszêta 89 1. Définitions, propriétés élémentaires 90 2. Rationalitédesfonctionszêta 94 3. Fonctionzêtad'unecourbeprojectivenonsingulière 99 4. ConjecturesdeWeil 102 5. Calculexplicitedecertainesfonctionszêta . 106 Notessurlechapitre9 112 Bibliographie 113 1. Ouvragesgénéraux, monographies 113 2. Articles, mémoires 114 Chapitre Premier CORPS FINIS (RAPPELS) Ce chapitre résume les propriétés générales des corps finis. Rappelons que d'après le théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif (pour une démonstration, voir par exemple [I], pp. 35-37, ou [19], p. 1). §1. Classification des corpsfinis. 1.1. Soit kun corps fini. Sa caractéristique est certainement différente de 0; c'est un nombre premierp, et le sous-corps premier de k s'identifie à Fp = Z/pZ. Notons /le degré de l'extension k/Fp; /k est isomorphe, en tant qu'espace vectoriel sur ¥p9 au produit direct de exemplaires de Fp; en particulier: Proposition 1. ? Si q désigne le nombre d'éléments de k, on a q = pf . Considérons alors k* groupe multiplicatif de k; il est d'ordre q ? 1; 9 on a donc, pour tout élément ade k*, aaq~x ?I,eta fortiori aq =a; commecette égalitéreste vraiepour a = 0, elle estvérifiée partoutélément de k; en conséquence: Proposition2. ?SiQ désigneune clôture algébrique dek (doncausside F ), k est égal à l'ensemble des racines dans Qdu polynôme Xq ?X.En p particulier, k est le corps de décomposition dans Q du polynôme Xq ? X, et toutcorpsfiniayantmêmenombred'élémentsq (doncmêmecaractéristiquep) que k est nécessairement isomorphe à k. Pour k= F l'identité aq =a s'écrit aP =a, et constitue le petit p, théorème de Fermât sur les restes modulop. Pour k quelconque, la propo sition2 permet d'écrire la première de ces deux égalités montre que les fonctions symétriques élé mentairesdes éléments de k* autres que leproduit sont toutes nulles, etque le produit de tous les éléments de k* est égal à - 1; pour k= F cette p, dernière propriété constitue le théorème de Wilson sur les restes modulop. 1.2. Soient maintenant p un nombre premier, /un entier >1, et / posons q= /? . Désignons par Q une clôture algébrique de Fp, et notons k l'ensemble des racines dans Q du polynôme Xq ? X. Ce polynôme ayant toutes ses racines simples (son dérivé vaut ? 1), on voit que card(k) = q; deplus, qétantunepuissancedelacaractéristique,ona,quelsquesoientaet b dans k,(a+b)q = aq + bq = a + b; on a évidemment aussi (ab)q = aqbq = ab, et fc est un sous-corps de Q; en particulier: Proposition 3. ? Quels que soientppremier et/> 1, //emte w« cor/w finipossédant exactement q = // éléments. Ce corps est unique à isomorphisme près (prop. 2); on le note généra lement¥ q. f 1.3. Mêmes données que dans la section précédente. Soient t et/2 deux entiers !> 1, et posons, pour z = 1,2, f doengraé amloornstréeviqdueemjm\endtivi[sfce£/:F2.JIn=verst.emSienfct,x s<=up&p2o,solansmquuletipflitcadtiivviisteéfd2u; on peut écrire f2f2 ? mfv donc q2q2 = qim', si aekt, on a alors a9la91 =a (prop. 2), donc aql = aq2 =a,et par conséquent aek2 (prop. 2); ainsi, &! c: k2. Au total (et en conservant ces notations): Proposition4. ? L'inclusionk c£2 équivautàlarelation^ divisef 1 2, donc àlarelation q2q2 est unepuissance de qx. Corollaire 1.?Soientrespectivement/ et/' lep.g.c.d. etlep.p.cm.de ft et/2. Posons q = qf\ q" ? qf\ k' = F^/, k" = Fq,,. Alors l'intersection et le composé de k± et k2k2 sont respectivement k' et k". §2. Groupe additifet groupe multiplicatifd'un corpsfini. Soit kun corps fini à q =pf éléments. 2.1. L'extension k/¥ étant de degré/, k est isomorphe, en tant qu'es p pacevectoriel sur F et a fortiori en tant que groupe additif, au produit / p, direct de exemplaires de ¥p; en conséquence: Proposition 5. ?Le groupe additif k+ de k est un groupe de type (P, ..>,P) iffois). 2.2. Passons au groupe multiplicatif k*; il est commutatif, d'ordre q ? 1; si N désigne le p.p.c.m. des ordres des éléments de k*9 on vérifie sans peine qu'il existe dans k* un élément g d'ordre exactement égal à N (c'est là une propriété générale des groupes commutatifs d'ordre fini). Tout élément de k* est évidemment racine du polynôme XNXN - 1; ce poly nôme,de degré N, possède donc au moins q ? 1 racines, d'où N >q ? 1; or, par construction même, N divise q ? 1; ainsi, N = q ? 1; mais alors gest d'ordre q ? 1, c'estun générateur de k*9 et on peut énoncer: Proposition 6. ?Legroupe multiplicatifk* de k est un groupe cyclique d'ordre q ? 1. Pour une autre démonstration de ce résultat, utilisant les propriétés de l'indicatrice d'Euler, voir [17], pp. 12-13. 2.3. Soit dun entier >I;onse propose d'étudier le groupe des puis sancesd-ièmes et le groupe des racines d-ièmes de l'unité dans k*, c'est à-direl'image et le noyau de l'homomorphisme ud: k* -+ k*, défini par u (x) = xd(xek*). Posons Ô = (q?l,d), u (x) = xô(xek*) et notons d ô g un générateur de k* (prop. 6). L'identité de Bezout a(q?l) + bd ? Ô montrequeudetuôontmêmenoyau(noterquexxq~1 = 1 pourtoutxe&*); k* étant fini, il en résulte que l'image de ud et celle de uô ont même ordre; mais la première est évidemment contenue dans la seconde: u et u ont d ô donc aussi même image. Maintenant, comme ô divise q ? 1, il estclair que l'image de uô est le sous-groupe de k* engendré par g3, et que le noyau de uô est le sous-groupe de k* engendré par g^~^lô (pour le voir, identifier par exemple k* à Z/(q-l) Z, g s'identifiant à la classe de 1 (mod q-l)). En résumé: Proposition 7. ? Soient k un corpsfinià q éléments, g ungénérateur de fc*, d un entier > 1, etposons ô = (q?1, d). Alors: (i) Dans k*, les puissances d-ièmes et les puissances ô-ièmes forment un même sous-groupe, cyclique, engendré par g3, et d'ordre égal à (q-l)/ (ii) Demême, les racines d-ièmes et les racines ô-ièmes de l'unitéforment un même sous-groupe, cyclique, engendré par g(g(q~1)/~1)/ô, et d'ordre égal à 3. Corollaire 1. ?Legroupequotientk*/k*destcyclique, d'ordreégalàS. Corollaire2. ?Pourqu'unélémentadek*soitunepuissanced-ième, il faut et ilsuffit que a(a(q~1)/ =1. Pour k ? F p impair, et d? ô = 2, le corollaire 2 coïncide avec le p9 critère d'Euler sur les restes et non-restes quadratiques modulop. §3. Extensions algébriques d'un corpsfini. Soit toujours k un corps fini à q éléments. 3.1. SoitKune extension algébrique de k, de degré fini m; il est clair que card(X) == qqm9 et donc que K= Fqm. Soit alors iun entier >0; comme ql est une puissance de la caractéristique de K, l'application at: K-»K9 définie par a (x) = xql (xeK), est un automorphisme de K, { et même, puisque k = ¥ un A>automorphisme de K(prop. 2); sij est un q9 autre entier >o,ona évidemment o-f+J- =ato or^; enfin, si (par exemple) / <y, l'ensemble des xeAutels queGt{x) =Gj(x), donctels quexqJ~l~l =x, est évidemment égal à Kn FFgy_;, et ne peut par conséquent être égal à K= Fqm que si Fqm cz FflJ-_,-, donc (prop. 4) si z=y (modm); en par ticulier,les m fc-automorphismes a avec 0 <i < m sont distincts, et on t peut affirmer: Proposition 8. ?L'extension K/k estgaloisienne; son groupe de Galois est cyclique, d'ordre m, engendré par l'automorphisme (dit de Frobenius) x !-> xq. Lefait queK/k est galoisienne peut se voir plus directement: en effet, k étant évidemment parfait,K/k est séparable, et il suffit de prouver que K/k estnormale, cequi résulte dufaitqueKestlecorps de décomposition, dans une clôture algébrique de k, du polynôme Xq7n ?X (prop. 2). 3.2. Mêmes données queci-dessus. SoitTr :K->k, l'application trace. La proposition 8 montre que, pour tout élément x de K, on a (3.2.1) En outre: Proposition 9. ? L'application Tr :K-+ k, est surjective. Si xeK, les deux assertions suivantes sont équivalentes: (a) Tr(x) = 0; (b) il existe yeK tel que x=yq ?y. Démonstration. ? Considérons K comme espace vectoriel sur k; Tr est alors une forme linéaire, et cette forme linéaire n'est pas nulle (si elle l'était, (3.2.1) impliquerait que le polynôme X+ Xq + ... + Xqm~~l9l9 de degréqqm~l,m~1,~1, admetpourracineslesqmélémentsdeK: absurde): elleestdonc surjective, ce qui prouve la première assertion, et ce qui montre en outre quelenoyau de TrestunhyperplandeX; comme Tr(yq-y) = 0pourtout élémentydeX,ilreste,pourétablirl'/équivalencede(a)et(b), àprouverque - l'ensemble des éléments delaforme y (yeK) est également un hyper plan deK; et il suffit pour cela de remarquer que l'applicationy h>yq ? y deKdansKest et de rangm ? 1, puisque son noyau (formé des veKtehqueyq = y, doncégalkk: prop. 2, ouprop. 8)estdedimension 1. 3.3. Mêmes données et notations que ci-dessus. Soit maintenant N:K-*k, l'application norme. La proposition 8 montre que, pour tout élément x de X, on a (3.3.1) F,n mitre: Proposition 10. ?L'application N:K* -? k*, est surjective. SixeK*, les deux assertions suivantes sont équivalentes: (a) N(x) = 1: (b) il existe yeK* tel que x=yq 1 , Démonstration. ? N est un homomorphisme du groupe K* dans le groupe k*, et il résulte de (3.3.1) et de la plro)po/sition 7 (avec d=(qm-l)/ (q-1)) que Ie noyau de Nestd'ordre (qm- comme l'ordre deK* estégalàqm ? 1,l'imagedeNestnécessairementd'ordre#? 1 = card(k*), d'où la surjectivité de N. Le noyau de N contenant évidemment tous les élémentsdeK*delaformeyyq~x (yeK*)9quienconstituentunsous-groupe, il reste donc, pour établirl'équivalen-celde)(a)/et (b), àmontrer que ce sous groupeest précisément d'ordre (#m mais il suffit pour cela de remarquer que l'application y \-> yyq~x de K* dans À* est un homomor phismedontle noyau (formé desyeK* tels queyyq~x =1, donc égal àk*) est d'ordre q-I,et dont l'image est alors effectivement d'ordre (qm- 1)/ (q?1), puisque K* est lui-même d'ordre qm ? 1. Notessur le chapitrepremier Théorème de Wedderburn: pour la démonstration originale, voii Wedderburn (1905); l'idée d'utiliser(comme dans [1] ou [19]) les propriétés des polynômes cyclotomiques pour simplifier cette démonstration est due à Witt (1931). §1: la classification des corps (commutatifs) finis («champs de Ga lois») remonte essentiellement à Galois (1830). §2: le fait que le groupe multiplicatifdu corps F est cyclique est dû à p Euler (1760); sa démonstration utilisait les propriétés de F«indicatrice d'Euler». Ce résultat est un ingrédient essentiel de la théorie des restes quadratiques (Euler, Legendre, Gauss), cubiques (Jacobi, Eisenstein), biquadratiques (Gauss, Jacobi), et plus généralement des restes de puis sancesquelconques (Kummer, etc.); à ce sujet, voir par exemple Dickson, History ofthe Theory ofNumbers. § 3: les propositions 9 et 10 sont des cas particuliers du théorème 90 de Hilbert relatifaux extensions cycliques (voir [10], pp. 213-215). Chapitre 2 POLYNÔMES ET IDÉAUX DE POLYNÔMES On sait que si Kest un corps infini, et si Fest un polynôme à une ou plusieurs variables, à coefficients dans X, et identiquement nul sur X, alors Fest nul: tous ses coefficients sont nuls. Ceci n'est plus vrai pour un corps fini: ainsi, sur k = F le polynôme Xq ? X, non nul, est pourtant identi q9 quementnul (chap. 1, sect. 1.1 et 1.2); c'est à cette particularité des corps finis qu'est consacré le présent chapitre. Dans tout le cours de ce chapitre (ainsi que dans les chapitres sui vants),k désignera un corps fini à q =pf éléments, n un entier >1, X = (X19 ..., Xn)unefamille denvariables,etk [X] = k [X19...,Xl9 ..., Xn]l'anneau despolynômes en Xl9 ..., Xn à coefficients dansk; d'autre part, les éléments a= (ai9 ..., an) de kn seront appelés points (ou points rationnels sur k, si cette précision est nécessaire); si Fek [X], si a est un point de kn et si , F(a) = 0, on dira que a est un zéro de F. §1. Polynômes réduits etpolynômes identiquement nuls 1.1. Soit Fun élément de k [X].