Équations différentielles p-adiques - Applications aux sommes exponentielles PDF
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PhilRiopbpbea GilClhersi stol Equatdiioefnrfse ntielles p-adiques Applicaautsxio omnmesex sp onentielles 訃い HERMANN EDITEURSDES SCIENCESE T DES ARTS Classement de l'AMS (MSC 1991): 11T23, 12H25, 14F30, et aussi 11L05, 11S80, 14G15. Ouvrage rédigé avec le concours du Ministère de la Recherche et de la Technologie (DIST) à partir d'un manuscrit de Philippe Robba par les membres du Groupe d'analyse ultranumérique de Paris sous la direction de Gilles Christol ISBN 2 7056 6231 8 © 1994, Hermann, éditeurs des sciences et des arts, 293 rue Lecourbe, 75015 Paris Toute reproduction ou représentation de cet ouvrage, intégrale ou partielle, serait illicite sans l'autorisation de l'éditeur et constituerait une contrefaçon. Les cas strictement limités à usage privé ou de citation, sont régis par la loi du 11mars1957. Table des matières Préface 1 Résumé 6 1S ommes de caractères sur les corps finis 8 1 Caractères sur les corps finis 8 1.1 Caractères sur les groupes abéliens finis 8 1. 2 Corps finis 10 1.3 Caractères multiplicatifs et additifs sur un corps fini 12 2 Sommes de caractères 14 2.1 Définition et exemples 14 2.2 Nombre de points d'une courbe algébrique : cas d'un revêtement de Kummer 16 2.3 Nombre de points d'une courbe algébrique cas d'un revêtement d'Artin-Schreier 18 2.4 Fonctions L 20 2.5 Fonctions Zêta 22 3 Présentation des méthodes utilisées 25 3.1 Cohomologies p-adiques 25 3.2 Frobenius et formule des traces 26 Il Analyse Ultramétrique 27 4 Corps ultramétriques 27 4.1 Anneaux ultramétriques 27 4.2 Lemmes de Hensel 28 4.3 Normes ultramétriques 30 4.4 Corps algébriquement clos 31 4.5 Calculs p-adiques 33 4.6 Représentants de Teichmüller 35 4. 7 Corps maximalement complets. 37 5 Éléments analytiques 38 5.1 Valeurs absolues sur Cp[x] 38 5.2 Ensembles affinoïdes connexes et fractions rationnelles 41 5.3 Théorème de Mittag-Leffier 44 5.4 Fonctions analytiques dans une couronne 48 5.5 L'anneau H(A) 54 II Table des matières 6 Espaces dague de Monsky-Washnitzer 59 6.1 Espaces dague 59 6.2 Résidus 61 6.3 Dualité 64 6.4 Intégrale de Cauchy et dualité algébrique 66 6.5 Dualité topologique 68 7 Opérateurs à indice 72 7.1 Propriétés algébriques 72 7.2 Cas des espaces de Banach 74 7.3 Indices généralisés 79 8 Opérateurs à trace 84 ' 8.1 Bases orthogonales 84 8.2 Opérateurs complètement continus 86 8.3 Opérateurs nucléaires 92 Ill Formule de l'indice 101 9 Solution dans le disque générique. Principe de Transfert 101 9.1 Disque générique 101 9.2 Solution au voisinage du point générique 102 9.3 Spécialisation dans un disque ordinaire 106 10 Indice dans un disque. Cas d'un opérateur non soluble 107 10.1 Existence de l'indice 107 10.2 Calcul de l'indice 110 10.3 Formule d'additivité 114 10.4 Sens de variation de l'indice 115 10.5 Exemples de calcul d'indices 117 10.6 p-courbure 119 11 Indice dans un disque. Cas d'un opérateur soluble 122 11.1 Non existence de l'indice dans le cas soluble 122 11.2 Caractérisation des opérateurs solubles 124 11.3 Nombres de Liouville p-adique 127 11.4 disques singulier-régulier . 130 12 Indice dans un disque. Cas Général 134 12.1 Formule de l'indice 134 12.2 Estimation de l'indice 136 13 Irrégularité 137 13.1 Irrégularité d'un opérateur différentiel dans un disque. 137 13.2 Exponentielles de Artin-Hasse généralisées 140 13.3 Application à l'irrégularité 145 13.4 Irrégularité en un point 147 Table des matières III IV Cohomologies de Monsky-Washnitzer 150 14 Modules différentiels 150 14.1 Définition 150 14.2 Formule de changement de base 151 14.3 Exposants 152 14.4 Réduction au cas des fractions rationnelles 152 15 Complexe de De Rham 154 15.1 Espaces de cohomologie 154 15.2 Module trivial 155 15.3 Le théorème de décomposition 157 15.4 Calcul de la cohomologie dans le cas de rang un 159 16 L'exemple fondamental 161 16.1 Le module différentiel M 161 16.2 Première réduction 162 16.3 Deuxième réduction 162 16.4 Calcul de la cohomologie 164 V Frobenius 166 17 Les opérateurs </> et 1/; 166 1 7 .1 Propriétés formelles 166 17.2 Action sur les polynômes 167 17.3 Actions sur les fractions rationnelles 171 17.4 Action sur les fonctions et éléments analytiques 171 17.5 Action sur les espaces dague 173 18 Foncteurs de Frobenius et de Dwork 175 18.l Foncteur de Frobenius 175 18.2 Successeur : unicité 177 18.3 Successeur : existence 184 18.4 Structure de Frobenius forte 188 18.5 Exemples de successeurs 189 18.6 Foncteur de Dwork 193 VI Sommes de caractères et fonctions L 199 19 La formule de trace 199 19.1 Trace de l'opérateur 1/; oH 199 7 19.2 Trace de l'application de Dwork 202 20 Relèvement des caractères 204 20.1 Relèvement des caractères multiplicatifs 204 20.2 Caractères multiplicatifs sur les extensions 206 20.3 La fonction B 207 20.4 Relèvement des caractères additifs . 210 20.5 Caractères additifs sur les extensions 211 IV Table des matières 21 Sommes de caractères et fonction L 212 21. l Expression des sommes de caractères 212 21.2 Cohomologie associée aux sommes de caractères et fonctions L 213 21.3 Degré des fonctions L 215 21.4 Sommes de Gauss . 217 21.5 Formule de Gross-Koblitz (p -:/2) 218 21.6 Sommes de Jacobi 221 21. 7 Sommes de Kloosterman 222 VII Théorie duale 223 22 Complexe dual . 223 22.l Module différentiel dual 223 22.2 Application symplectique 227 22.3 Action de Frobenius 228 22A Transposées des applications de Dwork et de Frobenius 228 23 Autodualité 230 23.l Cup-produit 230 23.2 Equation fonctionnelle des fonctions L 232 23.3 Exemples 235 Index Affinoïde connexe 42 Affinoïde standard 43, 161 Anneau p-adique 33 Anneau des entiers 27 Anneau ultramétrique 27 Anneau ultramétrique complet 27 Application complètement continue 87 Application horizontale 176 Application symplectique 225 Autodualité 230, 235 Automorphisme de Frobenius 11, 189 Base duale 223 Base orthogonale 84 Base orthonormale 84 Bidual 9 Calcul de l'indice 134 Calcul de l'indice d'un opérateur non soluble 111 Calcul de la cohomologie dans le cas de rang un 159 ( Calculs p-adiques 33 Caractère sur un groupe 8 Caractère trivial 8 Caractère additif 12 Caractère de Teichmüller 12 Caractère multiplicatif 12 Caractère quadratique 14 Caractérisation des opérateurs solubles 125 Caractéristique d'Euler-Poincaré 155 Caractéristique résiduelle 28 Centre d'un disque 41 Centre de disque 42 Cohomologie p-adique 25 Cohomologie associée aux sommes de caractères 214 Cohomologie de Monsky-Washnitzer 150 Complexe de De Rham 154 Complexe dual 223 Corps algébriquement clos 31 Corps des restes 28 Corps finis 10 Corps maximalement complet 37 Corps sphériquement complet 37 Corps ultramétrique complet 30 Corps ultramétriques 27 VI Index Courbe de Fermat 1 7 Cup-produit 230 Degré des fonctions L 215 Disque centré à l'infini 41 Disque fermé 27 Disque générique 101 Disque ordinaire 106 Disque ouvert 27 Disque singulier-régulier 131 Division euclidienne 49 Dualité 64 Dualité algébrique 66 Dualité topologique 68 Elément analytique 38, 44 Elément analytique surconvergent 59 Equation fonctionnelle des fonctions L 22, 232 Espace analytique 102 Espace dague de Monsky-Washnitzer 59 Espace vectoriel de type dénombrable 84 Espaces de cohomologie 154 Estimation de l'indice 136 Exemple fondamental: calcul de la cohomologie 164 Exemple fondamental: dÇfinition 161 Exemples de calcul d'indices 117 Existence de l'indice d'un opérateur non soluble 107 Existence de l'indice d'un opérateur soluble 122 Existence de l'indice dans un disque 134 Existence du successeur (forme faible) 185 Existence du successeur (forme forte) 187 Exponentielle d' Artin-Hasse 122 Exponentielles de Artin-Hasse généralisées 140 Exposants 152 Expression des sommes de caractères 213 Extension immédiate 37 Extension non ramifiée 185 Foncteur de Dwork 193 Foncteur de Frobenius 175 Foncteur de Frobenius : action sur le dual 227 Fonction L 20, 199 Fonction () 207 Fonction analytique dans une couronne 48 Fonction caractéristique 89 Fonction r-extrémale 49 Fonction (no, r)-extrémale 49 Fonction Zêta 22 Fonctions méromorphes 130 Formule d'additivité 114 Formule de changement de base 151 Formule de Gross-Koblitz 221 Formule de l'indice 134 Index VII Formule de trace 26, 199 Frobenius 166 Groupe des valeurs absolues 27 Groupe dual 8 Hypothèse de Riemann 22 Identité de Barsotti 119 Indice d'une application linéaire 72 Indice dans un disque d'un opérateur non soluble 107 Indice généralisé 79, 157 Intégrale de Cauchy 66 Inverse à gauche 107 Inégalité de Schwarz 40, 53 Irrégularité dans un disque 137 Irrégularité en un point 147 Lemme de Hensel général 28 Lemme de Hensel pour les fonctions analytiques 51 Lemme de Hensel pour les polynômes 29 Lemme du serpent 72 Logarithmiquement 38 Matrice de dérivation dans une base 150 Module différentiel 150 Module différentiel dual 223 Module différentiel soluble 177 Module différentiel trivial 150, 155 Modules différentiels A-équivalents 130 Modules différentiels 7-i-équivalents 130 Nombre de Liouville p-adique 127, 129 Nombre de points sur un revêtement d' Artin-Schreier 18 Nombre de points sur un revêtement de Kummer 16 Non existence de l'indice d'un opérateur soluble 122 Norme de Gauss 29, 43, 49, 57 Norme ultramétrique 30 Opérateur adjoint 105 Opérateur soluble pour un disque 105 Opérateurs 7/J et </> 166 Opérateurs 7/J et </> : action sur les espaces dague 173 Opérateurs 7/J et </> : action sur les fonctions et éléments analytiques 171 Opérateurs 7/J et</>: action sur les polynômes 167 Opérateurs 7/J et </J : actions sur les fractions rationnelles 180 Opérateurs 7/J et </J: propriétés formelles 166 Opérateurs complètement continus 86 Opérateurs nucléaires 92 Opérateurs à indice 72 Opérateurs à trace 84 Partie principale 61 Partition d'un disque en ses classes résiduelles 114 Point générique 101 Principe de Transfert 106 Prolongement analytique 56 Prolongement des caractères additifs sur les extensions 211 VIII Index Prolongement des caractères multiplicatifs sur les extensions 206 Pôle d'un disque 41 Rayon de convergence au bord d'un disque 103 Relations d'orthogonalité 9 Relèvement des caractères additifs 210 Relèvement des caractères multiplicatifs 204 Représentant de Teichmüller 35 Résidus 61 Restriction 9 Revêtement d' Artin-Schreier 18, 19, 24 Revêtement de Kummer 16, 19, 24 Sens de variation de l'indice 115 Solution dans le disque générique 102 Somme de caractères 14, 199 Somme de caractères et fonction L 213 Somme de Gauss 14, 218, 235 Somme de Jacobi 15, 221, 235 Somme de Kloosterman 222 Sommes exponentielles 14 Spécialisation dans un disque ordinaire 106 Structure de Frobenius forte 188, 203 Successeur : exemples 189 Successeur : existence 184 Successeur : unicité 177 Théorie duale 223 Théorème de décomposition 157 Théorème de Krasner 32 Théorème de l'indice pour un opérateur non soluble 111 Théorème de Mittag-Leffier 44, 59 Théorème de Mittag-Leffter (Deuxième forme) 48 Théorème de Mittag-Leffler (Première forme) 46 Théorème de préparation de Weierstrass 51 Théorème de spécialisation 106 Théorème de transfert 106 Trace 89, 93 Trace de l'applicatim~de Dwork 203 Trace de l'opérateur 1/hoH 199 Transposées des applications de Dwork et de Frobenius 228 Unicité du successeur 177 Uniformisante 191 Uniformisante locale 42 Valeur absolue p-adique 33 Valeur absolue normalisée 33 Valeur absolue sur ICp[x] 38 Valeur absolue ultramétrique 27 Voisinage tubulaire fermé 59
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