Epsilon 1. Primo corso di analisi matematica

450 Pages·2021·69.03 MB·Italian

by  Michiel Bertsch, Andrea Dall'Aglio, Lorenzo Giacomelli

Michiel
Bertsch
Andrea
Dall’Aglio
Lorenzo
Giacomelli
Epsilon 1
Primo corso
di Analisi Matematica

Michiel Bertsch
Andrea Dall’Aglio
Lorenzo Giacomelli
Epsilon 1
Primo corso di Analisi Matematica
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Realizzazione editoriale: Fotocompos, Gussago (BS)
Grafica di copertina: Feelitalia, Milano
Immagine di copertina: ©Jeroen Bertsch
ISBN 9788838655142
IB
Indice breve
1 Numeriefunzioni 1
2 Limitidisuccessioni 79
3 Serienumeriche 133
4 Limitidifunzioni 167
5 Funzionicontinue 205
6 Derivate 227
7 Integrali 295
8 Introduzioneallefunzioniscalaridipiùvariabili 357
9 Introduzionealleequazionidifferenzialiordinarie(EDO) 383
Soluzioni 405
Indiceanalitico 425

I
Indice
Prefazione IX
Ringraziamenti XI
Guidaallalettura XIII
1 Numeriefunzioni 1
1.1 Richiamidinotazionieinsiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Insieminumerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Inumerireali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Estremosuperioreedestremoinferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Radiciquadrate,radici𝑛-esime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Funzionirealidiunavariabilereale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Funzionimonotòne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2 Funzionisimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.3 Funzionilimitate,estremisuperioreeinferiore,massimoeminimo 23
1.7 Funzionisuriettive,iniettive,biiettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Funzioneinversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9 Funzionicomposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10 Ilvaloreassoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Potenzeeradici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.12 Esponenzialielogaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.13 Funzioniperiodiche,funzionitrigonometricheeloroinverse . . . . . . . 48
1.13.1 Funzionitrigonometricheinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.14 Operandoconfunzioniegrafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.15 Metodograficoperlarisoluzionediequazioniedisequazioni . . . . . . . 59
1.16 Inumericomplessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.16.1 Definizioneeproprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.16.2 Rappresentazionepolarediunnumerocomplesso . . . . . . . . . 63
1.16.3 Radici𝑛-esimediunnumerocomplesso . . . . . . . . . . . . . . 66
1.16.4 Ilteoremafondamentaledell’algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.17 Sommatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.18 Principiodiinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.19 Elementidicombinatoria,coefficientibinomiali . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 Limitidisuccessioni 79
2.1 Richiamisullesuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Proprietàverificatedefinitivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Limitidisuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.1 Successioniconvergenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.2 Successionidivergentia+∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4.3 Successionidivergentia−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4.4 Successioniirregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VI Indice
2.5 Primeproprietàdeilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.6 Algebraestesadeilimiti;formeindeterminate . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7 Ilsimbolo𝑜(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.8 Primimetodiperformeindeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.9 Limitidisuccessionimonotòne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.10 Ilnumero𝑒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.11 Confrontotrainfiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.12 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.13 CriteriodiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.14 Successionidefiniteperricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3 Serienumeriche 133
3.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2 Seriegeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.3 Serietelescopiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4 Proprietàelementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5 Condizionenecessariaperlaconvergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.6 Serieatermininonnegativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6.1 Criteridelconfronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6.2 Criteriodelrapporto,criteriodellaradice . . . . . . . . . . . . . . 145
3.7 Applicazioniaglisviluppidecimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8 Serieaterminidisegnovariabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.8.1 Convergenzaassoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.8.2 Criteridelrapportoedellaradiceperseriedisegnoqualsiasi . . . 151
3.8.3 Serieaterminidisegnoalterno;criteriodiLeibniz . . . . . . . . . 152
3.9 Seriedipotenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.10 Esercizidiricapitolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.11 Approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.11.1 Criteriodellacondensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.11.2 CriteriodiCauchyperleserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.11.3 Riordinamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.11.4 ProdottodiCauchydidueserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4 Limitidifunzioni 167
4.1 Limitedifunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.2 Teoremaponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 Proprietàelementarideilimitidifunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4 Limitedifunzionecomposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.5 Limitidifunzionielementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.6 Gerarchiediinfiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.7 Limitinotevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.8 SimbolidiLandau;confrontodiinfiniti/infinitesimi . . . . . . . . . . . . 195
4.9 Ordinidiinfinitesimoeinfinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5 Funzionicontinue 205
5.1 Continuità:definizioneeproprietàelementari . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2 Puntididiscontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3 Teoremadeglizeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4 Continuitàdellefunzioniinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.5 Funzionicontinueinunintervallochiusoelimitato . . . . . . . . . . . . 217
5.6 Asintotoorizzontale,obliquo,verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.7 Funzionilipschitziane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.8 Funzioniuniformementecontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Indice VII
6 Derivate 227
6.1 Derivata,rettatangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.2 Derivateelementariealgebradellederivate . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3 Regoladellacatena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.4 Puntidinonderivabilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.5 Calcolodellederivateestudiodelladerivabilità . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.6 Derivatadellafunzioneinversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.7 Estremilocaliederivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.8 IlteoremadiLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.9 Monotoniaederivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.10 Studiodellamonotoniaenaturadeipunticritici. . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.11 Teoremadidel’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.12 Derivatesuccessive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.13 Funzioniconvesseeconcave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.14 Studiodifunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.15 Funzioniiperbolicheeloroinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.16 PolinomiodiTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.17 ApplicazionidelteoremadiPeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.17.1 PolinomiodiTaylorenaturadeipunticritici . . . . . . . . . . . . 279
6.17.2 PolinomiodiTaylorelimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.18 Applicazionidelcalcolodifferenzialealleserie . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.19 ApprossimarefunzioniconpolinomidiTaylor . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.20 SeriediTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.21 IlmetododiNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.22 Appendice:tabelladellederivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7 Integrali 295
7.1 DefinizionediintegralediRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.2 Interpretazionidell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.2.1 Integraleearea(consegno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.2.2 Altreinterpretazionidell’integraleeanalisidimensionale . . . . . 303
7.3 Classidifunzioniintegrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.4 Proprietàdell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.5 Funzioniintegrali.Ilprimoteoremafondamentaledelcalcolointegrale . 309
7.6 Funzioniprimitiveeintegraleindefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7.7 Secondoteoremafondamentaledelcalcolointegrale . . . . . . . . . . . . 315
7.8 Integrazioneperparti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.9 Integrazionepersostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.10 Formuleiterativediintegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.11 Integrazionedellefunzionirazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.12 Alcunesostituzionidibase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.13 Studiodifunzioniintegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.14 Integrabilitàinsensoimproprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.15 Criteridiconfrontoperintegraliimpropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
7.16 Assolutaintegrabilitàinsensoimproprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.17 Serienumericheeintegraliimpropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.18 Cennialcalcolodiareeevolumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
8 Introduzioneallefunzioniscalaridipiùvariabili 357
8.1 Dominio(naturale),grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.2 Lospaziovettorialeℝ𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.3 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.4 Limitiecontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.5 Insiemiaperti,chiusi,limitati;ilteoremadiWeierstrass . . . . . . . . . . 363
8.6 Derivatedirezionalieparziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8.7 Differenziabilità,migliorapprossimazionelineare . . . . . . . . . . . . . 371
8.8 Derivateseconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
VIII Indice
8.9 PolinomiodiTaylordelsecondoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.10 Estremiliberidifunzioniavaloriscalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
9 Introduzionealleequazionidifferenzialiordinarie(EDO) 383
9.1 ClassificazionedelleEDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.2 EDOlinearidelprimoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.2.1 Ilcasoomogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.2.2 Ilcasononomogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.3 EDOlineariomogeneeacoefficienticostanti... . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.3.1 ...delsecondoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.3.2 ...diordine𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
9.4 EDOlinearinonomogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.4.1 Ilmetododisomiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.5 IlproblemadiCauchyperEDOlineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
9.6 Equazionidelprimoordineavariabiliseparabili . . . . . . . . . . . . . . 397
9.7 ClassiparticolaridiEDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
9.7.1 Riduzionedell’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
9.7.2 EquazionediEulero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
9.7.3 EDOautonomedelsecondoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Soluzioni 405
Indiceanalitico 425