Énigmes mathématiques corrigées : du lycée à Normale Sup’ PDF
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ÉNIGMES | MATHÉMATIQUES CORRIGÉES lycée à Normale Sup’ du Guillaume Deslandes Clément Deslandes Illustrations de Laure Macé de Lépinay Énigmes mathématiques corrigées Énigmes mathématiques corrigées du lycée à Normale Sup’ Guillaume Deslandes Ancien élève de l’ENS Cachan Agrégé de mathématiques Clément Deslandes Étudiant à l’ENS Lyon Illustrations : Laure Macé de Lépinay ISBN 9782340-002128 ©Ellipses Édition Marketing S.A., 2014 32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l’article L. 122-5.2° et 3°a), d’une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite» (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.editions-ellipses.fr Préface Les énigmes nourrissent notre histoire, notre littérature, notre my thologie. D’Œdipe à Turing en passant par Sherlock Holmes, on continue de célébrer ceux qui ont accompli leur destin en résolvant des énigmes. Réels ou imaginaires, ces héros incarnent sans doute la condition de l’humanité, s’acharnant à décrypter la gigantesque énigme du monde ! Dans cette quête philosophique, les scientifiques se sont entendus pour faire la route ensemble, avec système et précision, partage complet des informations, scepticisme a priori et contrôle a posteriori. Leur démarche a rencontré un succès considérable, mais n’a pas épuisé le mystère, loin de là - tant il est vrai que chaque succès remporté sur l’inconnu génère son nouveau lot de questions. Ainsi l’histoire de la science pourrait être réécrite comme une suite sans fin d’énigmes parfois résolues... Mais au-delà de leur solution, les énigmes constituent aussi en elles-mêmes un formidable apprentissage. L’étudiant qui soutient sa thèse, tout fier d’avoir résolu une énigme posée par son directeur de thèse (ou une énigme qu’il s’est posée à lui-même!) ne me contredira certainement pas. Nul besoin, au reste, d’attendre la thèse pour profiter du pouvoir des énigmes : comme nombre de lecteurs sans doute, je garde le souvenir vivace de la douce torture mentale que j’ai pu m’imposer, enfant, afin de résoudre un problème posé par un enseignant ou une revue de sciences pour la jeunesse. L’un d’entre eux, un exercice de géométrie que j’avais finalement résolu par un raisonnement astucieux et complexe, me valut quelque dépit quand mon professeur me montra une solution bien plus simple et élégante. Un autre, portant sur la convergence des séries, me tracassa pendant des mois jusqu’à ce que la solution m’apparaisse dans mon lit, comme par illumination, une veille de rentrée des classes... Autant d’expériences qui sont venues enrichir ma formation au moins autant que les cours. Une énigme ce n’est jamais qu’un exercice; mais c’est un exercice posé avec une certaine dose de décorum et de mystère, dont la solution m iv Préface demande une certaine dose d’imagination, et qui marque l’esprit. Et une énigme, c’est aussi tout simplement l’occasion de se triturer les méninges, pendant une minute, une heure ou une semaine. Quelle irritation, quelle frustration quand on est occupé à chercher la solution, le regard dans le vide et l’air stupide, l’esprit occupé par toutes ces pensées contradictoires qui courent à 100 à l’heure ou au contraire tournent en rond. Il s’en passe de belles, alors, dans le cerveau ! “Ça me dit quelque chose...” “Ah c’est bien sûr...” “J’y ai déjà réfléchi pendant une heure” “Vraiment je ne vois pas” “Et si...” “Non, c’est pas possible!” “Je suis sûr qu’il y a une faute dans l’énoncé !” “Enfin, c’est inconcevable, comment se...” “Ah c’est incroyable comme je suis crétin!” “Mais ce type a l’esprit tordu !” “Pourquoi, bon sang, est-ce que je perds mon temps sur cette histoire ?” “Je suis SÛR qu’il y a une faute dans l’énoncé ! !” Pourquoi on perd ainsi son temps? Parce que l’on se sent si fier quand on a résolu l’énigme sans jeter un coup d’œil à la solution ; mais aussi parce que l’on se sent si bien, malgré la frustration, quand on est en train de chercher ! Des recueils d’énigmes, on en trouve tant et plus. Mais celui des frères Deslandes (Mycroft et Sherlock?) est remarquable à plus d’un égard. D’abord par sa présentation impeccable : des énigmes triées en fonction des concepts mis en jeu; des situations cocasses; des dessins désuets et décalés; des indications pour vous mettre sur la voie; et finalement des solutions complètes. Mais aussi remarquable par sa variété : des énigmes célèbres et d’autres obscures, des situations loufoques ou naturelles, des problèmes posés par de grands mathématiciens et d’autres émanant du simple bon sens, des questions très anciennes et d’autres tirées d’articles de recherche récents, des problèmes plutôt simples et d’autres qui feront sécher même les mathématiciens professionnels. Et par-dessus tout, remarquable parce que dans cet ouvrage les énigmes amènent à faire de la bonne mathématique, de celle qui n’est pas là simplement pour épater la galerie ou piéger le lecteur, mais qui sert aussi à asseoir un socle théorique et à développer de nouvelles techniques et technologies. Au fur et à mesure des solutions, on verra se mettre en place des concepts de plus en plus avancés, touchant à tous Préface v les domaines mathématiques : logique, combinatoire, analyse, algèbre, probabilité, géométrie... On pourra se plaindre qu’en plaçant la théorie en fin d’ouvrage, on va à rebours de la conception classique d’un cours de mathématique, de la théorie aux applications... Peut-être, mais on peut répondre que ce n’est qu’un retour à l’ordre naturel des choses, puisque les concepts mathéma tiques ont été développés avant tout pour résoudre des problèmes ; pour illuminer et rendre limpide ce qui semblait sorti d’un grand chapeau ; et pour mettre au point les techniques qui permettront à l’esprit humain, décidément jamais en panne d’inventivité, de résoudre toutes sortes de problèmes auxquels on n’a pas encore pensé. Cédric Villani
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