Entropie métrique et convergence presque partout

162 Pages·1998·8.038 MB·French

by  Michel Weber

Entropie métrique
et convergence presque partout
Collection Travaux en cours, 58
TRAVAUX EN COURS
Collection fondée par Jean Dieudonné et dirigée par U Dung Trang
1. Vaillant. Equations aux dérivées partielles hyperboliques et holomorphes
2. Mossino. Inégalités isopérimétriques et applications en physique
3. Benabdallah. Opérateurs différentiels invariants
4. Beauzamy, Lapresté. Modèles étalés des espaces de Banach
5. Dazord, Desolneux-Moulis. Géométrie symplectique et de contact
6. Dazord, Desolneux-Moulis. Feuilletages et quantification géométrique
7. Dazord, Desolneux-Moulis. Autour du théorème de Poincaré-Birkhoff
8. Bernstein, Deligne, Kazhdan, Vigneras. Représentation des groupes réductifs sur un corps local
9. Albert, Molino. Pseudogroupes de Lie transitifs I
1O . Zamansky. Analyse harmonique et approximation
11. Vaillant. Propagation des singularités et opérateurs différentiels
12. Dufour. Géométrie symplectique et de contact
13. Dufour. Singularités, feuilletages et mécanique hamiltonienne
14. A vanissian. Cellule d'harmonicité et prolongement analytique complexe
15. Zamansky. Approximation des fonctions
16. Pajor. Sous-espaces l 1n des espaces de Banach
17. Mauclaire. Intégration et théorie des nombres
18. Ekedhal. Diagonal complexes and F-gauge structures
19. Albert, Molino. Pseudogroupes de Lie transitifs II
20. Audin. Cobordismes d'immersions lagrangiennes et legendriennes
21. Choquet-Bruhat, Coll, Kerner, Lichnerowicz. Géométrie et physique
22. Aroca, Sanchez-Giralda, Vicente. Géométrie et calcul algébrique
23. Aroca, Sanchez-Giralda, Vicente. Singularités et géométrie complexe
24. Aroca, Sanchez-Giralda, Vicente. Géométrie réelle. Systèmes différentiels et théorie de Hodge
25. Dazord, Desolneux-Moulis, Morvan. Aspects dynamiques et topologiques des groupes infinis ...
26. Dazord, Desolneux-Moulis, Morvan. Feuilletages riemanniens ...
27. Dazord, Desolneux-Moulis, Morvan. Actions hamiltoniennes de groupes.
28. Ghidaglia, Saut. Equations aux dérivées partielles non linéaires dissipatives ...
29. Vaillant. Calcul d'opérateurs et fronts d'ondes
30. Kastler. Cyclic cohomology within the differential envelope
32. Bernard, Choquet-Bruhat. Physique quantique et géométrie
33. Bernard, Choquet-Bruhat. Géométrie différentielle
34. Lê Dung Trang. Introduction à la théorie algébrique des systèmes différentiels
35. Mebkhout. Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les Dx-modules
36. Lê Dung Trang. Singularités et monodromie
37. Lê Dung Trang. Méthodes algébriques et géométriques
38. Angéniol, Lejeune-Jalabert. Calcul différentiel et classes caractéristiques en géométrie algébrique
39. Schwartz M.-H. Champs radiaux sur une stratification analytique
40. Mortajine. Classification des espaces préhomogènes de type parabolique réguliers ...
41. Haydon, Levy, Raynaud. Randomly Normed Spaces
42. Shih. Solutions analytiques de quelques équations aux dérivées partielles en mécanique des fluides
43. Roos, Vigué. Systèmes triples de Jordan et Domaines symétriques
44. Rubenthaler. Algèbres de Lie et espaces préhomogènes
45 Maisonobe, Sabbah. D-modules cohérents et holonomes
46. Maisonobe, Sabbah. Images directes et constructibilité
47. Boutet de Monvel. Analyse algébrique des pertubations singulières. I. Méthodes résurgentes
48. Boutet de Monvel. Analyse algébrique des pertubations singulières. Il. Méthodes différentielles
49. Sanchez-Palencia. Spectral analysis of complex structures
50. Goze. Anneaux et modules
51. Goze. Lois d'algèbres et variétés algébriques
52. Gambaudo. Dynamical Systems
53. Gambaudo. Disordered Systems
54. Trotman, WilSDn. Stratifications, Singularities and Differential Equations. I. Singularities ofMaps
55. Trotman, Wilson. Stratifications, Singularities and Differential Equations. II. Stratifications and Topology
56. Boileau. Progress in KnotTheory
57. Pavao Mardesic. Chebyshev systems and the versai unfolding of cusps of order n
58. Michel Weber. Entropie métrique et convergence presque partout
Michel Weber
Entropie métrique
et convergence presque partout
COLLECTION TRAVAUX EN COURS
ê
HERMANN ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS
Classification AMS 1985 : 60F99, 28099
Mots clés : convergence presque sOre, entropie métrique, moyennes ergodiques, processus gaussiens,
critères d'entropie, sommes de Riemann, séries orthogonales, régularisation spectrale.
ISBN 2 7056 6381 0
© 1998, HERMANN, ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS, 293 RUE LECOURBE, 75015 PARIS
Toute reproduction ou représentation de cet ouvrage, intégrale ou partielle, est illicite, sans l'autorisation del' éditeur
et constituerait une contrefaçon. Les cas strictement linùtés à usage privé ou de citation sont régis par la loi du 11 mars 1957.
Avant-propos
Les nombres d'entropie métrique N(T,d,u) associés à un espace métrique (T,d), évaluent
par définition l'ordre de grandeur minimal des recouvrements de T par des d-boules ouvertes de
rayon U > O. Ce sont des outils classiques d'analyse. Leur rôle dans l'étude de la régularité
des processus stochastiques est déjà ancien, puisqu'il remonte aux travaux séminaux de A. Kol
mogorov. Leur rôle en théorie ergodique, a été par contre, mis en évidence beaucoup plus
récemment par J. Bourgain {1988} dans un travail remarquable. Ce travail, ainsi que ceux de Ta
lagrand {1996a}, Weber {1994} et Lifshits-Weber {1996a,b} constituent les bases et la justification
de cette monographie.
Nous avons rédigé celle-ci en ayant tout d'abord le souci de présenter au lecteur éventuel,
un travail "self-contained". Ainsi, par exemple les chapitres 1 et 2 sont consacrés au Principe de
Banach et au Principe de continuité, outils indispensables ici, quoique pourtant classiques de la
théorie ergodique. Nous avons saisi cette opportunité pour inclure d'une part, dans le chapitre 1,
l'extension par Bellow-Jones {1994} du principe de Banach, laquelle sera cruciale pour démontrer
le deuxième critère d'entropie métrique de Bourgain (Chapitre 4, théorème 4.2.1); et d'autre
part, pour revisiter la démonstration du principe de continuité. Les preuves présentées sont
directes; la technique de randomisation de Stein est effectuée à l'aide de variables gaussiennes
(comme dans la démonstration des critères d'entropie métrique de Bourgain (Chapitre 4), au lieu
de variables de Rademacher. La démonstration suggère une autre approche (remarque 2.1.2).
Le chapitre 3 n'a d'autre fonction que de faciliter au lecteur non spécialiste l'acquisition
des outils gaussiens nécessaires à la lecture des chapitres 4 et 5. Le lecteur familier de la théorie
des processus gaussiens peut donc passer directement au travail des chapitres suivants. En
aucun cas cependant, ce chapitre ne prétend, ni ne peut se substituer aux ouvrages consacrés
à cette théorie. Le chapitre 4 constitue la partie centrale de cette rédaction, les différents
critères d'entropie métrique y sont démontrés en détail, et commentés. Dans ces commentaires,
nous montrerons par exemple (remarque 4.1.3) que l'estimation entropique de Bourgain est
optimale en général. Nous avons complété l'étude du deuxième critère d'entropie métrique en y
incluant une estimation du module de continuité maximal à l'aide d'une fonctionnelle gaussienne
intrinsèque (théorème 4.2.5). Le chapitre 5 traite de certaines applications de ces critères: l'une
concerne la théorie des sommes de Riemann, l'autre une conjecture de Khintchine. Une troisième
application concernera la régularité des processus gaussiens définis sur des ensembles produits.
Elle permettra entre autres, d'exhiber de nouvelles classes de GB et GC ensembles. Le chapitre
6 présente et développe l'idée de régularisation spectrale introduite par Talagrand {1996a} dans
l'étude de l'entropie métrique des moyennes de contractions hilbertiennes. La régularisation
spectrale est appliquée à l'étude des fonctions d'oscillations des moyennes ergodiques. Le chapitre
7 est consacré à l'étude de la convergence presque partout des séries à termes orthogonaux.

Sommaire
Chapitre 1: Le principe de Banach 3
1.1 Un théorème de Banach 3
1.2 Un théorème de Bellow-Jones 6
Chapitre 2: Le principe de continuité 15
2.1 Le principe de continuité de Stein 15
2.2 L'extension de Sawyer 21
2.3 Un principe de domination 23
Chapitre 3: Processus gaussiens-propriétés fondamentales 29
3.1 Définitions 29
3.2 Lois de 0-1. Intégrabilité forte 31
3.3 Lemme de comparaison de Slépian 32
3.4 Régularité des processus gaussiens 32
3.5 Géométrie des espaces de Hilbert 35
Chapitre 4: Critères d'entropie métrique 39
4.1 Le critère d'entropie dans LP, 2:::; p < oo 39
4.2 Le critère d'entropie dans L00 48
4.3 Le critère d'entropie dans LP, 1 < p:::; 2 59
4.4 Cas des procédés de sommation 62
Chapitre 5: Quelques applications 69
5.1 Applications en théorie ergodique 69
5.1.1 Les sommes de Riemann 69
5.1.2 Une conjecture de Khintchine 76
5.2 Applications en théorie des processus gaussiens 79
5.2.1 De nouvelles classes de GB ensembles 79
5.2.2 De nouvelles classes de GC ensembles 87
Chapitre 6: Un principe de régularisation spectrale 97
6.1 L'estimation de Talagrand 97
6.2 L'inégalité de régularisation spectrale 103
6.3 Extensions à la transformée de Hilbert 108
6.4 Régularisation spectrale relative aux fonctions d'oscillations 109
6.5 Une régularisation spectrale simplifiée 118
Chapitre 7: Séries orthogonales 123
7.1 Introduction 123
7.2 Critères de convergence presque sûre 128
7.3 Convergence presque sûre des séries orthogonales 135
7.4 Systèmes quasi-orthogonaux 137
Bibliographie 145