Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno

439 Pages·2005·56.139 MB·Portuguese

by  William E. Boyce and Richard C. Diprima

Equações Diferenciais
Elementares e Problemas de
Valores de Contorno
OITAVA
EDIÇÃO
William E. Boyce
Professor Emérito Edward P. Hamilton
Richard C. DiPrima
Anteriormente Professor da
Fundação Eliza Ricketts
Departamento de Ciências Matemáticas
Instituto Politécnico Rensselaer
Tradução
Valéria de Magalhães Iorio
Fundação Educacional Serra dos Órgãos, Te n:sópolis
LTC
EDITORA
SUMÁRIO
Prefácio, ix 4.3 O Método dos Coeficientes lndeterminados, 126
4.4 O Método de Variação dos Parâmetros. 128
Capítulo 1 Introdução, 1
Capítulo 5 Soluções em Série para Equações
Ll Alguns Modelos Matemáticos Básicos; Campos de
Lineares de Segunda Ordem, 131
Direçào, 1
l .2 Soluções de Algumas Equações Diferenciais, 7
5.1 Revisão de Séries de Potências, 131
1.3 Classificação de Equações Diferenciais, 11
5.2 Soluções em Série na Vizinhança ele um Pomo
1.4 Notas Históricas, 15
Ordinário, Parte 1, 135
5.3 Soluções em Série na Vizinhança de um Ponto
Capítulo 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordinário, Pane 11, 141
Ordem, 18 5.4 Pontos Singulares Regulares, 145
5.5 Equações de Euler, 148
2.1 Equações Lineares; Métodos dos Fatores lmegrantes, 18
5.6 Soluções em Série na Vizinhança de um Pomo Singular
2.2 Equações Separáveis, 24
Regular, Parte l, 152
2.3 Modelagem com Equações de Primeira Ordem, 28
5. 7 Soluções em Série na Vizinhança de um Ponto Singular
2.4 Diferenças entre Equações Lineares e Não-Lineares, 38
Regular, Parte ll, 155
2.5 Equações Autônomas e Dinâmica Populacional, 43
5.8 Equação de Bessel. 158
2.6 Equações Exatas e Fatores lmegrantes. 51
2. 7 Aproximaçõt>s Numéricas: o Método de Euler. 55
2.8 O Teorema de Existência e Unicidade, 60 Capítulo 6 A Transformada de Laplace, 165
2-9 Equações de Diferenças de Primeira Ordem, 65
6.1 Definição da Transformada de Laplace, 165
6.2 Solução de Problemas de Valores lniciais, 169
Capitulo 3 Equações lineares de Segunda Ordem, 74
6.3 Funções Degrau, 175
3.1 Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes, 74 6.4 Equações Diferenciais com Forçamentos
3.2 Soluções Fundamentais de Equações Lineares Descontínuos, 180
Homogêneas, 78 6.5 Funções de lmpulso, 183
3.3 lndependência Linear e o Wronskiano, 83 6.6 A Convolução, 186
3.4 Raízes Complexas da Equação Caractertstica, 87
3.5 Raízes Repetidas; Redução de Ordem, 91 Capítulo 7 Sistemas de Equações lineares de
3.6 Equações Não-Homogêneas; Método dos Coeficientes Primeira Ordem, 192
lndeterminados, 95
7.1 Introdução, 192
3. 7 Variação dos Parárnetros, 101
7.2 Revisão de Matrizes, 196
3.8 Vibrações Mecânicas e Elétiicas, 104
7.3 Equações Lineares Algébricas; lnclependência Linear,
3.9 Vibrações Forçadas, l 12
Autovalores e Autovetores, 201
7.4 Teoria Básica de Sisremas de Equações Lineares de
Capítulo 4 Equações lineares de Ordem
Primeira Ordem, 206
Mais Alta, 119
7.5 Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes
4.1 Teoria Geral para Equações Lineares de Ordem n, 119 Constantes, 209
4. 2 Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes, 121 7.6 Autovalores Complexos, 215
xvi Sumário
7. 7 Matrizes fundamentais, 222 10.2 Séries de Fourier, 310
7.8 AUlovalores Repetidos, 226 10.3 O Teorema de Convergência de Fourier, 315
7.9 Sistemas Lineares Não-homogêneos, 230 10.4 funções Pares e Ímpares, 318
10.5 Separação de Variáveis; Condução de Calor em uma
Capítulo 8 Métodos Numéricos, 236 Barra, 323
10.6 Outros Problemas de Condução de Calor, 327
8.1 O Método de Euler ou MéLOdo da Reta Tangente, 236
10. 7 A Equação de Onda: Vibrações de uma Corda
8.2 Aprimoramentos no Método de Euler, 241
Elástica, 332
8.3 O Método de Runge-Kutta, 244
10.8 A Equação de Laplace, 340
8.4 Métodos de Passos Múltiplos, 247
Apêndice A. Dedução da Equação de Calor, 345
8.5 Mais sobre Erros; Estabilidade, 250
Apêndice B. Dedução da Equação de Onda, 34 7
8.6 Sistemas de Equações de Primeira Ordem, 255
Capítulo l l Problemas de Valores de Contorno, 349
Capítulo 9 Equações Diferenciais Não-lineares e
Estabilidade, 258 11.1 A Ocorrência de Problema de Valores de Conto mo em
Fronteiras com Dois Pontos, 349
9.1 O Plano de Fase: Sistemas Lineares, 258
11.2 Problemas de Valores de Contorno de
9.2 Sistemas Autônomos e Estabilidade, 265
Sturm-Liouville, 353
9.3 Sistemas Quase Lineares, 269
11.3 Problemas de Valores de Contorno
9.4 Espécies em Competição, 276
Não-Homogêneos, 360
9.5 Equações Predador-Presa, 284
11.4 Problemas de Sturm-Liouvi.lle Singulares, 367
9.6 O Segundo Método de Uapunov, 288
11.5 Observações Adicionais sobre o Método de Separação
9. 7 Soluções Periódicas e Ciclos-Limite, 294
de Variáveis: Uma Expansão em Funções de Bessel, 370
9.8 Caos e Atratores Estranhos: as Equações de Lorenz, 300
11.6 Séries de Funções Ortogonais: Convergência na
Média, 373
Capítulo 10 Equações Diferenciais Parciais e Séries de
Fourier, 306
Respostas dos Problemas, 379
10.1 Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras com
Dois Pontos, 306 Índice, 430
.-
e
A-. p L
Tentamos, neste capítulo, olhar nosso estudo de equaçõe.s diferen ter alguma idéia de como isso pode auxiliá-lo. Para alguns estu
ciais sob diversos ângulos diferentes, de modo a obter uma boa pers dantes, o interesse intrínseco do assunto é motivação sufidcntc,
pectiva. Usamos, primeiro, dois problemas para ilustrar algumas das mas, para a maioria, as possíveis aplicações importantes cm ou
idéias básicas a que retomaremos com freqüência e que serão tros campos é o que faz com que tal estudo valha a pena.
aprofundadas ao longo deste livro. Indicamos, mais tarde, diversos Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do
modos de classificar equações, com o objetivo de fornecer uma es mundo físico são pmposiçõcs, ou relações, envolvendo a taxa se
trutura organizacional para o 1ivro. Finalmente, fazemos um esbo gundo a qual as coisas acontecem. Expressas em linguagem mate
ço das tendências principais no desenvolvimento histórico desse mática, as relações são equações e as taxas são derivadas, Equações
campo e mencionamos alguns dos matemáticos extraorclinários que contendo derivada<; são equações diferenciais. Portanto, para com
contribuíram para ele. O estudo das equações diferenciais atraiu a preender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluí
atenção dos maiores matemáticos do mundo durante os três últimos dos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor
séculos. Apesar disso, continua sendo uma área de pesquisa dinâ cm objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, ou
mica hoje em dia, com muitas questões interessantes em aberto. o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é
necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais.
Uma equação diferencial que descreve algum processo físico
1.1 Alguns Modelos Matemáticos é chamada., muitas vezes, de modelo matemático do processo,
e muitos desses modelos são discutidos ao longo do texto. Co
Básicos; Campos de.,P,t@,Ǫ9
meçamos esta seção com dois modelos que nos levam a equa
ções fáceis de rcsol ver. Vale a pena observar que mesmo as equa
Antes de começar um estudo sério de equações diferenciais (len ções diferenciais mais simples fornecem modelos úteis de pro
do este livro ou panes substanciais dele. por exemplo). você deve cessos físicos importantes.
Exemplo 1
Um Objeto em Queda ciado do problema que sugira unidades apropriada<;, de modo que
estamos livres para escolher unidades que nos par~am razoáveis.
Suponha que um objeto está caindo na atmosfera., perto do nível do Especificamente, vamos medir o tempo t cm segundos (s) e a velo
mar. Formule uma equação diferencial que descreva o movimento. cidade v em metros por segundo (m/s). Além disso, vamos supor
Começamos usando letra<; para representarª" diversas quanti que a velocidade v é positiva quando o sentido do movimento é para
dades de interesse nesse problema. O movimento ocorre durante um baixo, isto é, quando o objeto está caindo.
detenninado intervalo de tempo, logo vamos usar t para denotar o A lei física que governa o movimento de objetos é a segunda
tempo. Além disso, vamos usar v para representar a velocidade do lei de Newton, que diz que a massa do objeto vezes sua acelera
objeto em queda. A velocidade deve variar com o tempo, de modo ção é igual à força total atuando sobre o objeto. Em linguagem
que vamos considerar vcomo uma função der, em outras palavras, matemática, essa lei é expressa pela equação
t é a variável independente e vé a variável dependente. A escolha
de unidades de medida é um tanto arbitrária e não há nada no enun- F=ma, (1)
Z lncrodução
onde m é a massa do objeto, a sua aceleração e F a força total sitivo), enquanto a resistência do ar age para cima (no sentido
agindo sobre o objeto. Para manter nossas unidades consisten negativo), como ilustrado na Fig. 1.1.1. Logo,
tes, mediremos m em quilogramas (kg), a em metros por segun
do ao quadrado (m/s2) e F em newtons (N). É claro que a e vestão F = mg- yv (3)
relacionadas por a == dvldt, de modo que podemos reescrever a
e a Eq. (2) toma-se
Eq. (1) na forma
dv
F = m(dv/dt). (2) m-=mg-yv. (4)
dt
A seguir, considere as forças que agem sobre um objeto em que
A Eq. (4) é um modelo matemático de um objeto caindo na atmos
da. A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto, ou
fera, próximo do nível do mar. Note que o modelo contém as três
mg, onde g é a aceleração devida à gravidade. Nas unidades de
constantes m, g e y. As constantes me y dependem bastante do OQjeto
medida que escolhemos, g foi determinada experimentalmente
particular que está caindo e serão diferentes, em geral, para objetos
como sendo aproximadamente igual a 9,8 rn/s2 próximo à super
diferentes. É comum referir-se a essas constantes como parâmetros,
fície da Terra. Existe, também, uma força devido à resistência
já que podem tomar um conjunto de valores dumnte um experimento.
do ar, que é mais difícil de modelar. Este não é o local para uma
Por outro lado, o valor de g é o mesmo para todos os objetos.
discussão aprofundada da força de resistência do ar; basta dizer
que se supõe, muitas vezes, que a resistência do ar é proporcio
nal à velocidade e faremos essa hipótese aqui. Dessa forma, a
força de resistência do ar tem tamanho (ou módulo) yv, onde yé
uma constante chamada de coeficiente de resistência do ar. O
valor numérico do coeficiente de resistência do ar varia muito
de um objeto para outro; objetos lisos com fonnato aerodinâmi
co têm coeficientes de resistência do ar muito menores do que mg
objetos rugosos com formatos não-aerodinâmicos.
Ao escrever uma expressão para a força total F, precisamos
lembrar que a gravidade sempre age para baixo (no sentido po- FIG. 1.1.1 Diagrnma de forças agindo sobre um objeto cm queda livre.
Para resolvermos aEq. (4), precisamos encontrar uma fun dos valores escolhidos. Vamos supor, então, quem= 1 Ok g e
ção v == v(t) que satisfaça a equação. Isso não é difícil de fa y = 2 kg/s. Se as unidades de y parecem estranhas, lembre
zer, e vamos mostrar como na próxima seção. Entretanto, va se de que y tem que ter unidades de força, isto é, kg·m/s2• A
mos ver o que podemos descobrir sobre soluções sem encon Eq. (4) fica, então,
trar, de fato, qualquer uma delas. Nossa tarefa pode ser ligei
ramente simplificada se atribuirmos valores numéricos para (5)
me y, mas o procedimento é o mesmo, independentemente
Exemplo 2
Um Objeto em Queda (continuação) encontrado qualquer solução e não aparecendo o grdfico de nenhuma
solução na figura, podemos fazer deduções qualitativas sobre o com
Investigue o componamento das soluções da Eq. (5) sem resol portamento das soluções. Por exemplo, se v for menor do que certo
ver a equação diferencial. valor critico, então todos os segmentos de reta têm coeficientes angu
Vamos proceder analisando a Eq. (5) de um ponto de vista geo lares positivos, e a velocidade do objeto em queda aumenta enquanto
métrico. Suponha que vtem um detenninado valor. Então, calculan ele cai. Por outro lado, se v for maior do que o valor critico, então os
do a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (5), encontramos segmentos de reta têm coeficientes angulares negativos, e o objeto em
o valor correspondente de dv!dt. Por exemplo, se v = 40, então dv/dt queda vai diminuindo a velocidade à medida que cai. Qual é esse valor
= 1,8. faso significa que a inclinação1 de uma solução v = v(t) tem o crítico de v que separa os objetos cuja velocidade está aumentando
valor 1,8 em qualquer ponto onde v = 40. Podemos apresentar essa daqueles cuja velocidade está diminuindo? Referimo-nos, novamen
informação graficamente no plano tv desenhando pequenos seg te, à Eq, (5), e perguntamos quais os valores de v que farão com que
mentos de reta com coeficiente angular 1,8 em diversos pontos ao dvldt seja zero. A resposta é v = (5)(9,8) = 49 m/s.
longo da reta v = 40. Analogamente, se v = 50, então dvldt = De fato, a função constante v = 49 é uma solução da Eq. (5).
-0,2, logo desenhamos segmentos de reta com coeficiente angu Para verificar essa afinnação, substitua v(t) = 49 na Eq. (5) e
lar -0,2 em diversos pontos ao longo da reta v = 50. Procedendo note que as expressões dos dois lados do sinal de igualdade são
=
da mesma maneira com outros valores de v, obtemos a Fig. 1.1.2, iguais a zero. Como essa solução não varia com o tempo, v(t)
que é um exemplo do que é chamado de um campo de direções. 49 é chamada de solução de equilíbrio. Essa é a solução que cor
A importância da Fig. L 1.2 é que cada segmento de reta é tangen responde a um equilíbrio entre a gravidade e a resistência do ar.
te ao gráfico de wna solução da Eq. (5). Assim, mesmo não tendo Mostramos, na Fig. 1.1.3, a solução de equilíbrio superposta no
campo de direções. Dessa figura podemos chegar a uma outra
conclusão, a saber, que todas as outras soluções parecem estar
' hto é. o coeficience aogular da reta caogemc ao gráfico. (N. T.) convergindo para a solução de equilíbrio quando t aumenta.
JntrodU(ãO 3
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2 4 8 10
FIG. 1.1.2 Um campo de direções para a Eq. (5).
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2 •.·4 ·· 8 10 t
FIG. 1.1.3 Campo de direções e solução de equilíbrio para a Eq. (5).
A abordagem ilustrada no Exemplo 2 pode ser igualmente segmento de reta é tangente ao gráfico de uma solução contendo
aplicada à Eq. (4), mais gemi, onde os parâmetros me '}'são aquele ponto. Um campo de direções desenhado em uma malha
números positivos não especificados. Os resultados são, essen razoavelmente fina fornece uma boa idéia do comportamento glo
cialmente, idênticos aos do Exemplo 2. A solução de equilíbrio bal das soluções de uma equação diferencial. A construção de um
da Eq. (4) é i.(t) = mg/y Soluções abaixo da equação de equilí campo de direções é, muitas vezes, um primeiro passo bastante
brio aumentam de velocidade com o tempo, soluções acima di útil na investigação sobre uma equação diferencial.
minuem de velocidade e todas as soluções se aproximam da so Vale a pena fazer duas observações. A primeira é que, para
lução de equilíbrio quando t fica muito grande. construir um campo de direções, não precisamos resolver a Eq.
(6), bastando calcular a função f(t, y) dada muitas vezes. Dessa
Campos de Direções. Campos de direções são ferramentas vali fonna, campos de direção podem ser construídos com facilida
osas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma de mesmo para equações muito difíceis de resolver. A segunda
é que cálculos repetidos de uma função dada é uma tarefa para a
dy
- ::::: f(t, y), (6) qual um computador é particularmente apropriado e você deve,
dt
em geral, usar um computador para desenhar um campo de dire
onde fé uma função dada de duas variáveis, te y, algumas vezes ções. Todos os campos de direção mostrados neste livro, como
chamada de função taxa de variação. Um campo de direções o da Fig. 1.1.2, foram gerados em um computador.
útil para equações da fonna (6) pode ser construído calculando
sefe m cada ponto de uma malha retangular consistindo em.. pelo Rato.~ do Campo e Corujas. Vamos olhar, agora, um exem
menos, algumas centenas de pontos. Então, em cada ponto da plo bem diferente. Considere uma população de ratos do cam
malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficien po que habitam uma certa área rural. Vamos ... upor qi.:e. ::.:.
te angular é o valor da função f naquele ponto. Dessa fonna, cada ausência de predadores, a população de ratos cre~..::c := .J::":;:. ::.;.t,.:.
4 Introdução
proporcional à população atuai. Essa hipótese não é uma lei de 0,5 por mês. Então, cada uma das expressões na Eq. (7) tem
física muito bem estabelecida (como a lei de Newton para o unidades de ratos/mês.
movimento no Exemplo 1), mas é uma hipótese inicial usuaF Vamos aumentar o problema supondo que diversas corujas
em um estudo de crescimento populacional. Se denotarmos o moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos do cam
tempo porte a população de ratos por p(t), então a hipótese po por dia. Para incorporar essa informação ao modelo,_p recisa
sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equa mos acrescentar uma outra expressão à equação diferencial (7),
ção de modo que ela se transforma em
dp dp
-=rp, (7) dt = 0,5p - 450. (8)
dt
onde o fator de proporcionalidade ré chamado de taxa constante Observe que a expressão correspondente à ação do predador é
ou taxa de crescimento. Para sennos específicos, suponhamos -450 em vez de - 15, já que o tempo está sendo medido em
que o tempo seja medido em meses e que a taxa r tenha o valor meses e o que precisamos é a taxa predatória mensal.
Exemplo 3
Investigue graficamente as soluções da Eq. (8). soluções que crescem das que decrescem é o valor de p para o qual
A Fig. 1.1.4 mostra um campo de direções para a Eq. (8). Pode dpldt é igual a zero. Fazendo dp/dt igual a zero na Eq. (8) e resol
se observar da figum, ou mesmo diretamente da Eq. (8), que, para vendo, depois, para p, encontramos a solução de equilíbrio p(t) =
valores suficientemente grandes de p. dpldt é positivo, de modo 900, quando as expressões para o crescimento e para a ação pre
que a solução cresce. Por outro lado, acontece o oposto para valo datória na Eq. (8) estão perfeitamente equilibradas. A solução de
res pequenos de p. Novamente, o valor crítico de p que separaª" equilíbrio também está ilustrada na Fig. 1.1.4.
p
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...... ..... ...... ..... ' ...... ' ...... ..... ...........
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...... -., ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... "
....... ..... ...... " ....... " ...... ...... ' '
1 2 3 4 5 t FIG. 1.1.4 Campo de direções e ~olução de equilíbrio para a
Eq. (8).
Comparando os Exemplos 2 e 3, vemos que, em ambos os ca movendo próximo à velocidade de equilíbrio. Por outro lado, no
sos, a solução de equih'brio separa as soluções crescentes da~ de Exemplo 3 as outras soluções divergem da solução de equilíbrio
créscentes. No Exemplo 2, as outras soluções convergem para a ou são repelldas por ela. Em ambos os problemas, no entanto, a
solução de equilíbrio ou são atraídas para ela, de modo que, de solução de equilfbrio é muito importante para a compreemão do
pois de o objeto cair tempo suficiente, um observador o verá se comportamento das soluções da equação diferencial dada.
Uma versão mais geral da Eq. (8) é Hbrio da Eq. (9) é p{t) = klr. As soluções acima da solução de equi
líbrio crescem, enquanto as que estão abaixo decrescem.
dp
dt = rp -k, (9) Você deve manter em mente que ambos os modelos discutidos
nesta seção têm suas limitações. O modelo (5) do objeto em que
onde a taxa de crescimento r e a taxa predatória k não estão espe da é válido apenas enquanto o objeto está caindo livremente, sem
cificadas. As soluções dessa equação mais geral comportam-se de encontrar obstáculos. O modelo populacional (8) prevê a existên
maneira bem semelhante às soluções daEq. (8). A solução de equi- cia, após um longo tempo, de um número negativo (se p < 900)
ou de um número imenso (se p > 900) de ratos. Essas previsões
não são realistas, de modo que esse modelo se toma inaceitável
, Um modelo de crescimento populacional um pouco melhor é discutido na Seção 2.5. apó~ um período de tempo mzoavelmente curto.
Introdução 5
A Construção de Modelos Matemálicos. Para se usar as equações Em cada um dos problemas de 7 a l O, escreva uma equaçíio diferen
diferenciais nos diversos campos em que são úteis é preciso, pri cial da fonna dyldt = ay + b cujas soluções têm o comportamento
meiro, formular a equação diferencial apropriada que descreve, ou descrito quando t ~ ac.
modela, o problema em questão. Consideramos, nesta seção, dois
7. Todas as soluções tendem a y = 3.
exemplos desse processo de modelagem. um vindo da física e outro
8. Todas as soluções tendem a y = 2/3.
da ecologia. Ao construir modelos matemáticos futuros, você deve
9. Todas as outras soluções se afastam de y = 2.
reconhecer que cada problema é diferente e que a arte de modelar 10. Todas as outras soluções se afastam de y = 113.
não é uma habilidade que pode ser reduzida a uma lista de regras.
De fato, a construção de wn modelo satisfatório é, algumas vezes, a Nos problemas de II a I4, desenhe um campo de direções para a
parte mais difícil de um problema. Apesar disso, pode ser útil listar equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determi
alguns passos que fazem, freqüentemente, parte do processo: ne o componamento de y quando t ~ oo. Se esse comportamento de
pender do valor inicial de y em t = O, descreva essa dependência.
1. Identifique as variáveis independente e dependente e atribua Note que, nesses problemas, as equaçõe.~ não são da fom1a y' = ay +
b, e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complíca
letras para representá-las. Muitas vezes, a variável indepen
do do que o dns soluções das equações no texto.
dente é o tempo.
#'(/ =
2. Escolha as unidades de medida de cada variável. Essa esco 1 l. y' y(4 - y)
lha é, de certa forma, arbitrária, mas algumas escolhas podem ~ 12. /=-y(5-y)
ser mais convenientes do que outras. Por exemplo, escolhe ~/ 13. y' = y2
mos medir o tempo em segundos, no caso de um objeto em ,r;~ 14. y' = y(y - 2)2
queda, e em meses no problema populacional.
3. Use o principio básico subjacente ou a lei que rege o proble Considere a lista a seguir de equações diferenciais, algumas das quais
ma em investigação. Isso pode ser uma lei física amplamente produziram os campos de direção ilustrados nas figuras de l. 1. 5 até
reconhecida, como a lei do movimento de Newton, ou pode I. l.10. Em cada um dos problemas de IS a 20, identifique a equa
ser uma hipótese um tanto especulativa baseada na sua pró ção diferencial que corresponde ao campo de direções dado.
pria experiência ou observações. De qualquer modo, essa eta (a) y' = 2y - 1 (b) y' = 2 + y
pa não será, provavelmente, uma etapa puramente matemáti (c) y':y- 2 (d) y'=y(y + 3)
ca, mas uma em que será necessário familiaridade com o cam (e) y' =y(y-3) (f) y' = 1 + 2y
po de aplicação, onde o problema se originou. =
(g) y' -2 - y (h) y' = y(3 - y)
4. Expresse o princípio ou lei do passo 3 em função das variá m
veis escolhidas no passo 1. Isso pode não ser muito fácil, pois (i) y' = i - 2y y' = 2 - Y
pode necessitar de constantes físicas ou parâmetros (como o 1 5. O campo de direções da Fig. l.1.5.
coeficiente de resistência do ar no Exemplo l) e da detenni 16. O campo de direções da Fig. 1.1.6.
nação de valores apropriados para eles. Pode, também, envol 17. O campo de direções da Fig. 1.1.7.
18. O campo de direções da Fig. l.1.8.
ver o uso de variáveis auxiliares, ou intermediárias, que têm
19. O campo de direções da Fig. l.1.9.
que estar relacionadas com as variáveis primárias.
20. O campo de direções da Fig. 1 .1.1O .
5. Certifique-se de que cada parcela em sua equação está nas
21. Um pequeno lago contém, inicialmente, l.000.000 de galões (apro
mesmas medidas físicas. Se isso não acontecer, sua equação ximadamente 4.550.000 litros) de água e uma quantidade desco
está errada e você deve tentar consertá-la. Se as unidades são nhecida de um produto químico indesejável. O lago recebe água
as mesmas, então sua equação está, pelo menos, consistente contendo 0,01 grama dessa substância por galão a uma taxa de 300
do ponto de vista dimensional, embora possa conter outros galões por hora. A mistura sai à mesma taxa, de modo que a quan
erros que esse teste não revela. tidade de água no lago pem1anece constante. Suponha que o pro
duto químico est('.ja distribuído unifonnemente no lago.
6. Nos problemas considerados neste texto, o resultado dopas
(a) Escreva uma equação diferencial para a quantidade de pro
so 4 é uma única equação diferencial que constitui o modelo
duto químico no lago em um instante qualquer.
matemáúco desejado. Lembre-se, no entanto, que, em proble
(b) Qual a quantidade do produto químico que estará no lago
mas mais complexos, o modelo matemático resultante pode após um período muito longo de tempo'! Essa quantidade-limi
ser muito mais complicado, podendo envolver, por exemplo. te depende da quantidade presente inicialmente?
um sistema com várias equações diferenciais. 22. Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à
sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o
volume de uma gota de chuva cm função do tempo.
23. A lei do resfriamento de Newton dlz que a temperatura de um obje
Problemas to varia a uma taxa propQrcional à díferença entre a temperatura do
objeto e a temperatura do meio em que está inserido (a temperatu
Nos problemas de l a 6, desenhe um campo de direções para a equa ra do ar ambiente, na maior parte dos casos). Suponha que atempe
ção diferencial dada. Detennine o comportamento de y quando t ~ '-"'. ratura ambiente é 70"F (<..-erca de 21 ºC) e que a taxa é de 0,05 por
Se esse comportamento depender do valor inicial de y em l = O. minuto. Escreva uma e.quação diferencial para a temperatura do
descreva essa dependência. o~jeto em qualquer instante t.
24. Um detenninado remédio é injetado na veia de um paciente de
~ 1. y' = 3-2y
#•0l = hospital. O líquido, contendo 5 mgfcmJ do remédio, entn1 na cor
2. y' 2y - 3 rente sangüínea do paciente a uma ta.Jea de 100 cmJ/h. O remédio
«'> 3. y' = 3 + 2y é absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sangüínea
~l· 4. y' = - 1 - 2y de outro modo, a uma taxa proporcional à quantidade presente, com
L.) 5. y' = 1 + 2y um coeficiente de proporcionalidade igual a 0,4 h · 1,
.#.? V. / 6. y' = y + 2 (rae)n tSeu spaonngdüoín qeuae, eos rcermevéad iuom éa d eiqsturaibçuãíod doi fuenriefnocninael mpaernat ae qnua acnotri-
- ----------------------------
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1 2 3 4 l 2 3 4 t
FIG.1.1.5 Campo de direções para o Problema FIG. 1.1.6 Cmnpo de direções para o Problema
15. 16.
y 2 3 2 3
~ 5~:P.&?.:?.5'g:~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
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FIG.1.1.7 Campo de direções para o Problema FlG.1.1.8 Campo <le direções para o Problema
17. J 8.
FlG.1.1.9 Campo de direções para o Problema FIG. t.1.16 Campo de direções para o Problema
19. 20.
dade de remédio presente na corrente sangüínea em qualquer Nos problemas de 26 a 33, desenhe um campo <le direções para a
instante de tempo. equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determi
(b) Quanto do remédio contínua presente na corrente sangüí ne o comportamento de y quando t --+ oo. Se esse comportamento
nea ap6s muito tempo? depender do valor inicial de y em t = O, descreva essa depen<lêncía.
f12,
25. Para objetos pequenos, caindo devagar, a hipótese feita no texto Note que a expressão à direita do sinal <le igualdade em ca<la uma
sobre a resistência do ar ser proporcional à velocidmle é boa. Parn dessas equações depende de t, além de depender de y; portanto, suas
objetos maiore8, caindo mais rapidamente. é mais preciso supor soluções podem exibir um comportamento mais complicado que as
que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocictade.3 do texto,
tl'2,
(a) Escreva urna equação diferencial para a velocidade de um 26. y' = -2 + t - y
onbalj eàt ov eelmoc qiduaeddea. de massa m se a resistência do ar é proporcio- ',12?,,,, 27. y' = te-21 - 2y
(b) Determine a velocidade-limite após um longo período de 28. y' = e-1 + y
tempo. #2 29. y' = t + 2y
m( c)o dSoe mqu =e a1 v0e klog,c eidnacdoen-tlriem oit ceo seefjiac i4e9n tme ldse. resistência do ar de .,6,[ l' 30. y' = 3 sen t + 1 + y
(d) Usando os dados em (c), desenhe um campo de direções e #2- 31. y1 = 2t - 1 - y2
compare-o como da Fig. l, 1.3. ~2, 32 y' = -(2t + y)/2y
33. y' = y3 /6 - y - t2 /3
~2,
'Veja Lyle N. Longe Howard Weiss, "The Vclocity Dependence of Aerodynmnics Drug: A
Primer for M.athem•ticians", Ameri<'an Muthemariwl Monthly 106, (l999), 2. pp. 127-135.