Equações Diferenciais Parciais: uma Introdução PDF
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FICHA CATALOGRÁFICA Iório Jr., Rafael José & Iório, Valéria I64e Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática: Pura e Apli- cada, CNPq, 1988. 372 p. (Projeto Euclides) 1. Equações Diferenciais Parciais. I. Título. II. Série. CDD-515.353 rafael tório júnior valéria de magalhães iório equações diferenciais parciais: uma introdução Es) Instituto de Matemática Pura e Aplicada Copyright O 1988 by Rafael José Iório Jr. e Valéria lório. Direitos reservados, 1988 por Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq. Av. W-3 Norte, Brasília, DF : Impresso no Brasil/Printed in Brazil Capa: Carlos Alberto Areal Layout: Atelier 78 Projeto Euclides: Coordenado por Elon Lages Lima Comissão Editorial: César Camacho, Chaim Samuel Honig, Djairo Guedes de Figueiredo, Elon Lages Lima, Imre Simon, Jacob Palis Júnior, Lindolpho de Carvalho Dias, Manfredo Perdigão do Carmo, Maurício Matos Peixoto, Pedro Jesus Fernandez. Títulos já publicados: « Curso de Análviol.s 1,e E,lo n Lages Lima Medida e Integração, Pedro Jesus Fernandez A Aplicações da Topologia à Análise, Chaim Samuel Honig N Espaços Métricos, Elon Lages Lima Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Djairo Guedes de Figueiredo A Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Jacob Palis Júnior e Welington C. de Melo P« Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves Aspectos Teóricos da Computação, Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan Simon, Jano Simon e Tomasz Kowaltowski 9. Teoria Geométrica das Folheções, Alcides Lins Neto e César Camacho 10. Geometria Riemanniana, Manfredo P. do Carmo 11. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Jorge Sotomayor 12. Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário, Barry R. James 13. Curso de Análise, vol. 2, Elon Lages Lima 14. Introdução à Teoria Ergodica, Ricardo Mané 15. Teoria dos Números Algébricos, Otto Endler . 16. Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais, Javier Thayer 17. Equações-Diferenciais Parciais: Uma Introdução, Rafael Iório Jr. e Valéria Iório Composição: Setor de Informática do IMPA Impresso por: Gráfica Portinho Cavalcanti Ltda. Rua Santana, 136/138 — Tel.: 224-7732 (PABX) Rio de Janeiro — RJ. Distribuído por: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rua Vieira Bueno, 21 A 20.920 — São CristóvãoR,J — Brasil ISBN 85-244-0035-8 CONTEÚDO Prefácio ......ccccccc v CAPÍTULO I-PRELIMINARES ......... cecaccrcre sal 81. Definições Básicas .......cccccccc 1 $2. Classificação em Tipos ....cccccc 6 83. Condições de Contorno e de Valores Iniciais ............ 13 CAPÍTULO IO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS . . 2 81. O Problema de Condução de Calor em uma Barra. ....... .” $2. Outros Exemplos e Comentários ...........ccccc.. 33 CAPÍTULO III-SÉRIES DE FOURIER: TEORIA BÁSICA ..... 46 81. Espaços Vetoriais Normados Crer rare 46 82. Sériesde Fourier .......cccci err 54 $3. Interpretação Geométrica ............. Cerca 58 84. Propriedades de Decaimento de f Cera 63 85. Convergência Pontual ............... ds 66 86. Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet .............. 72 87. Aplicações ....ccccccccl 85 88. O Problema de Dirichlet no Disco Unitário. ............ 93 CAPÍTULO IV-SÉRIES DE FOURIER: DISTRIBUIÇÕES PERIÓDICAS E APLICAÇÕES ......... 104 81. Funções Periódicas de Classe CP. ......cclc 104 $2. Distribuições Periódicas .......ccccccci 113 $3. Sériesde Fourierem P' .......ccc 136 84. AConvoluçãõoem P' ...... 0. 143 85. O Espaço L([-7, n)) Ceras asa raca. 152 86. O Operador D? em L([-7, n)) Cerca rear 157. 87. Aplicações ....cccccccc . 168 CAPÍTULO V-A TRANSFORMADA DE FOURIER NA RETA .. 180 81. A Equação do Calor Ataca Outra Vez ...........c... 180 $2. A Transformada de Fourier na Reta ......... ara 189 $3. A transformada de Fourier no Espaço de Schwartz. ....... 193 84. Aproximação por Convolução ...........ccccccc.. 201 85. Distribuições Temperadas .........cccccicccc. 204 86. 0 Espaço LHR) ......ccc 215 87. O Operador (-B2 a)......ciciccica 217 CAPÍTULO VI-ELEMENTOS DE ANÁLISE FUNCIONAL .... 225 $1. Operadores Limitados e Operadores Compactos ......... 225 82. Os Espaços LP(X,M,H) ......cccclc cc. 231 $3. A Alternativa de Fredholm .........ccccccc. 243 84. O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-Adjuntos 245 CAPÍTULO VII-UM PROBLEMA DE AUTO-VALORES PARA O LAPLACIANO ........ccccccc.. 254 81. Preliminares .......ccccclccl 254 82. As Identidades de Green. .........ccccccc 255 83. O Princípio do Máximo para Funções Harmônicas ........ 260 84. A FunçãodeGreen.........ccccccccccc 262 85. Propriedades da Função de Green. ............. .. 264 86. O Problema de Auto-Valores ..........ccccccc.. 272 CAPÍTULO VIII-O PROBLEMA DE DIRICHLET CLÁSSICO .. 284 $1. Potenciais de Camada Simplese Dupla. ......... 284 82. A Solução do Problema de Dirichlet Clássico. ........ .. 294 CAPÍTULO IX-A TRANSFORMADA DE FOURIER EM R” ... 302 $1. A Transformada de Fourierem LM(R”) ............. 302 82. A Transformada de Fourier no Espaço de Schwartz ....... 311 83. A Transformada de Fourier em L(R") Cerca “o. 314 “84. O Laplacianoem LH(R")..........cc. 316 85. Distribuições Temperadadas .........ccccccc. 323 $6. Um Parêntese Topológico .... EEE 328 87. A Derivada e a Transformada de Fourier em $ (R')...... 331 $8. Os Espaços de Sobolevem Rº ............. Ve 336 89. Convoluções, Soluções Fundamentais e Outras Coisas da Vida . 342 Referências PREFÁCIO “A única coisa perfeita é o conjunto vazio.” Com estas sábias pala- vras nosso amigo Elon nos convenceu a fazer duas coisas: a primeira delas foi escrever o presente texto e a segunda, como não poderia deixar de ser, foi parar o processo desencadeado pela primeira! E o resultado é este volume. Ele é baseado em vários conjuntos de notas de aula de cursos ministrados na PUC/RJ, no IMPA, na UnB e também no 13º Colóquio Brasileiro de Matemática, nos últimos nove anos. O livro tem duas partes distintas. O objetivo dos cinco primeiros capítulos é introduzir, com um mínimo de pré-requisitos, os tópicos de Análise de Fourier clássicos e modernos necessários ao estudo das Equações Diferenciais Parciais. O material aí apresentado é desen- volvido a partir do honorável método de separação de variáveis e expansão em auto-funções, que permite resolver problemas de con- torno e/ou valor inicial em certos domínios com simetria apropriada. Partindo então de problemas clássicos, como, por exemplo, a trans- missão de calor em uma barra finita, introduzimos a noção de série de Fourier e, em seguida, desenvolvemos a teoria de tais objetos em vários contextos, inclusive no das distribuições periódicas. As idéias correspondentes no caso da reta também são apresentadas, com o estudo da transformada de Fourier no espaço de Schwartz S(R.) e no seu dual S(R), o espaço das distribuições temperadas. Introduzi- mos também o espaço L?(R) como um subespaço de S'(R.), evitando dessa forma o pré-requisito de medida e integração normalmente ne- cessário para a teoria L?. A primeira parte pode ser usada, como já o foi algumas vezes, como referências básicas para um curso de um semestre a nível de final de graduação ou início de mestrado. Dependendo da dispo- nibilidade de tempo, o professor poderá apresentar alguns tópicos básicos que porventura lhe agradem e que não são discutidos (ou vi o são muito rapidamente) no presente texto, como, por exemplo, equações de primeira ordem e curvas características, ou usar mate- rial mais avançado contido nos capítulos subsequentes. À segunda parte é definitivamente mais avançada e pressupõe um conhecimento básico de medida e integração pelo leitor. Ela trata da generalização e extensão das idéias introduzidas anteriormente para domínios em R”. Apresentamos aí um tratamento relativa- mente extenso do problema de auto:valores para o laplaciano em domínios limitados do R” através do método de equações integrais. Os pré-requisitos necessários, como, por exemplo, a alternativa de Fredholm e o teorema espectral para operadores compactos auto- adjuntos, são descritos no Capítulo VI. O último capítulo trata a teoria das integrais de Fourier em R”. O livro conta também com um bom número de problemas que devem ser encarados como parte integrante do texto. Acreditamos que a única maneira de aprender Matemática é fazendo Matemática. Por isso uma grande quantidade de informação adicional pode ser encontrada nos Exercícios. Além disso, gostaríamos de encorajar o leitor a consultar seriamente as referências bibliográficas citadas no texto, assim como a procurar outros livros e artigos nas bibliotecas ao seu alcance. Em contraposição ao conjunto vazio, este volume apresenta defei- tos e, esperamos, qualidades. Sobre estas não faremos comentários. Quanto aos defeitos, o, maior deles nos parece a omissão total ou parcial de certos tópicos e pontos de vista importantes na pesquisa atual. Isso se deve, é claro, ao nosso gosto pessoal e às necessida- ' des locais dos cursos que deram origem a este livro. Por exemplo, a equação de onda figura em segundo plano na exposição, a teoria das equações de primeira ordem não é discutida (exceto em alguns comentários curtos e exercícios) e o espaço de distribuições usual, D', não é sequer mencionado (exceto no prefácio). Além disso, o livro é “linear”: as equações não lineares foram deixadas de lado. Nossa intenção inicial era escrever pelo menos uma seção sobre re- Prefácio vii gularização parabólica, assunto de interesse atual para o primeiro autor, mas infelizmente não houve tempo hábil. Caso o livro seja bem aceito, quem sabe numa edição futura... Gostaríamos de registrar a nossa gratidão a algumas pessoas que participaram, direta ou indiretamente, desta obra. A primeira de- las é o professor Elon Lages Lima: não fosse sua insistência, esse texto provavelmente jamais seria escrito. Somos gratos ao profes- sor Carlos Isnard por suas inúmeras sugestões e críticas construtivas ao longo dos últimos seis anos. Agradecemos também ao professor Lucio Rodríguez, responsável pela composição do texto no compu- tador do IMPA, pelo apoio recebido, à Sra. Maria Celano Maia por “sua cobrança incansável e ao Sr. Rogério Dias Trindade pela sua paciência e boa vontade. Finalmente, nossos agradecimentos a dois amigos muito queridos, Carlos Alberto e Lulu Areal: ela é a figuri- nista que escolheu as roupas e nos preparou para as fotos e ele é o autor do desenho e da foto da capa. Rio de Janeiro, 8 de dezembro de 1987. Rafael José lório Jr. Valéria Iório PARTE I Elementary may be deep. Tosio Kato [48]
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