Equações Diferenciais Ordinárias e Séries de Potência PDF
Preview Equações Diferenciais Ordinárias e Séries de Potência
Equações diferenciais ordinárias e séries de potências Reitora Márcia Abrahão Moura Vice-Reitor Enrique Huelva EDITORA Diretora Germana Henriques Pereira Conselho editorial Germana Henriques Pereira Fernando César Lima Leite Beatriz Vargas Ramos Gonçalves de Rezende Carlos José Souza de Alvarenga Estevão Chaves de Rezende Martins Flávia Millena Biroli Tokarski Izabela Costa Brochado Jorge Madeira Nogueira Maria Lidia Bueno Fernandes Rafael Sanzio Araújo dos Anjos Verônica Moreira Amado EDITORA Equações diferenciais ordinárias e séries de potências Lucas Seco e Mauro Patrão Equipe editorial Coordenação de produção editorial Luciana Lins Camello Galvão Preparação e revisão Tiago de Aguiar Rodrigues Diagramação Lucas Seco e Mauro Patrão © 2018 Editora Universidade de Brasília Direitos exclusivos para esta edição: Editora Universidade de Brasília SCS, quadra 2, bloco C, nº 78, edifício OK, 2º andar, CEP 70302-907, Brasília, DF Telefone: (61) 3035-4200 Site: www.editora.unb.br E-mail: [email protected] Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser armazenada ou reproduzida por qualquer meio sem a autorização por escrito da Editora. Esta obra foi publicada com recursos provenientes do Edital DEG/UnB no 13/2017. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília S445 Seco, Lucas. Equações diferenciais ordinárias e séries de potências / Lucas Seco e Mauro Patrão. – Brasília : Editora Universidade de Brasília, 2018. 354 p. : il. ; 23 cm. – (Série Ensino de Graduação) ISBN 978-85-230-1016-4. 1. Equações diferenciais. 2. Séries de potências. 3. Transformada de Laplace. 4. Sistemas de equações diferenciais. I. Patrão, Mauro. II. Título. CDU 517.91 Impresso no Brasil S UMÁRIO Apresentação 9 1 Equaçõesdiferenciais 13 1.1 EDOseparável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2 EDOlinearde1ªordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3 EDOlinearde2ªordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4 Coeficientesconstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5 Coeficientesvariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2 Sériesdepotências 109 2.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.2 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.3 Sériesdepotências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2.4 Testesdeconvergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.5 Domínioeraiodeconvergência . . . . . . . . . . . . . . . . 180 2.6 Derivadaeintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2.7 SériedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2.8 SoluçõesdeEDOsporsériesdepotências . . . . . . . . . . 212 3 Ordemsuperioresistemas 225 3.1 Raízescaracterísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.2 Coeficientesadeterminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 3.3 TransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 3.4 Transformadainversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 3.5 Funçõesdefinidasporpartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 3.6 SistemadeEDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 6 Sumário A Apêndice 313 A.1 RegradeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 A.2 EDOlineardeordemsuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 A.3 Sequênciamonótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 A.4 Integralimprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 A.5 Exponencialcomplexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 A.6 Derivadadesériesdepotências . . . . . . . . . . . . . . . . 342 A.7 Soluçõesporsériesdepotências . . . . . . . . . . . . . . . 345 Referências 353 Agradecimentos AgradecemosassugestõesdoscolegasdoMAT-UnBedosestudantesdo Cálculo2queutilizaramalgumadasversõesanterioresdestelivro,oque permitiuumaconsiderávelmelhorianoconteúdoenaapresentaçãodo texto. A PRESENTAÇÃO PARA O ESTUDANTE OCálculoéamatemáticadomovimento. NoprimeirocursodeCálculo, aprendemos que as quantidades que se movem são dadas por funções reais; oslimitesdefunçõesfornecemastendênciasdomovimentodes- sasquantidades; asderivadasdefunçõesfornecemastaxasdevariação dessasquantidades;eaintegraléaantiderivada:dadaataxadevariação deumaquantidade,suaintegraléaquantidadeoriginal. Nestelivro,va- mosaprofundaroestudodomovimento,ampliandonossastécnicasde integraçãoenossorepertóriodefunções. As equações que descrevem o movimento e, de maneira mais ge- ral, taxas de variação, são denominadas equações diferenciais ordiná- rias (EDOs) e o fio condutor deste livro é um primeiro estudo sistemá- tico desse tipo de equação. Os primeiros exemplos de EDOs do Capí- tulo 1 têm origem na famosa 2ª Lei de Newton (F = ma). Por exem- plo, na queda livre vertical sem atrito, a aceleração é constante e igual a −g e a velocidade pode ser obtida por integração direta, obtendo assim a conhecida velocidade do movimento uniformemente variado v(t) = v −gt, onde v é a velocidade inicial. Já na queda livre com 0 0 atrito, a aceleração depende da velocidade e não é possível obter essa velocidadeporintegraçãodireta. Outroexemplodinâmicoéumsistema massa-mola, em que a força depende da posição e, novamente, não é possívelobteressaposiçãoporintegraçãodireta. Umexemploestáticoé determinaraformadeumcabosuspensosobseuprópriopeso,conhe- cidocomoproblemadacatenária. AofinaldoCapítulo1,vamosestudar
The list of books you might like
