Éléments de Mathématique: Algebre commutative

192 Pages·1996·10.48 MB·English

by  N. Bourbaki

N. BOURBAKI
É L É M E N T S D E
MATHÉMATIQUE

N. BOURBAKI
É L É M E N T S D E
MATHÉMATIQUE
ALGÈBRE
COMMUTATIVE
Chapitre 10
123
Réimpressioninchangéedel’éditionoriginalede1998
©Masson,Paris1998
©N.BourbakietSpringer-VerlagBerlinHeidelberg2007
ISBN-10 3-540-34394-6 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-34394-3 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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5
1. PROFONDEUR
Soicrit A un anneau, J un idéal dc A et M un A-niodule
D~FINITIO1N. o n appelle p,rofortder~ de M r.elat?wrr~eat ù J ct or1 ,raote
(J ; 1hf) , or^ proî (J ; M) , lu bwrir: il1f kr?cwe daras N U {hx) de 1 'enserrable
des cnliers ri. Lels que Exl'Z(A/J, M) soiL rrorr r~,,ul.
Tmrsqiie 1'aririea.u A est local, or1 a.ppelle simplement pro~fondeurd e M et on note
prof* (M) oii prof (M) la. prohncleiir de M rela.tiverrient B. 1'idka.l rriw.xinia.l rn* (le
A ; on appellc projmdeur de l7ann,eal~lo, rd A la profondcilr t h A -rnodiilc A.
Si prof,, (J , M) - +m. oii R ExtA(A/J, M) - O pour tont 7 Si prof,(J , M) =
r < +cc,o n a ExtL(A/J, M) = O pour 2 < r et Exti(A/J, M) # D
Rernurques. 1) Supposons que le A-moclulc M soit de type fini et. qii'oil ait
M = JNI, c'est-Mire Supp(W1) n V(J) = 0 (II, 3 4, no 4, cor. de la prop. 18).
+
Dans cc cas, pïofA(J; M) est égal à +cc : en &et, 11ici6al Arin(M) .J est alors
égal à A (loc.. rit.) ct cst coiittiili clans l'anniilat,eiir de ExtL(A/J; M) pour t,out i.
Ori verra ci-après (no 5, cor. I dii th. 1) qu'invcrscnicnt si I'idCal J est rlc type fini,
profA(J ; M) = +cc implique M = JM.
2) Pour que profA(.]; 42) soit nul, il faut ct il suffit qiic HornA( A/J, M) soit
non mil, c'est-à-dire que M possède iiil Glérnerlt non nul ariimlé par $1 ; il en est en
pa,rticiilicr ainsi lorsquc l'on a Ass(IV1) n V(J) # $3.S i l'mrieaii A est noethérieri et
que le A-module M est de type fini, les conditions suivantes sont Cqiiivalcntcs (IV,
$ 1, no 4, prop. 8) :
a.) prof, (.J ; M) = 0 ;
1-1) pour tout z E .T, l'llomothbtie zM n'est pas injective ;
c) on a Ass(h/l) n V(J) # 0.
3) D'après la rcmarqilc 2, polir qii'ilri anncau local A soit dc proforidcur imllc, il
fa.ut et il suffit qu'il existe un Cléincnt ilon nul .x de A tel qiic ni~n:= O. Si A n'est
pas un corps. un élément ~i-te l que mAX = 0 n'est pas iiiversible, donc apparticnt à
in,\ et par siiitc satisfait à x2 = O. Ainsi lin anr1ea.u local réduit de dirneiision 3 1
est de profoiidciir 3 1.
3) Sonit, iule farriillc tlc A-rnotlulcs. D'apri,s A, X, p. 89, prop. 7, on a
prof (J ; ML)= inf prof (J ; ML).
LE 1 LEI
Profondeur, régularité, dualité
Duris ce chapikre, toru.s lcs arlricuulc sorit s,upposL:s ço~rrmrututifs,l es ulykbres sont
ussociutiws, corrrrr~1~t1~tiueet. s, wr~'if&re.est, les horr~orriorpliisrnesd 'alykb,~.e.ss orll uni-
fh-es. Si A est un, anmeau locd, on, note m . SOT?, idkd m~~,,:~.imeta Kl,A son corps
rksidu,el. Si p est wri id6d p?-err~,ierd.' ,un anrLeau A, ori note ~ ( p )le corps rhi-
duel de l'ar~.rcea.ul ocal Ap ; on l'ider~tijiea u corps des fr,uctlons de l'armeuu tri-
t@re A/p . 041 ,riote Z lu pwtie Z U {-CO, +cul de R. 011 u donc, po,u.r io,u(Ct
n t Z, les mhtions -ai < n, < +cm et rt, + cm = OC^ + n, = OC) + cc = cc ,
n,-cm=-m+n=-cm-m=-cm.
PROPOSITIO1N .So imt -4 un, an,nea~r.T, un, BdCal de A et O i h/l' + M i Y'' -+ O
une suite exacte de A-modules. Poson,s
p' = prof (J : M') , p = prof (J ; M) , pl' - prof(.J ; Id")
On es2 alors dans l'un des tr.oi.s c(ts swkiiants, qui s'ezclurnt rnutuel2enrmt :
Corisi<lérons la suik exact;(; (les modilles d'exter~sioria~.s sociée à. A/J et à la
suite exacte ci-dessus (A, X, p. 92, th. 2). Excliions le ca.s ï-, = p' = pl' - foo ; il
exist.c alors da.ris cette suite im premier niodiile non nul. et le rnotliile siiivimt est
6galerr1er1l. rlou rml. Cela doiule les trois possibilités siiivantcs : -
<
a) Le premicr modillc non ni11 est. Ext;: (A/J, W). On a dors p' p pl'.
b) T,e preinier rnodulc non niil cst Extx (A/J, M) . On a. alors p = p" < p'.
c) Lc premier. rriodiile riori niil est Ext; (A/.J, M'') . On a alors p" + 1 = < p.
Re,rrsc~;rpf5: .Su pposons que l'on ait p - p' et ([ne l'ir'jection 71 : hf' -t M qui
int,ervicnl. tla,ris la. siiite exil.c:t,ed e la. prop. 1 apparticnnc 5, J HonlA( M', M) . On a
alors p" - p - 1 . En effet, l'liyp»tli&se erit,riririe que I1a,pplica,tionE x'GtZ( lAI,,il,,) cst
nulle pour tout entier i, ; (:da excliit lc ca.s a.) corisitl6rP ci-tlessus.
~'ROPOST'L'ION 2 .So imt A un, an,n,eau, J un, idBa1 ch: A , M TNL A-rr~odrrlee t N un.
A-rno&ule urr,rrulf:p ar uoe p,cl,issnnce de .T . On, a l%xtA(NM, ) = O po.1~7t.o ut mtier
i < prof, (J ; M) .
Siqjposoris d'a1jor.d JN = O et raisonnons par réciirrcncc sui. l'entier
Z < profA(.T;M ) . L'a.sscrtiori est bvitleiite pour i < O. Corrsid6rons N conme
un (A/,T)-rnotliile et choisissons iinc suite cxa.ct,cd e (A/J)-rriodiiles
011 en déduit imc siiitc exacte de rnodules d'exterisions
Lc A-rriodule ~xt~~(1C.eMst )n ul ~1'apri.s l'hypotlièse de rPciirreixe, et le
A-nmdiile EX~L((A/J)(')M, ) est isomorphe à EX~;(A/J, M)' (A, X, p. 8-9 , prop. 7),
qui est nul par définition de la profoiideiir. Par suite on a Exti (N, M) O.
Passons ail cas g-bri 6rn1, et raisoimons par récurrcncc sur lc plils pctit cnticr
'rr~> O tel quc J""S O. Noiis venons (le tra.iter Ie cas m, = 1 . Supposons m, > 1
ct soit i < profA(J ; M) un entier. Considérons la siiite exact,e
déduite de la suitc exacte O + JN -, N i N/,JN + O. Les dcux modulcs cxtrCirics
soi~nt uls d'après 1'hypothi.s~d c réciirrer~cep, uisque N/JN et ,IN sont mnulCs par
JT~--I . On a donc Exti (N, M) = O, cc qu'on mi~laitc iéinontrei..
COKOLLAIH1E .So it m un entier > O et soit J1 un idCal de A pi, con,tient J"" .
<
On a profA( J ; M) profA( J' ; M) .
En effet Jrn annule le A-modille A/Jr , donc ExtA(A/Jr,M ) est riul pour toul
entier i < profA( .J ; M) (prop. 2).
COROLLAIR2E. Supposons l'idéal J de type ,fini, et soit J' an idc'al de A tel que
-
V(J) 2 V(Jr).
a) On a profA(J; M) 6 profA(J' ; M) .
b) Si 11id6al Jr est de twe Jin,i et si V(J) = V(.J1), on a prof,(J ; M) =
prof, (JI ; M) .
D'après 11, § 4, no 3, cor. 2 dc la prop. 1 L et § 2, no 6, prop. 15, il exist,e uri eritirr
rn, > O tcl que J n k , JI. L'assertion a) résulte doric (111 cor. 1 et 1'a.ssnrtion h) s'cn
déduit.
Lc cor. 2 peut rt,re en d<:fautl orsque l'idéal .J n'est pas de type fini (cxcrcice 2).
2. Profondeur et acycliciti:
P~o~osr'i~3ro. ~So ie,rr.t A Ira mn,n,eau, C un, corn,plexe horn,C à gauch,e de
A-modules et p un entier. On suppose quc por~rt out cor/,plc d7en,tiers (m,,n,) mec
rrL 3 n. 2 p, ln profonde,ur du A-nrodcl,le Cm relativemen,t à l'ann?~lateurd e H,,,(C)
est > rn n,. On, a alors H, (C) = O pour n 2 p.
-
Puisque C cst borrk ii gauclic, H,(C) est riiil pour n asscz grand. Si la
conclusion Cta.it fausse, il existerait lin entier q 2 p tel que H,(C) = O pour
,rL > y et Hq(C) # O. Désignosis par J 1'arinulat.eur dc H,(C) ; on a alors
~>I.oS;~ H(,J( C)) = O. Par ailleurs, puisque Z,(C) cst 1.m sous-modiilc de C, , ct
qu'on a par llypotliksc prof, (J ; C,) > q q = O, on a profA(J; Z,(C)) > 0. On
-
dktluit alors de la suite exacle
1'CgalitC pruf,(J; B,(C)) = 1 (no 1, prop. 1). D'après la définition de g, B,,(C) est
kgal ii Z,(C) pour (,oui, entier n, > (1. Des suites exactes cauoniqucs
et de l'liypothksc profA(J; C,,,) > rr y, »si tire par récurrence l'égalité
profA(J; B,(C)) = rL - q + 1 pour tout r-L 3 y (loc. cil.). Mais cela est ahsiirde
puisque B,,,,(C) cst riul pour ,rc assw grand.
COROLLAIR1E .So ient A un a,n,n,rau, J un, idéal de A, C un complexe borné
6, ga7rche de A-n~odulese t p un en,lier. On suppose qu'on a .JH,,(C) = O et
profA( .J ; Cm) > .rn p pour m 2 p . On a alors H ,( C) = O pour n, 2 p .
-
En effct pour n 2 p l'annula,teur J,, de H,,, (C) cont,ient J , donc on a
profA(.J, ; C,) 2 profA(J ; C ,,,,) (ri0 1, cor.. 1 (le la. prop. 2), dn sorte qiic l'hypo-
thèse de la proposition est satisfaite.
COROLLAIR2E . Soient A un anneau local, C un, compleze bolrrk à gauche de
A-rrr,odules, p un cntiel-. On suppose que po7~l-m 2 p, H,,,(C) es/, de longue.ur finir
et C,,, de pr.of0ndcn?. > m - p. On n alors FI, (C) = O pour rL 2 p.
5
d'après A, VIII, 1, no 3, corollaire, l'anneau A/J est artinieii, donc J coiitient
8
une puissmcc de l'idéal rnaxiri~ald e A (A, VIII, 10, ri" 1, th. 1). On a par suite
profA(J;C ,,,) 2 prof (C,,) > rri -p pour rrr 3 p (11' 1, cor. 1 de la prop. 2), de sorte
qu'on peut appliquer le cor. 1.
3. Profondeur et complexe de Koszul
Soient A un a-nn eau, ILI iin A-modiilr, x = (.r,),,r iiiic fainillc d'4lCmcnts tlc A.
Notons u : A(') A la. forrric: liriéaire telle que u(ci) = .r, pour tout i E T-, e t
K'(x, M) le corrlplexe KA(w, M) associ6 a u (A, X, p. 147). On a KP(x, M) O
pour p < O ; polir p 3 O le A-modiilr: K"(x, M) = Hoin,, (Ap(~(l)M),) s1i(lentific\
canoniquemcnt ail A-modiilc CY(h1) forrrié tlrs npplications ollrrnéps de 1'' dans I\iI
(A, X, p. 153), la cliffbreritielle iSP : KP(x, hl) - , Kptl (x, M) Cltant donn6e pdr la
forriiiile
pour m t KP(x,M ) et (a1... . , cu,>+l) E (A, X, 11. 154, fornlulc (12)). Il eli
r&siiltee ri parl,icl~licrq iic lc corr~plexcK 0(x,M ) ne di:pcritl que tlc la structure de
Z-rriodiilr de M el, des cii<lornorpliismes .
On note H'(x, ICI) l'honiologie tlu c:oinplcxc K' (x,M ) . Lc A-rnodiile Ho(x,h f)
s'identifie à. H~rri(,A~/. T, M) , uii J est l'itlbal de A engcndrC par les r, (A, X. p. 147,
lemme 1).
Soicrit (M,),,r, une famille de A-modiiles, el M son produit , le complexe
K0(x,M ) est canoiiiquernent isornorpl.ie su roiiiplexe produit des K0(x,h l,), de
sorte qirc pour chaque entier n le A-rnodiilo H5(x,M ) s'idciltific nu produit cles
HS(x,M,) (A. X, p 28, prop. 1).
THGOK~M1 . F: Soient A un cr,nrrenv, J ,un, idéal de A, x = (z,),, 1 une ,fn,n~,ille
gén,r'r(~,trired e J , M WL A-w,o&ule. La profonde,ui- de NI rel«,tivrrnerrt ci J est lu
home ir~fc'rie,/rre(d arl.s N l-{, +oo)) des c.nticr:s tels que II1'(x, b1) f O.
Posorls p = profh(.J ; ICI). ConsidGrons le wniplexe K'(x, M). Son lioinologie est
arlmdée par J (A, X, p. 148, cor. 2)' et la profoildeur relativciricrlt à. J de chacun
des rilotlules Ki(x,M ) est 6galc à 11 ou à +rx> (no 1, reinxryuc 4). Il r6siiltc alors du
cor. 1 t h 1 1" 2 que l'on a H1(x,M ) = O pour i < p. Il rc:si,e il prouver que HJ"(x,M )
n'est pas r d lo rsque p < +m.
Le cas p = O &tant6 videiit, SI~PJSUSOIIS O < p < +m et TIIJ(x,h l) = O. Soit L
une résolution lihe du A-rnodule A/J ; notons C le complexe HomgrA(TJI,C I) . Le
A-iriodulc lp(C) est isorriorphr: à. Exti(A/J, M) (A, Xi p. 100, th. 1) ; il est doric:
nul pour i < p. Ori a. alors pour i < p des suiles exactes carioriiqurs
Le A-module C' est produit de A-rilodules isoriiorphes à M ; on a donc
<
1is(x,C ") = O puur s p. On tlbdiiit ries suites exactes pr6céclentes et de 4, X,
p. 150 quc l'l~o<i~ lorriorpl~istr3ne cl iaison (3" : H" (x,H l+' (C)) -) HS+' (x, B"(C) est,
injectif pour s p et, ,i < p ; corriirir Bo(C) = O, il cil rCsultc qiie HPpi(x. Bi+' (C))
est nul pour i < p. Ori a cri piirticilliri IT1(x, Bj3(C)) = O, de sork que la suite
exactc
O + Bp(C) I -Zp(C :) + IIp(C) + O
hriiit une silyjection HU(x.Z p(C)) ~'(xH, p(C)). Cornine H"(C) est iso-
+
iriorplic Extx(A/.J, M) , cpi est non nul el; arinulé par .T, on a Ho(x,H *'(C)) O,
d'oir HO(xZ, P(C)) # O ct par suite ~ ~ ' (Cx") , # O. hbis cela. implique
Ho(x,M ) # 0, rontra.iremerit k l%ypothi.sc. On a clor~c HP(x, WI) f O, ce qui
acl~bvel a tiérnonstratiori.
C~ROLLAI1R.ES z~pposorzsl 'idéal J dc type ,fini et .TM # M. Alors prof,,(J ; M)
<
est ,fiwk rt Chrd(T) ; pour qu'elle soit ciyale 0, Card(1) , il fm~fe t il S&I p r la
fu,rrL?llc: x soit co,rrc,pl&terrients éca.rrte pour M (A, X; p. 157, dkf. 2).
Siipposor~sd 'abord 1 firii, et iiotor~sr . sori ca.rdirial. Le A-modulc HT(x,M)
cst ca,rloniqucinent isomorphe A Ho(x,W I) , lui-rriêrrie isomorphe à MlJAll (A, X,
<
p. 155) ; l'inégalitk prof,,(J ; M) rksiilt,~d onc tlir th. 1. Pour qu'oil ait égalitC,
il faut et il sufit quc lc A-i~~cluHlc1 (x,M ) soit nul pour i < r., cc qiii signifie que
la. fa.niille x est coniplttcnienl, sécanle polir ICI (A, X, p. 157).
U'aprk cc qui pr6c&de, profA(.T; hf) est finie ; il reste h chhontrer (pic si la.
famille x cst conlp1i:tc:rirerit s&:a.rit,ep olir M l'enscinhle 1 cst firii. Or la (:ondition
Hi (x, AI) = 0 (A, X, p. 157, tlbf. 2) inipliqiic tp70i1 a irnc suite cx;i.ctce
oi~l'i magc tic & est cor11,cimc: tlims JM(') . Par produit ter~soricla vec A/.T, on
eri déduit un isoinorphisrne A-linkairc de (M/.JM)(') siir JM/J%!t. Or ce dcrr~ic:r
module est de type fini: puisqi~e.T et iL3 le sont cornmc M/JM rr'cst pas niil, il c:rl
r6sirltc qiic l'eriscrriblc 1 est fiiii.