Elements de Mécanique quantique - Tome 1

633 Pages·2004·5.713 MB·French

by  E. Kartheuser

ELEMENTS DE
MECANIQUE QUANTIQUE
TOME 1
par
E. Kartheuser
Professeur a` l’Universit´e de Li`ege
.
Enseignement dispens´e en 3 eann´ee :
1re Licence en Sciences Physiques
&
1re Epreuve Ing´enieur Civil Physicien
45h+30h
Dactylographi´e par Mme Sylvia Grandjean
Secr´etaire ex´ecutive du D´epartement de Physique
Plan du cours et Bibliographie
I Les origines de la Th´eorie quantique
I.1. Les concepts de la physique classique
(I.1.1) Structure corpusculaire de la mati`ere
(I.1.2) Nature ondulatoire de la lumi`ere
(I.1.3) Le d´eterminisme de la physique classique
I.2. Ondes ´electromagn´etiques et quanta de lumi`ere
I.3. La nature ondulatoire de la mati`ere
(I.3.1) Les spectres de raies et les ondes de Louis de Broglie
(I.3.2) Description quantique d’une particule libre : le paquet d’ondes
I.4. Dualit´e onde-corpuscule de la lumi`ere et de la mati`ere
I.5. Exercices sur les bases exp´erimentales de la m´ecanique quantique
II Syst`emes quantiques simples
II.1. Etat quantique d’une particule libre
(II.1.1) Fonction d’onde
(II.1.2) Courant de probabilit´e
(II.1.3) Valeur moyenne et´ecart quadratique moyen
(II.1.4) Op´erateur “impulsion” dans l’espace des coordonn´ees
II.2. Particule dans un potentiel ind´ependant du temps
(II.2.1) Solutions stationnaires
(II.2.2) Quantification de l’´energie
II.3. La barri`ere de potentiel finie : l’effet tunnel
II.4. Le puits quantique
II.5. L’oscillateur harmonique
(II.5.1) M´ethode de r´esolution polynˆomiale
(II.5.2) M´ethode des op´erateurs de cr´eation et de destruction
II.6. Appendice : Fonction g´en´eratrice des polynˆomes d’Hermite et oscillateur harmonique
(II.6.1) Orthonormalit´e des fonctions ϕ (x) de l’oscillateur harmonique
n
(II.6.2) Valeurs moyennes et probabilit´e de transition
i
ii
III Fondements de la th´eorie quantique
III.1. Equation de Schr¨odinger et ses propri´et´es
(III.1.1) Spectre de l’op´erateur hamiltonien et point de vue du calcul vectoriel
(III.1.2) Le vecteur d’´etat de l’espace d’Hilbert et ses propri´et´es
E
(III.1.3) Repr´esentation des coordonn´ees r
| i
(III.1.4) Repr´esentation des impulsions p
| i
(III.1.5) Formulation matricielle : Repr´esentation des´etats d’´energie
(III.1.6) D´eg´en´erescence d’un niveau d’´energie
III.2. Structure de l’espace de Hilbert ε et produits tensoriels d’espaces
H
III.3. Le processus de mesure et sa description quantique
(III.3.1) Commutateurs et grandeurs physiques simultan´ement mesurables
(III.3.2) Grandeurs physiques non simultan´ement mesurables : G´en´eralisation des relations d’incerti-
tude de Heisenberg
III.4. L’´equation d’´evolution
III.5. Les diff´erents sch´emas en m´ecanique quantique
(III.5.1) Le sch´ema de Schr¨odinger
(III.5.2) Le sch´ema de Heisenberg
(III.5.3) Le sch´ema d’interaction
III.6. L’op´erateur de densit´e
III.7. Int´egrale premi`ere et sym´etrie
(III.7.1) Observables compatibles et constantes du mouvement
(III.7.2) Sym´etrie et constante du mouvement
(III.7.3) G´en´erateur d’une transformation de sym´etrie
(III.7.4) Sym´etrie de translation
III.8. Sym´etrie par rapport aux permutations de particules identiques, les “bosons” et les “fermions”
III.9. M´ethodes d’approximation pour la r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger
(III.9.1) Th´eorie de perturbation
(III.9.2) M´ethode variationnelle lin´eaire
III.10. Conclusions : Postulats de la physique quantique
III.11. Appendice : Le cadre math´ematique de l’espace de Hilbert ε
H
IV Les moments angulaires en th´eorie quantique
IV.1. Fonctions propres et valeurs propres du moment cin´etique orbital : M´ethode polynˆomiale
IV.2. Sym´etrie de rotation et moment angulaire
IV.3. M´ethode alg´ebrique : Les op´erateurs d’´echelle
IV.4. Repr´esentation matricielle des op´erateurs du moment angulaire
IV.5. Le spin d’une particule
(IV.5.1) Le moment magn´etique de l’´electron
(IV.5.2) Exp´erience de Stern et Gerlach
(IV.5.3) Vecteur d’´etat et op´erateur de spin
(IV.5.4) Pr´ecession du spin dans un champ magn´etique
(IV.5.5) Composition de deux moments angulaires
IV.6. Appendice : Fonctions sp´eciales associ´ees au moment angulaire
(IV.6.1) Polynˆomes de Legendre
(IV.6.2) Les harmoniques sph´eriques
iii
V Particules dans un champ de force central
V.1. Le probl`eme de deux particules en th´eorie quantique
(V.1.1) Potentiel `a sym´etrie sph´erique
(V.1.2) Vibrations et rotations d’une mol´ecule
V.2. L’atome hydrog´eno¨ıde
(V.2.1) Fonction d’onde totale et ses propri´et´es
V.3. Structure fine des atomes alcalins
(V.3.1) Interactions spin-orbite
(V.3.2) Corrections relativistes
V.4. Effet de Zeeman des atomes alcalins
(V.4.1) Atome plac´e dans un champ magn´etique quelconque
(V.4.2) Effet Zeeman anomal
(V.4.3) Effet Paschen-Back
V.5. Etats quantiques de la mol´ecule diatomique
V.6. Appendice : Propri´et´es des fonctions sp´eciales de l’atome hydrog´eno¨ıde
(V.6.1) Les polynˆomes de Laguerre associ´es
VI Transitions entre ´etats stationnaires
VI.1. Mouvement d’une particule charg´ee soumise `a un champ´electromagn´etique
(VI.1.1) Le hamiltonien du syst`eme
(VI.1.2) Action d’un champ magn´etique constant
(VI.1.3) Invariance de jauge
VI.2. Perturbations non stationnaires
(VI.2.1) R`egle d’or de Fermi
VI.3. Le rayonnement dipolaire
VI.4. Corrections multipolaires
VI.5. Expression quantique des coefficients d’Einstein
VI.6. Coefficients d’absorption
VI.7. R`egles de s´election et le spectre optique d’atome `a un ´electron
(VI.7.1) Les r`egles de s´election d’un oscillateur harmonique et d’un atome hydrog´eno¨ıde r´ealiste
VII Introduction `a la th´eorie quantique non-relativiste des syst`emes
de particules identiques
VII.1. Le formalisme g´en´eral
VII.2. Application `a l’atome d’h´elium
(VII.2.1) Interaction d’´echange et magn´etisme
VII.3. L’approximation du champ self-consistant de Hartree et de Hartree-Fock
iv
VIII Introduction `a la th´eorie quantique de la diffusion par un
potentiel
VIII.1. Section efficace de diffusion
(VIII.1.1) Section efficace diff´erentielle dans le syst`eme du laboratoire
(VIII.1.2) Interpr´etation classique et loi de Rutherford
VIII.2. Traitement stationnaire
(VIII.2.1) Equation int´egrale de la diffusion et solution “approch´ee” : “Approximation de Born”
(VIII.2.2) Le r`egle d’Or de Fermi et l’approximation de Born
(VIII.2.3) M´ethode des ondes partielles
Livres de r´ef´erence
– J.L. Basdevant, M´ecanique quantique, ellipses, 1986.
– J. Hladik, M´ecanique quantique,´editions Masson, Paris, 1997.
Bibliographie
– D. Blokintsev, Principes de m´ecanique quantique, ´editions Mir, Moscou, 1981.
– J.M. L´evy-Leblond, F. Balibar, Quantique. Rudiments, Inter-Editions, Paris, 1984.
– Cl. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Lalo¨e, M´ecanique quantique, tomes I & II, Hermann, 1980.
– E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley, 3rd ed., 1998.
– S. Gasiorowicz, Quantum Physics, John Wiley, 1997.
– L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Pergamon Press, 3rd ed., 1981.
– V.K. Thankappan, Quantum Mechanics, John Wiley, 2nd ed., 1993.
– A.B. Wolbarst, Symmetry and Quantum Mechanics, Van Nostrand Reinhold Comp., 1977.
– W. Louisell, Radiation and noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill, 1964.
– A.Z. Capri, Nonrelativistic Quantum Mechanics, Benjamin/Cummings, 1985.
– J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Benjamin/Cummings, 1985.
– W. Greiner, B. Mu¨ller, Quantum Mechanics, vol. I & II, Hermann, 1980.
– T. Fliessbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag, 1995.
– R.W. Robinett, Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1997.
Travaux dirig´es : 30h
Il me semble que cette partie du cours est primordiale pour une bonne compr´ehension de la m´ecanique
quantique. Dans ce but, les huit chapitres contiennent de nombreux exercices r´esolus, ainsi qu’une s´erie
de probl`emes non r´esolus, avec suggestions et r´eponses finales. Ces travaux dirig´es exigent de l’initiative
de lapart de l’´etudiant, quidoitd’abord, sansautreaide, tenter der´esoudredes probl`emespropos´es.Les
s´eancesder´ep´etitionssontalorsconsacr´ees`aaiderl’´etudiant`asurmonterlesdifficult´esqu’ilarencontr´ees
dans la r´esolution des probl`emes.
Chapitre I :
I Les origines de la Th´eorie quantique 2
I.1 Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Les concepts de la physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2.1 Structure corpusculaire de la mati`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2.2 Nature ondulatoire de la lumi`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2.3 Le d´eterminisme de la physique classique . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3 Ondes ´electromagn´etiques et quanta de lumi`ere . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.3.1 Le rayonnement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.3.2 Chaleur sp´ecifique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.3.3 L’effet photo´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.3.4 L’effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.4 Dualit´e onde-corpuscule de la lumi`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4.1 Principe de compl´ementarit´e : paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . 21
I.4.2 Le comportement des photons dans l’exp´erience des fentes de Young 23
I.4.3 Le principe de d´ecomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.4.4 Le principe d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.5 La nature ondulatoire de la mati`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.5.1 Les spectres de raies et les ondes de Louis de Broglie . . . . . . . . 28
I.5.2 Description quantique d’une particule libre : le paquet d’ondes . . . 34
I.6 Conclusions : Caract´eristiques essentielles de la Th´eorie quantique . . . . . 42
I.7 Exercices sur les bases exp´erimentales de la m´ecanique quantique . . . . . 43
I.7.1 Valeurs caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
I.7.2 Conversion d’unit´es physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
I.7.3 Electromagn´etisme en syst`emes de Gauss et MKSA . . . . . . . . . 45
I.7.4 Exercices r´esolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I.8 Appendice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
I.9 Rappels math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I.9.1 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I.9.2 Aide-m´emoire math´ematique pour le cours . . . . . . . . . . . . . . 63
I.9.3 Les fonctions sp´eciales et leurs propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . 72
I.9.4 Equations diff´erentielles ordinaires : quelques ´equations standards
et leur int´egrale g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
I.9.5 D´eveloppement d’une fonction en s´erie de fonctions orthogonales . . 81
I.9.6 Application des d´eveloppement en s´erie de fonctions orthogonales . 92
1
Chapitre I
Les origines de la Th´eorie quantique
I.1 Avant-propos
La physique de la fin du XIXe si`ecle ´etait commun´ement nomm´ee “Physique classique”.
Elle reposait sur deux disciplines fondamentales : la M´ecanique rationnelle et la th´eorie
´electromagn´etique de Maxwell. La m´ecanique rationnelle associ´ee `a la m´ecanique statis-
tique“classique”conduisait`ala“thermodynamique”,tandisquelath´eorie´electromagn´eti-
quejointe`alam´ecaniquerationnellecommandaitl’“´electricit´e”etl’“optique”.Laphysique
classique semblait donc constituer un ´edifice achev´e et in´ebranlable.
Cependant, d`es le d´ebut du XXe si`ecle, les conceptions fondamentales de la physique
subirent, `a deux reprises, d’importantes modifications :
1. Les premi`eres apparurent d`es le premier m´emoire d’Einstein en 1905 sur la th´eorie
de la relativit´e. Celle-ci nous for¸cait `a renoncer `a la notion de temps et espace absolu
et conduisait rapidement `a l’´equivalence de la masse et de l’´energie. Les fondements
les plus solides de la physique classique, `a savoir les notions de causalit´e et de
d´eterminisme absolu restaient cependant inchang´es par la relativit´e.
2. Par contre,le rejetdes notions de causalit´e et de d´eterminisme absolu parla m´ecani-
que quantiquemoderneetleur remplacementparuneth´eorie probabilistedevait,sans
conteste, constituer un bouleversement beaucoup plus profond. Celui-ci ne devait
pas, du reste, apparaˆıtre imm´ediatement et, pendant une quinzaine d’ann´ees, on
devait chercher `a interpr´eter les faits nouveaux dans le cadre d’une th´eorie presque
classique,l’anciennem´ecaniquequantiquequi,end´epitdebrillantssucc`esaud´epart,
duˆt finalement ˆetre abandonn´ee totalement.
Afin de comprendrel’origine et laport´eede la nouvelle m´ecanique, nous allonsbri`evement
rappeler et analyser, d’un point de vue moderne, l’essentiel des exp´eriences fondamentales
quioblig`erentlesphysiciens`arenoncer`alam´ecaniqueclassique.Auparavant,ilestutilede
retracer, dans les grandes lignes, le d´eveloppement des conceptions classiques concernant
la structure de la mati`ere et la nature de la lumi`ere et de faire le point sur la situation au
moment mˆeme ou` sont apparues ces exp´eriences.
2
´
CHAPITRE I. LES ORIGINES DE LA THEORIE QUANTIQUE 3
I.2 Les concepts de la physique classique
I.2.1 Structure corpusculaire de la mati`ere
La conception1 de la physique classique d’une structure corpusculaire de la mati`ere, for-
mul´ee dans l’antiquit´e par les philosophes grecs et latins, ne pouvait faire aucun progr`es
aussi longtemps qu’elle restait purement sp´eculative. En fait, les notions d’atome et de
mol´eculen’ontcommenc´e`asepr´eciserqu’a`partirdestravauxexp´erimentauxetth´eoriques
des physiciens et chimistes des 17e et 18e si`ecles.
D’une part, Lavoisier cr´eait la chimie par l’introduction des notions de composition et
d´ecomposition chimiques et la d´ecouverte des corps simples. Puis, la loi des proportions
d´efinies de Proust et celle des proportions multiples de Dalton amen`erent ce dernier `a
formuler l’hypoth`ese des atomes (1808).
D’autre part, la loi de compressibilit´e isotherme des gaz, d´ecouverte par Boyle (1660) et
Mariotte (1675), fut expliqu´ee par Daniel Bernoulli (1730), comme r´esultantde l’agitation
thermique des mol´ecules du gaz. Il fonda ainsi la th´eorie cin´etique des gaz.
Vers 1810, Gay-Lussac montra que le coefficient de dilatation thermique d’un gaz `a pres-
sion constante est ind´ependant de la nature chimique de ce gaz. Ces r´esultats conduisirent
Avogadro (1811) `a formuler sa c´el`ebre hypoth`ese : des volumes ´egaux de diff´erents gaz
plac´es dans les mˆemes conditions de temp´erature et de pression contiennent un mˆeme
nombre de mol´ecules. Il en r´esulte la notion de poids atomique, de poids mol´eculaire et
de mole. Le nombre de mol´ecules dans une mole N est appel´e “nombre d’Avogadro”.
A
Le d´eveloppement ult´erieur de la m´ecanique statistique par Maxwell, Gibbs et Boltz-
mann et la d´ecouverte de la radioactivit´e ont suscit´e des m´ethodes nombreuses et vari´ees
pour d´eterminer exp´erimentalement le nombre d’Avogadro. La concordance des r´esultats
obtenus ´etablit la r´ealit´e indiscutable des mol´ecules. De plus, la connaissance du nombre
d’Avogadro
N = (6.022045 0.000031) 1023 mol´ecules par mole
A
± ×
a permis d’atteindre les grandeurs mol´eculaires. Ainsi, la masse d’un atome, de poids
atomique A, est
A
= 1.660565 10 24A gr.
−
N ×
A
le volume mol´eculaire vaut V , V ´etant le volume d’une mole en phase condens´ee, ou
NA
approximativement le quart du volume b intervenant dans l’´equation d’´etat de Van der
NA
Waals2
a
P + (V b) = RT
V2 −
(cid:181) ¶
On trouve ainsi un diam`etre des mol´ecules de l’ordre de grandeur ( V )1 c.-`a-.d. de l’ordre
3
NA
de quelquesAngstro¨ms (1˚A = 10 10m).Ces dimensions ontd’ailleurs´ete atteintesdirecte-
−
ment par l’´etude de la diffraction des rayons X, qui a permis de mesurer avec pr´ecision
1Pour une ´etude d´etaill´ee, voir p.ex. E. Chpolski, Physique atomique, Tome I (Editions de Moscou,
1974).
2Voir chapitre IV du cours de physique statistique.
´
CHAPITRE I. LES ORIGINES DE LA THEORIE QUANTIQUE 4
les distances interatomiques et de fixer la structure des mol´ecules aussi bien que celle de
la maille ´el´ementaire des cristaux.
Enfin, le d´eveloppement des id´ees concernant la structure de l’atome peut ˆetre r´esum´e
par les points suivants :
a) La charge ´el´ementaire d’´electricit´e
R´ef´erant au travail de Faraday relatif `a l’´electrolyse, Hermann von Helmholtz (1881)
affirmait :
“Si nous acceptons l’hypoth`ese que les substances ´el´ementaires sont com-
pos´ees d’atomes, nous ne pouvons pas ´echapper `a la conclusion que l’´electricit´e
est aussi divis´ee en portions ´el´ementaires qui se comportent comme des atomes
d’´electricit´e.”
Pour expliquer les lois de l’´electrolyse de Faraday et les ´ecarts aux lois de Raoult et Van
t’Hoff, observ´es pour les ´electrolytes, Arrh´enius imagina (1887) l’existence d’ions dont la
charge est ´egale `a un multiple entier d’une charge ´el´ementaire. La valeur de celle-ci est le
quotient du Faraday, F = 96484.56 0.27 Coulomb, par le nombre d’Avogadro,
±
F
e = = (1.6021892 0.0000046) 10 19 Coulomb
−
N ± ×
A
= 4.80326 10 10 stat.Coulomb (u.e.s.)
−
×
b) La d´ecouverte de l’´electron
Hittorf (1869) d´ecouvre les rayons cathodiques et Perrin (1893) d´emontre que ceux-ci
se composent de charges n´egatives. En 1899, J.J. Thomson mesure le rapport e des
m0
particules dans les rayons cathodiques en ´etudiant leur d´eflexion par un champ ´electrique
et un champ magn´etique. Comme iltrouve que ce rapport est ind´ependant de la nature de
la cathode, il conclut que les rayons cathodiques sont constitu´es de faisceaux de particules
´el´ementaires, les “´electrons” que l’on trouve dans chaque atome.
C’est Faraday (1862) qui, le premier, examine l’effet d’un champ magn´etique sur les raies
spectrales du sodium3, mais il n’observe aucun effet. Par contre, en 1896, Zeeman r´ep`ete
l’exp´erienceavecune meilleurer´esolutionet d´ecouvrelas´eparationde laraieD du sodium
en deux raies lorsqu’un champ magn´etique intense est appliqu´e. H.A. Lorentz sugg`ere que
ces raies sont polaris´ees. La diff´erence de fr´equence associ´ee `a ces raies est proportionnelle
`a l’intensit´e du champ magn´etique et au rapport e . Nous voyons donc que la d´ecouverte
m0
de Thomson avait ´et´e anticip´ee par Zeeman et Lorentz.
En 1909, Millikan d´etermine la charge des ions gazeux en mesurant la vitesse de chute
de gouttelettes d’huile microscopiques soumises ou non `a l’action d’un champ ´electrique.
Il trouve que la charge des gouttelettes est un multiple entier d’une charge ´el´ementaire
´egale, aux erreurs exp´erimentales pr`es, `a celle que l’on d´eduit de l’´electrolyse.
De e et de e, il r´esulte que la masse m de l’´electron est 1836 fois plus petite que celle
m0 0
de l’atome d’hydrog`ene (m = 9.109534 10 31kg). Un calcul approch´e du rayon r de
0 − 0
×
3dont une ´etude quantique approfondie se trouve au chapitre V.