Eléments de la théorie des systèmes différentiels géométriques : Cours du CIMPA, Ecole d'été de Séville 1996

450 Pages·2004·8.2 MB·French

by  Philippe Maisonobe

SE(cid:19)MINAIRES ET CONGRE(cid:18)S 8
(cid:19) (cid:19) (cid:19)
ELEMENTS DE LA THEORIE
(cid:18) (cid:19)
DES SYSTEMES DIFFERENTIELS
(cid:19) (cid:19)
GEOMETRIQUES
COURS DU C.I.M.P.A.
E(cid:19)COLE D’E(cid:19)TE(cid:19) DE SE(cid:19)VILLE (1996)
(cid:19)edit(cid:19)e par
Philippe Maisonobe
Luis Narv(cid:19)aez Macarro
Soci(cid:19)et(cid:19)e Math(cid:19)ematique de France 2004
Ph. Maisonobe
UMR 6621 du CNRS, LaboratoireJ.A. DieudonnØ, UniversitØ de Nice,
Parc Valrose, 06108Nice cedex 2, France.
E-mail : [email protected]
L. NarvÆez Macarro
Departamento de Algebra, Facultad de MatemÆticas, Universidad de Sevilla,
E-41012 Spain.
E-mail : [email protected]
Classification mathématique par sujets (2000). — 12, 13N10, 13P10, 14B, 16S32,
32C38, 32S40,32S60, 35A27, 35N10.
Motsclefs. — D-module, bases de Gr(cid:246)bner, complexe de de Rham, connexions mØ-
romorphes rØguliŁres, cycle caractØristique, cycles Øvanescents, dualitØ, dualitØ de
Grothendieck-Verdier,(cid:28)ltration,V-(cid:28)ltration,foncteurimageinverse,indice,irrØgula-
ritØ,faisceaud’irrØgularitØ,modules holonomes,modulesspØcialisables,monodromie,
opØrateurdi(cid:27)Ørentiel d’ordrein(cid:28)ni, pentes, positivitØ, rØgularitØ,critŁrefondamental
de la rØgularitØ, rØseau canonique, thØorŁme de comparaison, thØorŁme de division.
(cid:201)L(cid:201)MENTS DE LA TH(cid:201)ORIE DES SYST¨MES
DIFF(cid:201)RENTIELS G(cid:201)OM(cid:201)TRIQUES
COURS DU C.I.M.P.A.
(cid:201)COLE D’(cid:201)T(cid:201) DE S(cid:201)VILLE (1996)
ØditØ par Philippe Maisonobe, Luis NarvÆez Macarro
Résumé. — La thØorie des systŁmes di(cid:27)Ørentiels gØomØtriques est l’Øtude des Mo-
dules cohØrents sur l’Anneau des opØrateurs di(cid:27)Ørentiels sur une variØtØ analytique
oualgØbrique.Elle intervientdansdenombreusesbranchesdesmathØmatiques: gØo-
mØtrie algØbrique, arithmØtique, groupes et algŁbres de Lie, topologie algØbrique des
singularitØs... Ce livre est le rØsultat de la rØdaction de plusieurs cours donnØs lors
d’une Øcoledu C.I.M.P.A. en septembre1996.Il veut o(cid:27)rirau lecteur, parla prise en
comptedesØlØmentslesplusrØcentsdelathØorie,unesynthŁsedesnombreuxarticles
de recherche sur ce sujet. Ainsi, la plupart des cours ont ØtØ Øcrits pour Œtre lus par
des Øtudiants commen(cid:231)ant la recherche mathØmatique.
Abstract(Elementsofthetheoryofgeometricdifferentialsystems)
Thetheoryofgeometricdi(cid:27)erentialsystemsconsistsinthestudyofcoherentMod-
ulesonthe Ringofdi(cid:27)erentialoperatorsonacomplexanalyticoralgebraicmanifold.
It is used in various branches of mathematics: algebraic geometry, arithmetics, Lie
groupsand Lie algebras,algebraictopologyof singularities... This book containsthe
texts of lectures given at a C.I.M.P.A. summer school in september 1996. It o(cid:27)ers a
complete survey of the theory, taking into account the most recent advances. Most
of the lectures are aimed at young researchers.
(cid:13)c SØminairesetCongrŁs8,SMF2004

TABLE DES MATIE(cid:18)RES
R(cid:19)esum(cid:19)es des articles ......................................................... ix
Abstracts ...................................................................... xiii
Pr(cid:19)eface ........................................................................xvii
Ph. Maisonobe & T. Torrelli | Image inverse en th(cid:19)eorie des D-Modules 1
Introduction ................................................................. 2
I. D(cid:19)e(cid:12)nition et g(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es ................................................... 4
II. Images inversesnon caract(cid:19)eristiques ...................................... 11
III. E(cid:19)quations fonctionnelles d’un D-Module holonome ...................... 22
IV. Cohomologie locale alg(cid:19)ebrique ........................................... 30
V. Images inverseset solutions d’un D-Module .............................. 45
R(cid:19)ef(cid:19)erences ................................................................... 57
L. Narva(cid:19)ez Macarro | The Local Duality Theorem in D-module Theory .. 59
Introduction ................................................................. 60
Notation ..................................................................... 61
1. Duality for Analytic Constructible Sheaves ................................ 61
2. The Local Duality Morphism in D-module Theory ........................ 64
3. Proof of the Local Duality Theorem ...................................... 67
Appendix .................................................................... 79
References ................................................................... 86
F.J. Castro-Jim(cid:19)enez & M. Granger | Explicit Calculations in Rings of
Di(cid:11)erential Operators .......................................................... 89
Introduction ................................................................. 90
1. Division theorems in polynomial rings and in power series rings ........... 92
2. Division theorems in the rings of di(cid:11)erential operators ....................105
3. Generalized division theorems. The calculation of slopes ..................112
References ...................................................................125
A complementary list of recent publications ..................................126
vi TABLE DES MATIE(cid:18)RES
L. Narva(cid:19)ez Macarro & A. Rojas Leo(cid:19)n | Continuous division of linear
di(cid:11)erential operators and faithful (cid:13)atness of DX1 over DX .....................129
Introduction .................................................................129
1. Topological structure on rings of linear di(cid:11)erential operators with analytic
coe(cid:14)cients ...................................................................130
2. The continuity theorem ...................................................133
3. Continuous scissions ......................................................144
4. Faithful (cid:13)atness of D1X over DX ..........................................146
References ...................................................................147
J. Brianc(cid:24)on | Extensions de Deligne pour les croisements normaux .........149
Introduction .................................................................149
1. Rappels sur les connexions holomorphes ..................................149
2. Connexions m(cid:19)eromorphes .................................................153
3. Connexions m(cid:19)eromorphes a(cid:18) po^le logarithmique le long d’un diviseur a(cid:18)
croisementsnormaux .........................................................157
4. E(cid:19)nonc(cid:19)e de la correspondancede Riemann-Hilbert .........................162
R(cid:19)ef(cid:19)erences ...................................................................163
Z. Mebkhout | Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de positivit(cid:19)e, le th(cid:19)eor(cid:18)eme de comparaison et le
th(cid:19)eor(cid:18)eme d’existence de Riemann ..............................................165
1. Introduction ..............................................................170
R(cid:19)ef(cid:19)erences bibliographiquescit(cid:19)ees dans l’introduction ........................183
2. Fondement de la Th(cid:19)eorie des DX-modules ................................185
3. Le Th(cid:19)eor(cid:18)eme de Positivit(cid:19)e de l’Irr(cid:19)egularit(cid:19)e ................................202
4. Le Crit(cid:18)ere Fondamental de la R(cid:19)egularit(cid:19)e ..................................223
5. Le Th(cid:19)eor(cid:18)eme global de Comparaisonpour la Cohomologiede de Rham ...239
6. Stabilit(cid:19)edelacat(cid:19)egoriedescomplexesholonomesr(cid:19)eguliersparImageinverse,
Produits tensoriels interne et externe ........................................243
7. Stabilit(cid:19)e de la Cat(cid:19)egorie des complexes holonomes r(cid:19)eguliers par Dualit(cid:19)e .. 251
8. R(cid:19)esum(cid:19)e ...................................................................257
9. La cat(cid:19)egoriedes complexes holonomes r(cid:19)eguliers : cas alg(cid:19)ebrique ...........259
10. Le Th(cid:19)eor(cid:18)eme d’Existence de type de Riemann ...........................263
11. Le Th(cid:19)eor(cid:18)eme d’Existence de type de Frobenius pour les coe(cid:14)cients
holonomes d’ordre in(cid:12)ni .....................................................288
R(cid:19)ef(cid:19)erences ...................................................................305
Liste des notations ...........................................................306
Index ........................................................................308
Ph.Maisonobe&Z.Mebkhout|Leth(cid:19)eor(cid:18)emedecomparaison pourlescycles
(cid:19)evanescents ....................................................................311
1. Introduction ..............................................................312
2. Constructibilit(cid:19)e du complexe des cycles(cid:19)evanescents .......................314
3. Le complexe des solutions multiformes d’un complexe holonome ..........320
SE(cid:19)MINAIRES& CONGRE(cid:18)S8
TABLE DES MATIE(cid:18)RES vii
4. La th(cid:19)eorie de la V-(cid:12)ltration ...............................................328
5. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de comparaison pour les cycles (cid:19)evanescents d’un DX-module
holonome r(cid:19)egulier ............................................................371
6. Exemple d’une fonction monomiale (avec la collaboration de T. Torrelli) ..375
R(cid:19)ef(cid:19)erences ...................................................................388
B. Malgrange | On irregular holonomic D-modules ........................391
I. Meromorphic connections .................................................391
II. Filtration of holonomic modules ..........................................403
References ...................................................................409
Y. Laurent | Geometric Irregularity and D-modules ........................411
Introduction .................................................................411
1. Ordinarydi(cid:11)erential equations ............................................412
2. MicrocharacteristicVarieties ..............................................416
3. Sheaves of solutions .......................................................421
4. Geometric irregularity .....................................................424
5. Application to DX-modules ...............................................428
References ...................................................................429
SOCIE(cid:19)TE(cid:19)MATHE(cid:19)MATIQUEDEFRANCE2004

RE(cid:19)SUME(cid:19)S DES ARTICLES
Image inverse en th(cid:19)eorie des D-Modules
Philippe Maisonobe & Tristan Torrelli .................................. 1
Dans ce cours, nous exposons les r(cid:19)esultats de base sur le foncteur image
inverseenth(cid:19)eoriedesD-modules.Apr(cid:18)esquelquesg(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es,nousdonnonsles
premiers r(cid:19)esultats dans le cas d’un morphisme non caract(cid:19)eristique. Puis nous
montrons l’existence d’(cid:19)equations fonctionnelles de Bernstein associ(cid:19)ees a(cid:18) une
section d’un D-module holonome. Nous en d(cid:19)eduisons que les foncteurs image
inverse et cohomologie locale pr(cid:19)eservent l’holonomie. Nous montrons ensuite
que ces foncteurs commutent. En(cid:12)n, nous (cid:19)etudions le morphisme canonique
entrel’imageinversedessolutionsetlessolutionsdel’imageinverse.Cesr(cid:19)esul-
tats sont a(cid:18) la base de la notion d’irr(cid:19)egularit(cid:19)ed’un D-module holonome.
The Local Duality Theorem in D-module Theory
Luis Narva(cid:19)ez Macarro ...................................................... 59
Cecoursestconsacr(cid:19)eauth(cid:19)eor(cid:18)emededualit(cid:19)elocalepourlesD-modules,qui
a(cid:14)rmequeladualit(cid:19)etopologiquedeGrothendieck-Verdier(cid:19)echangelecomplexe
dedeRhametlecomplexedessolutionsdesmodulesholonomessurunevari(cid:19)et(cid:19)e
analytique complexe. On donne la preuve originale de Mebkhout en faisant le
rapport avec la preuve de Kashiwara-Kawai. Ceci nous permet de pr(cid:19)eciser la
commutativit(cid:19)e de certains diagrammes dans cette derni(cid:18)ere.
Explicit Calculations in Rings of Di(cid:11)erential Operators
Francisco J. Castro-Jim(cid:19)enez & Michel Granger ....................... 89
Dans ce cours on d(cid:19)eveloppe la notion de base standard, en vue d’(cid:19)etudier
les alg(cid:18)ebres d’op(cid:19)erateurs di(cid:11)(cid:19)erentiels lin(cid:19)eaires et les modules de type (cid:12)ni sur
ces alg(cid:18)ebres. On consid(cid:18)ere le cas des coe(cid:14)cients polynomiaux, des coe(cid:14)cients
holomorphes ainsi que le cas des alg(cid:18)ebres d’op(cid:19)erateurs a(cid:18) coe(cid:14)cients formels.
Notre but est de montrer comment les bases standards permettent de calculer
certains invariants classiques des germes de modules (a(cid:18) gauche) coh(cid:19)erents sur
x RE(cid:19)SUME(cid:19)S DES ARTICLES
le faisceaux D des op(cid:19)erateurs di(cid:11)(cid:19)erentiels lin(cid:19)eaires sur Cn. Les principaux in-
variants que nous examinons sont : la vari(cid:19)et(cid:19)e caract(cid:19)eristique, sa dimension et
sa multiplicit(cid:19)e en un point du (cid:12)br(cid:19)e cotangent.
Dans le dernier chapitre nous (cid:19)etudions des invariants plus (cid:12)ns des D-modules
qui sont reli(cid:19)es aux questions d’irr(cid:19)egularit(cid:19)e : les pentes d’un D-module, le long
d’une hypersurface lisse.
Continuous division of linear di(cid:11)erential operators and faithful (cid:13)atness of D1
X
over DX
Luis Narva(cid:19)ez Macarro & Antonio Rojas Leo(cid:19)n ..........................129
Danscecoursond(cid:19)emontrela(cid:12)d(cid:18)eleplatitudedufaisceaud’op(cid:19)erateursdi(cid:11)(cid:19)e-
rentielslin(cid:19)eairesd’ordrein(cid:12)nisurlefaisceaud’op(cid:19)erateursdi(cid:11)(cid:19)erentielslin(cid:19)eaires
d’ordre(cid:12)nid’unevari(cid:19)eteanalytiquecomplexelisse.Lapreuvequenousdonnons
est celle de Mebkhout-Narva(cid:19)ez, qui utilise la continuit(cid:19)e de la division d’op(cid:19)e-
rateurs di(cid:11)(cid:19)erentiels d’ordre (cid:12)ni par rapport a(cid:18) une topologie naturelle. Nous
r(cid:19)eproduisons la preuve de Hauser-Narva(cid:19)ez du th(cid:19)eor(cid:18)eme de continuit(cid:19)e, qui est
plus simple que la preuve originale.
Extensions de Deligne pour les croisements normaux
Jo(cid:127)el Brianc(cid:24)on ................................................................149
E(cid:19)tant donn(cid:19)e une connexion holomorphe int(cid:19)egrable sur le compl(cid:19)ementaire
d’undiviseura(cid:18)croisementsnormaux,nousenconstruisons,suivantP.Deligne,
un prolongement m(cid:19)eromorpher(cid:19)egulier.
Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de positivit(cid:19)e, le th(cid:19)eor(cid:18)eme de comparaison et le th(cid:19)eor(cid:18)eme d’existence
de Riemann
Zoghman Mebkhout .........................................................165
Danscecoursond(cid:19)e(cid:12)nitlecomplexed’irr(cid:19)egularit(cid:19)ed’uncomplexeholonome
lelongd’unespaceanalytiquecomplexe.Onmontrequec’estunfaisceaupour
un module holonome et une hypersurface. On montre le crit(cid:18)ere fondamental
de la r(cid:19)egularit(cid:19)equi permettrad’(cid:19)etablir lanullit(cid:19)e du faisceau d’irr(cid:19)egularit(cid:19)e.On
montre que toutes les propri(cid:19)et(cid:19)es fonctorielles de la r(cid:19)egularit(cid:19)e sont des cons(cid:19)e-
quences du crit(cid:18)ere fondamental. On montre le th(cid:19)eor(cid:18)eme d’existence du type
de Riemann en construisant explicitement des r(cid:19)eseaux canoniques a(cid:18) l’aide du
th(cid:19)eor(cid:18)eme d’extension des faisceaux analytiques coh(cid:19)erents. On montre en(cid:12)n le
th(cid:19)eor(cid:18)emed’existencedutypedeFrobeniusconcernantlescomplexesholonomes
d’ordre in(cid:12)ni.
Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de comparaison pour les cycles (cid:19)evanescents
Philippe Maisonobe & Zoghman Mebkhout ...............................311
Lebut decetarticleestded(cid:19)emontrerleth(cid:19)eor(cid:18)emedecomparaisonpourles
cycles (cid:19)evanescents. Nous montrons la constructibilit(cid:19)e du complexe des cycles
(cid:19)evanescents.Nousmontronsqueles solutionsmultiformesd’un complexeholo-
nomesontded(cid:19)etermination(cid:12)nie.Nousmontronsquelessolutionsmultiformes
SE(cid:19)MINAIRES& CONGRE(cid:18)S8