Empirische Theorien im Kontext der Mathematikdidaktik

147 Pages·2018·0.908 MB·German

by  Hans Joachim Burscheid, Horst Struve

Kölner Beiträge zur Didaktik der Mathematik
und der Naturwissenschaften
Hans Joachim Burscheid
Horst Struve
Empirische Theorien
im Kontext der
Mathematikdidaktik
Kölner Beiträge zur Didaktik
der Mathematik und der
Naturwissenschaften
Reihe herausgegeben von
A. Banerji, Köln, Deutschland
A. Bresges, Köln, Deutschland
M. Meyer, Köln, Deutschland
C. Reiners, Köln, Deutschland
F. Schäbitz, Köln, Deutschland
K. Schlüter, Köln, Deutschland
D. Schmeinck, Köln, Deutschland
I. Schwank, Köln, Deutschland
H. Struve, Köln, Deutschland
Die Kölner Fachgruppe der MINT-Didaktiken verfolgt mit ihrem Forschungspro-
gramm das Ziel, ausgewählte Themen des Lehrens und Lernens der Mathematik
und der Naturwissenschaften zu erforschen und auf dieser Basis weiter zu entwi-
ckeln. Die Publikationen dieser Reihe werden sich zwischen zwei Polen verorten
lassen: Zum einen werden Theorien erstellt, die das Lehren und Lernen in den
MINT-Fächern zu verstehen helfen, zum anderen werden Unterrichts- und Lehr-
konzepte entwickelt und empirisch erprobt. Die VertreterInnen dieser Fachgruppe
sind in allen Bereichen der Erforschung und Vermittlung von mathematisch-na-
turwissenschaftlichem Wissen tätig. Entsprechend umfasst die Reihe „Kölner
Beiträge zur Didaktik der Mathematik und der Naturwissenschaften“ ein breites
Spektrum: von vorschulischen Erfahrungen (auch in der Familie) bis zu Weiter-
bildungen nach dem Studium.
Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/13626
Hans Joachim Burscheid · Horst Struve
Empirische Theorien
im Kontext der
Mathematikdidaktik
Hans Joachim Burscheid Horst Struve
Köln, Deutschland Köln, Deutschland
ISSN 2510-4861 ISSN 2510-4888 (electronic)
Kölner Beiträge zur Didaktik der Mathematik und der Naturwissenschaften
ISBN 978-3-658-23089-0 ISBN 978-3-658-23090-6 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-23090-6
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Vorwort
Mathematik,soeinelandläufigeMeinung,istformalundabstrakt.Sie
ist formal, da ihre Theorien auf symbolischer Ebene in der Sprache
der Mengenlehre formuliert werden. Die Theorien sind axiomatisch
– deduktiv aufgebaut und in dem Sinne abstrakt, als sie nicht auf
Gegenstände der Realität referieren.
Im Gegensatz hierzu beschreiben und erklären empirische Theori-
en Phänomene der Realität. Klassische Beispiele sind naturwissen-
schaftliche Theorien, etwa die Newtonsche Mechanik, die Maxwell-
sche Elektrodynamik und die Einsteinsche Relativitätstheorie. Em-
pirische Theorien sind in dem Sinne nicht abstrakt, als ihre Begrif-
fe sich auf diese Phänomene beziehen und daher — jedenfalls zum
größten Teil — Referenzobjekte besitzen. Auch empirische Theorien
lassensichformaldarstellen,wassichausGründeneinerPräzisierung
oftmals empfiehlt.
Zahlreiche Erkenntnisse und Ergebnisse der Mathematikdidaktik
lassen sich mit Hilfe empirischer Theorien darstellen. Dies haben wir
in [2009] gezeigt. So lässt sich das mathematische Wissen und die
Entwicklung dieses Wissens von Schülern — und von Mathematikern
historischer Epochen — mit Hilfe empirischer Theorien rekonstruie-
ren. Diese Rekonstruktionen können (auch) als Grundlage für Unter-
richtskonzeptionen dienen.
Der Inhalt des Werkes [2009] war der systematischen Darstellung
dieses Ansatzes gewidmet. Im vorliegenden Buch versuchen wir, den
Ansatz in die Mathematikdidaktik einzuordnen, d.h. ähnliche Sicht-
weisen und Perspektiven auf mathematikdidaktische Probleme mit
der eigenen zu vergleichen und zu diskutieren. — Der vorliegende
Band ist allerdings für sich verständlich und läßt sich unabhängig
von [2009] lesen.
ZuBeginndeserstenTeilsgehenwirkurzaufdenBegriffderempi-
rischen Theorie in seiner historischen Entwicklung ein und beschrei-
ben das strukturalistische Theorienkonzept. Dies geschieht zunächst
in allgemeiner Form und dann anhand von zwei historischen Beispie-
len,derpythagoräischenMusiklehreunddermittelalterlichenTheorie
VI Vorwort
negativer Größen.
Anschließend diskutieren wir Auffassungen von Mathematik, die
der von uns vertretenen verwandt sind und diese zu einem gewissen
Grad stützen. Dabei greifen wir insbesondere zurück auf einschlägig
bekannte Mathematiker wie Morris Kline, die Mathematikphiloso-
phenImreLakatosundPhilipKitcher,führendeVertreterder„cogni-
tive semantics“ wie Mark Johnson und George Lakoff sowie auf Anna
SfardundGuyBrousseau,diewesentlichzumTheorieverständnisder
Mathematikdidaktik beigetragen haben. Wir werden uns dabei einer
Vielzahl von Zitaten bedienen — wir bitten dafür bei Leserin und
Leser um Verständnis — um zu belegen, daß die genannten Autor-
innen und Autoren die ihnen zugewiesenen Auffassungen tatsächlich
vertreten haben.
Abschließend beschreiben wir eine Unterrichtskonzeption, die sich
fürdieVermittlungvonMathematik,aufgefasstgemäßdembeschrie-
benen Ansatz, in besonderer Weise eignet.
Im zweiten Teil zeigen wir an Hand von klassischen Beispielen der
Mathematikdidaktik, wie der hier beschriebene Ansatz zur Ausarbei-
tung, zur Präzisierung und auch zur Rechtfertigung von Vorschlägen
und Standpunkten beitragen kann. Bei diesen Beispielen handelt es
sich um den Piagetschen Begriff der Gruppierung, um die Lawlersche
Theorie der Mikrowelten und um die Frage, wie sich empirische Be-
funde inUnterrichtskonzeptioneneinbindenund damitauch rechtfer-
tigenlassen.DiesesThema—dieVerzahnungtheoretischerKonzepte
und empirischer Befunde — erscheint uns besonders bedeutsam, da
es in der mathematikdidaktischen Diskussion bislang nicht die ihm
gebührende Beachtung gefunden hat.
DenHerrenDres.BenediktBirkhäuserundSimeonSchlichtdanken
wir für freundliche Hilfen bei der Erstellung des Manuskripts.
Köln, im Wintersemester 2017/18
Hans Joachim Burscheid Horst Struve
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematisches Wissen im Kontext empirischer Theorien 1
1.1 Die strukturalistische Metatheorie/das strukturalisti-
sche Theorienkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Historische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Eine Auffassung von Mathematik . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Eine Stützung der vorgestellten Auffassung von Ma-
thematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Eine lernpsychologische Sichtweise . . . . . . . . . . . 54
1.6 Eine passende Unterrichtskonzeption . . . . . . . . . . 69
1.7 Eine Anmerkung zum epistemologischen Status der
Mathematikdidaktik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 DidaktischrelevanteThemenimKontextempirischer
Theorien 81
2.1 Die empirische Basis von Gruppierungen . . . . . . . . 83
2.2 Zahlaspekte und Mikrowelten . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3 Zur konzeptionellen Einbindung empirischer Befunde . 105
Literaturverzeichnis 125
1 Mathematisches Wissen im Kontext empirischer
Theorien
In den „Hauptströmungen der Gegenwartsphilosophie“ stellt Wolf-
gang Stegmüller u.a. den modernen Empirismus dar. Die Grund-
überzeugung der modernen Empiristen, derjenigen Philosophen, auf
deren Arbeiten sich die folgenden Überlegungen beziehen, läßt sich
wie folgt formulieren:
„Esistunmöglich,durchreinesNachdenkenundohneeineempirischeKon-
trolle (mittels Beobachtungen) einen Aufschluß über die Beschaffenheit und
über die Gesetze der wirklichen Welt zu gewinnen.“ [1978, p. 346])
Motiv für die Entstehung der modernen empiristischen Philoso-
phiewarendieFortschrittederEinzelwissenschaftenundeinegewisse
Stagnation bei der Ausarbeitung spezifisch philosophischer Gebiete.
Ein wesentlicher Grund für diese gegenläufige Entwicklung dürfte die
bessere Kontrollierbarkeit des in den Einzelwissenschaften Ausgesag-
ten sein. Die Logik und ihre Ausarbeitung spielt dabei eine wesent-
liche Rolle. Auch sind in den empirischen Wissenschaften bei der
Einführung eines neuen Ausdrucks stets durch Beobachtung feststell-
bare Bedingungen anzugeben, unter denen der Ausdruck angewendet
werden darf. Damit muß für den empiristischen Philosophen wissen-
schaftliche Erkenntnis zwei Bedingungen erfüllen:
1. Die verwendeten Begriffe müssen entweder formale Begriffe der
LogikoderMathematikodersog.empirischeBegriffe sein,d.h.solche
Begriffe, über deren Anwendbarkeit man in jedem konkreten Falle
allein mit Hilfe von Beobachtungen entscheiden kann.
2. Alle wissenschaftlich akzeptierten Aussagen müssen entweder
rein logisch begründbar sein oder es muß sich um Aussagen handeln,
die sich erfahrungsmäßig bewährten. In diesem Falle kann es sich um
Berichte über Beobachtungen handeln oder um aus solchen abgelei-
tete Aussagen. Zulässig sind auch Hypothesen, sofern diese prinzipiell
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018
H. J. Burscheid und H. Struve, Empirische Theorien im Kontext der
Mathematikdidaktik, Kölner Beiträge zur Didaktik der Mathematik und der
Naturwissenschaften, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23090-6_1
2 1 Mathematisches Wissen
empirisch nachprüfbar sind, entweder direkt oder in negativer Weise,
indemBeobachtungenbeschriebenwerdenkönnen,diedieHypothese
widerlegen. [ibd., pp. 354/355]
Da Theorien aus Sätzen bestehen, sind sie nur durch Sätze über-
prüfbar. Beobachtungen und Experimente sind keine Sätze sondern
Erlebnisse oder Handlungen. Erst die Aussagen, die ihre Ergebnis-
se festhalten, können daher zur Überprüfung von Hypothesen oder
Theorien herangezogen werden.
GegenstandderphilosophischenUntersuchungensindalsonichtdie
ObjekteoderEreignissederrealen—odereineridealen—Welt,son-
dern wissenschaftliche Aussagen und Begriffe. Philosophische Unter-
suchungen richten sich vor allem darauf, Grundbegriffe und Denkver-
fahren der Einzelwissenschaften zu klären. Damit werden Logik und
sprachliche Elemente, die zur Formulierung von Theorien erforder-
lich sind, zu ihrem Gegenstand. Die logische Sprachanalyse wird zum
Hauptgegenstand,diesinsbesonders,umdieVagheitenundMehrdeu-
tigkeiten der Alltagssprache aufzudecken und letztere durch künstli-
che Sprachsysteme zu ersetzen, die nach präzisen Regeln aufgebaut
werden.
Da das Begriffssystem, mit dem die Wissenschaftler arbeiten,
zweckmäßigerweise nicht unnötig umfangreich sein sollte, ist es we-
sentlich,möglichstalleAussageneinerwissenschaftlichenDisziplin—
damitinsbesonderedieihrerTheorien—aufwenige,möglichstsiche-
re Grundaussagen zurückzuführen. Damit erhält die Frage nach der
Überprüfbarkeit und Bestätigung von Sätzen zentrale Bedeutung.
Als Basis der wissenschaftlichen Erkenntnis dienen sog. Beob-
achtungssätze, Aussagen, die einem bestimmten Objekt eine beob-
achtbareEigenschaftzusprechen.DabeiheißteineEigenschaftPbeob-
achtbar für eine Person, wenn diese Person imstande ist, unter ge-
eigneten Bedingungen entscheiden zu können, ob ein Gegensand die
Eigenschaft P hat. [ibd., pp. 407/408]
Eine Aussage heißt bestätigungsfähig, wenn ihre Bestätigung zu-
rückführbar ist auf eine endliche Klasse von Beobachtungssätzen.
[ibd., p. 408]
Sei K eine endliche Klasse von (bestätigten) Sätzen (z.B. Beob-