Entscheidungs- und Spieltheorie: Ein Lehrbuch für Wirtschaftswissenschaftler

319 Pages·1975·5.654 MB·German

by  Prof. Dr. Hans Bühlmann, Prof. Dr. Hans Loeffel, Prof. Dr. Erwin Nievergelt (auth.)

Hochschultext
H. Buhlmann H. Loeffel E. Nievergelt
Entscheidungs- und
Spieltheorie
Ein Lehrbuch fur Wirtschaftswissenschaftler
Mit 121 Figuren
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1975
Prof. Dr. Hans Buhlmann
Eldgenosslsche Techmsche Hochschule Zunch
Prof. Dr. Hans Loeffel
Prof. Dr. Erwin Nievergelt
Hochschule St Gallen fur Wlrtschafts-und Soziaiwissenschaften
ISBN-13: 978-3-540-07462-5 e-ISBN-1 3: 978-3-642-66234-8
DOl: 10.1007/978-3-642-66234-8
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© by Spnnger-Verlag Berhn - Heidelberg 1975
VOnNort
Das vorliegende Buch stellt eine Erweiterung und Vertiefung des I.
Bandes der Lecture Notes in Operations Research and Mathematical
Economics dar. Es behandelt einige grundlegende Aspekte der Entschei
dungstheorie bei Unsicherheit. Auch die Nutzentheorie, die Spieltheo
rie sowie die statistische Entscheidungstheorie sind mit eingeschlos-
sen.
Das Hauptziel des Buches besteht in der Vermittlung der zentralen Be
griffe und Sitze obengenannter Disziplinen, sowie in der Aufdeckung
der zahlreichen Zusammenhinge unter ihnen. Es wird auch gezeigt. wie
man die relativ junge Theorie in der Wirtschaftspraxis als nUtzliches
Instrumentarium verwenden kann.
Die mathematischen Voraussetzungen fUr ein erfolgreiches Studium des
Buches sind auf ein vertretbares Minimum festgesetzt worden, ohne daS
der logisch-konsistente Aufbau darunter leiden muSte. Dem Wirtschafts
und Sozialwissenschaftler dUrfte es demzufolge relativ mUhelos gelin
gen, den Einstieg in die Materie zu finden. wurde dQch den didakti
schen Anforderungen groSte Aufmerksamkeit geschenkt.
Die durchgerechneten Beispiele und Aufgaben geben dem Leser die Mog
lichkeit, aktiv mitzuarbeiten. SchlieBlich glauben wir, daB das Buch
auch als Vorlesungsunterlage willkommene Dienste leisten kann.
1m wesentlichen besteht das Werk aus 3 Teilen.
Der I. Teil ist der Entscheidungs- und Nutzentheorie gewidmet. sowie
einer EinfUhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ausgehend vom
mehrstufigen Modell und seiner Darstellung als Entscheidungsbaum wird
gezeigt, wie es mit Hilfe des Strategiebegriffes auf das Grundmodell
v
zuruckgefuhrt werden kann. Der strukturellen Darstellung von Entschei
dungsproblemen wird der gebuhrende Raum gewidmet. Die zu ihrem Verstand
nis notwendigen graphentheoretischen Grundlagen werden in einem speziel
len Abschnitt zusammengestellt.
1m 2. Kapitel werden die Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar
gestellt. Insbesondere wird dem Begriff der subjektiven Wahrscheinlich
keit Beachtung geschenkt, der u.a. in der Bayes'schen Statistik Verwen
dung findet.
Entsprechend ihrer Bedeutung wird die Risikosituation im 3. Kapitel
in den Vordergrund geruckt. Es werden eine stufenweise Analyse und
eine rekursive Losungsmethode behandelt. Die letztere eignet sich sehr
gut fur die Losung komplexer Entscheidungsprobleme auf dem Computer.
Jeder Entscheidungsbaum laSt sich als Binarbaum darstellen. Es werden
eine Reihe von Algorithmen fur den Aufbau und die Analyse von Binar
Entscheidungsbaumen angegeben, die sich ohne groSen Aufwand in Compu
terprogramme umsetzen lassen.
Anhand eines Investitionsentscheidungsproblemes werden die speziellen
Aspekte der finanziellen Entscheidungsprobleme erlautert.
1m 4. Kapitel werden die Hauptsatze der modernen Nutzentheorie auf
neuartiger axiomatischer Grundlage hergeleitet. Die Axiome lehnen sich
in ihrer praxisnahen Darstellung an diejenigen von Luce und Raiffa an,
die Beweisfuhrung ist relativ einfach.
An Beispielen wird gezeigt, wie die bekannten Entscheidungskriterien
in der UngewiSheitssituation angewendet werden, deren Ergebnisse sich
aber auch widersprechen konnen.
Die Nutzenfunktion bei mehrstufigen Entscheidungsproblemen wird im en
gen Zusammenhang mit den Axiomen untersucht. Der Beweis, daS die rekur
sive Analyse zur optimalen Strategie fuhrt, wird im mathematischen An
hang 2 gegeben.
Die Theorie der strategischen Spiele, kurz Spieltheorie genannt, wird
im 2. Teil abgehandelt. In wirtschaftlichen Konkurrenzsituationen kann
der spieltheoretische Ansatz ein geeignetes Hilfsmittel der Problem
analyse und Problemlosung sein. Erwahnt sei der sorgfaltig behandelte
VI
Ubergang von der extensiven Form zur Matrixform, die Querverbindung
zur linearen Optimierung sowie die wirtsehaftstheoretischen Anwendungen
fur das bilaterale Monopol und das Duopol (Abschnitte 10.2 und 10.3).
Der Beweis des Hauptsatzes fUr 2-Personen-Nullsummenspiele findet sieh
im mathematisehen Anhang 1.
Der abschlieBende 3. Teil widmet sieh der statistisehen Entscheidungs
theorie nach Abraham Waldo In einem einfUhrenden Kapitel wird gezeigt,
wie ein "klassisches" Testproblem entscheidungsorientiert interpretiert
und gelest werden kann.
Anhand praktischer Problemsituationen werden Lesungen durchgerechnet
unter Verwendung des Minimax-Kriteriums und des Bayes'schen Kriteriums.
Geometrisch anschauliche Verfahren erleichtern dem Leser das Verstand
nis der entwickelten Methoden. 1m Kapitel 20 wird der Begriff des Wer
tes einer Information eingefUhrt und praktisch angewendet.
Nach dieser globalen InhaltsUbersicht bleibt den unterzeichneten Auto
ren noch eine angenehme Pflicht. Fur die gleichermaBen kritische wie
sorgfaltige Durchsicht des Manuskripts mechten wird den Herren P.
Friedli und M. Mader den besten Dank ausspreehen. Ebenso sehr danken
wir Frau R. Friemel, Frau S. Schurtenberger sowie Frau J. Thiede fUr
die saubere Niederschrift. Last but not least sei auch der Springer
Verlag in den Dank mit eingeschlossen, der durch seine Geduld und
sein Verstandnis wesentlich zur Verwirklichung dieses Buches beige
tragen hat.
St. Gallen und ZUrich, im Mai 1975
H. BUhlmann
H. Loeffel
E. Nievergelt
In haltsverzeichnis
1. Teih Entscheidungstheorie
1. Modell der Entscheidungstheorie 3
1.1 Spiel- und Entscheidungstheorie 3
1.2 Struktur von Entscheidungsproblemen 6
1. 2.1 Mehrstufigkeit 6
1.2.2 Beispiel: Geldanlage 6
1.2.3 Darstellung der Elemente des Entscheidungsprob-
lems 9
1.3 Entscheidungsbaume und Graphentheorie 11
1.3.1 Gerichtete Graphen 11
1.3.2 Baume ••••••• 15
1.3.3 Definition des Entscheidungsbaumes 17
1.3.4 Entscheidungsbaum als Binarbaum 19
1.4 Grundmodell der Entscheidungstheorie • 22
1.4.1 Begriffe: Weg. Aktions- und Wahlfolge. Ergeb-
nis, Strategie • • • • • • • • • • • • • • . • 22
1.4.2 Reduktion des mehrstufigen Entscheidungsprob-
lems auf das Grundmodell • • • • • • .• 25
2. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung ••••••••• 28
Einleitung 28
2.1 Zufallsexperiment. Wahrscheinlichkeitsraum • 29
2.2 Elementare Satze. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Unab-
hangige Ereignisse • • 34
2.3 Das Bayes'sche Theorem 40
2.4 Zweistufige Experimente (zusammengesetzte Lotterien) 43
IX
2.5 tiber Wahrscheinlichkeitsinterpretationen, insbeson-
dere den Begriff der subjektiven Wahrscheinlichkeit. 46
2.6 Eindimensionale Zufallsvariable •• 56
2.7 Zweidimensionale Zufallsvariable 59
3. Risikosituation 64
3.1 Definitionen und Begriffe 64
3.2 Einfuhrendes Beispiel 65
3.2.1 Spielsaal 65
3.3 Berechnung der optimalen Strategie durch stufenweise
Analyse . • • • • • • • . • • 70
3.3.1 Optimal im Sinne einer Zielsetzung 70
3.3.2 L5sung des Problems "Spielsaal" 70
3.3.3 Schema fur die stufenweise Analyse 73
3.4 Rekursive L5sungsmethode 75
3.4.1 Aufbau und Analyse von Binarbaum-Datenstrukturen 75
3.4.2 Rekursive Analyse eines Binar-Entscheidungs-
baumes • • • • • •• ••.••••••. 80
3.4.3 Rekursive Bestimmung der optimalen Strategie 87
3.4.4 Rekursiver Aufbau des Entscheidungsbaumes 89
3.4.5 Rekursiver Aufbau des Entscheidungsbaumes bei
gleichzeitiger Analyse ••• 91
3.5 Finanzielle Entscheidungsprobleme 94
3.5.1 Problemstellung des Beispiels: "lnderung der
Verpackung eines GenuBmittels" (Investitions-
entscheidungsproblem) ..•. 94
3.5.2 Diskontierung und Barwertvergleich 98
3.5.3 Berechnung der optimalen Strategie durch stufen
weise Analyse 99
3.5.4 Aufgabe 102
4. Moderne Nutzentheorie 105
4.1 Nutzenaxiomatik. 107
4.2 Bernoulli-Prinzip 115
4.2.1 Anwendungsbeispiel: Vergleich zweier Vertrage
bei Risikoaversion • • • • • • • • • 115
x
4.2.2 Grundmodell der Risikosituation, Ergebnis-
und Entscheidungsmatrix . 120
4.2.3 Entscheidungskriterium in der Risikosituation 122
4.2.4 Beispiel: Omelettenproblem .•••. 127
4.3 Entscheidungskriterien in der UngewiBheitssituation 130
4.3.1 Maximin-Regel 132
4.3.2 Hurwicz-Regel 132
4.3.3 Savage-Niehans-Regel 133
4.3.4 Laplace-Regel .... 134
4.3.5 Hodges-Lehmann-Regel 134
4.4 Nutzenfunktion bei mehrstufigen Entscheidungsproblemen 135
4.4.1 Beispiel: "Spielsaal" . 136
4.4.2 Stufenweise Analyse des Risikoentscheidungs
baumes bei gegebener Nutzenfunktion . • . . 138
4.4.3 Rekursive Analyse von Entscheidungsbaumen in
der UngewiBheitssituation ...•. 143
4.4.4 Aufgaben zur modernen Nutzentheorie 145
2. Teil Spieltheorie 153
5 Einfuhrung und Uberblick 155
5.1 Was ist Spieltheorie? Anwendbarkeit. Geschichte 155
5.2 Klassifikation der Spiele •.......... 156
6 Extensive Form und Reduktion auf Normal- und Matrixform 159
6.1 Terminologie . . .. . ........ . 159
6.2 Formale Beschreibung des Spieles. Spielbaum 159
6.3 Beispiele. Begriff der Strategie ••. 162
6.4 Reduktion auf Normalform (Matrixform). 167
6.5 Problematik der Bewertung von Wahrscheinlichkeitsver
teilungen oder Lotterien (Nutzentheorie) .•.... 168
7 Das 2-Personen-Nullsummenspiel in Normal- und Matrixform 170
7.1 Terminologie. Normal- und Matrixform 170
7.2 Beispiel: Matching Pennies ..• 171
7.3 Sattelpunkt und reine Strategien 173
8 Gemischte Strategie und gemischte Erweiterung 178
8.1 Heuristische Betrachtung .• 178
8.2 Gemischte Strategie und Erweiterung 180
XI
8.3 Sattelpunkt und gemischter Wert.
Hauptsatz fur 2-Personen-Nullsummenspiele • 182
9 Losungsmethoden fur 2-Personen-Nullsummenspiele
Querverbindung zur linearen Optimierung 185
9.1 Graphische Losung (m=2) •••.•• 185
9.2 Querverbindung zur linearen ,Optimierung 191
9.3 Aufgaben • • • • • • • • • • • • • • • 198
9.4 N~herungsmethode des "fiktiven Ausspielens" 199
10 Einige Bemerkungen zu den 2-Personen-Nichtnullsummen-
spielen (N-NS-Spiele) ••••••••••••••• 205
10.1 Beispiel des Ehepartnerkonfliktes. Begriff des
Gleichgewichtspunktes • 206
10.2 Das bilaterale Monopol 211
10.3 Beispiel des Duopols 216
3. Teil Statistische Entscheidungstheorie 223
11 Einleitung. 225
12 Beispiel aus der Qualit~tskontrolle (Testen einer ein-
fachen Hypothese gegen eine einfache Alternative) 228
13 Erste Ans~tze zu den Losungsmethoden.
Querverbindung zur "klassischen Statistik" 234
14 Allgemeine Betrachtungen uber das statistische Ent-
scheidungsproblem. • • • 241
15 Das Bayes'sche Kriterium 246
16 Beispiel aus der Produktionsplanung 251
17 Beispiel eines zweistufigen statistischen Entscheidungs-
verfahrens •• 266
18 Verallgemeinerung des Testproblems in Kapitel 12.
Unendlicher Zustandsraum. Risikosituation 272
19 Losung eines statistischen Sch~tzproblems im FaIle der
ungunstigsten a priori-Verteilung 279
20 Bemerkungen zum Wert der Information bei entscheidungs-
theoretischen Problemen. 286
XII