Elementær innføring i sannsynlighetsregning og problemløsninger ved analyse av måleresultater

160 Pages·1997·32.131 MB·Norwegian

by  Erdal, Arvid

Arvid Erdal
Elementær innføring i sannsynlighetsregning
og problemløsning ved analyse av måleresultater
ALMA MATER
Det må ikke kopieres fra denne bok i strid
med åndsverkloven eller avtaler om kopiering
inngått med Kopinor, interesseorgan for
rettighetshavere til åndsverk.
Kopiering i strid med lov eller avtale kan
medføre erstatningsansvar og inndragning, og
kan straffes med bøter eller fengsel.
ALMA MATER FORLAG AS
Postboks 4213 Nygårdstangen
5028 Bergen
© ALMA MATER FORLAG AS og forfatteren 1997
ISBN 82-419-0229-8
Digitaltrykk allkopi
Forord
I 1972 ble det gitt ut et kompendium for studenter som tok emnet Fk 15 - Eksperimentalfysikk.
Studieplanen i fysikk ved Universitetet i Bergen er siden den gang revidert flere ganger, og
kompendiet er nå revidert og utvidet.
FYS 130 - Grunnkurs i eksperimentalfysikk, som inngår i emnegruppen i fysikk, skal ifølge
Studiehåndboken for realfag gi studenten en innføring i “å kunne måle ved generell bruk av
måleinstrumenter som anvendes i enkle eksperimenter”. FYS 134 - Eksperimentalfysikk, som
også inngår i emnegruppen i fysikk, “gir en videreføring av måleteknikk og behandling av
måleresultater som omhandles i FYS 130. ... Laboratorieoppgavene demonstrerer ideer fra
forskjellige deler av fysikken”. Formålet er å “gi studenten kjennskap til vanlig måleutstyr in­
nen fysikk og gi trening i utførelse og vurdering av eksperimenter”. Hensikten med kompendiet
er fortsatt at det skal være til hjelp for dem som tar disse eksperimentelle emnene.
For å bruke måleutstyr og behandle måledata må visse grunnleggende synspunkter klarleg­
ges, og kompendiet gir en elementær innføring i begreper, terminologi og metoder som brukes.
Bevis og utledninger er ikke pensum til FYS 130 og FYS 134, men er tatt med for å vise
hvordan formler og databehandlingsmetoder er blitt til. I fremstillingen ses problemene mest
fra ståstedet til en eksperimentalfysiker og mindre fra ståstedet til en teoretiker.
Hvis studenten etter å ha lest dette kompendium lettere kan sette seg inn i den videregående
litteratur i emnet, er intensjonen med kompendiet innfridd.
Bergen, juli 1997 A. E.

Innhold
Forord 3
1 Grunnbegreper 11
1.1 Begrepet måling........................................................................................................ 11
1.2 Egenskapenes ubestemthet..................................................................................... 12
1.3 Hvorfor er alle egenskaper ubestemte?.................................................................. 12
1.4 Måling av ubestemthet........................................................................................... 13
1.5 En definisjons sikkerhet — to betraktningsmåter.................................................. 13
1.6 En målemetodes usikkerhet..................................................................................... 15
1.7 Tallbilder av fysiske størrelser............................................................................... 15
1.8 Gjentatte målinger .................................................................................................. 16
1.9 Feil og forfalskning — tilfeldige og systematiske feil......................................... 16
1.10 BIPM-metoden for angivelse av ubestemthet........................................................ 17
1.11 Eksempler for å belyse forskjellen mellom usikkerhet og feil............................ 18
1.12 Den sanne verdi........................................................................................................ 19
1.12.1 Eksempel med SKF-kule ......................................................................... 19
1.13 Opprinnelsen til ubestemthet og forfalskning........................................................ 20
1.14 Hvordan bestemme ubestemtheten i praksis?......................................................... 22
2 Sannsynlighetsregning 23
2.1 Innledning.................................................................................................................. 23
2.2 Statistiske fenomener............................................................................................... 23
2.3 Begrepet sannsynlighet............................................................................................ 23
2.4 Bertrands paradoks.................................................................................................. 24
3 Sannsynlighetsregningens fundament 26
3.1 Første aksiom............................................................................................................ 26
3.2 Annet aksiom............................................................................................................ 26
3.3 Tredje aksiom........................................................................................................... 27
3.4 Mulige relative frekvenser for A og B...................................................................... 27
3.5 Fjerde aksiom........................................................................................................... 28
3.6 Femte aksiom........................................................................................................... 28
3.7 Nytten av sannsynlighetsregningen......................................................................... 29
4 Elementære regneregler 30
4.1 A og B utelukker hverandre..................................................................................... 30
4.2 A og B er stokastisk uavhengige ............................................................................ 30
4.3 Generelle teoremer.................................................................................................... 30
4.4 Komplementær hendelse.......................................................................................... 31
4.5 “Ærlige” terninger .................................................................................................... 32
4.6 Sannsynlighet for telle-arrangement....................................................................... 32
4.7 Sannsynligheten for atomspaltning.......................................................................... 33
4.8 Hasardspill av de Méré............................................................................................. 33
5 Bernoullifordelingen 35
5.1 Ordning av svarte og hvite kuler............................................................................. 35
5.2 Bemoullis problem.................................................................................................... 36
5.3 Bernoulliformelen....................................................................................................... 36
5.4 Bernoullifordelingen................................................................................................. 36
5.5 Bernoullifordelingens form....................................................................................... 37
5.6 Bernoullifordelingens maksimalverdi .................................................................... 38
5.7 En analytisk approksimasjon til Bp(N',k)................................................................ 39
5.8 Hvordan Æ* avhenger av x....................................................................................... 40
5.9 Laplaces formel.......................................................................................................... 41
5.10 Feilintegralet og standardavviket........................................................................... 42
5.11 Feilintegralet............................................................................................................. 43
6 Kvantitativ skala for sannsynligheter 45
6.1 Estimat for verdien av en sannsynlighet................................................................ 45
6.2 Merknader til sannsynlighetsbegrepet ................................................................... 46
6.3 Statistisk sikkerhetsmargin....................................................................................... 46
6.4 Poissonfordelingen................................................................................................... 47
6.5 Statistisk sikkerhetsmargin mer presist formulert ................................................ 47
7 Forventningsverdier 49
7.1 Begrepet forventningsverdi....................................................................................... 49
7.2 Generelt uttrykk for forventningsverdien av k....................................................... 50
7.3 Forventningsverdien ved spesielle fordelinger....................................................... 51
7.4 Forventet kvadratverdi ............................................................................................. 52
7.5 Momenter................................................................................................................... 53
7.6 Forventet verdi av en funksjon av k......................................................................... 53
7.7 Forventningsverdien av måleavviket 8/c ................................................................ 54
7.8 Standardavviket......................................................................................................... 54
7.9 Sentralmomenter av høyere orden .......................................................................... 55
7.10 Spredningen av Bemoulli-og Poissonfordelingene ............................................ 56
7.11 Radioaktiv spaltningslov......................................................................................... 57
8 Forventningsverdier av forskjellige funksjoner 59
8.1 Generelle relasjoner................................................................................................... 59
8.2 Approksimative uttrykk for fordelinger med markerte
maksima..................................................................................................................... 60
9 Forventningsverdier for funksjoner av flere variable 61
9.1 Definisjoner............................................................................................................... 61
9.2 Forventningsverdier for summer eller produkter av
funksjoner........................................................................................................ 62
9.3 Korrelasjonskoeffisienten.......................................................................................... 62
9.4 Merknader til korrelasjonskoeffisienten ................................................................ 63
9.5 Spredningen av en sum av to variable ................................................................... 64
9.6 Approksimative uttrykk — funksjon med flere variable...................................... 65
9.7 Eksempler med ukorrelerte størrelser...................................................................... 66
9.8 Korrelerte størrelser................................................................................................... 66
9.8.1 Eksempel 1.................................................................................................. 67
9.9 Kovarianser ved sammensatte størrelser................................................................ 68
9.9.1 Eksempel 2.................................................................................................. 69
9.10 Generalisering av likning (138).............................................................................. 69
9.10.1 Eksempel 3.................................................................................................. 70
10 Teoriens relasjon til praktisk nytte 71
10.1 Forventningen og standardavviket for middelverdien ......................................... 71
10.2 Estimat 5 for standardavviket ct.............................................................................. 72
10.3 Estimat for kovariansen covtø........................................................................... 73
10.4 Det additive uttrykk................................................................................................. 74
10.5 Uttrykk på produktform........................................................................................... 74
10.6 Planlegging av målinger ........................................................................................ 75
10.7 Bedring av presisjon ved økt antall målinger........................................................ 76
10.8 Den multinomiske fordeling — histogram........................................................... 78
11 Gaussfordelingen 81
11.1 Tilfeldige feilkilder.................................................................................................. 81
11.2 Modell av måleprosessen........................................................................................ 81
11.3 Kontinuerlige måleverdier ..................................................................................... 84
11.4 Sannsynlighetstetthet.............................................................................................. 85
11.5 Fra modell til erfaring.............................................................................................. 87
11.6 Eksempel på ikke normalfordeling........................................................................ 87
11.7 Sannsynlighet for verdi i intervallet (a — y) til (a+y)........................................ Sl
11.8 Ubestemthet i estimatet s........................................................................................ 87
11.9 Numerisk beregning av ubestemthet..................................................................... 88
11.10 “Maks.-min.” estimator for standardavviket...................................................... 89
12 Gaussfordeling eller normalfordeling med to variable 91
13 Estimering av fysiske parametre fra
observerbare data 95
13.1 Modellbetraktninger .............................................................................................. 95
13.2 Praktiske tilfeller.................................................................................................... 95
13.3 Metode for å estimere én parameter ..................................................................... 96
13.4 Estimering av én parameter når modellen (teorien)
inneholder flere variable fysiske størrelser................................................... 99
14 Estimering av flere parametre 102
14.1 Spredningen av parametrene a og b............................................................................107
15 Optimal metode for å estimere parametre 109
15.1 Spredningen av den optimale målte verdi..................................................................111
15.2 Prinsippet om “maksimum sannsynlighet”...............................................................112
16 En anvendelse av maksimum-sannsynlighetsmetoden 114
16.1 Det beste valg av funksjonene ¥(a.b;x.y)...............................................................115
16.2 Spredningen av de optimale målte parametre å og b...............................................119
17 Eksempler fra evaluering av tellereksperiment 121
17.1 Differanse mellom to intensiteter...............................................................................121
17.2 Måling av store differenser mellom to intensiteter..................................................122
17.3 Den praktiske fremgangsmåte ved måling av differansen mellom to intensiteter 123
17.4 Estimering av forholdet mellom to intensiteter........................................................124
17.5 Bestemmelse av en absorbsjonskoeffisient fra to
måleresultat.........................................................................................................125
17.6 Bestemmelse av en absorbsjonskoeffisient når vi har
bakgrunnsstråling................................................................................................126
18 Evaluering av parameter fra målinger under varierte betingelser 130
18.1 Bestemmelse av en absorbsjonskoeffisient I............................................................130
18.2 Spredningen av jj og Å ..............................................................................................131
18.3 Løsning av maksimum-sannsynlighetslikningene ved
iterasjon (gjentaking).........................................................................................132
18.4 Et numerisk eksempel.................................................................................................133
19 Bestemmelse av parametre fra sammensatte målinger 136
19.1 Estimering av én parameter ff a sammensatte
måleserier............................................................................................................137
20 Middelverdien av målinger med ulik vekt 139
21 Minste kvadraters metode 141
21.1 Ubestemthet i gradient og skjæring med y-aksen.....................................................143
21.1.1 Bruk av ubestemthetene s,............................................................................143
21.1.2 Bruk av spredningen av punktene...............................................................144
21.2 Andre eksempler........................................................................................................144
21.3 Bestemmelse av en absorbsjonskoeffisient II...........................................................145
21.4 En mindre fordelaktig metode .................................................................................146
21.5 Kritiske bemerkninger til minste kvadraters metode..............................................147
22 Tellestatistikk 148
22.1 Grunn for at tellinger av radioaktive partikler kan være Poissonfordelt............148
22.2 Eksempel fra Rutherford og Geiger..........................................................................148
22.3 Tolking av telleresultat..............................................................................................149
23 %2 - Chi-kvadrattesten 151
23.1 Definisjoner.................................................................................................................151
23.2 Et talleksempel..........................................................................................................152
23.3 /2-testen når yobs er tall..............................................................................................152
23.4 Eksempel med Rutherford og Geigers data...............................................................154
23.5 Tilfeldige tellinger med Geiger-Miiller-rør...............................................................154
24 Resymé 156
Litteratur 158
Register 159