en kısa yol problemi

78 Pages·2014·0.96 MB·Turkish

SAKARYA UNIVERSİTESİ
ENDUSTRI MUHENDISLIĞI
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI – II
AĞ MODELLERİ
DERS NOTLARI
Konular
Ağ / Şebeke/Network Modelleri
En Kısa Yol Problemi
Dijkstra Algoritması
Floyd Algoritması
Maksimum Akış Modeli
Minimum Maliyetli Network (Ağ) Akış problemleri
Minimum Kapsayan Ağaç
Network Simpleksi
NETWORK (AĞ) MODELLERİ
Ağ / Şebeke Modelleri
Ağ olarak modellenip çözülebilecek çeşitli problemlere rastlamak mümkündür:
• Bina, gemi, uçak, araç vs. yapımı,
• En kısa yol, hat, kablo, boru döşeme, vs.
• Yollardan, borulardan, kablolardan… maksimum akış.
Bunlar doğrusal programlama ile de çözülebilir ancak ağ modelleri ile çözmek
daha etkilidir.
Şebeke, bağlantılar ile birbirine bağlanmış düğümlerden oluşur.
Bir şebekeyi (N, A) notasyonu ile ifade ettiğimizde N, düğümler kümesini, A ise
bağlantılar kümesini gösterir.
N = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {(1, 3), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
1 3 5
2 4
Bir bağlantının bir yöne akışı pozitif, diğer yöne akışı sıfır ise o bağlantı
yönlendirilmiş veya yönelimlidir.
Yönlendirilmiş bir şebekenin tüm bağlantıları yönlendirilmiştir.
Yol, her bir daldaki akışın yönüne bakılmaksızın iki düğümü birleştiren ayrı dalların
sırasıdır.
Yol bir düğümü kendisine bağlıyorsa bir döngü veya çevrim oluşur. Örneğin
yukarıdaki şekilde (2, 3), (3, 4), (4, 2) dalları bir döngü oluşturur. Yönlendirilmiş
döngüde (veya bir devrede) tüm dallar aynı yöne yöneltilmiştir.
Bağlı şebeke, her iki ayrı düğümün en az bir yolla bağlanmasıdır.
Ağaç, bağlı şebekenin tüm düğümlerinin sadece bir altkümesini ilgilendiren bir
şebekedir.
Kapsayan ağaç ise şebekenin tüm düğümlerini hiçbir döngüye izin vermeden
birbirine bağlar.
Burada kapsayan ağaç şebekenin tüm düğümlerini bağlayan ağaçtır.
1 3 1 3 5
2 2 4
Ağaç Kapsayan ağaç
Örnek 1: Aşağıdaki şebeke için (a) bir yol, (b) bir döngü, (c) bir yönlendirilmiş döngü
veya devre, (d) bir ağaç ve (e) bir kapsayan ağaç belirleyin.
(a) Yol: 1-3-4-2
2
(b) Döngü: 1-5-4-3-1
(c) Yönlendirilmiş Döngü: 1-3-4-5-1
1 5
(d) Ağaç:
1 5
3 4
3 4 2
(e) Kapsayan Ağaç:
5
1
3 4
Örnek 2: Aşağıdaki şebeke için (a) bir yol, (b) bir döngü, (c) bir yönlendirilmiş döngü
veya devre, (d) bir ağaç ve (e) bir kapsayan ağaç belirleyin.
(a) Yol: 1-2-3
(b) Döngü: 1-2-3-1
3
(c) Yönlendirilmiş Döngü: Yok
(d) Ağaç:
1 4
3
1 4
2
2
(e) Kapsayan Ağaç:
3
1 4
2
Örnek 3: Aşağıda tanımlanmış olan şebekeyi çizin.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {(1,2), (1,5), (2,3), (2,4), (3,4), (3,5), (4,3), (4,6), (5,2), (5,6)}
3 4
1 6
2 5
EN KISA YOL PROBLEMİ